第07章平面解析幾何-2023年高考數(shù)學(xué)真題分類解析

第七章平面解析幾何

§7.1直線和圓

2013^017

考點2018年2019年2020年2021年2022年-

年nW

全地全地全地全地全地全地全地

國方國方國方國方國方國方國方

卷卷卷卷卷卷卷卷卷卷卷卷卷卷

8。直線的方

程、兩直線的

13010120000035

位置關(guān)系、距

離問題

81.圓的方程34010011002066

82.直線和圓的

5920012322311416

位置關(guān)系

83.圓與圓的位

04000000000004

置關(guān)系

Q）命題熱度:本專題是歷年高考命題?？嫉膬?nèi)容（

1屬于中低檔題目主要是以選擇或填空題的形式進行考查,分值約為4萬分,命題

以直線與圓的位置關(guān)系

命題分析與備為重點,直線方程的考查多滲透在導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及直線和橢圓的位置關(guān)系中

考建議進行考查.________________________________________________________________

⑵考查方向:一是考查直線的方程、兩直線的位置關(guān)系、距離問題:主要考查兩直

線位置關(guān)系的判斷、點到直線距離在最值問題中的應(yīng)用等;二是考查圓的方程主

要考查圓的方程的求解以及應(yīng)用;三是考查直線和圓的位置關(guān)系,主要考查位置關(guān)

系的判斷,由位置關(guān)系求解參數(shù)或范圍,由弦長、半徑和圓心距引發(fā)解三角形是重

點;四是考查圓與圓的位置關(guān)系,主要考查位置關(guān)系的判斷和公共弦等相關(guān)問題.

*）明智備考:一是要熟練掌握直線方程的求解以及兩直線位置關(guān)系的判斷,這是平

面解析幾何模塊的基礎(chǔ),滲透在該部分的所有考題中;二是掌握確定圓心與半徑的

基本方法,這是求解圓的方程的關(guān)鍵;三是靈活處理直線和圓位置關(guān)系的相關(guān)問題，

管______________________________________________________________________

知要重視從“形”的方面進行研究,達到減少計算量的目的要精準把握命題意圖，

找到解題的金鑰匙（

R

（4）主編提示:該部分屬于高考?？純?nèi)容,命題的關(guān)注點在于直線和圓的位置關(guān)系中

的相關(guān)計算問題,考查直觀想象、數(shù)學(xué)運算、邏輯推理的核心素養(yǎng),高三備考才爪住

圓______________________________________________________________________

心和這兩個關(guān)鍵量就抓住了圓的實質(zhì)!!!__________________________________

&

考點直線的方程、兩直線的位置關(guān)

系、距離問題

1.（2020.全國3,文8,5分難度★★★）點（0,T）到直線『雙"）距離的最大值為（B）

AIB：√2C.√3D.2

畫直線片《"1）過定點（T,0）,當過點（0,-1）與點（-1,0）的直線與直線片”"1）垂直時,點（T,0）到

直線片4戶1）的距離最大,故最大距離等于QT）和（-1,0）兩點之間的距離,為√∑故選B.

2.（2020.全國3,理10,5分,難度★★★）若直線/與曲線J，巾和圓f曠寺件目切廁1的方程為

（D）

A.y=2x≠lB.y=2x÷i

C.y^x+??）.片嗎

H??"得/另,設(shè)直線/與曲線片質(zhì)的切點為（科歷）,則直線1的方程為廠

歷

即品x-kia加，

由直線/與圓相切相圓心OO）到直線，的距離等于圓的半徑廠爺即萼Lq廨得

J?+1

χ°=ι（負值舍去）,所以直線1的方程為TY專

3.（2018.北京,理7,5分難度★★★）在平面直角坐標系中,記d為點HCOS/sin夕）到直線XFy-

20的距離.當變化時/的最大值為（C）

A.IB.2C.3D.4

躬設(shè)Hw）,則｛；:即點尸在單位圓上,點P到直線χ-my-2^的距離可轉(zhuǎn)化為圓

心（0,0）到直線x-my-2=0的距離加上（或減去）半徑所以距離最大為d=l÷^=?

當∕n=0時4x3

4.(2016?全國2,理4文6,5分,難度★★)圓Z√-2^-8y≠13^O的圓心到直線ax+yTK的距離為

1,則a=(A)

A爭.*.√3D.2

矗圓的方程可化為(XT)WyYyN,圓心坐標為(1,4).

所以娛1=1,解得a=g故選A.

√α2÷l?

5.(2019.江蘇,10,5分難度★★★)在平面直角坐標系XOy中/是曲線y=x*(儲0)上的一個動點，

則點P到直線x+y=0的距離的最小值是.

S?4

麗&直線χ+片0平移到與曲線y=>W相切位置時,切點0即為點P到直線χ+片0的最小距離的

點有./{X+'=1$=T(X必得x=√∑(~√∑舍).

