專題07向量的應(yīng)用（8大考點(diǎn)知識(shí)串講熱考題型專題訓(xùn)練）

專題07向量的應(yīng)用知識(shí)聚焦考點(diǎn)聚焦知識(shí)點(diǎn)1向量在幾何中的應(yīng)用1、用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”（1）建立平面幾何與向量的關(guān)系，用向量表示問題中涉及到的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；（2）通過向量運(yùn)算，研究元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問題；（3）把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系。2、利用向量證明平面幾何的兩種經(jīng)典方法（1）線性運(yùn)算法第一步：選取合適的基底（一般選擇夾角和模長(zhǎng)已知的兩個(gè)向量）；第二步：利用基底表示相關(guān)向量；第三步：利用向量的線性運(yùn)算或數(shù)量積找到相應(yīng)關(guān)系；第四步：把計(jì)算結(jié)果“翻譯”為幾何問題。（2）坐標(biāo)運(yùn)算法第一步：建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系（盡可能讓更多的點(diǎn)在坐標(biāo)系上）；第二步：把相關(guān)向量坐標(biāo)化；第三步：用向量的坐標(biāo)運(yùn)算找到相應(yīng)關(guān)系；第四步：利用向量關(guān)系回答幾何問題。知識(shí)點(diǎn)2向量在物理中的應(yīng)用1、向量在物理應(yīng)用中的主要解題思路（1）轉(zhuǎn)化問題：將物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題；（2）建立模型：建立以向量為載體的數(shù)學(xué)模型；（3）求解參數(shù)：求向量的模長(zhǎng)、夾角、數(shù)量積等；（4）回答問題：把所得到的數(shù)學(xué)結(jié)論回歸到物理問題。2、力學(xué)問題的向量處理方法（1）解決此類問題必須用向量知識(shí)將力學(xué)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，即將力學(xué)各量之間的關(guān)系抽象成數(shù)學(xué)模型，再利用建立的數(shù)學(xué)模型解析或回答相關(guān)物理現(xiàn)象；（2）向量是既有大小又有方向的量，表示向量的有向線段可以有共同的起點(diǎn)，也可以沒有共同的起點(diǎn)，力是既有大小，又有方向的量，用向量知識(shí)解決共點(diǎn)力的問題，往往需要把向量平移到同一作用點(diǎn)上。3、速度、位移問題的向量處理方法速度、加速度與位移的合成與分解，實(shí)質(zhì)是向量的加減運(yùn)算，運(yùn)動(dòng)的疊加也用到了向量的合成（1）向量在速度、加速度上的應(yīng)用，實(shí)質(zhì)是通過向量的線性運(yùn)算解決物理問題，最后獲得物理結(jié)論；（2）用向量解決速度、加速度和位移問題，用的知識(shí)主要是向量的加法、減法以及數(shù)乘，有時(shí)也可借助坐標(biāo)來求解。3、功、動(dòng)量問題的向量處理方法物理上力做功的實(shí)質(zhì)是力在物體前進(jìn)方向上的分力與物體位移的乘積，它的實(shí)質(zhì)是力與位移的數(shù)量積，即（為與的夾角），功是一個(gè)標(biāo)量，它可正，也可負(fù)。動(dòng)量實(shí)際上是數(shù)乘向量。在解決問題時(shí)要注意數(shù)形結(jié)合?？键c(diǎn)剖析考點(diǎn)1利用向量證明線段證明【例1】（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）用向量的方法證明在等腰三角形ABC中，，點(diǎn)M為邊BC的中點(diǎn)，求證：．【答案】證明過程見解析【解析】由題意得，，故，因?yàn)?，所以，?【變式11】（2023·山東濟(jì)南·高一山東師范大學(xué)附中?？茧A段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，(且)，D為AB的中點(diǎn)，E為的重心，F(xiàn)為的外心．（1）求重心E的坐標(biāo)；（2）用向量法證明：．【答案】（1）；（2）證明見解析【解析】（1）如圖，∵，，，∴，則由重心坐標(biāo)公式，得；（2）．易知的外心F在y軸上，可設(shè)為．由，得，∴，即．∴．∴，∴，即．【變式12】（2023·海南·高一?？计谥校┤鐖D所示，已知在正方形中，E，F(xiàn)分別是邊，的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)M.（1）設(shè)，，用，表示，；（2）猜想與的位置關(guān)系，寫出你的猜想并用向量法證明你的猜想.