2023年高考數(shù)學一輪復習講義：第十二章 12-3絕對值不等式

§12.3絕對值不等式

【考試要求】1.理解絕對值的幾何意義，并了解下列不等式成立的幾何意義及取等號的條件：

∣0+?∣≤∣α∣+∣?∣(α,?∈R);∣0-c∣≤∣α-?∣÷∣?-c∣(a,b,CeR).2.會利用絕對值的幾何意義求

解以下類型的不等式：Iar+A∣≤c;∣0v+?∣≥c;?x-a?+?x-b?^c.

-落實主干知識

【知識梳理】

1.絕對值不等式的解法

(1)含絕對值的不等式∣M<α與∣R>α的解集

不等式a>0a=0a<0

M<a(一。，〃)00

?x?>a(—8,—a)U(a,+∞)(—8,0)U(0,+o0)R

⑵Iar+h∣<c(c>O)和欣+例》C(C>0)型不等式的解法

①Iar+6IWc。-cWαr+6Wc.

②Iar+例》K≠0r+62C或0r+6≤-c.

(3)∣x-c∕∣+?x~b∣2C(C>0)和|x—a∣+∣χ-目Wc(c>O)型不等式的解法

①利用絕對值不等式的幾何意義求解，體現(xiàn)了數(shù)形結合的思想.

②利用“零點分段法”求解，體現(xiàn)了分類討論的思想.

③通過構造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象求解，體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想.

2.含有絕對值的不等式的性質(zhì)

(1)如果mb是實數(shù)，則IIaITbII≤kz±4WIal+|夙

(2)如果α,b,C是實數(shù)，那么∣α~~c∣W∣α-加+仍一d，當且僅當(a—h)(?>—C)NO時,等號成立.

【思考辨析】

判斷下列結論是否正確(請在括號中打“J”或“X”)

⑴若IXI>c的解集為R,則CWo.(×)

⑵不等式IX—l∣+∣x+2∣<2的解集為0.(√)

(3)對口+目>同一團當且僅當a>b>O時等號成立.(X)

⑷對Ia—臼Wlal+1旬當且僅當HWO時等號成立.(√)

【教材改編題】

1.不等式3W∣5—2R<9的解集為()

A.[-2,1)U[4,7)B.(-2,1]U(4,7]

C.(-2,-1]U[4,7)D.(-2,1]U[4,7)

答案D

∣2χ-5∣<9,

解析由題意得

∣2χ-5∣≥3,

I—9<2χ-5<9,—2<x<7,

即上解得，

〔2x—523或2x—5W—3,x24或x<l,

???不等式的解集為(-2,1]U[4,7).

2.不等式僅一1|一僅一5|<2的解集為.

答案(一8,4)

解析①當x≤l時，原不等式可化為1—x—(5—x)<2,

Λ—4<2,不等式恒成立，Λx≤l;

②當14<5時，原不等式可化為

X-1—(5-x)<2,

Λχ<4,Λl<x<4;

③當x25時，原不等式可化為工一1一(工一5)<2,該不等式不成立.

綜上，原不等式的解集為(一8,4).

3.設mZ?￡R,∣4一例>2,則關于實數(shù)X的不等式僅一α∣+∣χ-加>2的解集是

答案R

解析V∣x—α∣+∣x—b?^?(x—d)—(x—b)?-?h—a?=?a—h?.

又???|。一切>2,

.??χ-a?+?χ-b?>2恒成立,

即該不等式的解集為R

■探究核心題型

題型一絕對值不等式的解法

例1(2021,全國乙卷)已知函數(shù)7(x)=IX-3+∣x+3∣.

(1)當α=l時,求不等式7U)26的解集；

(2)若人r)>?-α,求”的取值范圍.

解(1)當〃=1時，7U)=k—l∣+∣x+3∣,

即求∣χ-l∣+∣x+3∣26的解集，

當XNl時，2x+2N6,得x22；

當一3<x<l時，4-6,此時沒有X滿足條件；

當XW—3時，一2x—226,得XW—4.

綜上，不等式次x)26的解集為

{x∣x≤-4或x22}.

(2)∕(x)=∣χ-Λ∣+∣X+3∣>∣(X-Λ)-(X+3)∣=∣Λ+3∣,

當且僅當a—a)a+3)wo時，等號成立.

