四川省眉山市2023屆高三數(shù)學(xué)一輪講義10指數(shù)對(duì)數(shù)冪函數(shù)

Page19指數(shù)和對(duì)數(shù)運(yùn)算法則：知識(shí)梳理1.根式(1)概念：式子叫做根式，其中n叫做根指數(shù)，a叫做被開(kāi)方數(shù).(2)性質(zhì)：＝a(a使有意義)；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，＝a，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，＝|a|＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a<0.))2.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪(1)規(guī)定：正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是(a>0，m，n∈N*，且n>1)；正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是(a>0，m，n∈N*，且n>1)；(2)冪指數(shù)運(yùn)算法則（1）；（2）（3）；（4）；（5）；注意：的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于，的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒(méi)有意義。3.對(duì)數(shù)的概念如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作x＝logaN，其中a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù).4.對(duì)數(shù)與指數(shù)的天然聯(lián)系：當(dāng)時(shí)（稱為對(duì)數(shù)恒等式）注意：零和負(fù)數(shù)沒(méi)有對(duì)數(shù)5.對(duì)數(shù)運(yùn)算法則如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么（1）；（2）；（3）；（4）換底公式：；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）常用對(duì)數(shù)：以為底的對(duì)數(shù)簡(jiǎn)記為；（12）自然對(duì)數(shù)：以為底的對(duì)數(shù)簡(jiǎn)記為?；A(chǔ)自測(cè)：一選擇題1．的值是 （）A． B．1 C． D．22.=（） A．B．C． D．3.（）ABCD4．(log29)·(log34)等于()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,2)C．2D．45．設(shè)2x＝8y＋1,9y＝3x－9，則x＋y的值為()A．18B．21C．24D．276.計(jì)算,結(jié)果是（）A.1B.C.D.7.已知，，則（）。A.B.C.D.8.設(shè)a>0，將eq\f(a2,\r(a·\r(3,a2)))表示成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，其結(jié)果是()A.aeq\f(1,2) B.aeq\f(5,6) C.aeq\f(7,6) D.aeq\f(3,2)9．【2022年浙江】已知，則（

）A．25 B．5 C． D．二、填空題(每小題4分，總計(jì)16分)10．(2015·安徽)lgeq\f(5,2)＋2lg2－＝.11.化簡(jiǎn)＝________.12.計(jì)算：13.(2018·全國(guó)Ⅰ卷)已知函數(shù)f(x)＝log2(x2＋a).若f(3)＝1，則a＝________.14.(2019·成都七中檢測(cè))已知a>b>1，若logab＋logba＝eq\f(5,2)，ab＝ba，則a＝________，b＝________.指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)：知識(shí)梳理1.指數(shù)函數(shù)的概念：函數(shù)y＝ax(a>0且a≠1)叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)x是自變量，函數(shù)的定義域是R，a是底數(shù).2.對(duì)數(shù)函數(shù)的概念：函數(shù)y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是(0，＋∞).3.指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)指數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)圖像a>10<a<1a>10<a<1定義域R(0，＋∞)值域(0，＋∞)R性質(zhì)（1）過(guò)定點(diǎn)；（2）時(shí)，函數(shù)為上的增函數(shù)；時(shí)，；時(shí)，；（3）時(shí)，函數(shù)為上的減函數(shù)；時(shí)，；時(shí)，。（1）過(guò)定點(diǎn)；（2）時(shí)，函數(shù)為上的增函數(shù)；時(shí)，；時(shí)，；（3）時(shí)，函數(shù)為上的減函數(shù)；時(shí)，；時(shí)，；注意：1.畫(huà)指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)的圖象，應(yīng)抓住三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：(1，a)，(0，1)，.2.在第一象限內(nèi)，指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0且a≠1)的圖象越高，底數(shù)越大.3.