（江蘇專用）高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十四章 系列4選講 14.1 幾何證明選講 課時(shí)1 相似三角形的進(jìn)一步認(rèn)識(shí) 理-人教版高三數(shù)學(xué)試題

課時(shí)1相似三角形的進(jìn)一步認(rèn)識(shí)1．平行線等分線段定理如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在任一條(與這組平行線相交的)直線上截得的線段也相等．推論1：經(jīng)過梯形一腰的中點(diǎn)與底平行的直線，必平分另一腰．推論2：經(jīng)過三角形一邊的中點(diǎn)與另一邊平行的直線，必平分第三邊．2．平行線分線段成比例定理兩條直線與一組平行線相交，它們被這組平行線截得的對(duì)應(yīng)線段成比例．推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)所得的對(duì)應(yīng)線段成比例．3．相似三角形的判定及性質(zhì)(1)判定定理：內(nèi)容判定定理1兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似判定定理2兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似判定定理3三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似(2)性質(zhì)定理：相似三角形的對(duì)應(yīng)線段的比等于相似比，面積比等于相似比的平方．4．直角三角形的射影定理直角三角形一條直角邊的平方等于該直角邊在斜邊上的射影與斜邊的乘積，斜邊上的高的平方等于兩條直角邊在斜邊上射影的乘積．1．如圖，在四邊形ABCD中，△ABC≌△BAD.求證：AB∥CD.證明由△ABC≌△BAD得∠ACB＝∠BDA，故A，B，C，D四點(diǎn)共圓，從而∠CAB＝∠CDB.由△ABC≌△BAD得∠CAB＝∠DBA，因此∠DBA＝∠CDB，所以AB∥CD.2．如圖，BD⊥AE，∠C＝90°，AB＝4，BC＝2，AD＝3，求EC的長(zhǎng)度．解在Rt△ADB中，DB＝eq\r(AB2－AD2)＝eq\r(7)，依題意得，△ADB∽△ACE，∴eq\f(DB,EC)＝eq\f(AD,AC)，可得EC＝eq\f(DB·AC,AD)＝2eq\r(7).3．如圖，在△ABC中，D是AC的中點(diǎn)，E是BD的中點(diǎn)，AE交BC于點(diǎn)F，求eq\f(BF,FC)的值．解如圖，過點(diǎn)D作DG∥AF，交BC于點(diǎn)G，易得FG＝GC，又在△BDG中，BE＝DE，即EF為△BDG的中位線，故BF＝FG，因此eq\f(BF,FC)＝eq\f(1,2).題型一平行截割定理的應(yīng)用例1如圖，在四邊形ABCD中，AC，BD交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作AB的平行線，與AD，BC分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，與CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)K.求證：KO2＝KE·KF.證明延長(zhǎng)CK，BA，設(shè)它們交于點(diǎn)H，因?yàn)镵O∥HB，所以eq\f(KO,HB)＝eq\f(DK,DH)，eq\f(KE,HA)＝eq\f(DK,DH).因此eq\f(KO,HB)＝eq\f(KE,HA)，即eq\f(KO,KE)＝eq\f(HB,HA).因?yàn)镵F∥HB，同理可得eq\f(KF,KO)＝eq\f(HB,HA).故eq\f(KO,KE)＝eq\f(KF,KO)，即KO2＝KE·KF.思維升華當(dāng)條件中給出平行線時(shí)，應(yīng)優(yōu)先考慮平行線分線段成比例定理，在有關(guān)比例的計(jì)算與證明題中，常結(jié)合平行線分線段成比例定理構(gòu)造平行線解題．作平行線常用的方法有利用中點(diǎn)作中位線，利用比例線段作平行線等．(1)如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD與AC相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O的直線分別交AB，CD于E，F(xiàn)，且EF∥BC，若AD＝12，BC＝20，求EF的長(zhǎng)度．