此時尸√Σ臉=3√Σ,即切點4{√2,3√2),

則切點。到直線尸尸0的距離為“阜吧F即為所求最小值.

6.(2016?上海理3,4分難度★★)已知平行直線/∕2x+yT電則//的距離是.

S?r

畫平L白竿

2222

JA-I-By∣2+l

它—B----------------------------------------------------------考點圓的方程

1.(2020.全國3,文6,5分,難度★★)在平面內(nèi)“44是兩個定點,。是動點.若前?就=1,則點C的軌

跡為(A)

A.圓B.橢圓C.拋物線D.直線

噩以"所在直線為X軸,顰四的垂直平分線為里雪平面直角坐標系.

設(shè)月(-&0),則β(a,O)la%y),則公=[x+a,y)JβC=(χ-a,y),由前?近=L得(x+a)(χ-a)+/=1,整理得

也即點C的軌跡為圓.故選A.

2.(2020.北京,5,4分,難度★★★)已知半徑為1的圓經(jīng)過點(3,4),則其圓心到原點的距離的最小值

為(A)

A.4B.5C.6D.7

區(qū)同設(shè)圓心”為力則J(X-3)2+(y-4)2=l,

化簡得(x-3)24jT)2=l,

所以圓心G的軌跡是以M3,4)為圓心,1為半徑的圓，

所以∣OC∣+?>M∕√32+42=5,

所以女生5-14

當且僅當。在線段QV上時取得等號,故選A.

3?(2015?全國2,理7,5分,難度★★★)過三點/(1,3),用4,2),-7)的圓交y軸于即'兩點則IMNI=

(C)

A.2√6B.8C.4√6D.10

____(D+3E+F+10=O,(D=-2,

快時設(shè)圓的方程為XW如嶺+尸0,將點40C代入閣4D+2E+F+20=0,解得E=4,

.D-7E+F+50=0,(F=-20.

則圓的方程為∕√-2%v4y-20=0.

令X=Q得∕÷4y-204),

設(shè)MoM,MOM廁九分是方程/用廣20=0的兩根,

+

由根與系數(shù)的關(guān)系彳導(dǎo)y?yz=Λlyχy2=-2Q,

2

故，亞/=/%”/f(y1+y2)-4y1y2-y∕16+80=4√6.

4.(2015?全國2,文7,5分灘度★★★)已知三點/(1,0)以0,6)以2,國建必/歐外接圓的圓心到

原點的距離為(B)

展亨C.爭W

躅由題意知小/a＞外接圓的圓心是直線I與線段四垂直平分線的交點為匕而線段仍垂直

卷《(送),它與U聯(lián)立得圓心

平分線的方程為V

√21

IoPl=3-

5.(2015.北京,文2,5分,難度★★)圓心為(1,1)且過原點的圓的方程是O

A.(xT)H尸I)』

B.(x+l)H尸if=1

C.(x÷l)2÷(y÷l)?

D.(%-l)2≠{y-l)?

曬圓的半徑片幺標準方程為(X-I)2心TfN

6.(2022.全國甲,文14,5分,難度★★★)設(shè)點"在直線2戶廠1才上,點(3,0)和(0,1)均在。.M上,則

O的方程為.

霞I(XT)出戶廠節(jié)

“本題考查圓的標準方程及直線與圓的位置關(guān)系.

(方法1)設(shè)月(3,0)血0,1),則線段小的垂直平分線方程為T=3(x-∣),即尸3xY?

暇鼠哪:匕

即圓心M的坐標為(1,T)?

設(shè)。."的半徑為廠,則/X3T"g.

故所求。M的方程為(xT)"DF

(方法2)設(shè)圓心曲&1-2a),?！ǖ陌霃綖椤﹦t/文-3)飛1-2a)Ha√))HI-2aT)：

整理可得-10a+IO=O,即a=?.

則圓心Ml,T),故所求。"的方程為(XTy心+I)?巧.

7.(2022.全國乙,理14文15,5分,難度★★★)過四點(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三點的一個圓的方

程為.

答案(X-2『心-3)。=13(或(X-2)24yT)°巧或(Xq),(y?若或(XT)HyTy嘿)

罅法本題主要考查圓的方程的求解.

若圓過點(O,O),(4,0),(-1,1),

則設(shè)圓心為⑶加,半徑為r?,

份+憂=riɑi=2,

,?{(a「4)2+b：=r?,解得Ibl=3,

l(ɑi+I)2+(bι-l)2=rlVi=13?

?：圓的方程為(X-2)Hy-3)2=13.

若圓過點(0,0),(4,0),(4,2),

則設(shè)圓心為(曲與,半徑為r2,

fα∣+bj=rj,僅2=2,

2r

???(α2-4)+62=2/解得切=1，

((a2-4)2+SZ-2)2=rl，?T2—5.

,：圓的方程為(x-2)1心T

若圓過點(0,0),(T,1),(4,2),

則設(shè)圓心為(a也),半徑為n,

ɑ?+城=r?,?3=

?(a?+l)2+(/-l)?=r專,解得,

b3=

03-4)2+--2)2=r2ι

.：圓的方程為(xq)2《y《y號.