【答案】（1），；（2），證明見解析【解析】（1），；（2），證明如下：由（1）知，，所以，設(shè)，則，所以，所以，得證.【變式13】（2023·河南信陽(yáng)·高一校聯(lián)考期中）已知在中，點(diǎn)是邊上靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，且，設(shè)與相交于點(diǎn)．記，．（1）請(qǐng)用，表示向量；（2）若，設(shè)，的夾角為，若，求證：．【答案】（1）；（2）證明見解析【解析】（1），由題意得，所以．（2）由題意，．∵，，∴．∴，∴．考點(diǎn)2利用向量證明線段平行【例2】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，在平行四邊形ABCD的對(duì)角線BD所在的直線上取兩點(diǎn)E，F(xiàn)，使BE=DF．用向量方法證明：四邊形AECF是平行四邊形．【答案】見解析【解析】如圖，因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅?，所?又在直線上,所以,從而,所以,即與平行且相等，所以四邊形是平行四邊形.【變式21】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)P，Q分別是梯形ABCD的對(duì)角線AC與BD的中點(diǎn)（1）試用向量證明：PQAB；（2）若AB=3CD，求PQ：AB的值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）∵Q為BD中點(diǎn)，∴，又P為AC中點(diǎn)，∴；∴2()，又向量與共線，設(shè)向量，則2(1+λ)，∴①，又梯形ABCD中||≠|(zhì)|，∴λ≠﹣1，∴，即PQAB；（2）∵向量與反向，且||=3||；所以，即λ代入①式，得，∴PQ：AB.【變式22】（2023·河北保定·高一校聯(lián)考期中）已知，如圖，在中，點(diǎn)滿足，是線段上一點(diǎn)，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，且三點(diǎn)共線．（1）求的最小值．（2）若點(diǎn)滿足，證明：．【答案】（1）4；（2）證明見解析【解析】（1）由題可知，因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．所以的最小值為4.（2）由，則，即，，所以，又三點(diǎn)不共線，所以．【變式23】（2023·廣東·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，三點(diǎn)不共線，，，設(shè)，.（1）試用表示向量；（2）設(shè)線段的中點(diǎn)分別為，試證明三點(diǎn)共線.【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】（1），，三點(diǎn)共線，，①同理，，，三點(diǎn)共線，可得，②比較①，②，得解得，，．（2），，，，，，，，三點(diǎn)共線．考點(diǎn)3用向量求線段長(zhǎng)度【例3】（2023·福建·高一校聯(lián)考期中）在中，點(diǎn)D是邊的中點(diǎn)，，，，則的值為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】如圖所示，由題意可得：，即，解之得.故選：A【變式31】（2023·海南?？凇じ咭缓？谝恢行？计谥校┰谥校瑑?nèi)角的對(duì)邊分別為，，，且滿足，若為邊上中線，，，則.【答案】【解析】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)闉檫吷现芯€，所以，所以，所以，所以，化簡(jiǎn)得，解得或（舍）.【變式32】（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知兩點(diǎn)分別是四邊形的邊的中點(diǎn)，且，，，，則線段的長(zhǎng)為是【答案】【解析】作，交于點(diǎn)，則，，則；，，又，，，，.【變式33】（2023·河北滄州·高一?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，.（1）求的長(zhǎng)；（2）求的長(zhǎng).【答案】（1）；（2）【解析】（1）；，，故，.（2），.考點(diǎn)4用向量求幾何夾角【例4】（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）若向量，與的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】當(dāng)與共線時(shí)，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)與方向相反，當(dāng)與的夾角為鈍角時(shí)，則需且與不反向，所以且，解得，故選：A【變式41】（2023·山東聊城·高一統(tǒng)考期末）如圖，在中，已知，，，是的中點(diǎn)，，設(shè)與相交于點(diǎn)，則．