(2)如圖所示，在△ABC中，DE∥BC，EF∥CD，若BC＝3，DE＝2，DF＝1，求AB的長(zhǎng)．解(1)∵AD∥BC，∴eq\f(OB,OD)＝eq\f(BC,AD)＝eq\f(20,12)＝eq\f(5,3)，∴eq\f(OB,BD)＝eq\f(5,8).∵OE∥AD，∴eq\f(OE,AD)＝eq\f(OB,BD)＝eq\f(5,8).∴OE＝eq\f(5,8)AD＝eq\f(5,8)×12＝eq\f(15,2)，同理可求得OF＝eq\f(3,8)BC＝eq\f(3,8)×20＝eq\f(15,2)，∴EF＝OE＋OF＝15.(2)∵DE∥BC，∴eq\f(AD,AB)＝eq\f(AE,AC)＝eq\f(DE,BC)＝eq\f(2,3)，eq\f(EC,AC)＝eq\f(1,3).又∵EF∥CD，∴eq\f(DF,AD)＝eq\f(EC,AC)＝eq\f(1,3).∴AD＝3.∴AB＝eq\f(3,2)AD＝eq\f(9,2).題型二相似三角形的判定與性質(zhì)例2如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，E為AC的中點(diǎn)，ED、CB延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)F.求證：FD2＝FB·FC.證明∵E是Rt△ACD斜邊上的中點(diǎn)，∴ED＝EA，∴∠A＝∠1，∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠A，∵∠FDC＝∠CDB＋∠2＝90°＋∠2，∠FBD＝∠ACB＋∠A＝90°＋∠A，∴∠FBD＝∠FDC，∵∠F是公共角，∴△FBD∽△FDC，∴eq\f(FB,FD)＝eq\f(FD,FC)，∴FD2＝FB·FC.思維升華(1)判定兩個(gè)三角形相似要注意結(jié)合圖形的性質(zhì)特點(diǎn)，靈活選擇判定定理．在一個(gè)題目中，相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理可能多次用到．(2)相似三角形的性質(zhì)可用來證明線段成比例、角相等，也可間接證明線段相等．(1)如圖，AB與CD相交于點(diǎn)E，過E作BC的平行線與AD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)P.已知∠A＝∠C，PD＝2DA＝2，求PE的長(zhǎng)．(2)如圖，四邊形ABCD中，DF⊥AB，垂足為F，DF＝3，AF＝2FB＝2，延長(zhǎng)FB到E，使BE＝FB，連結(jié)BD，EC.若BD∥EC，求四邊形ABCD的面積．解(1)∵BC∥PE，∴∠PED＝∠C＝∠A，∴△PDE∽△PEA，∴eq\f(PE,PA)＝eq\f(PD,PE)，則PE2＝PA·PD，又∵PD＝2DA＝2，∴PA＝PD＋DA＝3.∴PE＝eq\r(PA·PD)＝eq\r(6).(2)如圖，過點(diǎn)E作EN⊥DB交DB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，在Rt△DFB中，DF＝3，F(xiàn)B＝1，則BD＝eq\r(10)，由Rt△DFB∽R(shí)t△ENB，知eq\f(EN,DF)＝eq\f(BE,BD)，所以EN＝eq\f(3\r(10),10)，又BD∥EC，所以EN為△BCD底邊BD上的高，故S四邊形ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝eq\f(1,2)AB·DF＋eq\f(1,2)BD·EN＝eq\f(1,2)×3×3＋eq\f(1,2)×eq\r(10)×eq\f(3\r(10),10)＝6.題型三射影定理的應(yīng)用例3如圖，在△ABC中，D、F分別在AC、BC上，且AB⊥AC，AF⊥BC，BD＝DC＝FC＝1，求AC的長(zhǎng)．解在△ABC中，設(shè)AC為x，∵AB⊥AC，AF⊥BC.又FC＝1，根據(jù)射影定理，得AC2＝FC·BC，即BC＝x2.再由射影定理，得AF2＝BF·FC＝(BC－FC)·FC，即AF2＝x2－1，∴AF＝eq\r(x2－1).在△BDC中，過D作DE⊥BC于E.∵BD＝DC＝1，∴BE＝EC＝eq\f(1,2)x2.