高考數學人教B版一輪復習訓練2-8函數與方程

核心考點·精準研析考點一判斷函數零點所在區(qū)間

1.已知實數a>1,0<b<1,則函數f(x)=ax+xb的零點所在的區(qū)間是 ()A.(2,1) B.(1,0)C.(0,1) D.(1,2)2.設函數f(x)=QUOTExlnx,則函數y=f(x) ()A.在區(qū)間QUOTE,(1,e)內均有零點B.在區(qū)間QUOTE,(1,e)內均無零點C.在區(qū)間QUOTE內有零點,在區(qū)間(1,e)內無零點D.在區(qū)間QUOTE內無零點,在區(qū)間(1,e)內有零點3.(2020·揚州模擬)設函數y=x2與y=QUOTE的圖象交點為(x0,y0),則x0所在區(qū)間是 ()A.(0,1) B.(1,2)C.(2,3) D.(3,4)4.若a<b<c,則函數f(x)=(xa)(xb)+(xb)(xc)+(xc)(xa)的兩個零點分別位于區(qū)間 ()導學號A.(a,b)和(b,c)內 B.(∞,a)和(a,b)內C.(b,c)和(c,+∞)內 D.(∞,a)和(c,+∞)內【解析】1.選B.因為a>1,0<b<1,f(x)=ax+xb,所以f(1)=QUOTE1b<0,f(0)=1b>0,由零點存在性定理可知f(x)在區(qū)間(1,0)上存在零點.2.選D.令f(x)=0得QUOTEx=lnx.作出函數y=QUOTEx和y=lnx的圖象,如圖,顯然y=f(x)在QUOTE內無零點,在(1,e)內有零點.3.選B.因為函數y=x2與y=QUOTE的圖象交點為(x0,y0),則x0是方程x2=QUOTE的解,也是函數f(x)=x2QUOTE的零點.因為函數f(x)在(0,+∞)上單調遞增,f(2)=221=3>0,f(1)=12=1<0,所以f(1)·f(2)<0.由零點存在性定理可知,方程的解在(1,2)內.4.選A.因為a<b<c,所以f(a)=(ab)(ac)>0,f(b)=(bc)(ba)<0,f(c)=(ca)(cb)>0,由函數零點存在性定理可知:在區(qū)間(a,b),(b,c)內分別存在零點,又函數f(x)是二次函數,最多有兩個零點;因此函數f(x)的兩個零點分別位于區(qū)間(a,b),(b,c)內.確定函數零點所在區(qū)間的常用方法(1)利用函數零點存在性定理.(2)數形結合法.【秒殺絕招】用特殊值法可解T2.考點二確定函數零點的個數

【典例】1.函數f(x)=|x2|lnx零點的個數為 ()A.0 B.1 C.2 D.32.(2019·全國卷Ⅲ)函數f(x)=2sinxsin2x在[0,2π]的零點個數為()A.2 B.3 C.4 D.53.已知函數y=f(x)是周期為2的周期函數,且當x∈[1,1]時,f(x)=2|x|1,則函數F(x)=f(x)|lgx|的零點個數是 導學號()A.9 B.10 C.11 D.18【解題導思】序號聯想解題1由f(x)=|x2|lnx的零點,想到|x2|=lnx.2由f(x)=2sinxsin2x,想到化簡,令f(x)=0求sinx與cosx的值.3由F(x)=f(x)|lgx|的零點個數,想到f(x)=|lgx|.【解析】1.選C.作出函數y=|x2|與g(x)=lnx的圖象,如圖所示.由圖象可知兩個函數的圖象有兩個交點,即函數f(x)在定義域內有2個零點.2.選B.令f(x)=2sinxsin2x=2sinx2sinxcosx=2sinx(1cosx)=0,則sinx=0或cosx=1,又x∈[0,2π],所以x=0,π,2π,共三個零點.3.選B.在同一平面直角坐標系內作出函數y=f(x)與y=|lgx|的大致圖象如圖,由圖象可知,它們共有10個不同的交點,因此函數F(x)=f(x)|lgx|的零點個數是10.函數零點個數的判斷方法(1)直接求零點.(2)利用零點存在性定理再結合函數的單調性確定零點個數.(3)利用函數圖象的交點個數判斷.1.函數f(x)=3x+x32在區(qū)間(0,1)內的零點個數是 ()A.0 B.1 C.2 D.3【解析】選B.由題意知f(x)單調遞增,且f(0)=1+02=1<0,f(1)=3+12=2>0,即f(0)·f(1)<0且函數f(x)在(0,1)內連續(xù)不斷,所以f(x)在區(qū)間(0,1)內有一個零點.2.已知函數f(x)=QUOTE則函數y=f(x)+3x的零點個數是 ()A.0 B.1 C.2 D.3【解析】選C.令f(x)+3x=0,則QUOTE或QUOTE解得x=0或x=1,所以函數y=f(x)+3x的零點個數是2.3.已知f(x)=QUOTE則函數y=2[f(x)]2-3f(x)+1的零點個數是________.