【答案】【解析】因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，，因?yàn)?，，，所以，所?【變式42】（2023·貴州貴陽(yáng)·高一貴陽(yáng)市民族中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖所示，矩形ABCD的頂點(diǎn)A與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，B，D分別在x，y軸正半軸上，，，點(diǎn)E為AB上一點(diǎn)（1）若，求AE的長(zhǎng)；（2）若E為AB的中點(diǎn)，AC與DE的交點(diǎn)為M，求．【答案】（1）1；（2）【解析】（1）由題，可得.則.設(shè)，則.因，則，則，故AE的長(zhǎng)為1；（2）若E為AB的中點(diǎn)，則，，又.由圖可知.【變式43】（2023·福建廈門·高一統(tǒng)考期末）在四邊形中，，，，其中，為不共線的向量．（1）判斷四邊形的形狀，并給出證明；（2）若，，與的夾角為，為中點(diǎn)，求．【答案】（1）四邊形為梯形，證明見解析；（2）【解析】（1）因?yàn)?，，所以，又因?yàn)?，所以，又因?yàn)樗狞c(diǎn)不共線，所以且，所以四邊形為梯形．（2）因?yàn)?，所以，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，所以，所以，所以，因?yàn)椋裕键c(diǎn)5用向量判斷多邊形形狀【例5】（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）已知的三個(gè)頂點(diǎn)分別是，，，則的形狀是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．斜三角形D．等腰直角三角形【答案】B【解析】易知，可得，即，且，所以可得的形狀是直角三角形.故選：B【變式51】（2023·陜西西安·高一西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校考期中）已知中，，，則此三角形為（）A．直角三角形B．等邊三角形C．鈍角三角形D．等腰直角三角形【答案】B【解析】如圖所示：設(shè)M為AC中點(diǎn)，則，所以，即為等腰三角形，又，所以，即，所以，可得，綜上可知三角形為等邊三角形.故選：B.【變式52】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）在四邊形中，若，則四邊形為（）A．正方形B．矩形C．等腰梯形D．菱形【答案】D【解析】由，可得，即，則四邊形為平行四邊形；又由，可得，則平行四邊形四邊形為菱形故選：D【變式53】（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）在四邊形中，，則四邊形的形狀是.【答案】矩形【解析】由可知,進(jìn)而，由可得且，所以四邊形為矩形.考點(diǎn)6力的合成【例6】（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）馬戲表演中小猴子模仿人做引體向上運(yùn)動(dòng)的節(jié)目深受觀眾們的喜愛，當(dāng)小猴子兩只胳膊拉著單杠處于平衡狀態(tài)時(shí)，每只胳膊的拉力大小為，此時(shí)兩只胳膊的夾角為，試估算小猴子的體重（單位）約為（）（參考數(shù)據(jù)：取重力加速度大小為，）A．9.2B．7.5C．8.7D．6.5【答案】C【解析】設(shè)兩只胳膊的拉力分別為，，，，，，解得．小猴子的體重約為．故選：C．【變式61】（2023·遼寧沈陽(yáng)·高一沈陽(yáng)市翔宇中學(xué)校考階段練習(xí)）已知平面上的三個(gè)力，，作用于同一點(diǎn)，且處于平衡狀態(tài)．若，，，則（）A．B．1C．D．2【答案】C【解析】依題意，所以，又，，，則，所以.故選：C【變式62】（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）如圖為某種禮物降落傘的示意圖，其中有8根繩子和傘面連接，每根繩子和水平面的法向量的夾角均為30°.已知禮物的質(zhì)量為1kg，每根繩子的拉力大小相同，則降落傘在勻速下落的過程中每根繩子拉力的大小為.（注：重力加速度取，精確到0.01N）【答案】N【解析】如圖，設(shè)水平面的單位法向量為，其中每一根繩子的拉力均為，因?yàn)?，所以在上的投影向量為，所?根繩子拉力的合力為，又因?yàn)榻德鋫銊蛩傧侣洌?，必有，所以，，所以【變?3】（2023·陜西西安·高一?？茧A段練習(xí)）如圖，1kg的重物在兩根細(xì)繩的支持下處于平衡狀態(tài)，已知兩根細(xì)繩與水平線分別成30°與60°角，則兩根細(xì)繩受到的拉力分別為．（取g=10m/s2）【答案】；【解析】如圖，設(shè)左右兩根繩子的拉力大小分別為，由受力平衡可知：，所以.