對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)的圖象過(guò)定點(diǎn)(1，0)，且過(guò)點(diǎn)(a，1)，，函數(shù)圖象只在第一、四象限.基礎(chǔ)自測(cè)一選擇題1.已知a＝，b＝，c＝，則()A.a>b>c B.a>c>bC.c>b>a D.c>a>b2.下列結(jié)論錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)為（）(1)eq\r(4,（－4）4)＝－4.(2)(－1)eq\f(2,4)＝(－1)eq\f(1,2)＝eq\r(－1).(3)函數(shù)y＝2x－1是指數(shù)函數(shù).(4)函數(shù)y＝ax2＋1(a>1)的值域是(0，＋∞).A.1 B.2 C.3 D.43.(2017·北京卷)已知函數(shù)f(x)＝3x－，則f(x)()A.是偶函數(shù)，且在R上是增函數(shù)B.是奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù)C.是偶函數(shù)，且在R上是減函數(shù)D.是奇函數(shù)，且在R上是減函數(shù)4.(2019·衡水中學(xué)檢測(cè))不論a為何值，函數(shù)y＝(a－1)2x－eq\f(a,2)恒過(guò)定點(diǎn)，則這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)是()A. B.C. D.5已知函數(shù)f(x)＝ax＋logax(a>0，且a≠1)在[1，2]上的最大值與最小值之和為loga2＋6，則a的值為()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,4) C.2 D.46.函數(shù)若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（） A．（-1，0）∪（0，1） B．（-∞，-1）∪（1，+∞） C．（-1，0）∪（1，+∞） D．（-∞，-1）∪（0，1）7.設(shè)x>0，且1<bx<ax，則()A.0<b<a<1 B.0<a<b<1C.1<b<a D.1<a<b8.若函數(shù)f(x)＝a|2x－4|(a>0，且a≠1)，滿足f(1)＝eq\f(1,9)，則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是()A.(－∞，2] B.[2，＋∞)C.[－2，＋∞) D.(－∞，－2]二填空題9．若正數(shù)a，b滿足2＋log2a＝3＋log3b＝log6(a＋b)，則eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的值為_(kāi)_______．10.設(shè)，函數(shù)有最大值，則不等式的解集為.11.函數(shù)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)A,若點(diǎn)A在直線上，其中，則的最小值為.12．[2015·山東高考]已知函數(shù)f(x)＝ax＋b(a>0，a≠1)的定義域和值域都是[－1,0]，則a＋b＝________.13.已知函數(shù)的值域是[－8,1]，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(－∞，－3] B．[－3,0)C．[－3，－1] D．{－3}反函數(shù)和冪函數(shù)1.指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)與對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線y＝x對(duì)稱.例1．若函數(shù)f(x)與g(x)=的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，則f(4－x2)的單調(diào)遞增區(qū)間是___________.例2．已知函數(shù)f(x)＝πx和函數(shù)g(x)＝sin4x，若f(x)的反函數(shù)為h(x)，則h(x)與g(x)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為A．1 B．2C．3 D．0例3.（2012·新課標(biāo)全國(guó)高考理科·T12）設(shè)點(diǎn)P在曲線y=上，點(diǎn) Q在曲線y=ln(2x)上，則|PQ|的最小值為（）(A)1-ln2(B)(C)1+ln2(D)2.冪函數(shù)（1）冪函數(shù)的定義：函數(shù)叫做冪函數(shù)。（2）熟悉函數(shù)的圖像和性質(zhì)（3）冪函數(shù)的性質(zhì)當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)有如下性質(zhì)：①圖像都過(guò)點(diǎn)；②在第一象限內(nèi)，函數(shù)值隨的增大而增大。即函數(shù)在上為增函數(shù)。③在第一象限內(nèi)，時(shí)，圖像是向下凸的；時(shí)，圖像是向上凸的。當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)有如下性質(zhì)：①圖像都過(guò)點(diǎn)；②在第一象限內(nèi)，函數(shù)值隨的增大而減小。即函數(shù)在上為減函數(shù)。圖像是向下凸的。了解時(shí)冪函數(shù)的圖像當(dāng)時(shí)，的圖像是直線；當(dāng)時(shí)，的圖像是直線（不包括點(diǎn)）；基礎(chǔ)自測(cè)一選擇題1.當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)為減函數(shù)，則實(shí)數(shù) （）A．m=2 B．m=-1 C．m=2或m=-1 D．2．冪函數(shù)(a∈Z)為偶函數(shù)，且f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上是減函數(shù)，則a等于()A．3B．4C．5D．63.若則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A. B.C．(－1,2) D.4.