若圓過點(4,0),(-1,1),(4,2),

則設(shè)圓心為(物右),半徑為r,,

(8

((a4-4)2+暇=在α4=ξ-

?：{(α4+l)2+(%-l)2=ri解得＜?4=1，

((Q4必)2+@4-2)2_4

2L=嘿?

.：圓的方程為(XT)XyT)2嘿?

8.(2018.天津,文12,5分,難度★★)在平面直角坐標系中,經(jīng)過三點(0,0),(1,1),⑵0)的圓的方程

為.

??∕√-2%=0

畫畫出示意圖如圖所示,則△如8為等腰直角三角形,故所求圓的圓心為(LO),半徑為1,所以所

求圓的方程為(XT)2+「=1,即X√-2Λ=0.

9.(2016?浙江,文10,6分,難度★★)已知a∈R,方程a'x^?^(a≠2)y÷4jr+8y?a=0表示圓,則圓心坐標

是是.

??∣(-2H)5

解析由題意,可得aa=a+2,解得a=-l或2.當a=T時,方程為∕?√÷4x÷8尸5=0,即(x+2)Hy柿=25,

故圓心為(-2f半徑為5；當at時,方程為4ΛWMX+8*10K,(X+歲ST不表示圓.

10.(2016?天津,文12,5分,難度★★★)已知圓C的圓心在X軸的正半軸上,點M0,何在圓C上,且

圓心到直線2/-片O的距離為誓,則圓，`的方程為.

H(Λ-2)2√=9

畫設(shè)圓心。的坐標為(a,O)(a刈廁^又點MO,而)在圓C,上廁圓。的半徑

r√22+5=3.故圓C的方程為(χ-2"爐瓶

11.(2015?全國1,理14,5分,難度★★★)一個圓經(jīng)過橢圓捻號=1的三個頂點,且圓心在X軸的正

Io4

半軸上,則該圓的標準方程為.

答案(W)“岑

題由條件知圓經(jīng)過橢圓的三個頂點分別為(4,0),(0,2),。-2),設(shè)圓心為(a,0)(aH),所以

J(α-0)2+(0-2)2%-a,解得a=∣,故圓心為信0),此時半徑7因此該圓的標準方程是(x-

2,225

1),

考點直線和圓的位置關(guān)系

1.(2022.北京,3,4分難度★★)若直線2x+y-lO是圓(尸，+/=1的一條對稱?則a=O

A.；B.-^C.ID.-1

蠡本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系.

圓(χ-af+∕=l的圓心為(a,0),代入直線方程,可得2a÷OT=0,.：a§故選A.

2.侈選題)(2021.全國新高考1,11,5分,難度★★★)已知點，在圓(XT)2心T”16上,點

{(4,0)%2),則(ACD)

A.點。到直線/傷的距離小于10

B.點P到直線/區(qū)的距離大于2

C.當N物最小時,∕Λ9∕=3√Σ

D.當NPBA最大時,/盟∕=3√Σ

如如圖,記圓心為也半徑為r,

則M5,5),r=4.

由條件得,直線段的方程為洛=L整理得x+2y∕=0,過點必作梯垂直于直線仍垂足為A；直線腑

與圓材分別交于點A典圓心網(wǎng)5,5)到直線/厲的距離那/」5產(chǎn)5-4|車,于是點尸到直線四的距

出775

離最小值為∕EV∕=M∕-T∣F最大值為TWv"r今4

又＜2部司＜10,故A正確,B錯誤；

過點8分別作圓的兩條切線鴨即切點分別為點月區(qū)則當點P在A處時/板最大,在A處時

N/渤最小.

又/%/=/雙片JIBMI2』5?+(5-2)2-42=3√2,

故JD正確.故選A,C,D.

c?M?解圓中相關(guān)最值問題的規(guī)律

一是會轉(zhuǎn)化,即把動點到定直線的距離的范圍問題進行轉(zhuǎn)化,利用點到直線的距離公式求出圓心

到直線的距離,從而判斷出直線與圓的位置關(guān)系,即可得出動點到定直線的距離的范圍;二是會利

用圓的切線,輕松判斷何時角取得最值.

3.侈選題)(2021.全國新高考2,11,5分,難度★★★)已知直線Γ.ax+by-r=Q與圓CJ+/=E點

用包》則下列說法正確的是(ABD)

A.若點A在圓C上,則直線1與圓G相切

B,若點A在圓C內(nèi)廁直線1與圓(相離

C.若點A在圓"卜,則直線1與圓C相離

D.若點A在直線1上廁直線/與圓C相切

麗選項A,:?點A在圓上,.：入一寸圓心。0倒直線/的距離d^==r,

2

y]α2+b

?：直線)與圓。相切,故A正確；

選項B,：?點A在圓內(nèi),.：才歷圓心(0⑼到直線j的距離力/=*.：直線1與圓C相離,故B

Ja2+b2

正確；

選項C,：.點A在圓外,.：才歷2?,圓心(0,0)到直線1的距離公4=9.：直線1與圓C相交,故C

Ja2+b2

錯誤；

2

選項D,:?點/在直線，上,?22%2f4即才所方,圓心(0,0)到直線/的距離＜/==?.：直線

Ja2+fe2

1與圓C相切,故D正確.故選ABD.