考點(diǎn)7速度與位移的合成【例7】（2023·河南·高一濟(jì)源第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知船在靜水中的速度大小為，且知船在靜水中的速度大小大于水流的速度大小，河寬為，船垂直到達(dá)對(duì)岸用的時(shí)間為，則水流的速度大小為.【答案】3【解析】設(shè)船在靜水中的速度為，船的實(shí)際速度為，水流速度為，如圖所示，∵，∴，即水流的速度大小為.【變式71】（2023·廣東清遠(yuǎn)·高一?？茧A段練習(xí)）一條東西方向的河流兩岸平行，河寬250m，河水的速度為向東km/h.一艘小貨船準(zhǔn)備從河的這一邊的碼頭A處出發(fā)，航行到位于河對(duì)岸B(AB與河的方向垂直)的正西方向并且與B相距m的碼頭C處卸貨.若水流的速度與小貨船航行的速度的合速度的大小為6km/h，則當(dāng)小貨船的航程最短時(shí)，求此時(shí)小貨船航行速度為多少.（）A．km/hB．km/hC．km/hD．km/h【答案】B【解析】如圖所示：，，，設(shè)合速度為，小貨船航行速度為，水流的速度為，則有所以有，故選：B.【變式72】（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）飛機(jī)從A地向西北飛行200km到達(dá)B地后，又從B地向東飛行km到達(dá)C地，再?gòu)腃地向南偏東60°飛行km到達(dá)D地，求飛機(jī)從D地飛回A地的位移．【答案】大小為，方向?yàn)槟掀鳌窘馕觥咳鐖D，飛機(jī)從運(yùn)動(dòng)到的過程，由已知可得，，，且，所以，，.過點(diǎn)作，因?yàn)?，所以，，所以?由勾股定理可得，，，所以.所以，飛機(jī)從D地飛回A地的位移大小為，方向?yàn)槟掀?【變式73】（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）一架飛機(jī)從A地向北偏西60°的方向飛行1000km到達(dá)B地，然后向C地飛行，已知C地恰好在A地的南偏西60°，并且A，C兩地相距2000km，求飛機(jī)從B地到C地的位移．【答案】飛機(jī)從B地到C地的位移：南偏西且距離為km.【解析】如下圖，，則，所以km.又，即，結(jié)合圖易知：在南偏西方位，綜上，飛機(jī)從B地到C地的位移：南偏西且距離為km.考點(diǎn)8功與動(dòng)量的計(jì)算【例8】（2023·江蘇淮安·高一統(tǒng)考期中）一物體在力的作用下，由點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)，若，則對(duì)物體所做的功為（）A．B．23C．D．19【答案】D【解析】由題意知，，，所以對(duì)物體所做的功為，故選：D.【變式81】（2023·廣西·高一校聯(lián)考期中）一物體在力和的作用下，由點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)，在這個(gè)過程中這兩個(gè)力的合力對(duì)物體所作的功等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，，，即兩個(gè)力的合力對(duì)物體所作的功等于，故選：A.【變式82】（2023·陜西咸陽(yáng)·高一校考階段練習(xí)）已知兩個(gè)力作用于同一質(zhì)點(diǎn)，使該質(zhì)點(diǎn)從點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)（其中分別是軸正方向?軸正方向上的單位向量，力的單位：，位移的單位：）．試求：（1）分別對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做的功；（2）的合力對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做的功．【答案】（1）對(duì)該質(zhì)點(diǎn)做的功為，對(duì)該質(zhì)點(diǎn)做的功為；（2）【解析】（1）根據(jù)題意，，，，故對(duì)該質(zhì)點(diǎn)做的功；對(duì)該質(zhì)點(diǎn)做的功.（2）根據(jù)題意，，的合力，故，的合力對(duì)該質(zhì)點(diǎn)做的功.【變式83】（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）如圖，在傾角為、高m的斜面上，質(zhì)量為5kg的物體沿斜面下滑，物體受到的摩擦力是它對(duì)斜面壓力的倍，N/kg．求物體由斜面頂端滑到底端的過程中，物體所受各力對(duì)物體所做的功，（參考數(shù)據(jù)，）．【答案】答案見解析【解析】物體受三個(gè)力，重力，斜面對(duì)物體的支持力，摩擦力，且重力可分解為沿斜面向下的分力和垂直斜面的分力，則重力與位移之間的夾角，則重力對(duì)物體做的功，支持力與位移方向垂直，做功為，摩擦力與位移方向相反，對(duì)物體做功．過關(guān)檢測(cè)一、單選題1．