又∵AF⊥BC，∴DE∥AF，∴eq\f(DE,AF)＝eq\f(DC,AC)，∴DE＝eq\f(DC·AF,AC)＝eq\f(\r(x2－1),x).在Rt△DEC中，∵DE2＋EC2＝DC2，即(eq\f(\r(x2－1),x))2＋(eq\f(1,2)x2)2＝12，∴eq\f(x2－1,x2)＋eq\f(x4,4)＝1.整理得x6＝4，∴x＝eq\r(3,2)，即AC＝eq\r(3,2).思維升華(1)在使用直角三角形射影定理時(shí)，要學(xué)會(huì)將“乘積式”轉(zhuǎn)化為相似三角形中的“比例式”．(2)證題時(shí)，作垂線構(gòu)造直角三角形是解直角三角形常用的方法．(1)如圖所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，且AD∶BD＝9∶4，求AC∶BC.(2)已知圓的直徑AB＝13，C為圓上一點(diǎn)，過C作CD⊥AB于D(AD>BD)，若CD＝6，求AD的長(zhǎng)．解(1)∵AC2＝AD·AB，BC2＝BD·AB，∴AC2∶BC2＝AD∶BD＝9∶4，∴AC∶BC＝3∶2.(2)如圖，連結(jié)AC，CB，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°.設(shè)AD＝x，∵CD⊥AB于D，∴由射影定理得CD2＝AD·DB，即62＝x(13－x)，∴x2－13x＋36＝0，解得x1＝4，x2＝9.∵AD>BD，∴AD＝9.1．判定兩個(gè)三角形相似的常規(guī)思路(1)先找兩對(duì)對(duì)應(yīng)角相等；(2)若只能找到一對(duì)對(duì)應(yīng)角相等，則判斷相等的角的兩夾邊是否對(duì)應(yīng)成比例；(3)若找不到角相等，就判斷三邊是否對(duì)應(yīng)成比例，否則考慮平行線分線段成比例定理及相似三角形的“傳遞性”．2．直角三角形中常用的四個(gè)結(jié)論在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB(如圖)：(1)∠A＝∠BCD，∠B＝∠ACD.(2)△ABC∽△ACD∽△CBD.(3)a2＝pc，b2＝qc，h2＝pq，ab＝ch(其中c＝p＋q)．(4)在a、b、p、q、h五個(gè)量中，知道兩個(gè)量的值，就能求出其他三個(gè)量的值．A組專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練(時(shí)間：50分鐘)1．如圖，△OAB是等腰三角形，P是底邊AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且PO＝3，PA·PB＝4，求腰長(zhǎng)OA的長(zhǎng)度．解如圖，作OD⊥AP，垂足為D，則PO2－PD2＝OB2－BD2，所以PO2－OB2＝PD2－BD2，因?yàn)锳D＝BD，所以PD2－BD2＝PD2－AD2＝(PD＋AD)(PD－AD)＝PA·PB＝4，所以PO2－OB2＝4，所以O(shè)B2＝9－4＝5，所以O(shè)B＝eq\r(5)，所以O(shè)A＝eq\r(5).2．如圖，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90°，且AB＝6，AC＝4，AD＝12，求AE的長(zhǎng)．解由于∠ACD＝∠AEB＝90°，∠B＝∠D，∴△ABE∽△ADC，∴eq\f(AB,AD)＝eq\f(AE,AC).又AC＝4，AD＝12，AB＝6，∴AE＝eq\f(AB·AC,AD)＝eq\f(6×4,12)＝2.3.如圖，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜邊BC上的高，若AB∶AC＝2∶1，求AD∶BC.解設(shè)AC＝k，則AB＝2k，BC＝eq\r(5)k，∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，∴AC2＝CD·BC，∴k2＝CD·eq\r(5)k，∴CD＝eq\f(\r(5),5)k，又BD＝BC－CD＝eq\f(4\r(5),5)k，∴AD2＝CD·BD＝eq\f(\r(5),5)k·eq\f(4\r(5),5)k＝eq\f(4,5)k2，∴AD＝eq\f(2\r(5),5)k，∴AD∶BC＝2∶5.4．