求數(shù)列通項(xiàng)公式方法歸納(十種方法)

求數(shù)列通項(xiàng)公式方法歸納(十種方法)

求數(shù)列通項(xiàng)公式方法歸納

一、公式法

【例1】已知數(shù)列{an}滿足an12an32n，a12，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。anan1an33

，則，故數(shù)列{是nn1nn1n

2222222

aan323以1為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，得，11(n1)1n

22222

31

所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an(n)2n。

22

解：an12an32n兩邊除以2n1，得

an1

an

二、累加法

【例2】已知數(shù)列{an}滿足an1an2n1，a11，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。解：由an1an2n1得an1an2n1則

an(anan1)(an1an2)(a3a2)(a2a1)a1

[2(n1)1][2(n2)1](221)(211)12[(n1)(n2)21](n1)12

(n1)n2

2

(n1)1

(n1)(n1)1n

2

所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為ann。

【例3】在數(shù)列{an}中，

a13

,an1an

1n(n1)

，求通項(xiàng)公式an.

解：原遞推式可化為：an1an

11

1

1n

1n112

則

a2a1

2

,

a3a2

131n

a4a3

13

1

4，……，

anan1

1n1

1

逐項(xiàng)相加得：ana11

1n

.故an4

1n

.

【例4】已知數(shù)列{an}滿足an1an23n1，a13，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。解：由an1an23n1得an1an23n1則所以an3nn1.

【例5】已知數(shù)列{an}滿足an13an23n1，a13，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。解：an13an23n1兩邊除以3n1，得則an13

n1

an13

n1

an3

n

23

13

n1

，

an3

n

23

13

n1

，故

an3

n

((

an323

n

an1an11

)(2313

n

an1an1

1313

n

an23

n2

)(

an231

n2

an33

)(n3

2313

a23

2

a13

)1

a13

3

)(n

(

)(n1

13

23

33

)(n2

13

2

)2

33

2(n1)3

1

n2

n1

)1

1

因此

an3

n

23

2(n1)3

n3

n

12

n

(1313

n

n1

)1

2n3

12

123

n

，

則an

3

12

.

【例6】在數(shù)列an中，a10且an1an2n1，求通項(xiàng)an.

an132n3

n112n3

2

n1

2

【小練】：已知

{an}

滿足

a11

an1an

1

n(n1)求{an}的通項(xiàng)公式。

*

，

已知

{an}

的首項(xiàng)

a11

，

an1an2n

n

（nN）求通項(xiàng)公式。

an

已知

{an}

中，

a13

，

an1an2

，求。

2

三、累乘法類(lèi)型an1f(n)an型

【例7】已知數(shù)列{an}滿足an12(n1)5nan，a13，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。

an1an

解：因?yàn)閍n12(n1)5nan，a13，所以an0，則

an

an1

a3a2

a2a1

2(n1)5，故

n

an

an1an2

n1

a1

n2

[2(n11)52

n1

][2(n21)5

][2(21)5][2(11)5]3

3

21

[n(n1)32]5

n(n1)

n1

(n1)(n2)21

325

2

n!

n(n1)

所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an32

n1

5

2

n!.

【例8】已知數(shù)列{an}滿足a11，ana12a23a3(n1)an1(n2)，求{an}的通項(xiàng)公式。

解：因?yàn)閍na12a23a3(n1)an1(n2)所以an1a12a23a3(n1)an1nan用②式－①式得an1annan.則an1(n1)an(n2)

an1an

①

②

故n1(n2)

所以an

an

an1an2

an1

a3a2

a2[n(n1)43]a2

n!2

a2.

③

由ana12a23a3(n1)an1(n2)，取n2得a2a12a2，則a2a1，又知

a11，則a21，代入③得an1345n

n!2

。

3

所以，{an}的通項(xiàng)公式為an

n!2

.

【例9】在數(shù)列an中，a11，

an1anan

nn1

，求通項(xiàng)an.

an1

解：由條件等式

an

nn1

得，

an1

an1an2

a2a1

n1n211

nn12n

，得

an

1n.

