解析臺(tái)灣小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)(呂玉英、唐彩斌)

解析臺(tái)灣小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)——訪臺(tái)灣教學(xué)改革專家呂玉英

專家簡介：呂玉英。華東師范大學(xué)在讀博士，臺(tái)灣教科書審查委員，臺(tái)北市芝山國小教學(xué)主任。歷任訓(xùn)導(dǎo)主任、教務(wù)主任、總務(wù)主任及輔導(dǎo)主任。參與“臺(tái)北市數(shù)學(xué)科輔導(dǎo)團(tuán)”“數(shù)學(xué)課程綱要與暫綱研討會(huì)”等“國小”數(shù)學(xué)研究團(tuán)體，榮獲“‘國小’數(shù)學(xué)組教師師鐸獎(jiǎng)”與“臺(tái)北市立師范學(xué)院校友學(xué)術(shù)杰出獎(jiǎng)”。

唐彩斌：您在小學(xué)一線做〝教學(xué)主任〞多年，想請(qǐng)您先談?wù)勑W(xué)教學(xué)在臺(tái)灣的一些一般狀況。臺(tái)灣的小學(xué)數(shù)學(xué)課時(shí)設(shè)置狀況怎樣呂玉英：臺(tái)灣的小學(xué)數(shù)學(xué)課時(shí)設(shè)置依照〝國民中小學(xué)九年一貫課程綱要〞規(guī)定：數(shù)學(xué)占學(xué)習(xí)節(jié)數(shù)之10％～15％。經(jīng)計(jì)算得知：一二（低）年級(jí)約兩節(jié)；三四（中）年級(jí)約3～4節(jié)；五六（高）年級(jí)約3～4節(jié)。因此各出版社的數(shù)學(xué)教科書依據(jù)此時(shí)數(shù)與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)領(lǐng)域課程綱要，設(shè)計(jì)每一冊(cè)的教學(xué)單元。然而，實(shí)際執(zhí)行層面遇到教與學(xué)的困難，教師常感覺教學(xué)時(shí)間不足，教材很多；同時(shí)，學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)間太少、練習(xí)不足。所以在真實(shí)的數(shù)學(xué)課室中，低年級(jí)老師數(shù)學(xué)教學(xué)時(shí)數(shù)大約2～4節(jié)；中年級(jí)大約4～5節(jié)；高年級(jí)往往每天都有一節(jié)到兩節(jié)的數(shù)學(xué)課約6～8節(jié)。由此可知，臺(tái)灣的小學(xué)數(shù)學(xué)課時(shí)，實(shí)際上多于課程綱要規(guī)定，相對(duì)的也影響其它領(lǐng)域的學(xué)習(xí)時(shí)數(shù)。這是學(xué)校、家長及眾所皆知之事。

唐彩斌：臺(tái)灣的數(shù)學(xué)教師工作量如何不知相比大陸的小學(xué)數(shù)學(xué)教師，工作量會(huì)顯得輕還是重呂玉英：臺(tái)灣的小學(xué)數(shù)學(xué)教師并非專任，它屬于導(dǎo)師的教學(xué)課程之一。通常一位導(dǎo)師授課情形如下：教學(xué)科目包括國語、數(shù)學(xué)以及其它領(lǐng)域（如：低年級(jí)：生活課程、綜合活動(dòng)與彈性課程；中、高年級(jí)：綜合活動(dòng)與彈性課程……等。）平均一位導(dǎo)師授課每周19節(jié)，再加上晨間與午間的時(shí)段，總計(jì)一周21節(jié)課。因此，一位導(dǎo)師的備課不只是國語、數(shù)學(xué)，還要全年級(jí)老師集體討論整學(xué)年的綜合活動(dòng)與校本課程（彈性課程），所以老師的工作量在質(zhì)與量上均相當(dāng)?shù)某林亍?/p>

唐彩斌：據(jù)我所知，臺(tái)灣也有不同版本的教科書，誰擁有選擇教科書的權(quán)力通常是怎樣組織選擇的呂玉英：從教科書使用者的觀點(diǎn)看，誰需要教科書呢當(dāng)然是學(xué)生最需要以及教學(xué)者。然而在小學(xué)階段的學(xué)生對(duì)其所要學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)材料，沒有辨識(shí)的能力，因此由擁有學(xué)生監(jiān)護(hù)權(quán)的家長參與選取。但是家長人數(shù)眾多，所以各學(xué)年推派3～4位家長參與選擇。學(xué)校在組織上成立〝教科書評(píng)審委員〞，其中成員包括：該年級(jí)所有教授該科的老師以及家長代表，以任務(wù)編組之方式成立之。在正式選書前一個(gè)月，教師和家長們都各自先預(yù)覽各家出版之教科書，進(jìn)行討論與意見交換。當(dāng)教務(wù)處訂好選書的日期與時(shí)間〈大都是周三下午〉，這時(shí)全校的選書委員會(huì)在公開的大場所，正式展開書評(píng)。每個(gè)委員均可暢所欲言，提出各種意見〈當(dāng)然與學(xué)生學(xué)習(xí)和老師教學(xué)為主〉。然后以舉手或投票的方式，決定第一優(yōu)先選取的教科書，其次是第二、第三優(yōu)選，其余則淘汰之。為何選取三種版本呢是擔(dān)心第一優(yōu)選的出版社發(fā)生意外，而無法供應(yīng)時(shí)，則往下選取之。接著教務(wù)處拿到所有教科書選用名單后，則請(qǐng)總務(wù)處與書商進(jìn)行簽約儀式。在簽約的過程中，可以備注相關(guān)事項(xiàng)。舉例：家境清寒子弟的書費(fèi)免收、弱視學(xué)生的課本與習(xí)作放大到對(duì)該生適合的尺寸、教具學(xué)具的提供以及參考書、網(wǎng)站、VCD等等的資源服務(wù)。各校均依其需求載明于合約中并有罰則規(guī)范之。