4.(2021?北京,9,4分,難度★★)已知直線尸履儂加為常數(shù))與圓x+M交于點MN當“變化時，

若也%的最小值為2,則ZKC)

A.÷1B.÷√2C.≠√3D.±2

函由題意可知圓心到直線/的距離d半L,圓C的半徑廠2,則直線/被圓C截得的弦長為

√fc2+l

2占二=21一黑.當k=Q時直線1被圓。截得的弦長最小,為2√4-τ∏2.由已知得

2J4-m2=2,解得m=±y∕3.故選C.

5.(2020.全國2,理5文8,5分,難度★★)若過點(2,1)的圓與兩坐標軸都相切,則圓心到直線2廠廣

3=0的距離為(B)

A√52√53√54√5

A."ξ-Db.-ξ-vr?-ξ-nU.-ξ~

油由題意可知,圓心'在第一象限.

2

設(shè)圓心為(a,a)(aX),則(2-a)√lT=短

解得a=l或a?.當a=l時,圓心為(1,1),此時圓心到直線2χ-yT=O的距離為d第1考.

當a?e時,圓心為(5,5),此時圓心到直線2χ-廣3R的距離為雄上等!若.

綜上,圓心到直線2χ-y-i^的距離為尊.故選B.

6.(2020?全國1,理11,5分,難度*玄外已知。/六+六2_￥-2廣2對直線∕2x+y+24)/為/上的動

點過點尸作。〃的切線陽陽切點為44當/7MA≡最小時,直線/6的方程為(D)

A.2χ-y-?4)B.2x+yTjzO

C.2χ-y+?zzOD.2x≠κ7^l?θ

匾由已知得。就(XT)H尸i)y

I2

因為S四邊形弓/月v∕?"6∕=2SAP,.=IPA∣-∣AMI/∕?∕?J∣PM∣-4,

所以/刖/朋最小,即倒最小,此時用/與直線/垂直四所在直線的方程為片嗎直線網(wǎng)與

直線1的交點為fl(-ι,o).M∕^μι+i)2+(1-O)2√5,

在Rt△4制，中,!AP∕=??PM?i-?AM^=?.

又!AP∣=∣BP∣=1,

以尺-1,0)為圓心為半徑作圓,則A8為OM與。P的公共弦,。P的方程為("1)2*六1,即

x+2x+y=O.

兩圓方程相減得4x+2y+2R,即直線,"的方程為2x+y+?^.

7.(2018.全國3,理6,5分,難度★★)直線x+y+2=0分別與X軸、y軸交于4,8兩點,點P在圓(廣

2)2÷√N上廁△/1睨面積的取值范圍是(A)

A.[2,6]B.[4,8]

C.[√2,3√2]D.[2√2,3√2]

其益設(shè)圓心到直線四的距離d上等之√Σ

點P到直線力方的距離為d).易知d-ι^dVd+r我近Sd'令應(yīng)

又AB爾丸；.SA∣ABbd,^2d,,

??2≤5ΔMW6.

8.(2015.廣東,理5,5分,難度★★)平行于直線2nHO且與圓Z√?相切的直線的方程是(八)

A.2%÷y÷5rO或2%÷y-5rO

B.2%÷y?∕54)或2x+y~近鼻

C.2%-y??z0或2χ-y~5^

D.2χ-y-h∣5=Q或

I解析陵與直線2x+y+lR平行的直線方程為2x+y%R(*l),因為直線2x+y+πι=Q與圓x+y=5相

切,所以嘿R5,A√W?

√5

故所求直線的方程為2x^=0或2x+yT4?

9.(2015.山東,理9,5分難度★★★)f光線從點(-2,T)射出,經(jīng)J，軸反射后與圓("3)Hy-2)W

相切,則反射光線所在直線的斜率為(D)

a?3或爭?^ι或q

c????爭H

??口圖,作出點凡-2,-3)關(guān)于y軸的對稱點R⑵T).由題意知反射光線與圓相切,其反向延長

線過點PQ.故設(shè)反射光線為片缺-2)-3,即kχ-y-2k~3=0.

.：圓心到直線的距離〃」巧22M3∣=I,

解得A=T或k=%

10.(2015?重慶,理8,5分,難度★★★)已知直線Γ.x+ay-?=0(a∈R)是圓C.x+yΛχ-2y+?=0的對稱

軸.過點/(Wa)作圓C的一條切線,切點為S則IABl=(C)

A.2B.4√2C.6D,2√10

畫依題意,直線，經(jīng)過圓C的圓心⑵1),因此2+a-lO,所以a=-L因此點/1的坐標為(W-I).又

圓C的半徑「之由4"C為直角三角形可得加/如小/.