練習(xí)：1、已知：

a1

13，

an

2n12n1

an1

{a}

（n2）求數(shù)列n的通項(xiàng)。

2、已知

{an}

中，

an1

nn2

an

且a12求數(shù)列通項(xiàng)公式。

四、待定系數(shù)法

an1cand

(c0,c1)

型

n

【例10】已知數(shù)列{an}滿足an12an35，a16，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。

n1n

解：設(shè)an1x52(anx5)

④

nnn1n

將an12an35代入④式，得2an35x52an2x5，等式兩邊消去

2an，得35x5an15

n1

nn1

代入④式得2x5，兩邊除以5，得35x2x則,x1,

⑤

n1n

nn

2(an5)

n

由a156510及⑤式得an50，則

1

1n

an15an5

n

2，則數(shù)列{an5}是以

n

a151為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，則an52

n1

n1n

，故an25。

n

【例11】已知數(shù)列{an}滿足an13an524，a11，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。

n1n

解：設(shè)an1x2y3(anx2y)

⑥

n

將an13an524代入⑥式，得

4

3an524x2nn1y3(anx2y)n

整理得(52x)2n4y3x2n3y。52x3xx5令，則，代入⑥式得y24y3y

an152n123(an522)n⑦

由⑦式，

an152n1

n得an5220，則n2an5223，

n1故數(shù)列{an522}是以a152211213為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列，

nn1n1n因此an522133，則an133522。

2【例12】已知數(shù)列{an}滿足an12an3n4n5，a11，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。

22解：設(shè)an1x(n1)y(n1)z2(anxnynz)⑧

2將an12an3n4n5代入⑧式，得

2an3n4n5x(n1)y(n1)z2(anxnynz)，則2222an(3x)n(2xy4)n(xyz5)2an2xn2yn2z22等式兩邊消去2an，得(3x)n(2xy4)n(xyz5)2xn2yn2z，

3x2xx3

解方程組2xy42y，則y10，代入⑧式，得xyz52zz18

an13(n1)10(n1)182(an3n10n18)⑨2222

5

由a131210118131320及⑨式，得an3n210n180

an13(n1)10(n1)18

an3n10n18

2

2

則

2

2，故數(shù)列{an3n10n18}為以

2

a1311011813132為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，因此an3n10n18322

2

n1

，則an2n43n210n18。

，求

an

【例13】數(shù)列解：設(shè)故由

an滿足an1

2an1，a12

.

a2anx,ax2(ax)n1n1.，即n1對(duì)照原遞推式，便有x

an12an1,

得

an112(an1)

，即

an11an1

2，得新數(shù)列

an

1

是以

a11211為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列。

n1n1

（n=1,2,3…），an12，即通項(xiàng)an21

【練習(xí)】：1、已知2、已知

{an}

a2an1

滿足a13，n1求通項(xiàng)公式。

{an}

aa3an12中，a11，n（n2）求n。

分析：構(gòu)造輔助數(shù)列，

【同類(lèi)變式】

an13(an11)

，則

an31

n

1、已知數(shù)列{an}滿足an12an(2n1)

，且a12，求通項(xiàng)

an

分析：（待定系數(shù)），構(gòu)造數(shù)列{anknb}使其為等比數(shù)列，即

an1k(n1)b2(anknb)

，解得k2,b1

n1

2n1求得an52

2、已知：

a11

，n2時(shí)，

12

an

12

an12n1

，求

{an}

的通項(xiàng)公式。

解：設(shè)

anAnB[an1A(n1)B]

6

a11

n2an112An1

2A2B

1

2A2

11A4

∴2A2B1

解得：B6∴a1463

1

∴{an4n6}是以3為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列

an63(1)n1a3

n4nn14n6∴2∴2

1

∴{an4n6}是以3為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列

a3(1)n1a3

∴n4n62∴n2n14n6

【例14】已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn2an2n

（1）寫(xiě)出數(shù)列的前3項(xiàng)a1,a2,a3；

（2）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.