唐彩斌：臺(tái)灣數(shù)學(xué)教師通常是怎樣備課的有數(shù)學(xué)參考書嗎有可供選擇的資源嗎呂玉英：有關(guān)小學(xué)數(shù)學(xué)老師備課的重要性，可從政策面觀察到。首先行政機(jī)關(guān)要求教師于寒暑假一定要返校進(jìn)行全體備課和各學(xué)年團(tuán)體備課。這和以前大不同，以前學(xué)校寒暑假時(shí)間，老師不必返校備課。同時(shí)，行政機(jī)關(guān)為了了解教師備課情形，因此要求每學(xué)期每個(gè)學(xué)年提出教學(xué)計(jì)劃綱要及其實(shí)施的具體內(nèi)容，并于開學(xué)前提交教務(wù)處并呈地方教育機(jī)關(guān)備查。其中數(shù)據(jù)的格式、內(nèi)容活動(dòng)方式等琳瑯滿目、各式各樣。緊接著于開學(xué)后第二周前，要完成舉辦〝學(xué)校日〞活動(dòng)。其目的是讓家長了解校長和學(xué)校行政經(jīng)營的方向與內(nèi)容；更重要的是，教師向家長報(bào)告本學(xué)期的教學(xué)目標(biāo)、課程內(nèi)容、活動(dòng)情形以及協(xié)商家長配合與支持事宜。除了寒暑假的備課外，學(xué)校安排兩個(gè)時(shí)段是教師集體備課。一個(gè)時(shí)段是在周三下午教師進(jìn)修，學(xué)校依教師或?qū)W校的發(fā)展之需求，聘請(qǐng)校外專家、學(xué)者或現(xiàn)場教學(xué)的教師演講或?qū)嵶?；另一個(gè)時(shí)段是由各學(xué)年老師共同訂出備課時(shí)段，通常教務(wù)處依該學(xué)年提出時(shí)段，于排課時(shí)空出該時(shí)段。教師群在此時(shí)段彼此討論教學(xué)進(jìn)度、內(nèi)容、學(xué)生學(xué)習(xí)情形和評(píng)量事宜等等，這種討論內(nèi)容是繞著該年級(jí)的學(xué)習(xí)內(nèi)容討論，比較是水平面向的備課。另一種備課，是每位教師都必須選擇一個(gè)領(lǐng)域做為專業(yè)發(fā)展。例如：數(shù)學(xué)領(lǐng)域，從一到六年級(jí)各有一位老師選擇參加。他們常討論的內(nèi)容是數(shù)學(xué)內(nèi)容縱向銜接以及數(shù)學(xué)的種種問題和每一年級(jí)學(xué)生學(xué)習(xí)、評(píng)量等等的各種現(xiàn)象。這種備課的次數(shù)，通常一學(xué)期兩次。常常匆忙參加，大家對(duì)話完后，便帶著會(huì)議中的問題或意見匆匆忙忙地離開并將其轉(zhuǎn)述給該學(xué)年老師。而這種領(lǐng)域會(huì)議的討論，由于次數(shù)太少、時(shí)間過短（一次三小時(shí)），因此會(huì)議中的問題或困難往往沒有解決，所以這種形式上的會(huì)議并沒有提供教師實(shí)質(zhì)上的助益。有關(guān)教師個(gè)人的備課，這部份和教師個(gè)人興趣與其生涯規(guī)劃有關(guān)。有些教師還很年輕，要教學(xué)的時(shí)間還很長，這時(shí)這位老師會(huì)主動(dòng)地尋找各種管道。例如：教師研習(xí)中心、其它學(xué)校辦理的數(shù)學(xué)研討會(huì)、數(shù)學(xué)領(lǐng)域輔導(dǎo)團(tuán)、網(wǎng)絡(luò)等等資源。來充實(shí)自己的教學(xué)能力；也有些老師滿足現(xiàn)狀且封閉自己的教室，較少和同儕討論。最后，則有關(guān)學(xué)校校本課程發(fā)展部分。若校長和老師皆有共識(shí)要加強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，則會(huì)整體進(jìn)行一系列的數(shù)學(xué)課程與教學(xué)之發(fā)展。