《4.1 指數(shù)》教案與同步練習(xí)

《4.1指數(shù)》教案第一課時(shí)n次方根與指數(shù)冪【教材分析】學(xué)生在初中學(xué)習(xí)了數(shù)的開平方、開立方以及二次根式的概念，又學(xué)習(xí)了正整數(shù)指數(shù)冪、零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的概念，以及整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則。有了這些知識(shí)作儲(chǔ)備，教科書通過(guò)實(shí)際問(wèn)題引入分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，說(shuō)明了擴(kuò)張指數(shù)范圍的必要性。【教學(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)】課程目標(biāo)1.理解n次方根、根式的概念與指數(shù)冪的概念．2.掌握指數(shù)冪和根式之間的互化、化簡(jiǎn)、求值；3.掌握指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)。數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)1.數(shù)學(xué)抽象：n次方根、根式的概念與指數(shù)冪的概念；2.邏輯推理：指數(shù)冪和根式之間的互化；3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：利用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)求值；4.數(shù)學(xué)建模：通過(guò)與初中所學(xué)的知識(shí)進(jìn)行類比，得出指數(shù)冪的概念，和指數(shù)冪的性質(zhì)?！窘虒W(xué)重難點(diǎn)】重點(diǎn)：（1）根式概念的理解；指數(shù)冪的理解；掌握并運(yùn)用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì).難點(diǎn)：根式、指數(shù)冪概念的理解．[教學(xué)方法]：以學(xué)生為主體，采用類比發(fā)現(xiàn)，誘思探究式教學(xué)，精講多練?！窘虒W(xué)過(guò)程】一、情景引入關(guān)于根號(hào)的故事，最有價(jià)值和意義的當(dāng)屬eq\r(2)的發(fā)現(xiàn)，它導(dǎo)致了第一次數(shù)學(xué)危機(jī)，并促使了邏輯學(xué)和幾何學(xué)的發(fā)展．公元前五世紀(jì)，古希臘有一個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)派，名叫畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派提出的著名命題“萬(wàn)物皆數(shù)”是該學(xué)派的哲學(xué)基石．而“一切數(shù)均可表示成整數(shù)或整數(shù)之比”則是這一學(xué)派的數(shù)學(xué)信仰．對(duì)于這一理論，其學(xué)派中的一個(gè)成員希帕索斯考慮了一個(gè)問(wèn)題：邊長(zhǎng)為1的正方形其對(duì)角線長(zhǎng)度是多少呢？他發(fā)現(xiàn)這一長(zhǎng)度既不能用整數(shù)，也不能用分?jǐn)?shù)表示，而只能用一個(gè)新數(shù)來(lái)表示．希帕索斯的發(fā)現(xiàn)導(dǎo)致了數(shù)學(xué)史上第一個(gè)無(wú)理數(shù)eq\r(2)的誕生．小小eq\r(2)的出現(xiàn)，卻在當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)界掀起了一場(chǎng)巨大的風(fēng)暴．史稱“第一次數(shù)學(xué)危機(jī)”．希帕索斯也因發(fā)現(xiàn)了根號(hào)2，撼動(dòng)了學(xué)派的基石而被扔進(jìn)大海．二、新知導(dǎo)學(xué)1．n次方根定義一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的__n次方根__，其中n＞1，且n∈N*個(gè)數(shù)n是奇數(shù)a＞0x＞0x僅有一個(gè)值，記為eq\r(n,a)a＜0x＜0n是偶數(shù)a＞0x有兩個(gè)值，且互為相反數(shù)，記為±eq\r(n,a)a＜0x不存在[歸納總結(jié)](1)任何實(shí)數(shù)均有奇次方根，僅有非負(fù)數(shù)才有偶次方根，負(fù)數(shù)沒(méi)有偶次方根．(2)eq\r(n,0)＝0(n＞1，且n∈N*)．2．根式(1)定義：式子__eq\r(n,a)__叫做根式，這里n叫做__根指數(shù)__，a叫做__被開方數(shù)__.(2)性質(zhì)：(n＞1，且n∈N*)①(eq\r(n,a))n＝a.②eq\r(n,an)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，n為奇數(shù)，,|a|，n為偶數(shù).))三、課前小測(cè)1.eq\r(3,－8)等于(B)A．2 B．－2C．±2 D．－8[解析]eq\r(3,－8)＝eq\r(3,－23)＝－2.2．下列各式正確的是(A)A．(eq\r(3,a))3＝a B．