2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)習(xí)題：第六章第3節(jié)　等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和

第3節(jié)等比數(shù)列及其前八項(xiàng)和

考綱要求1.理解等比數(shù)列的概念，掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前〃項(xiàng)和公式；2.能在具體

的問題情境中識(shí)別數(shù)列的等比關(guān)系，并能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問題；3.了解等比數(shù)列與指

數(shù)函數(shù)的關(guān)系.

知識(shí)分類落實(shí)回扣知識(shí)?夯實(shí)基礎(chǔ)

知識(shí)梳理

1.等比數(shù)列的概念

(1)如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于國二金非零常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)

列叫做等比數(shù)列.

數(shù)學(xué)語言表達(dá)式：H=式42,4為非零常數(shù)).

Cln-1

(2)等比中項(xiàng)：如果α,G,b成等比數(shù)列，那么G叫做〃與b的等比中項(xiàng).那么§=5，即

G2-ab.

2.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前〃項(xiàng)和公式

(I)若等比數(shù)列｛4,,｝的首項(xiàng)為0,公比是4,則其通項(xiàng)公式為斯=S!；

n

通項(xiàng)公式的推廣：an=am<t'-'.

(2)等比數(shù)列的前"項(xiàng)和公式：當(dāng)q=l時(shí)，S,="0;當(dāng)時(shí)，S,=號(hào)望=生|三苧.

3.等比數(shù)列的性質(zhì)

已知｛斯｝是等比數(shù)列，S”是數(shù)列｛〃“｝的前n項(xiàng)和.

(1)若Z+/=m+"(&,I,m,n∈N,)>則有aκa∣=a,"?a,.

(2)相隔等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列仍是等比數(shù)列,即ak,ak+m,像+2““…仍是等比數(shù)列,公比

為武.

(3)當(dāng)qr—1,或4=一1且〃為奇數(shù)時(shí)，S1,,S21-S11,S3.-S2”，…仍成等比數(shù)歹∣J,其公比

為Q.

?-----常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒

1.若數(shù)列｛斯｝,｛與｝(項(xiàng)數(shù)相同)是等比數(shù)列，則數(shù)列｛cs｝(cWO),｛∣α.∣｝,｛曷｝,｛點(diǎn)，｛斯％｝,

榭也是等比數(shù)列.

2.由出+1=4斯,q≠O,并不能立即斷言｛斯｝為等比數(shù)列，還要驗(yàn)證αι≠O.

3.在運(yùn)用等比數(shù)列的前“項(xiàng)和公式時(shí)，必須注意對(duì)q=l與分類討論，防止因忽略q

=1這一特殊情形而導(dǎo)致解題失誤.

4.三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，通常設(shè)為*X,陽；四個(gè)符號(hào)相同的數(shù)成等比數(shù)列，通常設(shè)為今，?

xq,xq3.

診斷自測(cè)

?■思考辨析

1.判斷下列結(jié)論正誤(在括號(hào)內(nèi)打“J”或“X”)

(1)等比數(shù)列公比4是一個(gè)常數(shù)，它可以是任意實(shí)數(shù).()

(2)三個(gè)數(shù)①h,C成等比數(shù)列的充要條件是∕="t?.()

(3)數(shù)列｛為｝的通項(xiàng)公式是小=〃，則其前〃項(xiàng)和為二：).()

(4)數(shù)列｛斯｝為等比數(shù)列，則S4,S8-S4,$2-1成等比數(shù)列.()

答案(1)×(2)×(3)X(4)X

解析(1)在等比數(shù)列中，qWO.

(2)若α=0,b=0,C=O滿足/="c,但mb,C不成等比數(shù)列.

(3)當(dāng)a=?時(shí)，Sn=na.

(4)若0=1,￠=-1,則S4=O,S8-S4=O,S12-S8=O,不成等比數(shù)列.

〉教材衍化

2.已知｛斯｝是等比數(shù)列，42=2,?5=｛，則公比4等于()

A.一：B.~2C.2D.