冪函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(4,2)，若0<a<b<1，則下列各式正確的是()A．f(a)<f(b)<f(eq\f(1,a))<f(eq\f(1,b))B．f(eq\f(1,a))<f(eq\f(1,b))<f(b)<f(a)C．f(a)<f(b)<f(eq\f(1,b))<f(eq\f(1,a)) D．f(eq\f(1,a))<f(a)<f(eq\f(1,b))<f(b)5．冪函數(shù)(m∈Z)的圖象如圖所示，則m的值為()A．0B．1C．2D．36.冪函數(shù)y＝f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(4，2)，則冪函數(shù)y＝f(x)的大致圖象是()7.若，則a，b，c的大小關(guān)系是()A.a<b<c B.c<a<bC.b<c<a D.b<a<c8.已知點(diǎn)在冪函數(shù)f(x)＝(a－1)xb的圖象上，則函數(shù)f(x)是()A.奇函數(shù)B.偶函數(shù)C.定義域內(nèi)的減函數(shù)D.定義域內(nèi)的增函數(shù)9.下列命題正確的是()A.y＝x0的圖象是一條直線B.冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0，0)，(1，1)C.若冪函數(shù)y＝xα是奇函數(shù)，則y＝xα是增函數(shù)D.冪函數(shù)的圖象不可能出現(xiàn)在第四象限10.已知p：|m＋1|<1，q：冪函數(shù)y＝(m2－m－1)xm在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，則p是q的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件二填空題11．已知冪函數(shù)y＝f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)，則此函數(shù)的解析式為_(kāi)_______；在區(qū)間________上遞減．12．當(dāng)0<x<1時(shí)，函數(shù)f(x)＝x1.1，g(x)＝x0.9，h(x)＝x－2的大小關(guān)系是________________．13．已知冪函數(shù)，若f(a＋1)<f(10－2a)，則a的取值范圍為_(kāi)_______．指數(shù)和對(duì)數(shù)運(yùn)算法則：知識(shí)梳理1.根式(1)概念：式子叫做根式，其中n叫做根指數(shù)，a叫做被開(kāi)方數(shù).(2)性質(zhì)：＝a(a使有意義)；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，＝a，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，＝|a|＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a<0.))2.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪(1)規(guī)定：正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是(a>0，m，n∈N*，且n>1)；正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是(a>0，m，n∈N*，且n>1)；(2)冪指數(shù)運(yùn)算法則（1）；（2）（3）；（4）；（5）；注意：的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于，的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒(méi)有意義。3.對(duì)數(shù)的概念如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作x＝logaN，其中a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù).4.對(duì)數(shù)與指數(shù)的天然聯(lián)系：當(dāng)時(shí)（稱為對(duì)數(shù)恒等式）注意：零和負(fù)數(shù)沒(méi)有對(duì)數(shù)5.對(duì)數(shù)運(yùn)算法則如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么（1）；（2）；（3）；（4）換底公式：；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）常用對(duì)數(shù)：以為底的對(duì)數(shù)簡(jiǎn)記為；（12）自然對(duì)數(shù)：以為底的對(duì)數(shù)簡(jiǎn)記為?；A(chǔ)自測(cè)：一選擇題1．的值是 （）A． B．1 C． D．2答案A2.=（） A．B．C． D．答案B3.（）ABCD答案C4．(教材改編)(log29)·(log34)等于()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,2)C．2D．4答案D解析(log29)·(log34)＝2log23·2log32＝4.5．(2016·昆明模擬)設(shè)2x＝8y＋1,9y＝3x－9，則x＋y的值為()A．18B．21C．24D．27答案D解析∵2x＝8y＋1＝23(y＋1)，∴x＝3y＋3，∵9y＝3x－9＝32y，∴x－9＝2y，解得x＝21，y＝6，∴x＋y＝27.6.計(jì)算,結(jié)果是（）A.1B.C.D.答案B7.已知，，則（）。A.B.C.D.答案A8.(2018·晉中八校一模)設(shè)a>0，將eq\f(a2,\r(a·\r(3,a2)))表示成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，其結(jié)果是()A.aeq\f(1,2) B.aeq\f(5,6) C.aeq\f(7,6) D.aeq\f(3,2)答案C解析由題意得eq\f(a2,\r(a·\r(3,a2)))＝a2－eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＝aeq\f(7,6).9．【2022年浙江】已知，則（