這時(shí)學(xué)校會(huì)以行動(dòng)研究的方式，聘請(qǐng)校外專家學(xué)者和學(xué)校教師共同進(jìn)行課程教學(xué)、學(xué)生學(xué)習(xí)以及評(píng)量的探究，以便發(fā)展學(xué)校的數(shù)學(xué)特色課程。綜上所述，有關(guān)臺(tái)灣數(shù)學(xué)教師的備課情形，呈現(xiàn)點(diǎn)狀而且零散的狀況，沒有專責(zé)機(jī)構(gòu)或系統(tǒng)的課程來幫助老師進(jìn)行有效能的備課。至于，數(shù)學(xué)教學(xué)參考書，在每一個(gè)出版社均提供教師指引。讓教師了解數(shù)學(xué)教學(xué)和學(xué)生學(xué)習(xí)的目標(biāo)以及數(shù)學(xué)活動(dòng)的參考范例。有關(guān)數(shù)學(xué)的教學(xué)資源部分，各校均會(huì)全力支持老師和學(xué)生之需求，教師不僅可以選擇，更可以提出各項(xiàng)要求。唐彩斌：你覺得在臺(tái)灣小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，比較集中在關(guān)注的是哪些研究課題能否舉一些相應(yīng)的觀點(diǎn)。呂玉英：目前臺(tái)灣小學(xué)數(shù)學(xué)相關(guān)的研究課題是較分散的﹙scatlered﹚，而且不見得反應(yīng)基層教師現(xiàn)場的教與學(xué)。以下有四個(gè)方面，是目前臺(tái)灣小學(xué)數(shù)學(xué)正在進(jìn)行，且交互影響的課題：（1）政府的政策；（2）社會(huì)問題沖擊教師的專業(yè)程度；（3）國小數(shù)學(xué)教師專業(yè)發(fā)展；（4）學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)多元化。唐彩斌：政府的政策怎么理解呂玉英：政府教育機(jī)構(gòu)重視教師教學(xué)與學(xué)生學(xué)習(xí)，一般采取三種策略相互呼應(yīng)。第一，進(jìn)行小四、小五或小六的數(shù)學(xué)普測。這種普測試由地方縣市教育局委托各縣市輔導(dǎo)團(tuán)辦理。普測的結(jié)果不提供數(shù)學(xué)個(gè)人學(xué)力表現(xiàn)或是學(xué)校整體每題考得的情形，而是以三個(gè)項(xiàng)目來評(píng)比。包括程序性知識(shí)、概念性知識(shí)和解題應(yīng)用。所謂的評(píng)比，是與平均值之相對(duì)關(guān)系描述其正負(fù)百分?jǐn)?shù)，同時(shí)各校普測的結(jié)果不做比較，每個(gè)學(xué)校只知道自己學(xué)校的表現(xiàn)。看起來沒有進(jìn)行學(xué)校的評(píng)比排序，但是各校校長、教務(wù)主任及受測年級(jí)的老師均深感壓力，因此在考前，學(xué)生大量的練習(xí)各式各樣的考題。這種普測是想了解學(xué)生普遍學(xué)習(xí)的狀況，是關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)的一項(xiàng)政策。第二，精進(jìn)教師教學(xué)并列入校務(wù)評(píng)鑒的重要項(xiàng)目。教育部期望教師教學(xué)專業(yè)，因此一方面在教務(wù)評(píng)鑒上明列“實(shí)地教室觀察教師教學(xué)”，另一方面提供各校精進(jìn)教師教學(xué)的經(jīng)費(fèi)，讓各校辦理教師專業(yè)成長的各項(xiàng)研究課題。