解：（1）由a1S12a12，得a12.

由a1a2S22a24,得a26,

由a1a2a3S32a36,得a314

(2)當(dāng)n2時(shí),有anSnSn12anan12,即an2an12令an2an1,則an2an1,與①比較得,2an2是以a124為首項(xiàng),以2為公比的等比數(shù)列.an1n1

n2(4)22,故a1

n2n2

【引申題目】

1、已知{an}中，a11，an2an12n（n2）求an7①

2、在數(shù)列{

an

}中，

a11,an12an43

n1

,

求通項(xiàng)公式

an

。

解：原遞推式可化為：

an132(an3

n

n1

)

①

an143

n

比較系數(shù)得=-4，①式即是：則數(shù)列∴

{an43

n1

n1

2(an43

n1

)

.

}

是一個(gè)等比數(shù)列，其首項(xiàng)a143

n1

11

5，公比是2.

an43

52

即

an43

n1

52

n1

.

3、已知數(shù)列

{an}

滿足

an12an32

n

，a12，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。

an1

an2

n

nn1n1

解：an12an32兩邊除以2，得2

3

an1

2，則2n1

an2

n

32，

故數(shù)列2n是以2

an2

n

{

an

}

a1

1

22

1

3

為首，以2為公差的等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，得

an(

32n

12)2

n

1(n1)

3

2，所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為

。

a11n1

an13an23(n)4、若數(shù)列的遞推公式為，則求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式a13n1

an1an23(n)5、若數(shù)列的遞推公式為，則求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式

6、已知數(shù)列

{an}

滿足

an12an35，a16

n

，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。

解：設(shè)

an1x5

n1

2(anx5)

n

④

n

將

2an

an12an35

n

代入④式，得

2an35

x5

n1

2an2x5

n

，等式兩邊消去

nnn1n

2x5，兩邊除以5，得3x52x，則x=－1，代入④式，，得35x5

得

an15

n1

2(an5)

n

⑤

an15

n1n

由

a15651

1

≠0及⑤式，得

an5

n

0

，則

an5

2

，則數(shù)列

{an5}

n

是

8

以a1511為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，則an5n12n1，故an2n15n【例15】已知數(shù)列{an}中，其中a11,，且當(dāng)n≥2時(shí)，an

an12an11

an12an11

1an

，求通項(xiàng)公式

an

。

解：將an

1a1

兩邊取倒數(shù)得：

1an

1an1

2，這說(shuō)明{是一個(gè)等差數(shù)列，

首項(xiàng)是

1，公差為2，所以

1an

1(n1)22n1，即an

12n1

.

【例16】數(shù)列{an}中，且a1[提示]1

111

2an

13，an1

2an2an1

，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

an1

【例17】an1

1an1

1an

an2an1

n

n

,

a11，求

an

解：

2即bn1bn2

n

則bnb1

212

n1

12

122

22

n1n1

n

21

n

an

121

n

【例18】數(shù)列

1

{an}

an1

anan1

{a}

，a12，求n的通項(xiàng)。

中，

anan

解：

an1

1

2

n1

2

n1

∴

an112

n1

1an

12

n1

12

n

bn

設(shè)

an

∴

1212

n1n

bn1bn

∴

bnbn1

∴

bnbn1

bn1bn2

bn2bn3

12

3

12

n2

……

b3b2

9

b2b1

12

2

12

2

bnb1

12

3

12

n

11n1

[1()]2112n

∴122

1

2

∴

【練習(xí)】

bn

12

12

n

12

212

n

n

an

{an}

2

n

n

21

anan3

,求

an

1、在數(shù)列

中，a11,an1

an

．

【例19】若數(shù)列{}中，

a1

=3且

an1an

2

（n是正整數(shù)），則它的通項(xiàng)公式是

an

=▁▁▁

（20XX年上海高考題）.解由題意知

an

＞0，將an1an兩邊取對(duì)數(shù)得lgan12lgan，即

2

lgan1lgan

2，所以數(shù)

列

{lgan}

2

n1

n1

n12

是以lga1=lg3為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列，lganlga12，即lg3

an3

.