）A．25 B．5 C． D．答案：C解析：因?yàn)?，，即，所以．故選：C.二、填空題(每小題4分，總計(jì)16分)10．(2015·安徽)lgeq\f(5,2)＋2lg2－＝.答案－1解析lgeq\f(5,2)＋2lg2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－1＝lgeq\f(5,2)＋lg22－2＝lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)×4))－2＝1－2＝－1.11.化簡(jiǎn)＝________.答案eq\f(8,5)解析原式＝12.計(jì)算：答案13.(2018·全國(guó)Ⅰ卷)已知函數(shù)f(x)＝log2(x2＋a).若f(3)＝1，則a＝________.答案－7解析由f(3)＝1得log2(32＋a)＝1，所以9＋a＝2，解得a＝－7.14.(2019·成都七中檢測(cè))已知a>b>1，若logab＋logba＝eq\f(5,2)，ab＝ba，則a＝________，b＝________.答案：4,2解析：設(shè)logba＝t，則t>1，因?yàn)閠＋eq\f(1,t)＝eq\f(5,2)，所以t＝2，則a＝b2.又ab＝ba，所以b2b＝bb2，即2b＝b2，又a>b>1，解得b＝2，a＝4.指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)：知識(shí)梳理1.指數(shù)函數(shù)的概念：函數(shù)y＝ax(a>0且a≠1)叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)x是自變量，函數(shù)的定義域是R，a是底數(shù).2.對(duì)數(shù)函數(shù)的概念：函數(shù)y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是(0，＋∞).3.指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)指數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)圖像a>10<a<1a>10<a<1定義域R(0，＋∞)值域(0，＋∞)R性質(zhì)（1）過(guò)定點(diǎn)；（2）時(shí)，函數(shù)為上的增函數(shù)；時(shí)，；時(shí)，；（3）時(shí)，函數(shù)為上的減函數(shù)；時(shí)，；時(shí)，。（1）過(guò)定點(diǎn)；（2）時(shí)，函數(shù)為上的增函數(shù)；時(shí)，；時(shí)，；（3）時(shí)，函數(shù)為上的減函數(shù)；時(shí)，；時(shí)，；注意：1.畫(huà)指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)的圖象，應(yīng)抓住三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：(1，a)，(0，1)，.2.在第一象限內(nèi)，指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0且a≠1)的圖象越高，底數(shù)越大.3.對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)的圖象過(guò)定點(diǎn)(1，0)，且過(guò)點(diǎn)(a，1)，，函數(shù)圖象只在第一、四象限.基礎(chǔ)自測(cè)一選擇題1.(必修1P73T3改編)已知a＝，b＝，c＝，則()A.a>b>c B.a>c>bC.c>b>a D.c>a>b答案D解析∵0<a<1，b<0，c＝logeq\f(1,2)eq\f(1,3)＝log23>1.∴c>a>b.2.下列結(jié)論錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)為（）(1)eq\r(4,（－4）4)＝－4.(2)(－1)eq\f(2,4)＝(－1)eq\f(1,2)＝eq\r(－1).(3)函數(shù)y＝2x－1是指數(shù)函數(shù).(4)函數(shù)y＝ax2＋1(a>1)的值域是(0，＋∞).A.1 B.2 C.3 D.4答案：D解析(1)由于eq\r(4,（－4）4)＝eq\r(4,44)＝4，故(1)錯(cuò).(2)(－1)eq\s\up6(\f(2,4))＝eq\r(4,（－4）4)＝1，故(2)錯(cuò).(3)由于指數(shù)函數(shù)解析式為y＝ax(a＞0，且a≠1)，故y＝2x－1不是指數(shù)函數(shù)，故(3)錯(cuò).(4)由于x2＋1≥1，又a＞1，∴ax2＋1≥a.故y＝ax2＋1(a＞1)的值域是[a，＋∞)，(4)錯(cuò).3.(2017·北京卷)已知函數(shù)f(x)＝3x－，則f(x)()A.是偶函數(shù)，且在R上是增函數(shù)B.是奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù)C.是偶函數(shù)，且在R上是減函數(shù)D.是奇函數(shù)，且在R上是減函數(shù)答案B解析函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，f(－x)＝3－x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(－x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(x)－3x＝－f(x)，∴函數(shù)f(x)是奇函數(shù).又y＝3x在R上是增函數(shù)，函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(x)在R上是減函數(shù)，∴函數(shù)f(x)＝3x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(x)在R上是增函數(shù).4.