貴州省黔西南布依族苗族自治州2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期1月期末考試數(shù)學(xué)試題【含答案解析】

黔西南州2023～2024學(xué)年度第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測高一數(shù)學(xué)一、單選題：每小題5分，共8個(gè)小題，合計(jì)40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的.1.已知集合，集合，下列表述正確的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)子集定義得出結(jié)果即可.【詳解】已知集合，集合，所以.故選：C.2.下列命題中真命題是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，，則【答案】B【解析】【分析】利用不等式的性質(zhì)可判斷選項(xiàng)B，C，取特殊值驗(yàn)證可判斷選項(xiàng)A，D錯(cuò)誤.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，當(dāng)時(shí)，則，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)?，則，在不等式兩邊同乘以，所以，所以B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，，所以，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，當(dāng)，則，所以D錯(cuò)誤.故選：B.3.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在區(qū)間上單調(diào)遞增的函數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)常見函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性可直接判斷出答案.【詳解】是奇函數(shù)，不滿足題意；的定義域?yàn)?，是非奇非偶函?shù)，不滿足題意；是非奇非偶函數(shù)，不滿足題意；是偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，滿足題意；故選：D4.在平面直角坐標(biāo)系中，角以軸的正半軸為始邊，終邊經(jīng)過點(diǎn)，則的值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用任意角的三角函數(shù)定義得出值.【詳解】因?yàn)榻且暂S的正半軸為始邊，終邊經(jīng)過點(diǎn)，則由任意角的三角函數(shù)定義得:.故選:C.5.已知命題，那么是（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】【分析】根據(jù)存在量詞命題的否定為全稱量詞命題，直接判斷即可.【詳解】命題，為存在量詞命題，其否定為全稱量詞命題，所以命題的否定為：,.故選：B.6.關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根的充要條件是（）A.或 B.或C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合一元二次方程的的性質(zhì)，列出不等式，即可求解.【詳解】由方程關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則滿足，解得或，即方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根的充要條件是或.故選：A.7.函數(shù)的圖象如圖所示，則的解析式可能是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】結(jié)合圖象，根據(jù)定義域與特殊值應(yīng)用排除法得到答案.【詳解】由圖象可知，的定義域?yàn)椋瑢?duì)于C，D選項(xiàng)，，定義域?yàn)?，排除C，D；對(duì)于B選項(xiàng)，，定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，，排除B，對(duì)于A，的定義域?yàn)?，且其在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故A正確.故選：A.8.定義在上的函數(shù)，滿足，，且為偶函數(shù)，，則的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用已知條件，確定，，且是周期為4的周期函數(shù)，利用賦值法即可求解.【詳解】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以關(guān)于對(duì)稱，所以，又因?yàn)?，所以，故，從而，又，所以，從而，所以，故函?shù)是周期為4的周期函數(shù)；由，得，，，故，因?yàn)?，所以，即，又因?yàn)椋?，令，得，則，從而，因?yàn)楹瘮?shù)是周期為4的周期函數(shù)；所以,所以.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題求解的關(guān)鍵有兩個(gè)：一是利用函數(shù)的對(duì)稱性得出的周期；二是利用條件求出一個(gè)周期內(nèi)函數(shù)值的和.二、多選題：本題共4個(gè)小題，每小題5分，共計(jì)20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列運(yùn)算正確的是（）A. B. C. D.【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則和運(yùn)算性質(zhì)，準(zhǔn)確運(yùn)算，即可求解.【詳解】根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則和運(yùn)算性質(zhì)，可得：，，，.故選：ABC.10.關(guān)于函數(shù)，下列說法正確的是（）A.方程無實(shí)數(shù)根 B.在上的最小值為4C.是定義域內(nèi)的偶函數(shù) D.是定義域內(nèi)的奇函數(shù)【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合基本不等式，以及函數(shù)的奇偶性的判定方法，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】由函數(shù)，其定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以函數(shù)的值域?yàn)?，?duì)于A中，方程有唯一的實(shí)數(shù)根，所以A不正確；對(duì)于B中，函數(shù)在上的最小值為，所以B正確；對(duì)于C、D中，由，所以函數(shù)為奇函數(shù)，所以C錯(cuò)誤，D正確.故選：BD.11.已知函數(shù)，其零點(diǎn)所在的區(qū)間為（）A. B. C. D.【答案】ABC【解析】【分析】利用零點(diǎn)存在定理結(jié)合函數(shù)圖象可得答案.【詳解】，因?yàn)?，所以區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn)；因?yàn)椋詤^(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn)；因?yàn)?，所以區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn)；作出與的圖象，結(jié)合與的圖象的交點(diǎn)情況可知區(qū)間內(nèi)沒有零點(diǎn)；故選：ABC.12.函數(shù)（，）的部分圖象如圖所示，則下列說法中正確的是（）A.的表達(dá)式可以寫成B.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C.在區(qū)間上單調(diào)遞增D.若方程在上有且只有6個(gè)根，則【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)圖象可求得函數(shù)的解析式，再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)依次判斷各選項(xiàng).