第三，教師輔導(dǎo)系統(tǒng)發(fā)展。采用師徒制，讓有專業(yè)的老師透過專門輔導(dǎo)課程，一方面自己成為研究者，一方面帶領(lǐng)學(xué)校里有需要成長的老師，共同形成小型行動(dòng)研究，進(jìn)行現(xiàn)場實(shí)務(wù)問題解決與探究。唐彩斌：第二方面是社會(huì)問題沖擊教師的專業(yè)程度，這個(gè)怎么理解呂玉英：目前臺(tái)灣社會(huì)人口蕭條和經(jīng)濟(jì)蕭條，沖擊教師職業(yè)。人口蕭條，老化、少子以及勞動(dòng)力減少等問題，逐年上升趨勢。在小學(xué)階段很明顯看到入學(xué)人口逐年驟減，造成各校減班，以及在職教師面臨裁撤，而有可能成為流浪教師的事實(shí)。而經(jīng)濟(jì)蕭條，造成一職難求，滿街都是大學(xué)畢業(yè)生，甚至碩士生也不希罕因此教師職業(yè)的穩(wěn)定性，是大家認(rèn)為較無風(fēng)險(xiǎn)的工作。受到社會(huì)問題的沖擊，教師專業(yè)成為重要的指標(biāo)，同時(shí)成為不可取代性，才能在這種艱困的時(shí)代保有這份工作，因此國小數(shù)學(xué)教師要成為專業(yè)者，是目前教師努力發(fā)展的課題。唐彩斌：第三個(gè)方面是教師專業(yè)發(fā)展，有怎樣的特點(diǎn)呂玉英：在臺(tái)灣，國語和數(shù)學(xué)，是每位小學(xué)班級(jí)導(dǎo)師必教的科目，但導(dǎo)師可能是語教系、數(shù)教系、科教系、初教系、社教系、音樂系、藝術(shù)系的畢業(yè)生，因此大部分的導(dǎo)師在學(xué)前的培育過程中，只修過兩門與數(shù)學(xué)教學(xué)相關(guān)的科目，即普通數(shù)學(xué)與中小學(xué)數(shù)學(xué)科教材教法，各2學(xué)分。由此可知，他們數(shù)學(xué)教學(xué)能力有很大的專業(yè)成長空間。數(shù)學(xué)教師的專業(yè)發(fā)展有幾個(gè)關(guān)注的面向：①數(shù)學(xué)教師對(duì)于國小數(shù)學(xué)教材的熟悉程度；②數(shù)學(xué)教師對(duì)學(xué)生如何學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的認(rèn)知發(fā)展的了解程度；③數(shù)學(xué)教師要自我察覺，在數(shù)學(xué)教學(xué)的歷程中，教師如何教和學(xué)生如何學(xué)，兩者間的相互影響；④教師對(duì)于學(xué)生學(xué)習(xí)評(píng)量的方式與內(nèi)容的掌握，并對(duì)評(píng)量結(jié)果的應(yīng)用。從以上四個(gè)面向可以知道①面向是數(shù)學(xué)教師成為專家的必要條件，②③④面向是充分條件。