答案D

解析由題意知爐=胃=J,即q=:

1a202

3.等比數(shù)列｛α,,｝的首項(xiàng)0=-1,前”項(xiàng)和為S1,,若"=||，則｛斯｝的通項(xiàng)公式呢=—

答案Ye)C

解析因?yàn)楸?裳，所以笠'=一專，

因?yàn)镾5,SlO-S5,S∣5-S∣o成等比數(shù)列，且公比為如，

所以爐=_=,q=~^＜則%=一(O.

?■考題體驗(yàn)

4.(2021?蘭州診斷)設(shè)等比數(shù)列｛α,J的前6項(xiàng)和為6,且αι=α,a2-2a,則α=()

2145

A?2?b?7c?2?d-27

答案A

解析由題意得公比q=9=2,則S6=誓二善=63a=6,解得

CL?1—221

5?（2018?北京卷）“十二平均律”是通用的音律體系，明代朱載墻最早用數(shù)學(xué)方法計(jì)算出半

音比例，為這個(gè)理論的發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn).十二平均律將一個(gè)純八度音程分成十二份，依

次得到十三個(gè)單音，從第二個(gè)單音起，每一個(gè)單音的頻率與它的前一個(gè)單音的頻率的比都等

于1%.若第一個(gè)單音的頻率為力則第八個(gè)單音的頻率為（）

A.?2∕B.A/?/'C.'?25∕?D.1?2V

答案D

解析由題意知十三個(gè)單音的頻率依次構(gòu)成首項(xiàng)為力公比為IS的等比數(shù)列，設(shè)此數(shù)列為

｛a,,）,則as=1物，即第八個(gè)單音的頻率為ISy

3

6?（2019?全國I卷）記S〃為等比數(shù)列｛斯｝的前幾項(xiàng)和，若功=1,S3=本則S4=.

答案I

O

解析設(shè)等比數(shù)列｛斯｝的公比為小

3

-

4

3

解得q=-所以04=αι￠=-g,

315

-

故S4=S3+fl4=4g=g?

考點(diǎn)分層突破考點(diǎn)聚焦?題型剖析

考點(diǎn)一等比數(shù)列基本量的運(yùn)算自主演練

I.（2019?全國川卷）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛內(nèi)｝的前4項(xiàng)和為15,且的=3°3+4可，

貝Il43=（）

A.16B.8C.4D.2

答案C

解析設(shè)等比數(shù)列｛“"）的公比為4，由。5=343+4"|得q4=3∕+4,得才=4.

因?yàn)閿?shù)列｛斯｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，所以q=2.

又0+42+α3+α4=α1（l+q+q2+q3）="∣（i+2+4+8）=15,所以αι=l,所以。3=。1『=4.

2.（2020?全國Il卷）記S“為等比數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和.若。5—〃3=12,46—44=24,則3=（）

A.2,,-lB.2-2'^,'C.2-2"D.21n-l

答案B

解析設(shè)等比數(shù)列｛斯｝的公比為4,

%一。424C

則πιlq=--------=75=2.

恁一。312

m(l—2〃)

1-22,,-l

所以章=n

n1二^rT=2-2'^

al2-

3.(2020?新高考海南卷)已知公比大于1的等比數(shù)列｛斯｝滿足〃2+的=20,43=8.

(1)求｛%｝的通項(xiàng)公式；

n-l

(2)求aQ—協(xié)昌---F(—l)απαπ+ι.

解(1)設(shè)｛斯｝的公比為q(q>l),且42+α4=2θ,43=8?

j4ιg+”田=20,

?'U∣?2=8

消去ɑι,得g+^=l,則4=2,或4=；(舍).

因此q=2,a?-2,

n

所以｛<‰｝的通項(xiàng)公式an=2.