【解析】由2[f(x)]2-3f(x)+1=0得f(x)=QUOTE或f(x)=1,作出函數y=f(x)的圖象.由圖象知y=QUOTE與y=f(x)的圖象有2個交點,y=1與y=f(x)的圖象有3個交點.因此函數y=2[f(x)]2-3f(x)+1的零點有5個.答案:5考點三函數零點的應用

命題精解讀考什么:(1)由函數的零點有無、個數求參數值或范圍、圖象的交點、解方程、解不等式等問題.(2)考查數學運算、直觀想象、邏輯推理等核心素養(yǎng).怎么考:多以選擇、填空題的形式考查.新趨勢:以函數圖象與性質為載體,圖象與性質、數與形、求參數值或范圍交匯考查.學霸好方法已知函數有零點求參數值或取值范圍常用的方法和思路:(1)直接法:直接根據題設條件構建關于參數的不等式,再通過解不等式確定參數的取值范圍.(2)分離參數法:將參數分離,轉化成求函數值域的問題加以解決.(3)數形結合法:先對解析式變形,在同一平面直角坐標系中,畫出函數的圖象,然后數形結合求解.由零點的個數求參數值或范圍【典例】已知函數f(x)=QUOTEg(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2個零點,則a的取值范圍是 ()A.[1,0) B.[0,+∞)C.[1,+∞) D.[1,+∞)【解析】選C.畫出函數f(x)的圖象,y=ex在y軸右側的圖象去掉,再畫出直線y=x,并上下移動,可以發(fā)現當直線過點(0,1)時,直線與函數圖象有兩個交點,并且向下可以無限移動,都可以保證直線與函數的圖象有兩個交點,即方程f(x)=xa有兩個解,也就是函數g(x)有兩個零點,此時滿足a≤1,即a≥1.已知函數零點個數求有關參數的取值范圍問題的關鍵是什么?提示:關鍵是將函數零點個數問題轉化為方程解的個數,或兩個函數圖象交點的個數問題,再去求解.由函數有無零點求參數【典例】若函數f(x)=4x2xa,x∈[1,1]有零點,則實數a的取值范圍是________.導學號

【解析】因為函數f(x)=4x2xa,x∈[1,1]有零點,所以方程4x2xa=0在[1,1]上有解,即方程a=4x2x在[1,1]上有解.方程a=4x2x可變形為a=QUOTEQUOTE,因為x∈[1,1],所以2x∈QUOTE,令2x=t,t∈QUOTE,a=QUOTEQUOTE,0≤tQUOTE≤QUOTE,0≤QUOTE≤QUOTE,QUOTE≤QUOTEQUOTE≤2,所以a=QUOTEQUOTE的范圍為QUOTE,所以實數a的取值范圍是QUOTE.答案:QUOTE函數有(或無)零點如何求參數的范圍?提示:先分離參數,再依據有(或無)零點得出等式(或不等式),最后得出結論.與函數零點有關的比較大小【典例】(2019·承德模擬)已知a是函數f(x)=2xloQUOTEx的零點,若0<x0<a,則f(x0)的值滿足 ()導學號A.f(x0)=0 B.f(x0)>0C.f(x0)<0 D.f(x0)的符號不確定【解析】選C.在同一平面直角坐標系中作出函數y=2x,y=loQUOTEx的圖象,由圖象可知,當0<x0<a時,有QUOTE<loQUOTEx0,即f(x0)<0.與函數零點有關的函數值如何比較大小?提示:在同一平面直角坐標系中畫出圖象,根據圖象所處的上下位置確定.1.若函數f(x)=|2x4|a存在兩個零點,且一個為正數,另一個為負數,則a的取值范圍為 ()A.(0,4) B.(0,+∞)C.(3,4) D.(3,+∞)【解析】選C.令g(x)=|2x4|,其圖象如圖所示,若f(x)=|2x4|a存在兩個零點,且一個為正數,另一個為負數,則a∈(3,4).2.已知函數f(x)=x+2x,g(x)=x+lnx,h(x)=xQUOTE1的零點分別為x1,x2,x3,則x1,x2,x3的大小關系是()A.x2<x1<x3 B.x1<x2<x3C.x1<x3<x2 D.x3<x2<x1【解析】選B.令y1=2x,y2=lnx,y3=QUOTE1,因為函數f(x)=x+2x,g(x)=x+lnx,h(x)=xQUOTE1的零點分別為x1,x2,x3,則y1=2x,y2=lnx,y3=QUOTE1的圖象與y=x的交點的橫坐標分別為x1,x2,x3,在同一平面直角坐標系內分別作出函數y1=2x,y2=lnx,y3=QUOTE1及y=x的圖象如圖,結合圖象可得x1<x2<x3.3.(2020·南通模擬)已知f(x)是定義在R上且周期為QUOTE的周期函數,當x∈QUOTE時,f(x)=1|2x1|.若函數y=f(x)logax(a>1)在(0,+∞)上恰有4個互不相同的零點,則實數a的值為________.

【解析】當x∈QUOTE時,f(x)=1|2x1|=QUOTE,且f(x)是定義在R上且周期為QUOTE的周期函數,因為函數y=f(x)logax(a>1)在(0,+∞)上恰有4個互不相同的零點,所以函數y=f(x)與y=logax(a>1)在(0,+∞)上恰有4個不同的交點,分別畫出兩函數圖象如圖所示,由圖可知,當x=QUOTE時,有l(wèi)ogaQUOTE=1,所以a=QUOTE.答案:QUOTE4.方程2x+3x=k的解在[1,2)內,則k的取值范圍是________.

【解析】令函數f(x)=2x+3xk,則f(x)在R上是增函數.當方程2x+3x=k的解在(1,2)內時,f(1)·f(2)<0,即(5k)(10k)<0,解得5<k<10.又當f(1)=0時,k=5.則方程2x+3x=k的解在[1,2)內,k的取值范圍是[5,10).答案:[5,10)1.(2020·包頭模擬)已知函數f(x)=lnx+3x8的零點x0∈[a,b],且ba=1,a,b∈N*,則a+b= ()A.0 B.2 C.5 D.7【解析】選C.因為f(2)=ln2+68=ln22<0,f(3)=ln3