基層的數(shù)學(xué)教師大多認(rèn)為①和④的面向是目前即需加強(qiáng)的部分，至于②③面向是數(shù)學(xué)教師較少接觸或思考的問題，這是數(shù)學(xué)教育整體提升面臨的問題。

唐彩斌：第四方面學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)生活多元化，是怎么樣多元呂玉英：學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)生活化活潑化多元化。以學(xué)生為主的數(shù)學(xué)教學(xué)是教育的核心，也是目標(biāo)。因此營造學(xué)生多樣化的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，以豐富學(xué)生的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)并且關(guān)照學(xué)生有意義的學(xué)習(xí)，是重要的課題。學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)除了課室學(xué)習(xí)外，帶領(lǐng)學(xué)生到校園進(jìn)行校園數(shù)學(xué)步道的生活數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)；到社區(qū)環(huán)境讓學(xué)生學(xué)習(xí)真實(shí)生活中的數(shù)學(xué)問題。學(xué)生數(shù)學(xué)課室學(xué)習(xí)內(nèi)容，透過具體情境結(jié)合學(xué)生生活經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生在生動(dòng)活潑的真實(shí)生活數(shù)學(xué)問題中，進(jìn)行解決問題的樂趣。

除以上兩種數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)外，最近推動(dòng)的“數(shù)學(xué)科普化”的文本閱讀學(xué)習(xí)，也就是透過非制式的數(shù)學(xué)繪本的閱讀與探究，提供學(xué)生另類數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。由于數(shù)學(xué)繪本內(nèi)容趣味化、生活化，以及繪本大多聚焦一類數(shù)學(xué)問題的探索，因此不僅讓學(xué)生容易學(xué)習(xí)，也樂于學(xué)?？傊壳芭_(tái)灣小學(xué)數(shù)學(xué)的研究課題是多面向、多樣化地交錯(cuò)發(fā)展中，不管是數(shù)學(xué)教育研究者或數(shù)學(xué)教師以及政府機(jī)關(guān)和學(xué)校行政，皆從各角度切入，進(jìn)行數(shù)學(xué)教育的探索與改革。最終的目標(biāo)是要學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)，老師教好數(shù)學(xué)，期望學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能具有解決問題的能力，以便在瞬息問變的環(huán)境中，不僅能適應(yīng)而且具有競爭力。唐彩斌：您自己也一直親歷課堂，請(qǐng)問您在課堂上最關(guān)注什么呂玉英：我熱愛從事小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，其中最令我關(guān)注的是─孩子是否進(jìn)行有意義的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能否達(dá)到此目的可以在下面幾個(gè)方面討論：1．?dāng)?shù)學(xué)課室布題，能否連結(jié)學(xué)生生活經(jīng)驗(yàn)和既有的數(shù)學(xué)知能，使得引入新的數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)時(shí)，學(xué)生能根據(jù)舊有經(jīng)驗(yàn)和知能，對(duì)要學(xué)習(xí)的新數(shù)學(xué)概念，在有感覺的狀況下進(jìn)行學(xué)習(xí)。2．問題解決時(shí)，學(xué)生能連結(jié)已學(xué)到的解題方法，或是自己能理解的方式解題〈或稱兒童法〉，這種解題可能是效率不高，但對(duì)兒童是有意義的，因?yàn)檫@是他本人可以說明的解法。3．在有意義的情況下，提升解題效率。學(xué)生多樣解題方法呈現(xiàn)后，開始對(duì)解題算式紀(jì)錄解讀，并對(duì)解決方法的異同與難易進(jìn)行討論、辯證、澄清，經(jīng)過這一番對(duì)話的歷程，最后形成解題方法的評(píng)價(jià)與歸納的共識(shí)。學(xué)生在有意義討論的過程中，除了會(huì)欣賞各種解題的想法與做法外，更提升有效解題的策略。4．自主學(xué)習(xí)、樂于學(xué)習(xí)，是學(xué)生進(jìn)行有意義的學(xué)習(xí)的關(guān)鍵。營造溫馨、安全、可信賴的環(huán)境，讓學(xué)生放心發(fā)表、勇于表現(xiàn)。學(xué)生適當(dāng)?shù)陌l(fā)展、關(guān)鍵性的提問，要給予清楚的肯定與鼓勵(lì)；學(xué)生不正確的答案與不放心的回答，則要適時(shí)介入幫助，甚至給予心理的安慰。學(xué)生只要在可獲得支持的學(xué)習(xí)環(huán)境中，慢慢地踏出學(xué)習(xí)的一歩，展開試探、摸索、學(xué)習(xí)思考，自然，學(xué)習(xí)對(duì)他而言是有意義的。唐彩斌：幾次聽您上課都特別投入，思路也和我們有所不同，比如:“解決問題”您就特別關(guān)注多種方法之間的聯(lián)系，還讓學(xué)生分類，是出于怎樣的考慮呂玉英：臺(tái)灣常有“考試領(lǐng)導(dǎo)教學(xué)”的說法，老師好意要將每種問題最有效的解法教給學(xué)生，使她們能在競爭激烈的升學(xué)考試中節(jié)省思考的時(shí)間。但學(xué)生如此拷貝〈copy〉別人的想法，并無法養(yǎng)出數(shù)學(xué)能力。每個(gè)人生而不同，所處環(huán)境和過去經(jīng)驗(yàn)等之相異，會(huì)使他們面對(duì)同一問題的刺激，產(chǎn)生不同的思維反應(yīng)〈例如：兒童法〉。我認(rèn)為做為他們老師的基本職責(zé)，是要就他們的每種反應(yīng)加以討論，成功者給予肯定，錯(cuò)誤者說出修正方案，不管想法多么幼稚、粗糙，都會(huì)得到〈我和同學(xué)的〉尊重，如此他們以后才會(huì)努力去想，漸漸變成會(huì)思考，且有獨(dú)特性格的個(gè)體，而不是培養(yǎng)出一群人云亦云、盲目跟從的公民。這樣的教學(xué)，當(dāng)然要求我全神貫注，傾聽學(xué)生的聲音。但是只做到上述的事情是不夠的，一定還要提升他們的認(rèn)知層次和解題能力，這就牽涉到整合，即將不同解法分類，連結(jié)其間的關(guān)系，甚止于討論中發(fā)展出新的觀點(diǎn)，接到制式解法。