22

又〃67=2√TU,所以∕Aβ∕=y∣(2√Tθ)-2=6.

11.(2014.全國2,文12,5分,難度★★★)設(shè)點Mxo,1),若在圓β√√＜上存在點A；使得

N。限05°廁揚的取值范圍是(A)

A.[-1,1]B.j]

C.[√2,√2]D.[-y,y]

前建立三角不等式,利用兩點間距離公式找到E的取值范圍.

如圖,過點"作。。的切線,切點為M連接加"點的縱坐標為1,加與。。相切于點N.

設(shè)NoAiN=〃,則叱45。，即sin〃考，

即而ON=X,VΣ.

二”為(61),.：+1≤√∑,?M≤1,

.:T≤Λb≤l,.：H的取值范圍為[-1,1].

12.(2014?浙江,文5,5分,難度★★)已知圓χO∕+2χ-2y+a=0截直線x+y+2=0所得弦的長度為4,

則實數(shù)a的值是(B)

A-2B.-4C.-6D.-8

畫圓的方程可化為(XH)HyT)*W因此圓心為(-1,1)泮徑片√ΣmH?

圓心到直線x"+2=0的距離小四拱19反,又弦長為4,

VZ

2

因此由勾股定理可得(魚yx√∑二㈤2,

解得a=T.故選B.

2

13.(2022.全國甲,理14,5分,難度★★★)若雙曲線=l(fflX))的漸近線與圓√√→ly÷3=0相切,

則m=.

題考查直線與圓的位置關(guān)系及雙曲線的幾何性質(zhì).

圓的方程可化為V五尸2)』,雙曲線的一條漸近線方程為產(chǎn)到3刈,

由題意VB=L解得總或片手

又人所以加考

14.(2022?全國新高考1,14,5分,難度★★★)寫出與圓√√=1和(χ-3),心/)汩6都相切的一條

直線的方程：.

答可X=T,或產(chǎn)3傷或y磊矛-||

屆本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系,求切線方程問題.

在平面直角坐標系中,畫出圓x'+y=?和圓(x-3),心Y)W6.設(shè)點αθ,O),Q(3,4),

由圖得兩圓外切,則。。與。α有兩條外公切線和一條內(nèi)公切線,易得其中一條外公切線/的方程

為X=-L由圖可知,內(nèi)公切線/與另T外公切線/一的斜率均存在.

:x與直線OQ垂直,直線OQ的斜率k°o∣與,：直線7>的斜率跖=—,直線。。的方程為片打可設(shè)

直線L的方程為尸一尸地刈.

又圓心。到直線Z的距離4T==I,解得厚（負值舍去）.

厚

故內(nèi)公切線Z的方程為片小日

_4

由y=/得直線1與直線Oa的交點為/1（-1,-毀

.X=-1.

則可設(shè)直線Jz的方程為yg=A（戶1）.

又圓心。到直線A的距離送羋支司,解得44故直線人的方程為y鼻噌.

√fc+1

由上可知,與圓Xw=I和（χ-3）次尸4）汩6都相切的直線的方程為Ll,或尸%號或.r?x-∣.

15.（2022?全國新高考2,15,5分,難度★★★）設(shè)點4（-2,3）以0,a）,直線48關(guān)于直線y=a的對稱直

線為/,已知/與圓U（x+3）2心⑵汩有公共點,則a的取值范圍為.

蠡本題考查直線與圓的位置關(guān)系,考查數(shù)學(xué)運算能力,數(shù)形結(jié)合思想.

因為施岑,所以直線四關(guān)于直線y=a的對稱直線為（3-a）χ-2y+2aR.由題意得半上墳日，

214+（3--

整理解得意把∣?

16.（2021?天津,12,5分,難度★★）若斜率為√5的直線與y軸交于點/1,與圓XHy-I）\1相切于點B,

則/四/三

S?√3

嬴（設(shè)圓心為也由直線的斜率為遍知此切線的傾斜角為60°,又切線與y軸交點為4所以

乙%?=30°.又/被以90°,且奶=L

所以即fAβ,∕^JAM2-BM2^/3.

17.（2020?天津,12,5分難度★★）已知直線χ-√3y÷8=O和圓x÷/4（r>0）相交于/1,6兩點.若

幽手則r的值為.

S?1δ

R?圖.

VIAB!=&,/.IADI^3.

圓χ2y√=χ的圓心為（0,0）

圓心到直線的距離切黑N,

vl+o

.：405,即尸5.

18.（2020浙江15,6分,難度★★★）已知直線片心班（QO）與圓.1+六］和圓（i"/=］均相切廁

k-lb=

Hf等

但祠由/cX）,根據(jù)題意畫出直線上片“戶6及兩圓,如圖所示.

