第6章：空間向量與立體幾何 重點(diǎn)題型復(fù)習(xí)（解析版）

第6章：空間向量與立體幾何重點(diǎn)題型復(fù)習(xí)題型一空間向量的共線問(wèn)題【例1】若向量與不共線且，，，則（）A．，，共線B．與共線C．與共線D．，，共面【答案】D【解析】因?yàn)?，即，即，又與不共線，所以共面，故D正確A錯(cuò)誤；因?yàn)椋耘c不共線，與不共線，故BC錯(cuò)誤；故選：D【變式1-1】如圖，四邊形ABCD?ABEF都是平行四邊形且不共面，M?N分別是AC?BF的中點(diǎn)，判斷與是否共線？【答案】共線.【解析】因?yàn)镸?N分別是AC?BF的中點(diǎn)，而四邊形ABCD?ABEF都是平行四邊形，所以.又，所以.所以，即，即與共線.【變式1-2】已知A，B，C三點(diǎn)共線，則對(duì)空間任一點(diǎn)O，存在三個(gè)不為0的實(shí)數(shù)λ，m，n，使λ+m+n=，那么λ+m+n的值為_(kāi)_______.【答案】0【解析】因A，B，C三點(diǎn)共線，則存在唯一實(shí)數(shù)k使，顯然且，否則點(diǎn)A，B重合或點(diǎn)B，C重合，則，整理得：，令λ=k-1，m=1，n=-k，顯然實(shí)數(shù)λ，m，n不為0，因此，存在三個(gè)不為0的實(shí)數(shù)λ，m，n，使λ+m+n=，此時(shí)λ+m+n=k-1+1+(-k)=0，所以λ+m+n的值為0.【變式1-3】如圖，已知M，N分別為四面體A－BCD的面BCD與面ACD的重心，G為AM上一點(diǎn)，且GM∶GA＝1∶3.求證：B，G，N三點(diǎn)共線．【答案】證明見(jiàn)解析【解析】設(shè)則所以,∴.又BN∩BG＝B，∴B，G，N三點(diǎn)共線．題型二空間向量的數(shù)量積問(wèn)題【例2】如圖，三棱錐中，和都是等邊三角形，，，為棱上一點(diǎn)，則的值為（）A．B．1C．D．【答案】A【解析】取的中點(diǎn)，連接，和都是等邊三角形，，，平面，平面，平面，面，，在中，，，由余弦定理，.故選：A.【變式2-1】已知、都是空間向量，且，則（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，，，，故選：A【變式2-2】四棱柱的底面是邊長(zhǎng)為1的菱形，側(cè)棱長(zhǎng)為2，且，則線段的長(zhǎng)度是（）A．B．C．3D．【答案】D【解析】因?yàn)?，且所以所以，即線段的長(zhǎng)度是.故選：D.【變式2-3】如圖，在大小為60°的二面角中，四邊形ABFE，CDEF都是邊長(zhǎng)為1的正方形，則B，D兩點(diǎn)間的距離是______．【答案】【解析】由題意可知，，則∠BFC為二面角的平面角，故．又，故異面直線BF，ED所成角也為．∵，∴，∴．題型三空間向量的共面問(wèn)題【例3】（多選）給出下列四個(gè)命題，其中是真命題的有（）A．若存在實(shí)數(shù)，，使，則與，共面；B．若與，共面，則存在實(shí)數(shù)，，使；C．若存在實(shí)數(shù)，，使則點(diǎn)，，A，共面；D．若點(diǎn)，，A，共面，則存在實(shí)數(shù)，，使．【答案】AC【解析】由向量共面定理可知A正確；當(dāng)，為零向量可知B錯(cuò)誤；由向量共面定理可知共面，又因?yàn)楣彩键c(diǎn)，所以點(diǎn)，，A，共面，故C正確；當(dāng)，A，三點(diǎn)共線，點(diǎn)P與，A，不共線時(shí)可知D錯(cuò)誤.故選：AC【變式3-1】在正方體中，設(shè)，，，構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則下列向量不共面的是（）A．，， B．，， C．，， D．，，【答案】AC【解析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算法則，根據(jù)正方體性質(zhì)，結(jié)合圖象，分析可得：對(duì)于A：，由圖象可得三個(gè)向量不共面，所以，，不共面，故A正確；對(duì)于B：，由圖象可得三個(gè)向量共面，所以，，共面，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：由圖象可得三個(gè)向量不共面，所以，，不共面，故C正確；對(duì)于D：，由圖象可得共面，所以，，共面，故D錯(cuò)誤.故選：AC【變式3-2】已知O為空間任意一點(diǎn)，A、B、C、P滿足任意三點(diǎn)不共線，但四點(diǎn)共面，且，則m的值為（）A．B．2C．D．【答案】C【解析】，∵O為空間任意一點(diǎn)，A、B、C、P滿足任意三點(diǎn)不共線，但四點(diǎn)共面，∴，∴.故選：C【變式3-3】，若三向量共面，則實(shí)數(shù)（）A．3B．2C．15D．5【答案】D【解析】∵，∴與不共線，又∵三向量共面，則存在實(shí)數(shù)m，n使即，解得．故選：D．【變式3-4】如圖所示，在長(zhǎng)方體中，為的中點(diǎn)，，且，求證：四點(diǎn)共面．【答案】證明見(jiàn)解析【解析】設(shè)，則，為的中點(diǎn)，，又，，，為共面向量，又三向量有相同的起點(diǎn)，四點(diǎn)共面．題型四空間向量的基本定理【例4】下列命題中正確的個(gè)數(shù)為（）①若向量，與空間任意向量都不能構(gòu)成基底，則；②若向量，，是空間一組基底，則，，也是空間的一組基底；③為空間一組基底，若，則；④對(duì)于任意非零空間向量，，若，則．A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】①：向量與空間任意向量都不能構(gòu)成一個(gè)基底，則與共線或與其中有一個(gè)為零向量，所以，故①正確；②：由向量是空間一組基底，則空間中任意一個(gè)向量，存在唯一的實(shí)數(shù)組使得，所以也是空間一組基底，故②正確；③：由為空間一組基底，若，則，所以，故③正確；④：對(duì)于任意非零空間向量，，若，則存在一個(gè)實(shí)數(shù)使得，有，又中可以有為0的，分式?jīng)]有意義，故④錯(cuò)誤.