所以“r)min=∣d+3∣>一〃，

當a<-3時，-Q—3>一4,無解；

3

當—3時，〃+3>—a,解得〃>—2?

綜上所述，4的取值范圍是(一方+∞).

【教師備選】

已知穴X)=IX+1|+十一”.

⑴求不等式式x)<4的解集；

⑵若不等式兀V)-Ia+l∣<0有解，求”的取值范圍.

-2x,x≤-I,

2,-l≤x≤L

2x,x>l,

??τω<4,1

—2x<4,(2<4,f2x<4,

：.\/或?1或?

x≤-1I—l<x≤l[x>l,

/.—2<x≤—1或一l<xWl或l<r<2,

故不等式的解集為(一2,2).

(2)??7(x)=∣x+l∣+k-l∣

>∣(x+l)-(χ-1)1=2,

?W)∏1in=2,當且僅當(x+I)(X—1)WO時取等號，

?.求x)Tα+l∣<0有解，

∣α+1∣>∕(x)min=2,

Λ∣α+l∣>2,

.,.α+l<—2或α+l>2,即α<-3或α>l,

故”的取值范圍是(-8,-3)U(1,+∞).

思維升華解絕對值不等式的基本方法

(1)利用絕對值的定義，通過分類討論轉化為解不含絕對值符號的普通不等式.

(2)當不等式兩端均為正數(shù)時，可通過兩邊平方的方法，轉化為不含絕對值符號的普通不等式.

(3)利用絕對值的幾何意義，數(shù)形結合求解.

跟蹤訓練1(2021?全國甲卷)已知函數(shù)汽X)=IX-2|,g(x)=∣2x+3∣-∣2χ-l∣.

(1)畫出y=∕W和y=g(x)的圖象；

(2)若/(x+α)2g(x),求”的取值范圍.

χ-29x22,

解(1求X)=

2-χ,x<2,

-4,x<-∣,

3

g(x)=W4x+2,-2

4,x*,

作出圖象，如圖所示.

[x~2f%22,

⑵由⑴得兀V)=CC

[2-χ,x<l,

函數(shù)4x+α)的圖象即為將函數(shù)兀0的圖象向左或向右平移同個單位長度，

當“W0時，即為將函數(shù)7U)的圖象向右平移同個單位長度得到y(tǒng)(x+e)的圖象，此時函數(shù)

+a)的圖象始終有部分圖象位于函數(shù)g(x)的圖象下方，無法滿足yu+α)>g(x),

則要滿足?x+α)2g(x),

需?>0,Xx+α)≈∣x+α-2∣,

當函數(shù)y=∣x+α-2∣的圖象過點Q,4)時，1+?-2=4,

解得α=:或“=一方(舍去)，

根據(jù)圖象可得若./U+α)2g(x),則a

即°e[爭^*^o°)?

題型二利用絕對值不等式的性質(zhì)求最值

例2已知函數(shù)/W=∣2x+1|+|工一4|.

(1)解不等式y(tǒng)u)<6；

(2)若不等式y(tǒng)u)+|x—4|<〃2—8α有解，求實數(shù)a的取值范圍.

—3x+3,x<—

解⑴由已知得益)={χ+5,-l≤x≤4,

<3χ-3,Λ>4,

當x<一3時，-3x+3W6,即x2一1,

—1≤x<一；；

當一時，x÷5≤6,即xWl,

...-2IVWXUW1；

當X>4時，3χ-3W6,即x≤3(舍去).

綜上得式x)W6的解集為[-1』].

(2)∕(x)+∣jc-4∣=∣lr+l∣+∣2χ-8∣≥9,(當且僅當一^≤xW4時取等號)

*."∕(x)+∣x—4∣<α2—Sa有解，

Λa2-8α>9,(?—9)(“+1)>0,

a<—1或a>9,

實數(shù)”的取值范圍是(一8,-1)U(9,+∞).

【教師備選】

已知,*x)=|x—3∣,g(x)=|x一川(其中&》2).

(1)若火=4,求危)+g(x)<9的解集；

(2)VXW[1,2],不等式?r)—g(x)NA-X恒成立，求實數(shù)Z的值.

