復(fù)習(xí)08求通項(xiàng)公式歸類（九大考點(diǎn)）

復(fù)習(xí)08求通項(xiàng)公式歸類一、遞推數(shù)列1.概念：數(shù)列的連續(xù)若干項(xiàng)滿足的等量關(guān)系稱為數(shù)列的遞推關(guān)系．由遞推關(guān)系及k個(gè)初始值確定的數(shù)列叫遞推數(shù)列．2.求遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法：構(gòu)造法、累加(乘)法、歸納猜想法．二、數(shù)列遞推關(guān)系的幾種常見類型1.公式法：形如或或2.累加法：形如且當(dāng)時(shí).3.累乘法：形如且當(dāng)時(shí),.注意:不一定滿足上述形式,所以需要檢驗(yàn).4.倒數(shù)法：（構(gòu)造等差數(shù)列）形如整式或分式整式：兩邊同時(shí)除以分式：兩邊同時(shí)取倒數(shù)5.待定系數(shù)法①形如且方法:化為的形式，令,即得為等比數(shù)列,從而求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.②形如且方法:兩邊同除,得,令,得,轉(zhuǎn)化為利用累加法求若為常數(shù),則為等差數(shù)列,從而求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.考點(diǎn)01觀察法、周期數(shù)列【方法點(diǎn)撥】先寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)，觀察發(fā)現(xiàn)規(guī)律，找到周期【例1】若數(shù)列滿足，則（

）A．1 B．2 C．1 D．2【答案】D【分析】對(duì)數(shù)列遞推式變形為，求出前幾項(xiàng)，找到周期性即可求解.【詳解】因?yàn)?，所?因?yàn)?，所以，所以是周期?的數(shù)列，故.故選：D【例2】數(shù)列，，，，的一個(gè)通項(xiàng)公式是an=（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)所給數(shù)列的特點(diǎn)，先寫出數(shù)列，，，，的通項(xiàng)公式，再寫出數(shù)列，，，，的通項(xiàng)公式，最后寫出數(shù)列，，，，的通項(xiàng)公式.【詳解】因?yàn)閿?shù)列，，，，的通項(xiàng)公式為，則數(shù)列，，，，的通項(xiàng)公式為，而數(shù)列，，，，的每一項(xiàng)都是上面數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)的，所以數(shù)列，，，，的通項(xiàng)公式為.故選：C.【變式11】已知數(shù)列滿足且，則（

）A．3 B． C．2 D．【答案】B【分析】由已知可得數(shù)列遞推式，求出其前面幾項(xiàng)，可得數(shù)列的周期，由此可求得答案.【詳解】由題意數(shù)列滿足，則，故由，得，由此可知數(shù)列的周期為4，故，故選：B【變式12】已知一列數(shù)如此排列：，則它的一個(gè)通項(xiàng)公式可能是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)選項(xiàng)逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】對(duì)于A，，A錯(cuò)；對(duì)于B，，B錯(cuò)；對(duì)于C，，C錯(cuò)；，逐項(xiàng)驗(yàn)證可知D符合，所以D正確；故選：D．【變式13】在首項(xiàng)為1的數(shù)列中，滿足，則（

）A． B． C．0 D．1【答案】D【分析】根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系可得為周期數(shù)列，且周期為3，即可利用周期求解.【詳解】由可得，由于，所以，，因此為周期數(shù)列，且周期為3，故，故選：D考點(diǎn)02累加累乘法【方法點(diǎn)撥】累加法：形如且，當(dāng)時(shí).累乘法：形如且，當(dāng)時(shí),.注意:不一定滿足上述形式,所以需要檢驗(yàn).【例3】已知數(shù)列，，，…，，…是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，則下列數(shù)中是數(shù)列中的項(xiàng)的是（

）A．16 B．128 C．32 D．64【答案】D【分析】先用累乘法求出，對(duì)四個(gè)選項(xiàng)驗(yàn)證得符合題意，即可求解．【詳解】，當(dāng)時(shí)，．故選：D．【例4】已知數(shù)列滿足：，則（

）A．21 B．23 C．25 D．27【答案】A【分析】應(yīng)用累加法求數(shù)列通項(xiàng)公式，再求出對(duì)應(yīng)項(xiàng).【詳解】由題設(shè)，……，，，累加可得且，則，顯然也滿足上式，所以.故選：A【變式21】已知，則數(shù)列的通項(xiàng)公式是．【答案】【分析】由已知遞推式可得，然后利用累乘法可求得結(jié)果.【詳解】由，得，所以，所以，，，……，（），所以，所以，因?yàn)椋?，因?yàn)橐矟M足上式，所以，故答案為：【變式22】在數(shù)列中，，且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．【答案】【分析】根據(jù)已知，利用累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式．【詳解】由題設(shè)，所以且，顯然滿足上式，所以【變式23】（1）已知數(shù)列滿足，，求的通項(xiàng)．