【練習(xí)】

1、在數(shù)列{an}中，a11,an1

anan3

,求an．

五、對(duì)數(shù)變換法

n5

【例20】已知數(shù)列{an}滿足an123an，a17，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。

n5n5

解：因?yàn)閍n123an，a17，所以an0，an10。在an123an式兩邊取

常用對(duì)數(shù)得lgan15lgannlg3lg2

⑩

10

設(shè)lgan1x(n1)y5(lganxny)將⑩式代入○11式，得5lgannlg3

11○

1y)

5a(lgxny，兩邊消去n

lg2xn(

5lgan并整理，得(lg3x)nxylg25xn5y，則

lg3

xlg3x5x4，故

xylg25yylg3lg2

164

代入○11式，得lgan1由lga1得lgan

lg34lg341

lg316lg316

lg34

(n1)

lg316

lg24

5(lganlg316

lg24

lg34

n

lg316

lg24

)12

○

lg24lg24

lg7

lg34

10及12式，

○

n0，

lgan1

lg3

則

lgan

4

lg34

(n1)n

lg316

lg24

5，

lg316

n

lg24

所以數(shù)列{lgan

為首項(xiàng)，以5為公比的等

164

lg3lg3lg2lg3lg2n1

n(lg7)5，因此比數(shù)列，則lgan41644164

4

16

4

lg3lg3lg2

是以lg7

lg3

4

lg3

lg3

lg2

lgan(lg7

lg34

1

lg316

1

lg24

)5

n1

lg34

n

n

lg36

lg24

1

1

1

n1n

n1

(lg7lg34lg36lg24)5

1

116

1

lg34lg316lg24

116

1

[lg(733

1

4

2)]5

1

4

lg(33

n

1

4

24)

1

1

lg(73431624)5

5

n1

n1

lg(3431624)

5

n1

n5

n1

11

lg(7lg(7

5n1

33

4

3

165

n1

2

14

4

)

5n4n1

5n1

16

2

5

n1

)

5n4n11

則an7

5

n1

3

16

2

4

。

11

六、迭代法

3(n1)2

【例21】已知數(shù)列{an}滿足an1an，a15，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。

n

解：因?yàn)閍n1a

3(n1)2

n

n

，所以ana

3n2n1

n1

[a

3(n1)2n2

n2

]

3n2

n1

a

3(n1)n2n23(n2)2n3

3

2(n2)(n1)

[aa

n3

]

3(n1)n2

2(n2)(n1)

3(n2)(n1)n2n3

(n3)(n2)(n1)

aa

3131

n1

23(n2)(n1)n2

n(n1)

12(n3)(n2)(n1)

n1

n!2

2

n(n1)

又a15，所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an5

3

n1

n!2

2

。

評(píng)注：本題還可綜合利用累乘法和對(duì)數(shù)變換法求數(shù)列的通項(xiàng)公式。即先將等式

an1a

3(n1)2n

n

n

兩邊取常用對(duì)數(shù)得lgan13(n1)2lgan，即

lgan1lgan

3(n1)2，

n

再由累乘法可推知lgan

3

n1

lgan

lgan1lgan2

lgan1

n1lga3lga23n!

lga1lg5

lga2lga1

n(n1)

2

2

，從而

an5

n(n1)n!2

。

七、數(shù)學(xué)歸納法

【例22】已知數(shù)列{an}滿足an1an公式。

8(n1)(2n1)(2n3)

2

，a12

89

，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)

12

解：由an1an

8(n1)(2n1)(2n3)

8(11)

2

2

及a1

89

，得

a2a1a3a2a4a3

(211)(213)

8(21)

2

22

89

2425

82925

242548498081

(221)(223)

8(31)

(231)(233)

2

2

832549844981

4849

2

由此可猜測(cè)an

(2n1)1(2n1)

2

2

，往下用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)結(jié)論。

八、換元法

【例23】已知數(shù)列{a

n