⑵易知(-1)EaM”+尸(一DG?22"+∣,

則數(shù)列｛(T)"-i22"∣｝公比為一4.

n

故a?a2-a2θ3-?------F(-l)'?anan+1

=23-25+27-294------F(-1)W^I?22Λ+1

32+3

2[l-(-4∏8Γ82"

1+4-5l廠(一1)F

感悟升華1.等比數(shù)列基本量的運(yùn)算是等比數(shù)列中的一類基本問題，等比數(shù)列中有五個(gè)量

a?,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”，通過列方程(組)便可迎刃而解.

z

2.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式涉及對(duì)公比q的分類討論，當(dāng)q=1時(shí)，｛斯｝的前n項(xiàng)和Sn=na?;

當(dāng)戶1時(shí)，｛斯｝的前〃項(xiàng)和S尸弊≡*=干署.

考點(diǎn)二等比數(shù)列的判定與證明師生共研

【例1】S.為等比數(shù)列｛α,,｝的前”項(xiàng)和,已知04=902,S3=13,且公比q>0.

⑴求斯及S”；

(2)是否存在常數(shù)九使得數(shù)列｛S,+貓是等比數(shù)列？若存在，求7的值；若不存在，請(qǐng)說明理

由.

"aιq3=9aιq,

0(1一，)

解(1)易知q≠l,由題意可得V1—q=3

、q>0,

解得〃ι=l,q=3,

1—3〃3w-l

n--,

.?an=3?Sn=]_3=2

(2)假設(shè)存在常數(shù)，使得數(shù)列｛S∣+4｝是等比數(shù)列,

*.*Si+2=Λ+1,S2+2=>l+4,S3+?^=2+i3,

Λ(2+4)2=(λ+l)(Λ+13),解得2=；,

X1

??5rt+ι+∣2??'

此時(shí)5"+5=5、3",貝Uj-=_i=3>

S,,+∣^×3"

113

故存在常數(shù)4；,使得數(shù)列⑸+》是以，為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列.

感悟升華1.證明一個(gè)數(shù)列為等比數(shù)列常用定義法與等比中項(xiàng)法，其他方法只用于選擇題、

填空題中的判定；若證明某數(shù)列不是等比數(shù)列，則只要證明存在連續(xù)三項(xiàng)不成等比數(shù)列即可.

2.在利用遞推關(guān)系判定等比數(shù)列時(shí)，要注意對(duì)〃=1的情形進(jìn)行驗(yàn)證.

【訓(xùn)練1】(2021?石家莊質(zhì)量評(píng)估)已知數(shù)列｛%｝中，0=1,αM/∣=G)".

⑴證明:數(shù)列｛Z.τ｝和數(shù)列｛如｝都是等比數(shù)列;

(2)若數(shù)列｛斯｝的前2n項(xiàng)和為T2n,?,,=(3-7?z,)n(n+l),求數(shù)列｛d｝的最大項(xiàng).

(1)證明由斯斯+1=*，得知+1?！?2=2〃+k

兩式相除，得誓=;

因?yàn)?=1,ava2=｛^]',

所以“2=3，

所以｛t‰τ｝是以0=1為首項(xiàng)，T為公比的等比數(shù)列，

儲(chǔ)2"｝是以政=￡為首項(xiàng)，；為公比的等比數(shù)列.

所以b,l=(3-Tιn)n(n+1)=刎，7°.

m∣b,,+ι3(〃+1)(〃+2)2"〃+2

則K=-.3%+l)=H?

,〃+2

當(dāng)〃<2時(shí)1，為一>1,即5>歷=3；

,.H+2fcm9

當(dāng)〃=2時(shí)，a-=1，即岳=①=5；

當(dāng)n>2時(shí),方丁<1，即bn+?<bn.

9

故數(shù)列｛九｝的最大項(xiàng)是歷或歷，為了

考點(diǎn)三等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用師生共研

［例2］(1)(2020?全國I卷)設(shè)｛斯｝是等比數(shù)列，且。］+。2+〃3=1，。2+〃3+。4=2,則%

+s+α8=()

A.12B.24C.30D.32

(2)(2021?長郡中學(xué)檢測(cè))已知正項(xiàng)等比數(shù)列｛為｝的前n項(xiàng)和為Sn9且S8-2S4=5,則a9+a↑o

+α∣∣+。12的最小值為()

A.25B.20C.15D.10

答案(I)D(2)B

解析(1)設(shè)等比數(shù)列｛m｝的公比為4，

則行石HrT2，

所以"6+a7+〃8=(〃1+。2+a3)ɑ5=1X25=32.