由對稱性可知直線1必過點⑵0),即2"6電φ

并且—L②

Jl+fc2jl+?2

由②②??得kq~,b=-^γ-.

19.(2020.江蘇,14,5分灘度★★★★)在平面直角坐標系MZ中,已知(苧,θ),44是圓C.x÷^y-

ι?2

y=36上的兩個動點,滿足El=陽則△*6面積的最大值是.

??]10√5

畫?圖,由已知彳導(dǎo)CP=X1ABLCP.

設(shè)過點〃的直徑為EKAB與3相交于點〃設(shè)CD=d.

⑴當點〃與戶在圓心(,的異側(cè)時，

SA"弓X2√36-d2X(l+4

=J(36-d2)(l+d)2(0<√<6).

設(shè)WflK36-d)(1+4

則/“(4=-2戊*1)%2(36--)("1)

=-2(d+l)(dY)(2"÷9).

所以《功在區(qū)間[0,4)上單調(diào)遞增,在區(qū)間(4,6)上單調(diào)遞減，

所以當不時,4。取得最大值《4)巧00,此時W,"10√5.

⑵當點。與P在圓心G的同側(cè)時,鶴點。在點以尸之間時,△必8的高為?-d,

言〃在"的延長線上時A必8的高為d-?.

根據(jù)圓的對稱性,當/由與⑴中相等時相應(yīng)的高都小于⑴中招對應(yīng)的高,所以相應(yīng)△用8的面積

也小.

綜上A用8面積的最大值是10√5.

20.(2019?浙江,12,6分,難度★★★)已知圓C的圓心坐標是(0/),半徑長是r.若直線2χ-戶3=0與

里M目切于點d(-2,T),則m=r=.

B-2√5

麗由題意知"W=4cHW(X+2)，把(0〃)代入得折-2,此時r=∕∕fC∕=√4+T√5.

21.(2018?全國1,文15,5分,難度★★★)直線y=x+?與圓√√+2y-3=0交于48兩點則他/=.

??12√2

畫圓的方程可化為XHH)F故圓心m,T),半徑r2圓心到直線y=x+?的距離

心誓11√∑,所以弦長/W?√r2-d2=2√4^2?√2.

VZ

22.(2016?全國3,理16文15,5分,難度★★★)已知直線?+y≠3?√3O與圓x+y=?2交于A1B

兩點過M分別作1的垂線與X軸交于C。兩點若〃淤2何則∣CD∣=

s??

∣??為〃刃=2遮,且圓的半徑Λ>?√3,

所以圓心(0,0)到直線mx+y埒m7iq的距離為舊用13

由粵?,解得0=q.

√m2+l?

將其代入直線/的方程彳導(dǎo)y^x+2√5,即直線7的傾斜角為30。.

由平面幾何知識知在梯形/瓦心中,∕α√辭第=4.

23.(2016?全國1,文15,5分灘度★★★)設(shè)直線y=x+2a與圓C.x√-2ay-2O相交于46兩點,若

/之舟則圓C的面積為.

4“

1「的方程可化為*H尸城之法,直線方程為x-y+2a=Q,

B所以圓心坐標為(0,a),半徑/才+2,圓心到直線的距離d瞿由已知(6)*=才+2,解得才之，

故圓C的面積為π(2+,)Nπ.

24.(2015?江蘇,10,5分灘度★★★)在平面直角坐標系Xa中以點(1,0)為圓心且與直線mχ-y-

20-14)(∕z,∈R)相切的所有圓中,半徑最大的圓的標準方程為.

霜(XT)Wq

薪(方法一)設(shè)41,0).由mχ-y^mΛ或得心-2)■(戶1)=0廁直線過定點∕{2,T),即該方程表示所

有過定點P的直線系方程.

當直線與垂直時,所求圓的半徑最大.

此時,半徑為W^(2-l)2+(-1-0)2√2.

故所求圓的標準方程為(xT)2+∕q.________________

(方法二)設(shè)圓的半徑為/；根據(jù)直線與圓相切的關(guān)系得齊舞^^

當me時,1福＜1,故1禹無最大值；

當游0時/=1；

當m為時4+G2鞏當且僅當lπ=l時取等號).

所以7≤"+IWΣ,即Λm二?②

故半徑最大的圓的方程為(XTy獷?

25.(2014?重慶,理13,5分,難度★★★)已知直線ax+廣2=0與圓心為C的圓(XTy心得工相交

于4,兩點,且△4%為等邊三角形,則實數(shù)a=?

4±√15

_S?力回為等邊三角形可得,。到46的距離為國,即(l,a)到直線ax+y-2O的距離

S即可求得±\萬百.

"」：+嗎W?,a''~8a"lθ,a=4

√l+α2

26.(2016?江蘇,18,16分,難度★★★★)

如圖,在平面直角坐標系xθy中,已知以"為圓心的圓就f+∕τ2xT4片600及其上一點/⑵4).