解(1)若發(fā)=4,則|x)+g(x)<9,即|x—3|十|x—4|<9,

x<3,[3≤JC≤4,fx>4,

即｛或"j或｛

3—x÷4-x<9[x—3÷4-x<9[JC—3÷χ-4<9,

解得一1<Λ<3或3≤x≤4或4<Λ<8,

；?原不等式的解集為｛x[—I<x<8｝.

(2),.??>2,且x∈[l,2],

'.X—3<0,X一?≤0,

/.y(x)=∣χ-3∣=3-?,g(x)=∣χ-&|=k-X,

則VXG],2],不等式√(x)-g(x)》上一X恒成立，

即Vχ6[l,2],x+322%恒成立，

；.422鼠即ZW2,

又無》2,：.k=2.

思維升華求含絕對值函數(shù)的最值時，常用的方法有三種

(1)利用絕對值的幾何意義.

(2)利用絕對值的三角不等式,即?a?+?b?^?a±b?^??a?~?b??.

(3)利用零點分區(qū)間法，轉化為分段函數(shù)求最值.

跟蹤訓練2已知心)=k+l∣-∣2χ-l∣.

(1)求不等式<x)>0的解集；

(2)若XGR時，不等式/(x)Wα+X恒成立，求。的取值范圍.

解⑴由題意得∣x+l∣>∣2χ-1|,

所以∣X+1∣2>∣2X-1∣2,

整理可得*-2x<0,解得。令<2,

故原不等式的解集為{X∣0<Λ?<2}.

(2)由已知可得，α河力一X恒成立,

設g(χ)=yu)—X,

'—2,x<_1,

則g(x)=<2x,TWxW',

—2x+2,x>2，

由g(:v)的單調(diào)性可知，當X=T時，g(x)取得最大值，且最大值為1,

所以。的取值范圍是[1,+∞).

題型三絕對值不等式的綜合應用

例3設函數(shù)/U)=∣2%+l∣+∣χ-1|.

(1)畫出y=#x)的圖象；

(2)當X￡[0,+8)時，"r)<0r+力，求。+人的最小值.

—3x,x<-2,

解（g）=.+2,—吳3,

<3x,x≥l.

y=∕U)的圖象如圖所示.

(2)由(1)知，y=∕(x)的圖象與y軸交點的縱坐標為2,且各部分所在直線斜率的最大值為3,

故當且僅當“23且匕22時，>(x)Wnx+h在[0,+8)上恒成立，因此。+人的最小值為5.

【教師備選】

(2020?全國∏)已知函數(shù)兀V)=IX-“2|+僅一2〃+1].

(1)當α=2時，求不等式√U)24的解集：

⑵若?r)》4,求”的取值范圍.

解⑴當α=2時，,/(x)=∣χ-4∣+∣x—3|

l-1x,x≤3,

=7,3<r<4,

.2x—7,x24.

3

當xW3時，令7—2x》4,解得XW]；

當34<4時，124,無解；

當x24時，令2L724,解得萬瑞.

3

因此，不等式兀v)>4的解集為伊2一

(2)將題目轉化為兀024恒成立，

即T(X)Inin24.

因為fix')=IX-O2∣+?χ-2a^sτ1|

≥∣a2-2α+l∣=(a-l)2,

所以(“一1>》4,即1“一1|22.

解得"N3或α≤-1.

所以α的取值泥圍是(一8,—1]U[3,+oo).

思維升華(1)解決與絕對值有關的綜合問題的關鍵是去掉絕對值，化為分段函數(shù)來解決.

(2)數(shù)形結合是解決與絕對值有關的綜合問題的常用方法.

跟蹤訓練3(2022.白山聯(lián)考)已知函數(shù)y(x)=∣x—2|一“∣x+l∣.

⑴當。=1口寸，求不等式五x)<x的解集；

(2)當a=2時，若關于X的不等式火x)>"+l恰有2個整數(shù)解，求實數(shù),〃的取值范圍.

解(1)由已知不等式僅一2|一∣x+l∣<r,

得|x—2∣<x+∣x+1］,

當x22時，不等式為X—2<x+x+1,

解得x>—3,所以x22；

當一l<x<2時，不等式為2—x<x+x+1,

解得x>g,所以;<χv2;

當x≤-1時，不等式為2—x<x一無一1,

解得X>3,此時無解.

綜上，原不等式的解集為g,+8).