(eq\r(4,7))4＝－7C．(eq\r(5,a))5＝|a| D．eq\r(6,a6)＝a[解析](eq\r(3,a))3＝a，(eq\r(4,7))4＝7，(eq\r(5,a))5＝a，eq\r(6,a6)＝|a|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(aa≥0,－aa<0))，故選A．3．以下說(shuō)法正確的是(C)A．正數(shù)的n次方根是正數(shù)B．負(fù)數(shù)的n次方根是負(fù)數(shù)C．0的n次方根是0(其中n>1且n∈N*)D．負(fù)數(shù)沒(méi)有n次方根[解析]對(duì)于A，正數(shù)的偶次方根中有負(fù)數(shù)，∴A錯(cuò)誤；對(duì)于B，負(fù)數(shù)的奇次方根是負(fù)數(shù)，偶次方根不存在，∴B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)n>1且n∈N*時(shí)，0的n次方根是0，∴C正確；對(duì)于D，n為奇數(shù)時(shí)，負(fù)數(shù)的奇次方根是負(fù)數(shù)，∴D錯(cuò)誤．4．若eq\r(6,6－x)有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍為__(－∞，6]__.[解析]要使式子eq\r(6,6－x)有意義，應(yīng)滿足6－x≥0，∴x≤6.四、互動(dòng)探究命題方向1?n次方根的概念典例1(1)16的平方根為__±4__，－27的5次方根為__eq\r(5,－27)__；(2)已知x7＝6，則x＝__eq\r(7,6)__；(3)若eq\r(4,x－2)有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是__[2，＋∞)__.[思路分析]解答此類問(wèn)題應(yīng)明確n次方根中根指數(shù)對(duì)被開方數(shù)的要求及n次方根的個(gè)數(shù)要求．[解析](1)∵(±4)2＝16，∴16的平方根為±4.－27的5次方根為eq\r(5,－27).(2)∵x7＝6，∴x＝eq\r(7,6).(3)要使eq\r(4,x－2)有意義，則需x－2≥0,即x≥2.因此實(shí)數(shù)x的取值范圍是[2，＋∞)．『規(guī)律方法』(1)任意實(shí)數(shù)的奇次方根只有一個(gè)，正數(shù)的偶次方根有兩個(gè)且互為相反數(shù)；(2)(eq\r(n,a))n是實(shí)數(shù)a的n次方根的n次冪，其中實(shí)數(shù)a的取值由n的奇偶性決定．〔跟蹤練習(xí)1〕計(jì)算下列各值：(1)27的立方根是__3__；(2)256的4次算術(shù)方根是__4__；(3)32的5次方根是__2__.[解析](1)∵33＝27，∴27的立方根是3.(2)∵(±4)4＝256，∴256的4次算術(shù)方根為4.(3)∵25＝32，∴32的5次方根為2.命題方向2?利用根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)或求值典例2計(jì)算下列各式的值：(1)eq\r(5,－25)；(2)eq\r(6,π－46)；(3)eq\r(4,x＋24)；(4)eq\r(7,x－77).[思路分析]由題目可獲得以下主要信息：①所給形式均為eq\r(n,an)的形式；②eq\r(n,an)形式中n分為奇數(shù)和偶數(shù)兩種．解答本題可依據(jù)根式的性質(zhì)eq\r(n,an)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|a|n為大于1的偶數(shù),an為大于1的奇數(shù)))，完成化簡(jiǎn)．[解析](1)eq\r(5,－25)＝－2.(2)eq\r(6,π－46)＝eq\r(6,4－π6)＝4－π.(3)eq\r(4,x＋24)＝|x＋2|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2x≥－2,－x－2x<－2)).(4)eq\r(7,x－77)＝x－7.『規(guī)律方法』1.根式化簡(jiǎn)或求值的注意點(diǎn)解決根式的化簡(jiǎn)或求值問(wèn)題，首先要分清根式為奇次根式還是偶次根式，然后運(yùn)用根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)或求值．2．對(duì)eq\r(n,an)與(eq\r(n,a))n的進(jìn)一步認(rèn)識(shí)(1)對(duì)(eq\r(n,a))n的理解：當(dāng)n為大于1的奇數(shù)時(shí)，(eq\r(n,a))n對(duì)任意a∈R都有意義，且(eq\r(n,a))n＝a，當(dāng)n為大于1的偶數(shù)時(shí)，(eq\r(n,a))n只有當(dāng)a≥0時(shí)才有意義，且(eq\r(n,a))n＝a(a≥0)．(2)對(duì)eq\r(n,an)的理解：對(duì)任意a∈R都有意義，且當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，eq\r(n,an)＝a；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，eq\r(n,an)＝|a|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(aa≥0,－aa＜0)).