（2023·云南·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知力作用于一物體，使物體從點(diǎn)處移動(dòng)到點(diǎn)處，則力對(duì)物體所做的功為（）A．9B．C．21D．【答案】C【解析】由題意，物體從點(diǎn)處移動(dòng)到點(diǎn)處，可得,因?yàn)榱Γ粤?duì)物體所做的功為.故選：C.2．（2023·河南新鄉(xiāng)·高一統(tǒng)考期末）若平面上的三個(gè)力，，作用于一點(diǎn)，且處于平衡狀態(tài)．已知，，與的夾角為，則的大小為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根據(jù)三力平衡得，即，兩邊同時(shí)平方得，即，即，解得，故選：C.3．（2023·浙江寧波·高一慈溪中學(xué)校聯(lián)考期末）在中，是邊的中點(diǎn)，且對(duì)于邊上任意一點(diǎn)，恒有，則一定是（）A．直角三角形B．銳角三角形C．鈍角三角形D．等腰三角形【答案】A【解析】如下圖所示，取的中點(diǎn)，顯然，，同理，，因?yàn)椋?，即，所以，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以,所以，所以一定是直角三角形.故選：A4．（2023·廣東佛山·高一校考期中）若非零向量與滿足，則為（）A．三邊均不相等的三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等邊三角形【答案】C【解析】因?yàn)榉橇阆蛄颗c滿足，又因?yàn)榫鶠閱挝幌蛄?，所以角的角平分線垂直于，則，因?yàn)椋?，即，所以為等腰直角三角?故選：C5．（2023·河南信陽(yáng)·高一信陽(yáng)高中?？计谀┮阎橇阆蛄浚瑵M足，且，則為（）A．鈍角三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等邊三角形【答案】D【解析】，，，，為等腰三角形，又，，，又，所以，為等邊三角形，故選：D.6．（2023·山東菏澤·高一統(tǒng)考期中）一艘船從河岸邊出發(fā)向河對(duì)岸航行.已知船的速度，水流速度，那么當(dāng)航程最短時(shí)船實(shí)際航行的速度大小為（）A．5B．10C．8D．【答案】B【解析】如圖所示：是河對(duì)岸一點(diǎn)，且與河岸垂直，那么當(dāng)這艘船實(shí)際沿方向行駛時(shí)，航程最短，此時(shí)，，所以當(dāng)航程最短時(shí)船實(shí)際航行的速度大小為10，故選：B7．（2023·吉林長(zhǎng)春·高一?？计谥校┠澈恿髂媳眱砂镀叫校凰矣未瑥哪习洞a頭A出發(fā)航行到北岸，假設(shè)游船在靜水中的航行速度的大小為，水流的速度的大小為，設(shè)和的夾角為，北岸的點(diǎn)B在A的正北方向，游船正好到達(dá)B處時(shí)，（）A．B．C．D．【答案】D【解析】設(shè)船的實(shí)際速度為，則，北岸的點(diǎn)在的正北方向，游船正好到達(dá)處，則，所以，即，解得，故選：D．8．（2023·北京·高一?？计谥校┰谌粘Ｉ钪?，我們會(huì)看到如圖所示的情境，兩個(gè)人共提一個(gè)行李包.假設(shè)行李包所受重力為，作用在行李包上的兩個(gè)拉力分別為，，且，與的夾角為.給出以下結(jié)論：①越大越費(fèi)力，越小越省力；②的范圍為；③當(dāng)時(shí)，；④當(dāng)時(shí)，.其中正確結(jié)論的序號(hào)是（）A．①③B．①④C．②③D．②④【答案】B【解析】對(duì)于②，當(dāng)時(shí)，故無法抬動(dòng)物體，故②錯(cuò)誤；對(duì)于①，根據(jù)題意，得，所以，解得，因?yàn)闀r(shí)，單調(diào)遞減，所以越大越費(fèi)力，越小越省力，故①正確；對(duì)于③，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，所以，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，所以，故④正確.故選：B.二、多選題9．（2023·湖北·高一荊州中學(xué)校聯(lián)考期中）在所在的平面上存在一點(diǎn)，，則下列說法錯(cuò)誤的是（）A．若，則點(diǎn)的軌跡不可能經(jīng)過的外心B．若，則點(diǎn)的軌跡不可能經(jīng)過的垂心C．若，則點(diǎn)的軌跡可能經(jīng)過的重心D．若，則點(diǎn)的軌跡可能經(jīng)過的內(nèi)心【答案】ABC【解析】若，根據(jù)向量共線的推論知：共線，即在直線上，中，當(dāng)時(shí)，則的中點(diǎn)為三角形外心，故有可能為外心，A錯(cuò)；若，不妨取當(dāng)時(shí),此時(shí)的軌跡經(jīng)過的垂心，B錯(cuò)；若為的重心，必有，此時(shí)，C錯(cuò)；若，設(shè)為等邊三角形，結(jié)合，則點(diǎn)在的中線上，也在的平分線上，的軌跡可能經(jīng)過的內(nèi)心，D正確.