(2)在正項(xiàng)等比數(shù)列｛%｝中，Sn>0,

因?yàn)镾8-2S4=5,則S8-S4=5+S4,

易知S4,Ss-S4,$2一$8是等比數(shù)列，

所以(S8-S?1)2=S4?(S∣2-S8),

所以S12-S8=黑③■=胃+54+10221序工+10=20(當(dāng)且僅當(dāng)邑=5時(shí)取等號(hào))

J40404

因?yàn)椤?+。1。+。1|+〃12=512—S8，所以〃9+〃1。+〃11+。12的最小值為20.

感悟升華1.在解決等比數(shù)列的有關(guān)問題時(shí)，要注意挖掘隱含條件，利用性質(zhì)，特別是“若

m+n=p+q,則0/〃=即的"，可以減少運(yùn)算量，提高解題速度.

2.等比數(shù)列的性質(zhì)可以分為三類：一是通項(xiàng)公式的變形，二是等比中項(xiàng)的變形，三是前n

項(xiàng)和公式的變形.根據(jù)題目條件，認(rèn)真分析，發(fā)現(xiàn)具體的變化特征即可找出解決問題的突破

口.

【訓(xùn)練2】(1)(2021?廣州調(diào)研)正項(xiàng)等比數(shù)列｛斯｝滿足.204=1，53=13,則其公比是()

A.1B.IC.ID?W

(2)設(shè)等比數(shù)列｛α,,｝的前〃項(xiàng)和為S”若*3,則搟=.

答案(I)C(2)∣

解析(1)設(shè)伍〃｝的公比為4，且〃2。4=1，

Λaj=lf易知q>0,ay=?.

由S3=αι+a2+a3=1+?+^=13-

則12爐一q—1=0,解得q=g.

(2)法一由等比數(shù)列的性質(zhì)知，S3,SLS3,S9—S6仍成等比數(shù)列，由已知得S6=3S3,

所以"色=*^,即S9-S6=4S3,S9=7S3,

U匕]、jS97

所以而=予

法二因?yàn)椋梗秊榈缺葦?shù)列，由強(qiáng)=3,設(shè)S6=3α,S3—a,

??

所以S3,S6-S3,S9-S6為等比數(shù)列，即α,2a,S9—比成等比數(shù)列，所以S9—%=4m

解得S9=70,所以費(fèi)=券=(

拓展視野/等比數(shù)列前〃項(xiàng)和性質(zhì)的延伸

在等比數(shù)列｛如｝中，S.表示｛<?｝的前"項(xiàng)和，｛“”｝的公比為(7，

1.當(dāng)S,≠0時(shí)，S,,,s2n-sn,S3”一S2",…成等比數(shù)列("6N*).

2.Sn+m^Sn+q"S,n,特別地S2,,=S寸+gS七.

【典例】(I)已知等比數(shù)列｛如｝共有2n項(xiàng)，其和為一240,且奇數(shù)項(xiàng)的和比偶數(shù)項(xiàng)的和大

80,則公比q=.

(2)已知｛④｝是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，S“是｛〃”｝的前“項(xiàng)和，且9S?3=S6,則數(shù)歹《非的前5項(xiàng)

和為.

31

答案(1)2(2)詫

解析⑴由題設(shè)，S偶=S奇—80,S2〃=-240.

[S奇+qS奇=-240,JS奇=-80,

?IqS奇=S奇一80,??1g=2.

⑵設(shè)等比數(shù)列｛〃〃｝的公比夕，易知S3#。

則S6=S3+S3∕=9S3,所以43=8,q=2.

[1]1LQ)’31

所以數(shù)列匕]是首項(xiàng)為1,公比為抽等比數(shù)列，其前5項(xiàng)和為一kp=?

1^2

思維升華1.等比數(shù)列前〃項(xiàng)和的性質(zhì)，體現(xiàn)了整體思想在數(shù)列中的應(yīng)用.