⑴設(shè)圓A與X軸相切,與圓M外切,且圓心川在直線ΛW上,求圓N的標準方程；

⑵設(shè)平行于OA的直線/與圓J/相交于窗兩點且a'=陽求直線1的方程；

⑶設(shè)點ZUO)滿足:存在圓"上的兩點。和。使得再而才克,求實數(shù)f的取值范圍.

H

圓"的標準方程為(X⑹出廠7)25,所以圓心M6,7)泮徑為5.

⑴由圓心N在直線.r=6上，

可設(shè)Λ(6,∕o).

因為圓A'與X軸相切,與圓〃外切,所以05<7,于是圓N的半徑為外

從而7-%=5??解得y0=?.

因此圓A的標準方程為(X⑹氣尸I)飛

⑵因為直線/〃例所以直線/的斜率為m2

設(shè)直線1的方程為片2x切即2χ-y+m=Q

則圓心"到直線1的距離d」絲鏟U晴!.

√5√5

因為^C=6?√22+42?√5,

而初=也勻：

2

所以25」"："÷5,解得ot?或m?-l5.

故直線1的方程為2χ-y÷54)或2χ-y-15=0.

⑶設(shè)巴的M,心2㈤.

因為以2,4),7(3),前而四，

所嘴？Mr①

因為點。在圓M上,所以(生⑹Hk7)25.②

將②代入②得(XY)WM-3)235.

于是點∕{x∣M既在圓M上,又在圓[x"(t÷4)]-心-3)2=25上，

從而圓(X⑹Wy-7)25與圓[χ-(t司)]抬尸3)25有公共點，

所以5~5≤J[(t+4)-6]2+(3-7)2<5?,

解得2-2√21<i≤2≠2√21.

因此,實數(shù)力的取值范圍是[2-2?T,2+2√Π].

27.(2015.全國1,文20,12分,難度★★★★)已知過點/((M)且斜率為左的直線1與圓C.{χ-

2)2位TH交于MA,兩點.

⑴求A的叫直范圍；

⑵若加?麗=12,其中。為坐標原點,求比V/.

闞⑴由題設(shè),可知直線1的方程為y=kx+l.

因為1與C交于兩點，

所以竿坦i<i.解得WCa寫.

y∣l+k2

所以4的取值范圍為(竽,竽).

⑵設(shè)MXIM,M*2M)?

將y=kx+?代入方程(『2)2%尸3)2=L

整理得(1?2)∕-4(lM)X+7?θ.

所以為??∕0+,,由及一7

1+k1+k

OMON=x?x?ι+y?yι=(y+必)x↑x?ι+k[x??)÷1fy)對?

由題設(shè)可得當署刊=12,解得k=l,

所以，的方程為y法+1?

故圓心。在/上,所以/,楸/2.

28.(2015.廣東,理20,14分,難度★★★★)已知過原點的動直線1與圓0g+/芍*為=0相交于不

同的兩點A.B.

⑴求圓G的圓心坐標；

⑵求線段"的中點"的軌跡C的方程；

⑶是否存在實數(shù)A,使得直線∕j4(xY)與曲線。只有一個交點?若存在,求出力的取值范圍;若不

存在,說明理由.

回(1)由/+/與工巧加彳導(dǎo)^^)?+/-!,

從而可知圓G的圓心坐標為(3,0).

⑵設(shè)線段"的中點),

由弦的性質(zhì)可知QIa即CxMVOM.

故點必的軌跡是以O(shè)G為直徑的圓，

該圓的圓心為4∣,θ)泮徑吊①號X3=∣,其方程為(X-IyT=(I)：即X2√-3^=0.

又因為點M為線段"的中點,所以點M在圓G內(nèi),所以J(X-3)2+y2<2.

又ΛW-3E),所以可得吟

易知爛3,所以Ia≤3.

所以線段四的中點M的軌跡C的方程為√√-3%^O(∣<x≤3).

⑶存在實數(shù)人滿足題意.-

由⑵知點材的軌跡是以G0)為圓心,I為半徑的圓弧前(如圖所示,不包括兩個端點),

且噌，竽)晤，-竽)?

又直線"二?UF)過定點ZU0),

當直線/.與圓「相切時,由四四卷得T.

Jfc2+!

又又=-)U=r…-一.丁,:結(jié)合上圖可知當A∈{-∣,∣U

43

有一個交點.

29.(2014.全國1,文20,12分,難度★★★★)已知點用2,2),圓以,夕飛月),過點/,的動直線/與圓

「交于43兩點,線段48的中點為M。為坐標原點.

⑴求."的軌跡方程；

⑵當3∕=∕Q%時,求/的方程及4/W的面積.

廚⑴圓。白竺J呈可化為日汩6,所以圓心為電,4),半徑為4.

設(shè)MX,y),則而=(x,y-A),'MP=(2-χ,2-y).

22

由題設(shè)知麗?麗也故M2-X)HyY)(2-7)=O1BP(X-I)÷(y-3)=2.