(2019·衡水中學(xué)檢測(cè))不論a為何值，函數(shù)y＝(a－1)2x－eq\f(a,2)恒過(guò)定點(diǎn)，則這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)是()A. B.C. D.答案：C解析：y＝(a－1)2x－eq\f(a,2)＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,2)))－2x，令2x－eq\f(1,2)＝0，得x＝－1，故函數(shù)y＝(a－1)2x－eq\f(a,2)恒過(guò)定點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(1,2))).5已知函數(shù)f(x)＝ax＋logax(a>0，且a≠1)在[1，2]上的最大值與最小值之和為loga2＋6，則a的值為()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,4) C.2 D.4答案：2解析;f(x)＝ax＋logax在[1，2]上是單調(diào)函數(shù)，所以f(1)＋f(2)＝loga2＋6，則a＋loga1＋a2＋loga2＝loga2＋6，即(a－2)(a＋3)＝0，又a>0，所以a＝2.6.函數(shù)若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（） A．（-1，0）∪（0，1） B．（-∞，-1）∪（1，+∞） C．（-1，0）∪（1，+∞） D．（-∞，-1）∪（0，1）7.設(shè)x>0，且1<bx<ax，則()A.0<b<a<1 B.0<a<b<1C.1<b<a D.1<a<b答案C解析∵x>0時(shí)，1<bx，∴b>1.又x>0時(shí)，bx<ax，∴x>0時(shí)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))eq\s\up12(x)>1.∴eq\f(a,b)>1，∴a>b，∴1<b<a.8.若函數(shù)f(x)＝a|2x－4|(a>0，且a≠1)，滿足f(1)＝eq\f(1,9)，則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是()A.(－∞，2] B.[2，＋∞)C.[－2，＋∞) D.(－∞，－2]答案B解析由f(1)＝eq\f(1,9)，得a2＝eq\f(1,9)，解得a＝eq\f(1,3)或a＝－eq\f(1,3)(舍去)，即f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(|2x－4|).由于y＝|2x－4|在(－∞，2]上單調(diào)遞減，在[2，＋∞)上單調(diào)遞增，所以f(x)在(－∞，2]上單調(diào)遞增，在[2，＋∞)上單調(diào)遞減.二填空題9．若正數(shù)a，b滿足2＋log2a＝3＋log3b＝log6(a＋b)，則eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的值為_(kāi)_______．答案108解析設(shè)2＋log2a＝3＋log3b＝log6(a＋b)＝k，可得a＝2k－2，b＝3k－3，a＋b＝6k，所以eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(a＋b,ab)＝eq\f(6k,2k－23k－3)＝108.所以應(yīng)填108.10.設(shè)，函數(shù)有最大值，則不等式的解集為.11.函數(shù)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)A,若點(diǎn)A在直線上，其中，則的最小值為8.12．[2015·山東高考]已知函數(shù)f(x)＝ax＋b(a>0，a≠1)的定義域和值域都是[－1,0]，則a＋b＝________.答案－eq\f(3,2)解析①當(dāng)0<a<1時(shí)，函數(shù)f(x)在[－1,0]上單調(diào)遞減，由題意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f－1＝0,f0＝－1))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－1＋b＝0,a0＋b＝－1))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,2),b＝－2))，此時(shí)a＋b＝－eq\f(3,2).②當(dāng)a>1時(shí)，函數(shù)f(x)在[－1,0]上單調(diào)遞增，由題意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f－1＝－1,f0＝0))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－1＋b＝－1,a0＋b＝0))，顯然無(wú)解．所以a＋b＝－eq\f(3,2).13.已知函數(shù)的值域是[－8,1]，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(－∞，－3] B．[－3,0)C．[－3，－1] D．{－3}答案：B解析(1)當(dāng)0≤x≤4時(shí)，f(x)∈[－8,1]，當(dāng)a≤x＜0時(shí)，f(x)∈[－(eq\f(1,2))a，－1)，所以[－eq\f(1,2a)，－1)[－8,1]，即－8≤－eq\f(1,2a)＜－1，即－3≤a＜0，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是[－3,0)．反函數(shù)和冪函數(shù)1.指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)與對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線y＝x對(duì)稱.例題分析例1．若函數(shù)f(x)與g(x)=的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，則f(4－x2)的單調(diào)遞增區(qū)間是___________.