(2)由題意,函數(shù)於)=∣χ-2|—2∣x+1|,

x+4,x≤—1,

可得於)="-3%,—l<r<2,

「x-4,x22,

人幻的圖象如圖.

犬一3)=1,人-2)=2,A-I)=3,1O)=0,

因為關于X的不等式<x)>"+l恰有2個整數(shù)解，

由圖可知，l≤τn+l<2,所以OWm<1,

故m的取值范圍為［0,1).

課時精練

1.已知函數(shù)"T)=Ix-l∣+∣χ-4∣.

(1)若函數(shù)./U)的值域為［2,+∞),求實數(shù)。的值；

⑵若12—〃)宓2),求實數(shù)〃的取值范圍.

解(1)V∣χ-l?+?χ-a?^?(χ-1)—(X—a)∣=∣α-1|,

Λb—11=2,解得a=3或a=—}.

(2)由12—〃)2人2),

得3∣a-1|—∣α-2∣≥1,

4Z≤I,

則’

、[3(l-q)-(2-α)2]

[l<6r≤2,

或

[3(。-1)一(2一々)21

a>29

或?

13(4—1)—俗一2)21,

解得tz≤O或,WαW2或a>2,

綜上，實數(shù)。的取值范圍是(-8,0]u[∣,+8).

2.已知函數(shù)於)=∣X+1L∣X∣+”.

(1)若α=0,求不等式./U)》o的解集；

(2)若方程yu)=x有三個不同的解，求實數(shù)。的取值范圍.

—1,Λ<-1,

解(1)當α=0時，"r)=∣x+1|—∣x∣=<2x+l,—l≤x<0,

,1,x20.

所以當x<—1時，_/U)=一ι<o,不符合題意；

當一IWXeO時，貝X)=2x+lN0,

解得一；WXe0；

當x20時，<X)=I>0,符合題意.

綜上可得加)20的解集為[一/+∞).

(2)設M(X)=∣X÷1∣-∣x∣,y="(x)的圖象和y=x的圖象如圖所示.

易知y=“(x)的圖象向下平移1個單位長度內(nèi)(不包括1個單位長度)，與y=x的圖象始終有3

個交點,從而一l<α<0.

所以實數(shù)α的取值范圍為(一1,0).

3.已知函數(shù)貝X)=I2x+α∣-∣x一3∣(α∈R).

(1)若a=—1,求不等式火x)+l>0的解集；

(2)已知a>0,若大尤)+3a>2對于任意x∈R恒成立，求a的取值范圍.

解(1)因為。=-1,

fC1

—X-2,x<2，

所以_/W=1L4,∣≤X≤3,

、x+2,x>3,

所以不等式y(tǒng)(χ)+ι>o等價于

r1

咆，?≤x≤3,

或J2

.-χ-2+l>0k3χ-4+l>0

fx>3,

或

[x+2+1>0,

解得XV—1或x>l.

所以不等式火x)+l>O的解集為

{x∣x<-1或x>l}.

(2)因為a>O,

'.a

-X-a_3,x<-2,

所以加)=<3χ+α-3,-f≤x≤3,

?x+α+3,x>3.

根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)HX)的最小值為

/'V)T-3,

因為兀c)+34>2恒成立，

所以一5一3+3a>2,解得a>2.

所以實數(shù)”的取值范圍是(2,+∞).

4.(2022.鄭州模擬)已知函數(shù)y(x)=∣2x+α∣+1.

⑴當α=2時,解不等式丸x)+x<2;

(2)若存在“C-∣,1,使得不等式式外26+|2%+序|的解集非空，求b的取值范圍.

解(1)當α=2時，函數(shù)7(X)=∣2Λ+2∣+1,

解不等式式尤)+x<2化為∣2x+2|+1+x<2,

即∣2x+2∣<l—X,

.*.x—l<2x+2<1—x(x<1),

解得一3<rv-g,

不等式的解集為卜I-3<x<-g∣.

(2)由∕x)2b+∣2x+4九

得?≤∣2x+0∣-∣2x+α2∣+1,

設g(x)=?2x+a?-?2x+a2?+i,

則不等式的解集非空，等價于6Wg(x)max,

由g(%)z≤∣(2x+a)-(2r+∕)∣+1

=|c——α