唐彩斌：您曾經(jīng)長時(shí)間關(guān)注“量感”，您的觀點(diǎn)是什么呂玉英：“量”在數(shù)學(xué)的教材中有長度、重量、容量、面積、體積、角度、時(shí)間等七種，其中前面六種量，我們稱之為「感官量?，時(shí)間量則稱為?工具量?。前面六種量是我們能容易感覺到“量”的特性進(jìn)而能掌握的，而時(shí)間量則非常抽象，且受主體的感覺影響，很難掌握其絕對(duì)量感，因此靠時(shí)鐘的運(yùn)轉(zhuǎn)以便掌握時(shí)刻和時(shí)間?！傲俊钡膯栴}在生活中處處可見，例如:身高、體重、飲料大小杯、房子的大小…等。一般學(xué)?！傲俊钡慕虒W(xué)，剛開始常以生活常見的量來鋪陳，然后引入常見的單位量詞，等到兩階單位引入后，有關(guān)單位換算的題目則大量練習(xí)，使得學(xué)生僅專注記憶單位之間的換算，而忽略單位之間量感的掌握，這是平常老師常疏忽的事實(shí)。在我擔(dān)任總務(wù)主任時(shí)，常問六年級(jí)畢業(yè)生一個(gè)問題:你們的教室〈長9m，寬7m，加上走廊寬則寬達(dá)9m，連前后左右墻壁的厚度，則一間教室的長、寬皆約10m〉，因此一間教室大約的面積有多大學(xué)生從來不回答大約一公畝，他們認(rèn)為公畝是很大的單位，很難理解，他們總是用平方公尺來想問題。我們也曾經(jīng)針對(duì)臺(tái)北市六年級(jí)的學(xué)生，進(jìn)行長度量的調(diào)查，問題是:在臺(tái)北市的道路上，100m和1km的道路，哪一條道路較長需要撘公車學(xué)生的回答70%是，100m需要搭公車。可見學(xué)生平常會(huì)形式上的運(yùn)算，但對(duì)單位量是沒有感覺的，縱使學(xué)校操場有100m的跑道，學(xué)生經(jīng)常在上面競賽，但這種量感卻無法連結(jié)到日常生活?！傲俊钡慕滩膶W(xué)習(xí)本來就充滿在學(xué)童生活的四周，因此課室教學(xué)重要的是喚起學(xué)生對(duì)“量”的屬性、大小、單位、工具使用上的真實(shí)感，再提供豐富的測量、實(shí)作經(jīng)驗(yàn)，使這種感覺能延伸與數(shù)學(xué)知識(shí)連結(jié)成整體性，這樣有感覺的學(xué)習(xí)，才能確保生活應(yīng)用的可能性?！傲扛小背擞幸饬x的感覺外，還兼具估算、概算的能力，這是一種反細(xì)算，對(duì)對(duì)象有大概念〈GrandScheme〉下的掌握，譬如:在臺(tái)北市的國民小學(xué)校地，大都在2公頃以內(nèi)，譬如:以學(xué)校圍墻長度估計(jì)：長、寬大約100m~140m之間，以滿足100m跑道，又不占太大面積。這種大概念的想法，教室數(shù)學(xué)課很少進(jìn)行量感的估計(jì)。這是數(shù)學(xué)課與現(xiàn)實(shí)世界連結(jié)的有意義的數(shù)學(xué)問題。唐彩斌：臺(tái)灣有很多有趣的課外數(shù)學(xué)活動(dòng)也很有特色，比如：“步道”能不能給我們介紹介紹呂玉英：目前臺(tái)灣中小學(xué)在進(jìn)行的課外數(shù)學(xué)活動(dòng)可簡介如下:1．奧林匹克式數(shù)學(xué)競賽的選手選拔與訓(xùn)練

這是非常小眾數(shù)學(xué)資優(yōu)生的活動(dòng)，這方面中國大陸比臺(tái)灣做得實(shí)有規(guī)模，這里便不多談。2．?dāng)?shù)學(xué)探索活動(dòng)

這是由科學(xué)展覽而衍生出來的活動(dòng)。臺(tái)灣的科展每年舉辦一次〈暑假〉，數(shù)學(xué)科參展作品約為300件/年。這些作品都由各縣市每年五月選出，各縣市參展件數(shù)按學(xué)生數(shù)比例，再經(jīng)往年成績加以調(diào)整。每學(xué)年九月初開學(xué)時(shí)，各學(xué)校教務(wù)處會(huì)通知數(shù)學(xué)和自然科老師有關(guān)今年科展消息，并詢問各老師指導(dǎo)學(xué)生團(tuán)隊(duì)〈1~4人〉做科學(xué)〈含數(shù)學(xué)〉探索的意愿。校內(nèi)科展作品在三月選拔岀優(yōu)秀作品，參加縣市科展?？普棺髌吠ǔ＞褪且粋€(gè)小的課題作較深入的探索，比如說:雙胎〈即有兩數(shù)一樣〉四階幻方的充要條件與生成機(jī)制。這是筆者一位朋友指導(dǎo)的一件作品，于前〈2006〉年得到科展小學(xué)〈三年級(jí)以上，另有國中和高中組〉數(shù)學(xué)科第二名。以這件作品的形成而言，老師提供題目后，學(xué)生團(tuán)隊(duì)每星期聚會(huì)一次〈通常在6~9pm〉，報(bào)告每人這星期的研究成果，并進(jìn)行討論整合。如此工作一年后，指導(dǎo)老師認(rèn)為有足夠多的創(chuàng)新結(jié)果，于是決定報(bào)名參展。由于臺(tái)灣科展得獎(jiǎng)作品之學(xué)生，于升學(xué)〈國中升高中，高中升大學(xué)〉甄試時(shí)有加分，故投入科學(xué)探索活動(dòng)人的數(shù)年年增加，但也傳出不少弊端，即造假事件。其中把沒參加探索活動(dòng)的學(xué)生硬塞入名單〈若原團(tuán)隊(duì)人數(shù)不足4人〉中，最為單純;其次是把老師自己的作品當(dāng)作是學(xué)生自己的成果，即沒有真正的探索活動(dòng)或探索活動(dòng)沒結(jié)果;甚至于有另聘專家提供作品的情事這些都考驗(yàn)評(píng)審的能力。3．?dāng)?shù)學(xué)燈謎