故選：C【變式4-1】已知是空間向量的一個(gè)基底，則下列向量中能與，構(gòu)成基底的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因?yàn)?，，，所以ABD錯(cuò)誤；因?yàn)槭强臻g向量的一個(gè)基底，所以，，構(gòu)成基底.故選：C【變式4-2】如圖，在斜三棱柱中，M為BC的中點(diǎn)，N為靠近的三等分點(diǎn)，設(shè)，，，則用，，表示為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，故選：A【變式4-3】如圖，在平行六面體中，，，，點(diǎn)在上，且，則等于（）A．B．C．-D．【答案】B【解析】因?yàn)辄c(diǎn)P在A1C上，且A1P：PC=2：3，所以所以，故選：B.題型五利用空間向量證明平行與垂直【例5】已知四棱錐中，底面為正方形，平面，，，、分別為、的中點(diǎn).求證：；【答案】證明見(jiàn)解析.【解析】連接FC，∵面，面，∴又，面，，∴平面，即平面，∴∴以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以、、方向分別為，，軸正向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，∴，，∴，∴.【變式5-1】在如圖所示的五面體中，面是邊長(zhǎng)為的正方形，面，，且，為的中點(diǎn)，為中點(diǎn).求證：平面.【答案】證明見(jiàn)解析【解析】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，所以，又平面的法向量可以為，所以，即，又平面，所以平面.【變式5-2】已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，E，F(xiàn)分別是BB1，DD1的中點(diǎn)，求證：（1）FC1∥平面ADE；（2）平面ADE∥平面B1C1F.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】證明：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，則D(0，0，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，C1(0，2，2)，E(2，2，1)，F(xiàn)(0，0，1)，B1(2，2，2)，所以=(0，2，1)，=(2，0，0)，=(0，2，1).（1）設(shè)=(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量，則⊥，⊥，即得令z1=2，則y1=-1，所以=(0，-1，2).因?yàn)椤?-2+2=0，所以.又因?yàn)镕C1?平面ADE，所以FC1∥平面ADE.（2）=(2，0，0).設(shè)=(x2，y2，z2)是平面B1C1F的一個(gè)法向量.由⊥，⊥，得令z2=2，則y2=-1，所以=(0，-1，2).因?yàn)?，所以平面ADE∥平面B1C1F.【變式5-3】如圖所示，在直二面角中，四邊形是邊長(zhǎng)為的正方形，，為上的點(diǎn)，且平面.（1）求證：平面；（2）求證：平面平面.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】∵為正方形，∴，∵二面角為直二面角，∴平面，以線段的中點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，過(guò)點(diǎn)平行于的直線為軸，如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)()，∵為上的點(diǎn)，，∴設(shè)，∴，∴，，，∵平面，∴，且，解得，，∴，，(1)，，∴，∴，∵平面，∴，∴平面；(2)由題意可知，平面的法向量為，設(shè)面的法向量為，，，∴且，取，則，，∴，∴，∴平面平面.題型六利用空間向量計(jì)算空間角【例6】在正方體中，直線與AC所成角的余弦值為_(kāi)_____．【答案】【解析】空間一組基底為，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則，．．因?yàn)?，所以直線與AC所成角的余弦值為．【變式6-1】如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，，且，若，，則二面角A-PB-C的余弦值為_(kāi)_____．【答案】【解析】在平面內(nèi)作，垂足為，因?yàn)?，得AB⊥AP，CD⊥PD，由于AB//CD，故AB⊥PD，從而AB⊥平面PAD，故，可得平面.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，為單位長(zhǎng)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.所以，，，.所以，，，.設(shè)是平面的法向量，則即可取.設(shè)是平面的法向量，則即可取.則，由圖可知二面角的平面角為鈍角，所以二面角的余弦值為.故答案為：.【變式6-2】如圖，正四面體中，分別是的中點(diǎn)，則與平面所成角的正弦值為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】建立如圖所示空間坐標(biāo)系，設(shè)，則，,設(shè)平面的法向量為，則且，設(shè)，則．故選：C【變式6-3】如圖，已知AB為圓錐SO底面的直徑，點(diǎn)C在圓錐底面的圓周上，，，BE平分，D是SC上一點(diǎn)，且平面平面SAB．（1）求證：；（2）求平面EBD與平面BDC所成角的余弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）【解析】（1）因?yàn)?