（2）數(shù)列中，，（n為正整數(shù)），求．【答案】（1）（2）【分析】（1）利用疊加法，結(jié)合裂項(xiàng)相消的知識(shí)可得通項(xiàng)公式；（2）利用累乘法求解即可.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，所以；綜上：.而符合上式，故.（2）因?yàn)?，，所以，綜上：.考點(diǎn)03證明等差等比數(shù)列【方法點(diǎn)撥】1.若滿足定值或定值，則數(shù)列為等差數(shù)列，則求出對(duì)應(yīng)的首項(xiàng)即可求得通項(xiàng)公式；2.若滿足定值或定值，則數(shù)列為等比數(shù)列，則求出對(duì)應(yīng)的首項(xiàng)即可求得通項(xiàng)公式；【例5】已知數(shù)列，滿足，，記.(1)試證明數(shù)列為等差數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式．【答案】(1)證明見及解析(2)【分析】（1）根據(jù)題意，由遞推關(guān)系式代入計(jì)算，結(jié)合等差數(shù)列的定義，即可證明；（2）由（1）可得數(shù)列的通項(xiàng)公式，再由代入計(jì)算，即可得到數(shù)列的通項(xiàng)公式．【詳解】（1）證明：,又，∴數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列．（2）由（1）知，因?yàn)?，所以∴?shù)列的通項(xiàng)公式為.【例6】已知數(shù)列滿足：，．(1)求證：為等比數(shù)列；(2)求的通項(xiàng)公式．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由題意轉(zhuǎn)化條件得，結(jié)合即可得證；（2）由題意可得，進(jìn)而可得.【詳解】（1）已知遞推公式，兩邊同時(shí)加上3，得：，因?yàn)?，所以，又，所以?shù)列是以為首項(xiàng)、以2為公比的等比數(shù)列.（2）由（1），則.【變式31】已知數(shù)列滿足，(1)求證：數(shù)列為等差數(shù)列;(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式與最大值.【答案】(1)證明見解析(2)，最大值是【分析】（1）計(jì)算，根據(jù)等差數(shù)列的概念即得結(jié)論；（2）由（1）可得，再研究其單調(diào)性，計(jì)算可得結(jié)論．【詳解】（1）因?yàn)?，所以?shù)列是以1為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列.（2）由（1）可得，即當(dāng)時(shí)，由反比例函數(shù)的性質(zhì)知單調(diào)遞減，所以，又，，，所以數(shù)列的最大值是【變式32】非零數(shù)列滿足，且．(1)設(shè)，證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)設(shè)，求的前項(xiàng)和．【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）對(duì)已知條件因式分解可得，根據(jù)等差數(shù)列定義可證；（2）利用累乘法求得，然后由裂項(xiàng)相消法可得.【詳解】（1）由，得對(duì)于恒成立，所以，即，所以，而，故，所以數(shù)列是以1為公差，為首項(xiàng)的等差數(shù)列.（2）由（1）知，，即，整理得，由累乘法得，即，又，所以，則，所以.【變式33】已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)積為，且滿足．求證：數(shù)列為等比數(shù)列．【答案】證明見解析.【分析】根據(jù)給定條件，利用前項(xiàng)積的意義，結(jié)合等比數(shù)列的定義推理作答.【詳解】依題意，當(dāng)時(shí)，，又，于是，而，有，因此當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，由，得，即，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列．考點(diǎn)04待定系數(shù)法，取倒法【方法點(diǎn)撥】1.形如為常數(shù),:可用“待定系數(shù)法”將原等式變形為,由此構(gòu)造出新的等比數(shù)列,先求出的通項(xiàng),從而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式;2.分式為常數(shù))的數(shù)列,可通過兩邊同時(shí)取倒數(shù)的方法構(gòu)造新數(shù)列求解【例7】已知數(shù)列滿足，則的通項(xiàng)公式（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由遞推公式得為等比數(shù)列，再由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解，【詳解】由得，而，故是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，所以，即.故選：D【例8】已知數(shù)列，則數(shù)列的通項(xiàng)公式．【答案】【分析】取倒數(shù)后得為等差數(shù)列，再由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求解．【詳解】由題意得，故是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，得，即，故答案為：【變式41】（多選）設(shè)數(shù)列滿足，（），則（