是謎面或謎底含有數(shù)學(xué)對(duì)象的謎，如:“員打一數(shù)學(xué)名詞”〈底是圓〉，或“2≦X≦3打一個(gè)四字成語”〈謎底是接二連三〉…等。因?yàn)槊繉W(xué)年第二學(xué)期的開學(xué)日都很接近元宵節(jié)習(xí)俗上猜燈謎的節(jié)慶，故有些學(xué)校在第二學(xué)期的開學(xué)日，舉辦燈謎大賽會(huì)讓學(xué)生得到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的另類經(jīng)驗(yàn)，在新年假期后，此活動(dòng)也有讓學(xué)生收心的效果4．?dāng)?shù)學(xué)歩道

是1991年黃敏晃和朱建正兩位教授，到加拿大魁北克參加ICME〈InternationalCongressof.〉之后引進(jìn)提倡的。他們看到一位澳洲教授，利用該市碼頭的硬件設(shè)施，設(shè)計(jì)出一條數(shù)學(xué)歩道實(shí)例。臺(tái)大椰林大道數(shù)學(xué)歩道和中正紀(jì)念堂數(shù)學(xué)歩道，都是兩位教授親自帶領(lǐng)設(shè)計(jì)的，許多學(xué)校也都有設(shè)計(jì)自己校園的數(shù)學(xué)歩道。然而眾多校園歩道共同的一道題目是，在該校的某個(gè)殘障斜坡旁，提出如下的數(shù)學(xué)問題:?想辦法檢驗(yàn)這個(gè)殘障斜坡的斜度，是否合乎政府規(guī)定的標(biāo)準(zhǔn)〈≦15°〉。校內(nèi)其它的殘障斜坡也符合標(biāo)準(zhǔn)嗎測量看看。?。事實(shí)上，學(xué)校里地板高出地面的每座建筑物都有殘障斜坡〈政府的規(guī)定〉，故各組學(xué)生〈4~7人/組〉可以同時(shí)在不同的斜坡旁工作。最有趣的是，有人真的搬來輪椅，讓學(xué)生親自體驗(yàn)殘障人士自己推上斜坡的困難和辛苦。另一道題目可以讓學(xué)生“領(lǐng)略同一個(gè)數(shù)學(xué)概念在不同情境中出現(xiàn)”的狀況:?這座樓梯的斜度要如何描述學(xué)校里的樓梯都一樣斜度嗎還是有些樓梯比較陡怎樣測量一座樓梯的斜度呢和測量殘障斜坡的斜度方法一樣嗎?。數(shù)學(xué)歩道的要點(diǎn)是要讓學(xué)生了解，我們的生活環(huán)境中充滿數(shù)學(xué)，而且這些數(shù)學(xué)問題的解答，與制式數(shù)學(xué)課程中的方式，是很不一樣的。比如說?一輛汽車的停車格有多大一個(gè)籃球場可以劃成幾個(gè)停車格?在解答這樣的問題時(shí)，學(xué)生常會(huì)先量岀一個(gè)停車格是7m2，然后量出籃球場的兩鄰邊長，相乘算出〈寬2m長〉其面積，再將此面積除以7，得到可停放幾部車的答案，但此答案常是不對(duì)的。此時(shí)我們可以和學(xué)生討論“理論和實(shí)際”的落差。數(shù)學(xué)歩道的最大功能在此，師生離開課室、黑板和桌椅，整個(gè)“教”與“學(xué)”的運(yùn)作都要調(diào)整，概念、理解、估算和討論變成最有用的工具。這可以讓師生重新檢討教學(xué)的必要元素與過程，學(xué)生更能領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)的有用性。5．?dāng)?shù)學(xué)游戲

是老師覺得數(shù)學(xué)課太沉悶，需要給學(xué)生注入學(xué)習(xí)活力時(shí)非常有效的一帖藥。數(shù)學(xué)游戲并非只提供熱鬧的活動(dòng)，有時(shí)是跟制式數(shù)學(xué)課程內(nèi)容密切相關(guān)的，譬如說，“搶30”與因子、倍數(shù)、余數(shù)有關(guān);“稅收游戲”與因子、倍數(shù)及質(zhì)數(shù)有關(guān);“拈”與二進(jìn)制數(shù)系相關(guān);“河內(nèi)塔”與數(shù)學(xué)遞歸模型有關(guān);“連塊〈平面與立體〉游戲”有助于平面、鏡射〈平面以及三維空間的〉及旋轉(zhuǎn)〈平面與立體〉的學(xué)習(xí);“人面獅身與自我放大復(fù)制”與相似形有關(guān);用百力智慧片組成正多面體、截角正多面體、足球…等，也非常有助于學(xué)生對(duì)立體對(duì)象的學(xué)習(xí)。此活動(dòng)甚至可用來展現(xiàn)很深的“對(duì)偶”〈duality〉概念。由于這些游戲相當(dāng)耗時(shí)，故許多老師只在“數(shù)學(xué)營隊(duì)”中使用。6．?dāng)?shù)學(xué)繪本