2.在運(yùn)用性質(zhì)1時(shí)，要注意條件S,WO;在性質(zhì)2中，回避討論公比〃=1是否成立，優(yōu)化

了解題過程.

【訓(xùn)練】已知數(shù)列｛?。堑缺葦?shù)列，S”為其前〃項(xiàng)和，若m+"2+α3=4,a4+a5+a6=S,

則$2=()

A.40B.60C.32D.50

答案B

解析數(shù)列S3,S(,-S3,S<)-S(,,S12—S9是等比數(shù)列，即數(shù)列4,8,S<)-Sb,S12—S9是首項(xiàng)為

4,公比為2的等比數(shù)列，

則S9—S6=a7+α8+49=16,

S12—S9=mo+αu+α∣2=32,

又S9=(0+42+α3)+(44+45+46)+(47+(/8+49)=4+8+16=28.

因此02=28+32=60.

課后鞏固作業(yè)r分層訓(xùn)練?提升能力

A級(jí)基礎(chǔ)鞏固

一、選擇題

1.(2020?皖北名校聯(lián)考)設(shè)6CR,數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和S,=3"+6,則()

A.｛“”｝是等比數(shù)列

B｛斯｝是等差數(shù)列

C.當(dāng)6=-1時(shí)，｛斯｝是等比數(shù)列

D.當(dāng)6≠-1時(shí)，｛斯｝是等比數(shù)列

答案C

解析當(dāng)"=1時(shí)，0=S∣=3+/?,

nnln

當(dāng)n≥2,an=Sπ-Sn-ι=(3+?)-(3^+?)=2?3^',

當(dāng)6=-1時(shí)，4=2適合斯=2?3"-ι,｛斯｝為等比數(shù)列.

當(dāng)b≠-l時(shí)，αι不適合<?=2?3"r,｛斯｝不是等比數(shù)列.

2.已知等比數(shù)列｛斯｝滿足α∣=l,的幻5=4(出一1),則動(dòng)的值為()

9

A.2B.4C.2D.6

答案B

解析根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)得“3"5=屆，二曷=4(04—1),即("4—2)2=0,解得“4=2.

又“1=1,a↑aj=al=4,.*.?7=4.

3.(2021?長春檢測(cè))數(shù)列｛“”｝是等比數(shù)列，S.是其前〃項(xiàng)和，an>0,α2+α3=4,6?+304-2,

則S3=()

C38

B.12C.yD.13

答案D

解析設(shè)等比數(shù)列｛狐｝的公比為名

2a↑-9,

a?q+a?q=4,解得《1

由題意得

2i

,a?q+3a↑q-2,ci=y

4.在數(shù)列｛%｝中，滿足0=2,優(yōu)=",ιs+ι("22,"∈N*),S“為｛如｝的前"項(xiàng)和，若a6=

64,則S7的值為()

A.126B.256C.255D.254

答案D

解析數(shù)列｛斯｝中，滿足晶=%—1斯+∣(">2),

則數(shù)列｛小｝為等比數(shù)列，設(shè)其公比為“，

又由“1=2,“6=64,得爐=消=32,則4=2,

,,α∣(l—27)

則rSi=,z88

1—?2=2-2=254.

5.(2021?西安調(diào)研)設(shè)等比數(shù)列｛〃“｝的前〃項(xiàng)和為S“若S6：S3=1：2,則S(J：S3=()

A.1：2B.2：3C.3：4D.1：3

答案C

解析..?｛如｝是等比數(shù)列，則53,56-53,&>一56成等比數(shù)列，由56：53=1：2,令S3=X(XWO),

則Sδ=p?

V

2

/.(Se-S3)^Sy(S9-S6),則S9-$6=1，

從而59=5+寧=中，故Ss:$3=3:4.