）A．為等比數(shù)列 B．的通項(xiàng)公式為C．為遞減數(shù)列 D．的前n項(xiàng)和【答案】ABD【分析】對(duì)于A、B：根據(jù)題意利用構(gòu)造法結(jié)合等比數(shù)列的定義運(yùn)算求解；對(duì)于C：檢驗(yàn)前兩項(xiàng)即可判斷；對(duì)于D：利用等比數(shù)列求和結(jié)合分組求和運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)?，則，整理得，且，所以是以首項(xiàng)，公比的等比數(shù)列，故A正確；可得，解得，故B正確；因?yàn)?，即，所以不是遞減數(shù)列，故C錯(cuò)誤；因?yàn)椋缘那皀項(xiàng)和，故D正確；故選：ABD.【變式42】已知數(shù)列滿足，，則滿足的最小正整數(shù)．【答案】5【分析】根據(jù)題意先求得，，從而求得，再構(gòu)造等比數(shù)列，從而得到數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而根據(jù)的單調(diào)性即可求解．【詳解】由，解得，又，所以．另一方面由，可得，所以是首項(xiàng)為，公比為3的等比數(shù)列，所以，易知是遞增數(shù)列，又，，所以滿足的最小正整數(shù)．故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題考查遞推數(shù)列．【變式43】數(shù)列滿足且，則數(shù)列的通項(xiàng)公式是．【答案】【分析】根據(jù)題意構(gòu)造等比數(shù)列，進(jìn)而求出通項(xiàng)公式即可.【詳解】設(shè)，則，又因?yàn)?，所以，則，所以，因?yàn)?，所以，所以為常?shù)，所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，所以.故答案為：考點(diǎn)05同除法【方法點(diǎn)撥】1.同除指數(shù)法：形如且方法:兩邊同除,得,令,得,轉(zhuǎn)化為利用累加法求2.形如整式，兩邊同時(shí)除以【例9】在數(shù)列中，，．求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【答案】【分析】遞推公式推得，判斷數(shù)列為等差數(shù)列，求出公差d，再寫出通項(xiàng)公式.【詳解】因?yàn)?，所?由可得，所以.又，所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，所以，所以.【例10】已知數(shù)列滿足，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為【答案】【分析】由已知可得，利用為等差數(shù)列求的通項(xiàng)公式.【詳解】由得，故為等差數(shù)列，公差為1，首項(xiàng)為1，所以所以.故答案為：【變式51】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則數(shù)列的通項(xiàng)．【答案】【分析】構(gòu)造并證其為等差數(shù)列，寫出通項(xiàng)公式，應(yīng)用求數(shù)列通項(xiàng)公式即可.【詳解】由，而，故是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，所以，則，又且，顯然也滿足上式，所以.故答案為：【變式52】（多選）數(shù)列滿足，若，則（

）A． B．C．的前n項(xiàng)和為 D．的前n項(xiàng)和為【答案】AC【分析】對(duì)于A、B：根據(jù)題意可得，結(jié)合等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式運(yùn)算求解；對(duì)于C、D：利用錯(cuò)位相減法運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)?，則，可知數(shù)列是以首項(xiàng)，公差的等差數(shù)列，可得，所以，故A正確，B錯(cuò)誤；設(shè)的前n項(xiàng)和為，則，可得，兩式相減得，所以，故C正確，D錯(cuò)誤；故選：AC.【變式53】已知數(shù)列滿足，，則.【答案】【分析】根據(jù)數(shù)列遞推式結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則化簡，可得，即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，繼而求得答案.【詳解】由可得：，即所以，結(jié)合可知，，則是公差為2的等差數(shù)列，，故，，故，故答案為：考點(diǎn)06公式法消【方法點(diǎn)撥】用消的3個(gè)步驟：①先利用求出;②用替換中的得到一個(gè)新的關(guān)系，利用便可求出當(dāng)時(shí)的表達(dá)式;③注意檢驗(yàn)時(shí)的表達(dá)式是否可以與的表達(dá)式合并.【例11】（多選）已知數(shù)列的前項(xiàng)和公式為，則（