，且BE平分，所以，又因?yàn)槠矫嫫矫鍿AB，且平面平面，平面SAB，所以平面BDE，又因?yàn)槠矫鍮DE，所以；（2）取的中點(diǎn)M，連接OM，OS，則OM，OS，OA兩兩垂直，所以以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)M為x軸，以O(shè)A為y軸，以O(shè)S為z軸。建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，由（1）知平面BDE，所以是平面BDE的一個(gè)法向量，設(shè)平面BDC的法向量為，因?yàn)?，則，取，則，因此，所以平面EBD與平面BDC所成角的余弦值為．題型七利用空間向量計(jì)算空間距離【例7】長(zhǎng)方體中，，，為的中點(diǎn)，則異面直線與之間的距離是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，設(shè)與的公垂線的一個(gè)方向向量為，則，取，得，，即，又，所以異面直線與之間的距離為．故選：D．【變式7-1】如圖，在四棱錐中，，底面為菱形，邊長(zhǎng)為2，，平面，異面直線與所成的角為60°，若為線段的中點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為_(kāi)_____．【答案】【解析】連接．以為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量，，的方向分別為，，軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，，為異面直線與所成角，即.在菱形中，，，，．設(shè)，則，．在中，由，可得，，，，，，點(diǎn)到直線的距離為.故答案為：.【變式7-2】如圖，在長(zhǎng)方體中，，，若為的中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為_(kāi)_____．【答案】【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，連接，由題意得，，，，∴，，．設(shè)平面的法向量為，則，即，令，得，∴點(diǎn)到平面的距離．故答案為：【變式7-3】空間直角坐標(biāo)系中、、）、，其中，，，，已知平面平面，則平面與平面間的距離為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由已知得，，，設(shè)向量與向量、都垂直，則，即，取，，又平面平面，則平面與平面間的距離為，故選：A.題型八利用空間向量探究動(dòng)點(diǎn)存在問(wèn)題【例8】如圖，在四棱錐中，底面，底面是梯形，，且，，．（1）求二面角的大??；（2）已知為中點(diǎn)，問(wèn)：棱上是否存在一點(diǎn)，使得與垂直？若存在，請(qǐng)求出的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）；（2）存在，【解析】（1）因?yàn)槊?，面，所以，?,平面，所以平面，而平面，所以分別以，，為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，．設(shè)平面的一個(gè)法向量，平面的一個(gè)法向量．因?yàn)?，，，．所以，取，得．所以．因?yàn)椋?，，，所以，取得，，所以．因，設(shè)二面角的大小為，為鈍角，則，而，所以．（2）假設(shè)線段上存在一點(diǎn)，使得與垂直，設(shè)，，可得，，，因?yàn)椋?，解得．．【變?-1】如圖，在矩形ABCD中，，，E為邊AD上的動(dòng)點(diǎn)，將沿CE折起，記折起后D的位置為P，且P在平面ABCD上的射影O恰好落在折線CE上．（1）設(shè)，當(dāng)為何值時(shí)，的面積最?。浚?）當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，在線段BC上是否存在一點(diǎn)F，使平面平面POF，若存在求出BF的長(zhǎng)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）；（2）且或【解析】（1）因?yàn)?所以，由于平面，，故在中，，在中，由余弦定理可得，在中，在中，因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，即，最大，此時(shí)，而也為最小值，故（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為軸的正方向，過(guò)向上作平面的垂線為軸正方向，如圖，建立空間直角坐標(biāo)系當(dāng)時(shí)，此時(shí)是中點(diǎn)，故，故設(shè)，則設(shè)平面的法向量為，所以，取，則同理可得平面的法向量為，因?yàn)槠矫嫫矫鍼OF，所以，即或，故存在點(diǎn),使得平面平面POF，且或【變式8-2】如圖，在直三棱柱中，為的中點(diǎn)，分別是棱上的點(diǎn)，且．（1）求證：直線平面；（2）若是正三角形為中點(diǎn)，能否在線段上找一點(diǎn)，使得平面？若存在，確定該點(diǎn)位置；若不存在，說(shuō)明理由．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）在直線上存在一點(diǎn)，且，使得平面．【解析】（1）在直三棱柱中，是的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)

，而，四邊形是平行四邊形，平面平面，平面．（2）在直線上找一點(diǎn)，使得平面，證明如下：在直三棱柱中，

又兩兩垂直，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，在線段上，設(shè)，則，則