6.公元前5世紀(jì)，古希臘哲學(xué)家芝諾發(fā)表了著名的阿基里斯悖論：他提出讓烏龜在跑步英

雄阿基里斯前面1000米處開始與阿基里斯賽跑，并且假定阿基里斯的速度是烏龜?shù)?0

倍.當(dāng)比賽開始后，若阿基里斯跑完了IoOO米，此時(shí)烏龜便領(lǐng)先他100米，當(dāng)阿基里斯跑

完下一個(gè)100米時(shí),烏龜領(lǐng)先他10米，當(dāng)阿基里斯跑完下一個(gè)10米時(shí),烏龜領(lǐng)先他1米,……，

所以，阿基里斯永遠(yuǎn)追不上烏龜.按照這樣的規(guī)律，當(dāng)阿基里斯和烏龜?shù)木嚯x恰好為0.1米

時(shí)，烏龜爬行的總距離為()

IO5-I?109山

A?900求B?一QQ-米

104-9IO4-I

C900米u(yù)zD.--米

答案D

烏龜每次爬行的距離構(gòu)成等比數(shù)列且，斯

解析由題意可知,0=100,4=L=0.1.

100-0.1×?104-1

...烏龜爬行的總距離為S,=----------j—=F^

,-io

二、填空題

7.若等差數(shù)列｛斯｝和等比數(shù)列｛d｝滿足0="=-1,O1=仇=8,則片=.

答案1

解析｛4.｝為等差數(shù)列，“1=—1,44=8=a∣+34=-1+34,.?.d=3,.?.<∕2="ι+"=-1+3

22

則-=-

=2.｛b,J為等比數(shù)列，b?——1,b4=8=bιq=—q,??q=-2,22

1.

8.(2021?河南六市聯(lián)考)已知等比數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和為￡,若53=7,56=63,則〃]=.

答案1

解析由于S3=7,$6=63知公比q#1,

又S6=S3+93S3,得63=7+743.

?'?q3=8,q=2.

3

??a,(l-?)αι(l_8),b_

由S'—Lq—]一2一7,a?-?.

9.若數(shù)列｛斯｝的首項(xiàng)“∣=2,且斯+ι=3α"+2("GN*).令兒=IOg3(<?+1),則加+岳+歷+…

+。IOO=.

答案5050

解析由α"+ι=3<‰+2("eN"河知α,,+ι+1=3(<?+1),

,

所以數(shù)列｛%+∣｝是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，所以由+l=3",an=y~?.

所以d=l0g3(斯+1)=",

因此?ι+?2+?3∏------Fbioo=^-2)=5050.

三、解答題

10.(2019?全國Il卷)已知｛&｝是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列,?1=2,43=242+16.

(1)求｛““｝的通項(xiàng)公式；

⑵設(shè)仇=Iog2如，求數(shù)列｛瓦,｝的前n項(xiàng)和.

解(1)設(shè)｛?。墓葹閷O由題設(shè)得2q2=4q+16,即q--2q-8=0.

解得g=-2(舍去)或q=4.

nl2,,l

因此｛%｝的通項(xiàng)公式為tzπ=2×4^=2^.

(2)由(1)得與=(2〃-I)IOg22=2”-1,因此數(shù)列｛瓦｝的前二項(xiàng)和為1+3+…+(2〃-1)=〃2.

11.(2020?南昌調(diào)研)設(shè)S“為等差數(shù)列｛0,,｝的前，項(xiàng)和，57=49,a2+as=l8.

(1)求數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式；

(2)若S3,67,Sm成等比數(shù)列,求S3m.

解(1)設(shè)等差數(shù)列｛4,｝的公差為d,???S“為等差數(shù)列｛詼｝的前〃項(xiàng)和,57=49,a2+a8=is,

[Sι=7a=49,(?4=7,

Λ,4盟則d=2.

I42+α8=2α5=18[〃5=9,

.,.α,,=α4+(∏-4)d=2n—I.

,,n(l+2n~1),

n

(2)由(1)知：S∣l-2~-

"

.,S3,a∏,Sn成等比數(shù)列,

.".SySn,=θΛi,即9/=332,解得Zn=]].

故S3,,,=S33=332=l089.

B級(jí)能力提升

12.數(shù)列｛如｝的前〃項(xiàng)和為S.,且3a“+S"=4(〃eN*),設(shè)b“=na“,則數(shù)列｛兒｝的項(xiàng)的最大

值為()

,81