）A．，，成等差數(shù)列B．，，成等差數(shù)列C．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列D．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列【答案】BCD【分析】根據(jù)，可求得，，的值，可判定選項(xiàng)A；結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，可判定選項(xiàng)D；根據(jù)時(shí)，可求得，繼而可判定選項(xiàng)B,C.【詳解】因?yàn)?，所?,,則,故，，不成等差數(shù)列，A錯(cuò)誤；又函數(shù)的對(duì)稱軸為，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；故數(shù)列是遞增數(shù)列，則D正確；又，當(dāng)時(shí)，，滿足上式，故，則數(shù)列是遞增數(shù)列，C正確；切，故，，成等差數(shù)列，B正確，故選：BCD.【例12】（多選）已知是數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．?dāng)?shù)列為等差數(shù)列 C． D．【答案】ACD【分析】由題意，令計(jì)算即可判斷A；根據(jù)計(jì)算可得，進(jìn)而得，結(jié)合等差中項(xiàng)的應(yīng)用即可判斷BC；由選項(xiàng)B可知數(shù)列的奇、偶數(shù)項(xiàng)均為等差數(shù)列，結(jié)合等差數(shù)列前n項(xiàng)求和公式計(jì)算即可判斷D.【詳解】A：當(dāng)時(shí)，，又，所以，故A正確；B：當(dāng)時(shí)，由，得，兩式相減得，由，得，所以，所以，得，則，即，所以數(shù)列不為等差數(shù)列，故B錯(cuò)誤；C：由選項(xiàng)B可知，所以，故C正確；D：由選項(xiàng)B可知，所以，即數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)為首項(xiàng)是1，公差是3的等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)為首項(xiàng)是2，公差是3的等差數(shù)列，所以所以故，故D正確.故選：ACD【變式61】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題中已知條件，得出時(shí)，此兩式作差整理即可得到所滿足的關(guān)系，從而可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式得到所求；（2）根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)可知利用錯(cuò)位相消法進(jìn)行求和，從而可求出數(shù)列的前項(xiàng)和.【詳解】（1）∵，當(dāng)時(shí)，，∴，當(dāng)時(shí)，，①，②①②得即，∵，∴，∴，∴是以首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，則，∴；（2）由上可知：，所以，，∴，∴.【變式62】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足．(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用與的關(guān)系式，即可得出結(jié)論；（2）錯(cuò)位相減法求解數(shù)列的前項(xiàng)和.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，所以，即，又因?yàn)?，所以是以為首?xiàng)，為公比的等比數(shù)列．（2）由（1）知，，所以，因?yàn)棰?，所以②，由①②得：，所以．【變?3】已知數(shù)列各項(xiàng)非零．前項(xiàng)和為，，且，則【答案】199【分析】由題意根據(jù)的關(guān)系先得，由此可得數(shù)列中的偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，由此即可得解.【詳解】由題意，，兩式相減得，因?yàn)?，所以，所以，所以?shù)列是以為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，令，在中令，結(jié)合，得，解得，所以，所以.故答案為：199.考點(diǎn)07公式法消【方法點(diǎn)撥】設(shè)直線的方向向量分別為，平面的法向量分別為，【例13】設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，，則數(shù)列的前項(xiàng)和為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)已知條件構(gòu)造為常數(shù)列，求出，再利用裂項(xiàng)相消法求和即可.【詳解】，且，，即，，故數(shù)列為常數(shù)列，且，，則，故數(shù)列的前項(xiàng)和.故選：D.【例14】各項(xiàng)非零的數(shù)列中，首項(xiàng)，且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【答案】.【分析】根據(jù)題意，利用，化簡得到，得到數(shù)列為等差數(shù)列，求得，進(jìn)而求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.【詳解】因?yàn)椋?，所以，整理得，所以?shù)列是以，公差為2的等差數(shù)列，所以，所以，當(dāng)時(shí)，，又因?yàn)?，不適合上式，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.【變式71】已知數(shù)列是正項(xiàng)數(shù)列，是數(shù)列的前項(xiàng)和，且滿足.若，是數(shù)列的前項(xiàng)和，則.【答案】/0.9【分析】利用與的關(guān)系將已知轉(zhuǎn)化為，并求出的通項(xiàng)公式.再利用與的關(guān)系求出，寫出的通項(xiàng)公式，利用裂項(xiàng)相消求解.