由于點，在圓C的內(nèi)部，

所以M的軌跡方程是(X-DH尸3)2幺

⑵由⑴可知M的軌跡是以點Ml,3)為圓心,√Σ為半徑的圓.

由于/6P/=/Q〃故。在線段的垂直平分線上，

又P在圓N上,從而ONVPM.

因為QV的斜率為3,所以1的斜率為士故1的方程為尸令專

又/%'=/0V之√Σ,。到/的距離為警,例〃呼,所以△/W的面積為3

■考點圓與圓的位置關(guān)系

1.(2016.山東,文7,5分,難度★★★)已知圓戒+j"2"=o(a刈截直線x+y=Q所得線段的長度是

2√Σ則圓M與圓.M(xT)2*yT)2=l的位置關(guān)系是(B)

A.內(nèi)切B.相交C.外切D,相離

匾圓口的方程可化為J心-a)?,故其圓心為MO,a)泮徑R=a.

所以圓心到直線廣片0的距離"邛坦="a.

Jl2Tl22

所以直線x+y^被圓M所截弦長為2√??=2

由題意可得魚故ar2?

圓.v的圓心MLl),半徑Ll.

而恤H(I-O)2+(1-2)2√2,

顯然狂r(∕網(wǎng)Va)打,所以兩圓相交.

2.(2014.北京,文7,5分灘度★★★)已知圓d(χ-3)WyY)2=l和兩點4(-典0)演明)(心0).若圓C

上存在點月使得/4樹0°,則勿的最大值為(B)

A.7B：6C.5D.4

噩因為4-確),則,0)("兇),所以使N仍刑0。的點尸在以線段/8為直徑的圓上,該圓的圓心為

知,0),半徑為加

而圓C的圓心為。3,4),半徑為1.

由題意知點P在圓C上,故兩圓有公共點.

所以兩圓的位置關(guān)系為外切、相交或內(nèi)切，

故m-?<∣CO∣<mAl

即RTW5Sτz+l,解得4<Λ≤6.

所以R的最大值為6.故選B.

§7.2橢圓

2013"20172020

2018年2019年2021年2022年

年年

^?^

考點全地全地全地全地全地全地

全國

國方國方國方方國方國方國方

卷卷卷卷卷卷卷卷卷卷卷卷卷卷

84.橢圓的定義

13000001001024

及其標準方程

83.橢圓的幾何

5833101141201613

性質(zhì)

86.直線和橢圓

51123131411111123

的位置關(guān)系

續(xù)表

⑴命題熱度:本專題是歷年∣≡考命題必考的內(nèi)司(?????),屬于中

檔題目三種題型都有所考查,分值約為43分或12分,命題的重點是

直線和橢圓位置關(guān)系中的

計算與證明問題廠

(2)考查方向:一是考查橢圓的定義與標準方程:主要考查橢圓標準方

程的求解以及定義的靈活應(yīng)用;二是考查橢圓的幾何性質(zhì):主要考查

I橢圓離心一的求解;三是考查

直線和橢圓的位置關(guān)系,主要庭眩長與三角形面積的計算以及相

關(guān)的判斷與證明

?、、憫閾一

命題分析與備考建墳⑶明智備考:一是要熟練掌握橢圓的定義,這是解決橢圓標準方程、

迅速求解橢圓離心率的基礎(chǔ);二是熟練掌握代數(shù)法在求解直線和橢圓

位置關(guān)系的應(yīng)用,這也是用“數(shù)”究“形”的典范,同時也要注意靈活利

用圖形的直觀性解決位置關(guān)系問題.要精準把握命題意圖,找到解題

的金鑰匙(A).

(4)主編提示:該部分屬于高考必考內(nèi)容,I命題的關(guān)注點在于用方程的

觀點解決直線和I

橢圓的位置關(guān)系間函考查數(shù)學(xué)運算'邏輯推理的核心素養(yǎng),高三備

考,準確識記定義與方程,掌握研究此類問題的基本方法一SS

I靈活利用橢圓的定義與性質(zhì)轉(zhuǎn)回高考闖關(guān),易如反掌!!!

■考點橢圓的定義及其標準方程

1.(2022.全國甲,文11,5分灘度★★★)已知橢圓號咯=l(aMA))的離心率為分別為。的

左、右頂點4為，、的上頂點.若瓦不瓦石=T,則。的方程為(B)

A???1B??÷1

χ2y2%22

C至亍=ID工+y=1

成本題考查橢圓的標準方程及其離心率問題.

由題意知,4(-耳0),力2(劣0),鳳0,6),則瓦G瓦石<-4-力)?(a,V)=-才+K=-II①

由弓得瑞察二1^?,

即叫/②

聯(lián)立斌解得aM,∕=8.故選B.

2.侈選題）（2020.山東,9,5分,難度★★★）已知曲線C.m^+n∕=?.（ΛCD）

?.若必MX）,則。是橢圓,