故選：ABC10．（2023·安徽·高一安徽省太和中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知正的邊長(zhǎng)為，中心為O，P是的內(nèi)切圓上一點(diǎn)，則（）A．B．滿足的點(diǎn)只有1個(gè)C．D．滿足的點(diǎn)有2個(gè)【答案】ABD【解析】對(duì)于A，法一：設(shè)M為AB的中點(diǎn)，連接OM，則C，O，M三點(diǎn)共線.設(shè)的內(nèi)切圓半徑為r，外接圓半徑為R，則.因?yàn)镺為的中心，故，而，故.又，A正確；法二：記CO的中點(diǎn)為N，設(shè)的內(nèi)切圓半徑為r，外接圓半徑為R，則.由正三角形的性質(zhì)知N在內(nèi)切圓上且MN為內(nèi)切圓圓O的直徑，如圖2，連接PM，PN，從而有，A正確；對(duì)于B，，因?yàn)榈倪呴L(zhǎng)為，所以內(nèi)切圓半徑為1，當(dāng)且僅當(dāng)P為OC中點(diǎn)N時(shí)，，B正確；對(duì)于C，當(dāng)與重合時(shí)，，此時(shí)，滿足；當(dāng)與不重合時(shí)，，由圖象易知與的夾角，所以，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，要使，則，分析可知此時(shí)P恰為線段OB與內(nèi)切圓的公共點(diǎn)，又當(dāng)P與M重合時(shí)，也滿足題意，故這樣的點(diǎn)有2個(gè)，D正確.故選：ABD.11．（2023·黑龍江齊齊哈爾·高一齊齊哈爾市第八中學(xué)校?？计谥校┮阎蛄浚?，記向量，的夾角為θ，則（）A．λ>2時(shí)θ為銳角B．λ<2時(shí)θ為鈍角C．λ＝2時(shí)θ為直角D．無λ使θ為零角【答案】ACD【解析】，，對(duì)A，，為銳角，故A正確；對(duì)B，，當(dāng)時(shí)，為平角，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，，為直角，故C正確；對(duì)D，因?yàn)椋藭r(shí)與夾角為平角，故不存在，使得θ為零角.故D正確；故選：ACD12．（2023·湖北十堰·高一校考期中）如圖所示，小船被繩索拉向岸邊，船在水中運(yùn)動(dòng)時(shí)設(shè)水的阻力大小不變，那么小船勻速靠岸過程中，下列說法中正確的是（）A．繩子的拉力不斷增大B．繩子的拉力不斷變小C．船的浮力不斷變小D．船的浮力保持不變【答案】AC【解析】設(shè)水的阻力為，繩子的拉力為,與水平方向的夾角為，則有，所以，因?yàn)樵龃?，減小，所以增大，加上浮力等于船的重力，所以船的浮力減小，故選：AC.三、填空題13．（2023·高一單元測(cè)試）長(zhǎng)江流域內(nèi)某段南北兩岸平行，如圖，一艘游船從南岸碼頭A出發(fā)航行到北岸.已知游船在靜水中的航行速度的大小為，水流的速度的大小為，設(shè)和所成的角為，若游船要從A航行到正北方向上位于北岸的碼頭B處，則.【答案】【解析】由題意知，則，因?yàn)椋?，即，所?14．（2023·湖北荊州·高一沙市中學(xué)?？计谥校┢矫嫔先齻€(gè)力作用于同一點(diǎn)，且處于平衡狀態(tài)，已知，，與的夾角為45°，則的大小為N．【答案】【解析】由題意得：，所以.15．（2023·福建廈門·高一校考期中）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC邊上靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)，AF與DE交于M，則.【答案】【解析】設(shè)，，則，，又，，所以.16．（2023·河北石家莊·高一石家莊市第四中學(xué)校考階段練習(xí)）已知的夾角為，則三角形的邊上中線的長(zhǎng)為.【答案】【解析】設(shè)D為的中點(diǎn)，則，所以，所以，所以.四、解答題17．（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別為BD，AB，AC和CD的中點(diǎn).求證：四邊形EFGH為平行四邊形.【答案】證明見解析【解析】因?yàn)辄c(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別為BD，AB，AC和CD的中點(diǎn)，所以，所以，又因?yàn)榕c不共線，所以，且，所以四邊形EFGH為平行四邊形.18．（2023·廣東·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，，且．（1）求A；（2）已知E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)D為AC上一點(diǎn)，且，BD與AE相交于點(diǎn)P，求．【答案】（1）；（2）【解析】（1）依題意，由，即．所以．又，所以．（2）如圖所示：因?yàn)?，，所以，易知．因?yàn)镋為BC的中點(diǎn)，所以，．因