【詳解】∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，當(dāng)時(shí)，,解得符合，∴，，當(dāng)時(shí)，符合，∴，，所以.故答案為：【變式72】已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)若數(shù)列滿足，且，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)與之間的關(guān)系結(jié)合等差數(shù)列的定義分析證明；（2）由（1）可得，進(jìn)而可得是常數(shù)列以及，代入利用裂項(xiàng)相消法求和.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，由于，解得；當(dāng)時(shí)，，整理得；所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列.（2）由（1）可知：，因?yàn)?，整理得，可知?shù)列是常數(shù)列.所以，即，可得，所以.【變式73】設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，，.(1)求；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【答案】(1)(2)【分析】（1）代入及計(jì)算即可得；（2）借助與的關(guān)系，消去計(jì)算出的通項(xiàng)，再由計(jì)算出即可得.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，又，故，當(dāng)時(shí)，，即，解得或，又，故；（2）對(duì)任意的，，則，當(dāng)時(shí)，，即，又，即，所以，數(shù)列是等差數(shù)列，首項(xiàng)為，公差為，所以，，則，故當(dāng)時(shí)，，也滿足，故對(duì)任意的，.考點(diǎn)08“和”型和“積”型【方法點(diǎn)撥】“和”型式子可看做前n項(xiàng)和，然后用即可求解；“積”型式子可看做前n項(xiàng)和，然后用即可求解；【例15】已知數(shù)列滿足，，若數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)數(shù)列遞推式求得的表達(dá)式，即可得，結(jié)合其單調(diào)性推出恒成立，繼而判斷的單調(diào)性，求出其最大值，即可求得答案.【詳解】由于數(shù)列滿足，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故，即，也適合，故，則，由于數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，即，即，則恒成立，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故是數(shù)列的最大值的項(xiàng)，故時(shí)，取得最大值，故，則的取值范圍為，故選：C【例16】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列滿足，則數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】【分析】根據(jù)，作差得到，即可求出的通項(xiàng)公式，再記，當(dāng)時(shí)，，即可得到數(shù)列是以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，再利用等邊求和公式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，兩式相減可得，即，所以，故數(shù)列是以為首項(xiàng)、為公比的等比數(shù)列，故．記，故當(dāng)時(shí)，，即，故，因?yàn)?，故，故?shù)列是以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，故．故答案為：【變式81】（多選）已知數(shù)列滿足，，則（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，由此即可判斷B；由題意通過遞推關(guān)系可得，進(jìn)一步可得數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可判斷剩余選項(xiàng).【詳解】數(shù)列滿足，，所以時(shí)，，此時(shí)，故B錯(cuò)誤；，，，化為：．當(dāng)時(shí)，．．，，故可知．故選：AD．【變式82】已知數(shù)列滿足．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)求出；（2）錯(cuò)位相減法求和得到，結(jié)合，得到.【詳解】（1）由題知，當(dāng)時(shí)，，則．又．①當(dāng)時(shí)，，②①②得，所以．當(dāng)時(shí)，也適合．綜上，數(shù)列的通項(xiàng)公式為．（2）因?yàn)椋?，①，②①②得，整理得，因?yàn)椋浴咀兪?3】已知數(shù)列的前n項(xiàng)積，數(shù)列為等差數(shù)列，且，．(1)求與的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)，．(2).【分析】（1）由已知得，，兩式相除得，由已知得，求得數(shù)列的公差為，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求得；（2）運(yùn)用錯(cuò)位相減法可求得.【詳解】（1）解：因?yàn)閿?shù)列的前n項(xiàng)積，所以，所以，兩式相除得，因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，且，，所以，即，所以數(shù)列的公差為，所以，所以，．（2）解：由（1）得，所以，，所以，所以.考點(diǎn)09因式分解型【方法點(diǎn)撥】遇到二次，可嘗試平方差公式，完全平方公式和十字相乘法【例17】設(shè)各項(xiàng)均為正項(xiàng)的數(shù)列滿足，，若，且數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（