是含有數(shù)學(xué)問答的童書，常帶有故事性〈英文漢聲的41本例外〉且附有精美插圖，低中年級(jí)的小朋友很喜歡，高年級(jí)學(xué)生則一定要求講述分享〈每人讀不同繪本〉并討論。除漢聲的41本〈數(shù)是怎么來的可否走停、葛小大的一生、影子幾何…等〉外，遠(yuǎn)流也有20本“魔法小子”〈意大利面與肉丸子、夢想家的披風(fēng)、呀!怪物別跟我…等〉，其它如光復(fù)書局〈你一半我一半〉，經(jīng)典傳訊〈100只饑餓螞蟻〉，信誼基金會(huì)〈綠豆村的綠豆〉，格林出版社〈魔法一點(diǎn)靈〉，道聲出版社〈奶奶的時(shí)鐘〉都有繪本。7．闖關(guān)活動(dòng)

是紙筆測驗(yàn)無法進(jìn)行的另類評(píng)量，也是實(shí)作評(píng)量的一種。有關(guān)數(shù)學(xué)能力，例如：發(fā)表、溝通、澄清、表征、算式紀(jì)錄、圖像表征…等等，課室中教學(xué)的實(shí)質(zhì)內(nèi)容，以及學(xué)生的表現(xiàn)，均可設(shè)計(jì)評(píng)量。其實(shí)施的時(shí)段可依各校需求而定。有些學(xué)校在學(xué)生期末考后實(shí)施，學(xué)生把這種闖關(guān)當(dāng)游戲，開心挑戰(zhàn)；有時(shí)放在開學(xué)后的兩個(gè)星期實(shí)施，當(dāng)作診斷學(xué)生學(xué)習(xí)遺忘曲線，作為教學(xué)叁考。唐彩斌:臺(tái)灣的老師是用什么方法進(jìn)行職后培訓(xùn)呂玉英:臺(tái)灣的老師任職后，仍需繼續(xù)參加各項(xiàng)進(jìn)修研習(xí)活動(dòng)以確保他們能與時(shí)俱進(jìn)。首先在政府政策方面：教育局規(guī)定，每位老師每年必須參加各項(xiàng)研習(xí)活動(dòng)滿36小時(shí)〈研習(xí)內(nèi)容由教師自已選擇〉，將影響教師年度績效考核成績。在學(xué)位進(jìn)修方面：國小老師利用暑假進(jìn)修取得學(xué)位，例如:教師原本就讀師范學(xué)?！闯踔挟厴I(yè)后就讀三年師范教育，取得國小教師證照〉，或是就讀師范專科學(xué)?！闯踔?、國中畢業(yè)后就讀五年師范專科教育，取得國小教師證照〉，他們利用四個(gè)暑假補(bǔ)修學(xué)分，取得師范學(xué)院畢業(yè)證書。此時(shí)，擁有學(xué)士資格、月薪調(diào)升、年功俸升級(jí)與退休金增加，因此學(xué)位進(jìn)修是多利的進(jìn)修。已獲得學(xué)士資格的教師，可以繼續(xù)就讀?四十學(xué)分班?，獲得等同碩士資格的學(xué)歷，但實(shí)質(zhì)上并非碩士的進(jìn)修，雖然同樣反映在薪資加給上，但在退休金上未能增加提敘。有些已獲得學(xué)士資格的老師，參加日間部或夜間部碩士進(jìn)修考試，考上日間部碩士班者，學(xué)校可以為其調(diào)整課程，撥出每周空兩個(gè)半天的時(shí)間，讓老師有余力修讀碩士班的課程，期間是兩年，兩年過后則恢復(fù)原本的授課時(shí)數(shù)。若就讀夜間部碩士班，因?yàn)榻處熇孟掳鄷r(shí)間進(jìn)修，不影響學(xué)校課務(wù)，而進(jìn)修時(shí)間約為四到六年，一旦教師獲得碩士學(xué)位時(shí)，一方面薪資立刻升級(jí)，另方面反映在退休金上，提高年功俸，退休金也會(huì)增加。目前有些已獲得碩士資格的老師，繼續(xù)進(jìn)修考取博士班。而博士班學(xué)程只有日間部，因此就讀博士班的老師，有些采取留職停薪的方式，學(xué)校僅提供留職停薪兩年期限，若兩年后無法完成博士學(xué)程，則自行想辦法。當(dāng)然獲得博士學(xué)位后，一樣立即加薪并反應(yīng)退休金的提敘上。第三方面短期進(jìn)修研習(xí)：目前臺(tái)灣國小數(shù)學(xué)教師研習(xí)課程多樣化，例如:精進(jìn)教師課堂教學(xué)能力…國小數(shù)學(xué)教學(xué);數(shù)字學(xué)