例2．[2015·陜西質(zhì)檢(一)]已知函數(shù)f(x)＝πx和函數(shù)g(x)＝sin4x，若f(x)的反函數(shù)為h(x)，則h(x)與g(x)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A．1 B．2C．3 D．0答案C解析∵f(x)＝πx，∴h(x)＝logπx，作出h(x)，g(x)的圖象可知有3個(gè)交點(diǎn)，故選C例3.（2012·新課標(biāo)全國(guó)高考理科·T12）設(shè)點(diǎn)P在曲線y=上，點(diǎn) Q在曲線y=ln(2x)上，則|PQ|的最小值為（）(A)1-ln2(B)(C)1+ln2(D)【解題指南】注意到與互為反函數(shù)，圖象關(guān)于直線對(duì)稱，兩曲線上點(diǎn)之間的最小距離就是與最小距離的2倍，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解.答案：B【解析】由題意知函數(shù)與互為反函數(shù)，其圖象關(guān)于直線對(duì)稱，兩曲線上點(diǎn)之間的最小距離就是與最小距離的2倍，設(shè)上點(diǎn)處的切線與平行，有，，兩曲線上點(diǎn)之間的最小距離就是與的最小距離是，所求距離為.2.冪函數(shù)（1）冪函數(shù)的定義：函數(shù)叫做冪函數(shù)。（2）熟悉函數(shù)的圖像和性質(zhì)（3）冪函數(shù)的性質(zhì)當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)有如下性質(zhì)：①圖像都過(guò)點(diǎn)；②在第一象限內(nèi)，函數(shù)值隨的增大而增大。即函數(shù)在上為增函數(shù)。③在第一象限內(nèi)，時(shí)，圖像是向下凸的；時(shí)，圖像是向上凸的。當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)有如下性質(zhì)：①圖像都過(guò)點(diǎn)；②在第一象限內(nèi)，函數(shù)值隨的增大而減小。即函數(shù)在上為減函數(shù)。圖像是向下凸的。了解時(shí)冪函數(shù)的圖像當(dāng)時(shí)，的圖像是直線；當(dāng)時(shí)，的圖像是直線（不包括點(diǎn)）；基礎(chǔ)自測(cè)一選擇題1.當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)為減函數(shù)，則實(shí)數(shù) （）A．m=2 B．m=-1 C．m=2或m=-1 D．答案：A2．冪函數(shù)(a∈Z)為偶函數(shù)，且f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上是減函數(shù)，則a等于()A．3B．4C．5D．6答案C解析因?yàn)閍2－10a＋23＝(a－5)2－2，(a∈Z)為偶函數(shù)，且在區(qū)間(0，＋∞)上是減函數(shù)，所以(a－5)2－2<0，從而a＝4,5,6，又(a－5)2－2為偶數(shù)，所以只能是a＝5，故選C.3.若則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A. B.C．(－1,2) D.答案：D解析因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)閇0，＋∞)且在定義域內(nèi)為增函數(shù)，所以不等式等價(jià)于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m＋1≥0，,m2＋m－1≥0，,2m＋1>m2＋m－1，))解2m＋1≥0，得m≥－eq\f(1,2)；解m2＋m－1≥0，得m≤eq\f(－\r(5)－1,2)或m≥eq\f(\r(5)－1,2)；解2m＋1>m2＋m－1，得－1<m<2，綜上所述，m的取值范圍是eq\f(\r(5)－1,2)≤m<2.4.(2016·昆明模擬)冪函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(4,2)，若0<a<b<1，則下列各式正確的是()A．f(a)<f(b)<f(eq\f(1,a))<f(eq\f(1,b))B．f(eq\f(1,a))<f(eq\f(1,b))<f(b)<f(a)C．f(a)<f(b)<f(eq\f(1,b))<f(eq\f(1,a)) D．f(eq\f(1,a))<f(a)<f(eq\f(1,b))<f(b)答案C解析設(shè)冪函數(shù)為f(x)＝xα，將(4,2)代入得α＝eq\f(1,2)，所以該函數(shù)在(0，＋∞)上為增函數(shù)，又0<a<b<1，所以eq\f(1,a)>eq\f(1,b)>1，即a<b<eq\f(1,b)<eq\f(1,a)，所以f(a)<f(b)<f(eq\f(1,b))<f(eq\f(1,a))．5．冪函數(shù)(m∈Z)的圖象如圖所示，則m的值為()A．0B．1C．2D．3答案C解析∵(m∈Z)的圖象與坐標(biāo)軸沒(méi)有交點(diǎn)，∴m2－4m<0，即0<m<4.又∵函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱且m∈Z，∴m2－4m為偶數(shù)，因此m＝2.6.冪函數(shù)y＝f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(4，2)，則冪函數(shù)y＝f(x)的大致圖象是()答案：C解析：設(shè)冪函數(shù)的解析式為y＝xα，因?yàn)閮绾瘮?shù)y＝f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(4，2)，所以2＝4α，解得α＝eq\f(1,2).所以y＝eq\r(x)，其定義域?yàn)閇0，＋∞)，且是增函數(shù)，當(dāng)0<x<1時(shí)，其圖象在直線y＝x的上方，對(duì)照選項(xiàng)，C正確.7.若，則a，b，c的大小關(guān)系是()A.a<b<c B.c<a<bC.b<c<a