）A． B． C．5 D．6【答案】D【分析】由利用因式分解可得，即可判斷出數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，從而得到數(shù)列，數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求出．【詳解】等價(jià)于，而，所以，即可知數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，即有，所以，故．故選：D．【例18】設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，且，則的最大值是．【答案】【分析】由已知等式結(jié)合因式分解可求得，求出，可得出，令，分析數(shù)列的單調(diào)性，可求得數(shù)列最大項(xiàng)的值，進(jìn)而可求得數(shù)列最大項(xiàng)的值.【詳解】因?yàn)?，則，由，可得，所以，，即，滿足，，，則，所以，數(shù)列為等差數(shù)列，故，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即數(shù)列從第三項(xiàng)開始單調(diào)遞減，故，所以，.故答案為：.【變式91】已知正項(xiàng)數(shù)列中，，前項(xiàng)和為，且__________.請(qǐng)?jiān)冖佗谥腥芜x一個(gè)條件填在題目橫線上，再作答：①，②.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.【答案】(1)條件選擇見解析，(2)證明見解析【分析】（1）若選①，通過因式分解化簡遞推公式，得是公差為2的等差數(shù)列，結(jié)合，可求數(shù)列的通項(xiàng)公式；若選②，時(shí)，求出，利用公式，化簡后證得數(shù)列為等差數(shù)列，公差，可求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）利用放縮和裂項(xiàng)相消法求和證明不等式.【詳解】（1）若選①:由，得，即，因?yàn)闉檎?xiàng)數(shù)列，所以，是公差為2的等差數(shù)列，由，得；若選②：，當(dāng)時(shí)，，兩式作差得：，則，兩式作差得，即，所以數(shù)列為等差數(shù)列，時(shí)，，可得，公差，則；（2）由（1）知，，又，【變式92】已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足：，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用可得數(shù)列是等差數(shù)列，即可求出通項(xiàng)公式；（2）由裂項(xiàng)相消法可求出.【詳解】解：(1)由，又有，，兩式相減得，因?yàn)?，所以，又，，解得，滿足，因此數(shù)列是等差數(shù)列，首項(xiàng)為，公差為，所以，(2)所以.【變式93】已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列，滿足，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記，試比較與9的大小，并加以證明．【答案】(1)(2)，證明見解析【分析】（1）利用因式分解推得，從而得到是等比數(shù)列，進(jìn)而求得，由此得解；（2）構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證得，令，從而推得，再利用錯(cuò)位相減法即可得證.【詳解】（1）因?yàn)椋?，因?yàn)榈母黜?xiàng)均為正，所以，故，即，所以是以2為公比的等比數(shù)列，因?yàn)椋止葹?，所以，所以.（2），證明如下：令，則，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，所以，則，即，設(shè)，所以，所以，記，則，所以，即，則，所以，所以.一、單選題1．已知數(shù)列滿足，，則（

）A． B．2 C．12 D．33【答案】A【分析】利用遞推關(guān)系計(jì)算可得數(shù)列是周期數(shù)列，即可計(jì)算出結(jié)果.【詳解】由遞推公式代入計(jì)算可得；可得數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列，所以，故選：A.2．在數(shù)列中，，，，則（