【詳解】對(duì)A，由，得，即，又，，又的圖象過點(diǎn)，則，即，，即得，，又，，所以，故A正確；對(duì)B，，故B正確；對(duì)C，當(dāng)時(shí)，則，由余弦函數(shù)單調(diào)性知，在單調(diào)遞減，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由，得，解得或，，方程在上有6個(gè)根，從小到大依次為：，而第7個(gè)根為，所以，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共4個(gè)小題，每小題5分，共計(jì)20分.13.已知冪函數(shù)恒過定點(diǎn)，則函數(shù)的解析式為______.【答案】【解析】【分析】將代入函數(shù)解析式，待定系數(shù)法求即可．【詳解】由題：，得：，所以的解析式為．故答案為：．14.已知，且為第一象限角，則的值為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)同角三角關(guān)系運(yùn)算求解即可.【詳解】因?yàn)?，且為第一象限角，所?故答案為：.15.“數(shù)摺聚清風(fēng)，一捻生秋意”是宋朝朱翌描寫折扇的詩句，折扇出人懷袖，扇面書畫，扇骨雕琢，是文人雅士的寵物，所以有“懷袖雅物”的別號(hào).當(dāng)折扇所在扇形的圓心角為時(shí)，折扇的外觀看上去是比較美觀的，若此扇形的半徑為3，則其面積為______.【答案】【解析】【分析】利用扇形的面積公式求解即可.【詳解】設(shè)扇形面積為，弧長為，圓心角為，半徑為；則，故答案為：16.已知函數(shù)，若在區(qū)間內(nèi)任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，（），都有恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______.【答案】【解析】【分析】不妨設(shè)，根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為，令，得到函數(shù)在上單調(diào)遞減，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】不妨設(shè)，因?yàn)椋傻?，即，令，可得函?shù)在上單調(diào)遞減，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象開口向上，對(duì)稱軸為，則，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.四、解答題：本題共6個(gè)題，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.其中17題10分，其余每小題12分，合計(jì)70分.17.已知全集，集合，集合.（1）求；（2）求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)交集的定義進(jìn)行求解；（2）根據(jù)補(bǔ)集、并集的定義進(jìn)行求解.【小問1詳解】已知集合，集合，則.【小問2詳解】已知全集，，則，又，則.18（1）已知函數(shù)，求證：；（2）已知函數(shù)在區(qū)間上具有單調(diào)性，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）證明見過程；（2）或.【解析】【分析】（1）寫出并化簡后與比較發(fā)現(xiàn)相等即可；（2）根據(jù)二次函數(shù)的解析式，求出二次函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，由題是其單調(diào)區(qū)間的子區(qū)間，列出不等式求解即可．【詳解】（1）由題：，得證．（2）二次函數(shù)圖象開口向上，對(duì)稱軸直線，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又函數(shù)在上具有單調(diào)性，所以或，解得：或．19.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）若將函數(shù)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼模v坐標(biāo)不變，得到函數(shù)，當(dāng)時(shí)，求的解集.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用輔助角公式可得，進(jìn)而可求最小正周期；（2）根據(jù)圖象變換可得，以為整體，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)分析求解.【小問1詳解】由題意可得：，所以函數(shù)的最小正周期.【小問2詳解】將函數(shù)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)，因?yàn)椋瑒t，若，即，可得，解得，所以的解集為.20.已知函數(shù).（e為無理數(shù)，（1）若函數(shù)為奇函數(shù)，求參數(shù)的值；（2）在（1）條件下，求函數(shù)在上的最大值與最小值之和.【答案】（1）（2）0【解析】【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)定義分析求解；（2）根據(jù)題意分析可知為定義在上的奇函數(shù)，結(jié)合奇函數(shù)的對(duì)稱性運(yùn)算求解.【小問1詳解】由題意可知：的定義域?yàn)椋驗(yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，則，可得，整理得，注意到，則，可得，即.【小問2詳解】由（1）可得：為定義在上的奇函數(shù)，對(duì)于，因?yàn)?，即恒成立，可知的定義域?yàn)?，又因?yàn)椋詾槎x在上的奇函數(shù)，則為定義在上的奇函數(shù)，且連續(xù)不斷，所以在上存在最大值和最小值，設(shè)當(dāng)時(shí)，取到最大值，由奇函數(shù)的對(duì)稱性可知當(dāng)，取到最小值，所以函數(shù)在上的最大值與最小值之和為.21.如圖①，筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經(jīng)濟(jì)又環(huán)保，至今在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中仍得到使用.如圖②，一個(gè)筒車按照逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，筒車上的某個(gè)盛水筒到水面的距離為（單位：）（在水下則為負(fù)數(shù)），與時(shí)間（單位：）之間的關(guān)系是.（1）盛水筒旋轉(zhuǎn)一周需要多少秒？盛水筒出水后至少經(jīng)過多少秒就可以達(dá)到最高點(diǎn)；（2）當(dāng)時(shí)，判斷盛水筒的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)（處于向上運(yùn)動(dòng)狀態(tài)、處于向下的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)），并說明理由.【答案】（1）旋轉(zhuǎn)一周需要60秒，出水后至少經(jīng)過20秒就可以達(dá)到最高點(diǎn)；（2）處于向下的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，理由見解析.【解析】【分析】（1）利用周期計(jì)算旋轉(zhuǎn)一周需要的時(shí)間，利用取最大值時(shí)的值得盛水筒出水后達(dá)到最高點(diǎn)的最短時(shí)間；（2）由區(qū)間內(nèi)函數(shù)的單調(diào)性，判斷盛水筒的運(yùn)動(dòng)狀態(tài).【小問1詳解】因?yàn)榈淖钚≌芷?，所以盛水筒旋轉(zhuǎn)一周需要60秒；時(shí)，，當(dāng)，有，則，解得，又，所以時(shí)，，盛水筒出水后至少經(jīng)過20秒就可以達(dá)到最高點(diǎn).【小問2詳解】盛水筒處于向下運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)，理由如下：，當(dāng)，有，此時(shí)單調(diào)遞減，所以盛水筒處于向下運(yùn)動(dòng)的狀態(tài).【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用函數(shù)解析式計(jì)算周期，由函數(shù)值求自變量，運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的實(shí)際意義是研究函數(shù)單調(diào)性.22.已知函數(shù)（1）若，求的值；（2）若函數(shù)有5個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）0或或（2）【解析】【分