在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AD∶BD＝2∶3，求△ACD與△CBD的相似比．解如圖所示，在Rt△ACB中，CD⊥AB，由射影定理得：CD2＝AD·BD，又∵AD∶BD＝2∶3，令A(yù)D＝2x.則BD＝3x(x>0)，∴CD2＝6x2，∴CD＝eq\r(6)x.又∵∠ADC＝∠BDC＝90°，∴△ACD∽△CBD.易知△ACD與△CBD的相似比為eq\f(AD,CD)＝eq\f(2x,\r(6)x)＝eq\f(\r(6),3).即相似比為eq\r(6)∶3.5．如圖所示，在△ABC中，∠CAB＝90°，AD⊥BC于點(diǎn)D，BE是∠ABC的角平分線，交AD于點(diǎn)F，求證：eq\f(DF,AF)＝eq\f(AE,EC).證明∵BE是∠ABC的角平分線，∴eq\f(DF,AF)＝eq\f(BD,AB)，①eq\f(AE,EC)＝eq\f(AB,BC).②在Rt△ABC中，由射影定理知，AB2＝BD·BC，即eq\f(BD,AB)＝eq\f(AB,BC).③由①③得eq\f(DF,AF)＝eq\f(AB,BC)，④由②④得eq\f(DF,AF)＝eq\f(AE,EC).6.如圖所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，M是BC的中點(diǎn)，CN⊥AM，垂足是N，求證：AB·BM＝AM·BN.證明∵CM2＝MN·AM，又∵M(jìn)是BC的中點(diǎn)，∴BM2＝MN·AM，∴eq\f(BM,AM)＝eq\f(MN,BM)，又∵∠BMN＝∠AMB，∴△AMB∽△BMN，∴eq\f(AB,BN)＝eq\f(AM,BM)，∴AB·BM＝AM·BN.B組專項(xiàng)能力提升(時(shí)間：30分鐘)7.如圖所示，平行四邊形ABCD中，E是CD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，BE與AD交于點(diǎn)F，DE＝eq\f(1,2)CD.(1)求證：△ABF∽△CEB；(2)若△DEF的面積為2，求平行四邊形ABCD的面積．(1)證明∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠A＝∠C，AB∥CD.∴∠ABF＝∠CEB.∴△ABF∽△CEB.(2)解∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AB∥CD.∴△DEF∽△CEB，△DEF∽△ABF.∵DE＝eq\f(1,2)CD，∴eq\f(S△DEF,S△CEB)＝(eq\f(DE,CE))2＝eq\f(1,9)，eq\f(S△DEF,S△ABF)＝(eq\f(DE,AB))2＝eq\f(1,4).∵S△DEF＝2，∴S△CEB＝18，S△ABF＝8.∴S四邊形BCDF＝S△CEB－S△DEF＝16.∴S四邊形ABCD＝S四邊形BCDF＋S△ABF＝16＋8＝24.8.如圖，在平行四邊形ABCD中，過點(diǎn)B作BE⊥CD，垂足為E，連結(jié)AE，F(xiàn)為AE上一點(diǎn)，且∠BFE＝∠C.(1)求證：△ABF∽△EAD.(2)若∠BAE＝30°，AD＝3，求BF的長(zhǎng)．(1)證明∵AB∥CD，∴∠BAF＝∠AED.又∵∠BFE＝∠C，∠BFE＋∠BFA＝∠C＋∠ADE，∴∠BFA＝∠ADE.∴△ABF∽△EAD.(2)解∵∠BAE＝30°，∴∠AEB＝60°，∴eq\f(AB,AE)＝sin60°＝eq\f(\r(3),2)，又△ABF∽△EAD，∴eq\f(BF,AD)＝eq\f(AB,AE)，∴BF＝eq\f(AB,AE)·AD＝eq\f(3\r(3),2).9.如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，E、F分別是AB、BC的中點(diǎn)，EF與BD相交于點(diǎn)M.(1)求證：△EDM∽△FBM；(2)若DB＝9，求BM.(1)證明∵E是AB的中點(diǎn)，∴AB＝2EB.∵AB＝2CD，∴CD＝EB.又∵AB∥CD，∴四邊形CBED是平行四邊形．∴CB∥DE，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(∠DEM＝∠BFM，,∠EDM＝∠FBM，))∴△EDM∽△FBM.(2)解∵△EDM∽△FBM，∴eq\f(DM,BM)＝eq\f(DE,BF).∵F是BC的中點(diǎn)，∴DE＝2BF.∴DM＝2BM，∴