）A． B．15 C． D．10【答案】B【分析】依題意對(duì)化簡，采用累乘法得到，從而得到【詳解】因?yàn)?，所以，即，?所以.因?yàn)椋?故選：B.3．已知數(shù)列的首項(xiàng)為，前項(xiàng)和為，若，（），則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由和的遞推關(guān)系可得表達(dá)式，發(fā)現(xiàn)從第二項(xiàng)起，后面的數(shù)都與前面的數(shù)之比為定值，故可用分組求和、等比數(shù)列求和公式法即可得解.【詳解】由（），得（），兩式作差得：（），即（）.∵，（），∴，∴，∴.故選：C.4．在各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列中,,,為的前項(xiàng)和,若,則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由,化簡可得,得或,因?yàn)楦黜?xiàng)均為正數(shù),故符合題意,不符題意舍去,所以數(shù)列為首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列,根據(jù)等比數(shù)列前項(xiàng)和公式即可求得答案.【詳解】,得，或，又各項(xiàng)均為正數(shù),故符合題意,不符題意舍去.,,所以數(shù)列為首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列則，解得，故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式的應(yīng)用.解題關(guān)鍵是掌握等比數(shù)列前項(xiàng)和公式,考查了計(jì)算能力,屬于中檔題二、多選題5．設(shè)，在數(shù)列中，，則下列說法正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)時(shí)，D．當(dāng)時(shí)，【答案】CD【分析】將選項(xiàng)中的、值代入題中式子，判斷數(shù)列類型，根據(jù)數(shù)列類型求解即可．【詳解】對(duì)于A：當(dāng)，時(shí)，即，又，則，所以，又，則，所以，即數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)相等都等于，偶數(shù)項(xiàng)也相等都等于，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：當(dāng)，時(shí)，，即．因?yàn)椋允且詾槭醉?xiàng)，為公差的等差數(shù)列，則，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：當(dāng)，時(shí)，，所以，因?yàn)?，所以是首?xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，則，故C正確；對(duì)于D：當(dāng)，時(shí)，，則，即．因?yàn)?，所以，所以是首?xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，即，故D正確；故選：CD6．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．?dāng)?shù)列的前100項(xiàng)的和為【答案】ACD【分析】先利用與的關(guān)系求得遞推公式，然后由構(gòu)造法求通項(xiàng)，結(jié)合已知可得，然后即可判斷ABC；利用裂項(xiàng)相消法求和可判斷D.【詳解】當(dāng)時(shí)，有，可得；當(dāng)時(shí)，，整理得，即，所以數(shù)列是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，故，所以，所以．對(duì)于A選項(xiàng)，有，故A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，有，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，有，故C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，，則數(shù)列的前100項(xiàng)的和為，故D選項(xiàng)正確．故選：ACD．三、填空題7．已知數(shù)列滿足，，，則．【答案】128【分析】由題意，根據(jù)等比數(shù)列的定義可知數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為4的等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得，利用累乘法求得，令，計(jì)算即可求解.【詳解】由題意知，，即，又，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為4的等比數(shù)列，所以，當(dāng)時(shí)，，所以.故答案為：1288．已知數(shù)列滿足，，且數(shù)列的前項(xiàng)和為．若的最大值為，則實(shí)數(shù)的最大值是．【答案】【分析】將已知化簡為，由前n項(xiàng)和與通項(xiàng)關(guān)系可求得，進(jìn)而可得，結(jié)合等差數(shù)列前n項(xiàng)和取最大值時(shí)的性質(zhì)即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，，兩式相減得，所以，（），又滿足，所以，（），令，，顯然數(shù)列是等差數(shù)列，若的最大值為，則，解得，所以實(shí)數(shù)的最大值是.故答案為：.9．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則．【答案】210【分析】利用的關(guān)系式可求得，利用分組求和即可求出.【詳解】根據(jù)題意由可得，兩式相減可得，所以可得，因此；即.故答案為：210四、解答題10．記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，對(duì)任意滿足：，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，，求的值．【答案】(1)，(2).【分析】（1）利用時(shí)，及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解；（2）去絕對(duì)值后，利用等差數(shù)列的前