(3)對(duì)于根式的運(yùn)算還要注意變式，整體代換，以及平方差、立方差和完全平方、完全立方公式的運(yùn)用，做到化繁為簡(jiǎn)，必要時(shí)進(jìn)行討論．〔跟蹤練習(xí)2〕(1)計(jì)算下列各式：①eq\r(5,－a5)＝__－a__；②eq\r(6,3－π6)＝__π－3__；③eq\r(6\f(1,4))－eq\r(3,3\f(3,8))－eq\r(3,0.125)＝__eq\f(1,2)__.(2)化簡(jiǎn)下列各式：①eq\r(4,x－24)；②eq\r(5,x－π5).[解析](1)①eq\r(5,－a5)＝－a.②eq\r(6,3－π6)＝eq\r(6,π－36)＝π－3.③eq\r(6\f(1,4))－eq\r(3,3\f(3,8))－eq\r(3,0.125)＝eq\r(\f(5,2)2)－eq\r(3,\f(3,2)3)－eq\r(3,\f(1,2)3)＝eq\f(5,2)－eq\f(3,2)－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2).(2)①eq\r(4,x－24)＝|x－2|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2x≥2,－x＋2x<2)).②eq\r(5,x－π5)＝x－π.命題方向3?有限制條件的根式化簡(jiǎn)典例3若代數(shù)式eq\r(2x－1)＋eq\r(2－x)有意義，化簡(jiǎn)eq\r(4x2－4x＋1)＋2eq\r(4,x－24).[思路分析]先借助代數(shù)式有意義確定出x的取值范圍，再進(jìn)行根式的化簡(jiǎn)．[解析]由eq\r(2x－1)＋eq\r(2－x)有意義，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－1≥0,2－x≥0))，故eq\r(4x2－4x＋1)＋2eq\r(4,x－24)＝eq\r(2x－12)＋2eq\r(4,x－24)＝|2x－1|＋2|x－2|＝2x－1＋2(2－x)＝3.『規(guī)律方法』有限制條件的根式化簡(jiǎn)的步驟〔跟蹤練習(xí)3〕化簡(jiǎn)下列各式：(1)eq\r(x2－2x＋1)－eq\r(x2＋6x＋9)(－3<x<3)；(2)(eq\r(a－1))2＋eq\r(1－2a＋a2)＋eq\r(3,1－a3).[解析](1)原式＝eq\r(x－12)－eq\r(x＋32)＝|x－1|－|x＋3|.∵－3<x<3，∴當(dāng)－3<x<1時(shí)，原式＝－(x－1)－(x＋3)＝－2x－2；當(dāng)1≤x<3時(shí)，原式＝(x－1)－(x＋3)＝－4.∴原式＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2x－2－3<x<1,－41≤x<3)).(2)由eq\r(a－1)知a－1≥0，∴原式＝a－1＋eq\r(a－12)＋1－a＝a－1.沒(méi)有正確理解eq\r(n,an)＝a成立的條件典例4已知a，b∈R，下列各式總能成立的有__②__.①(eq\r(6,a)－eq\r(6,b))6＝a－b；②eq\r(n,a2＋b2n)＝a2＋b2；③eq\r(4,a4)－eq\r(4,b4)＝a－b；④eq\r(10,a＋b10)＝a＋b.[錯(cuò)解]②③④由題意，得①顯然不成立，②③④都成立．[錯(cuò)因分析]該解法中忽略了eq\r(n,an)＝a成立的條件是只有當(dāng)n為奇數(shù)，或者當(dāng)n為偶數(shù)且a>0時(shí)才成立．[思路分析]要解決此類化簡(jiǎn)、求值題，關(guān)鍵是正確理解eq\r(n,an)＝a成立的條件．[正解]①顯然不對(duì)，②中∵a2＋b2≥0，②一定成立；③和④中，∵a，b∈R，∴eq\r(4,a4)＝|a|，eq\r(4,b4)＝|b|，eq\r(10,a＋b10)＝|a＋b|，因此③④都錯(cuò)．配方法與平方法的應(yīng)用具備二次三項(xiàng)式形式的數(shù)學(xué)表達(dá)式，常采用配方法探求解題思路；含根號(hào)的數(shù)學(xué)表達(dá)式，常用平方法求解，平方前注意考慮表達(dá)式的符號(hào)．典例5計(jì)算eq\r(5－2\r(6))＋eq\r(5＋2\r(6)).[分析]注意a＋2eq\r(b)的配方或整體考慮運(yùn)用方程思想．[解析]解法一：原式＝eq\r(\r(2)－\r(3)2)＋eq\r(\r(2)＋\r(3)2)＝eq\r(3)－eq\r(2)＋eq\r(3)＋eq\r(2)＝2eq\r(3).解法二：設(shè)x＝eq\r(5－2\r(6))＋eq\r(5＋2\r(6))，則x>0.平方得x2＝(5－2eq\r(6))＋(5＋2eq\r(6))＋2eq\r(5＋2\r(6)5－2\r(6))，即x2＝12，∵x>0，∴x＝2eq\r(3).∴原式＝2eq\r(3).『規(guī)律方法』對(duì)形如eq\r(a±2\r(b))的復(fù)合根式，在有些情況下是可能得到化簡(jiǎn)的，但并非所有的這種類型都能化簡(jiǎn)，只要掌握其中較簡(jiǎn)單的基本類型即可．將復(fù)合根式先化為eq\r(a±2\r(b))(a>0，b>0)的形式．若有x1＋x2＝a，x1·x2＝b，其中x1>0，x2>0，x1>x2，則復(fù)合根式可寫為eq\r(\r(x1)2±2\r(x1)·\r(x2)＋\r(x2)2)＝eq\r(\r(x1)±\r(x2)2)＝eq\r(x1)±eq\r(x2)，也即若方程x2－ax＋b＝0有兩個(gè)正的有理根，則復(fù)合根式eq\r(a±2\r(b))可化簡(jiǎn)．五、課堂作業(yè)1．下列運(yùn)算中計(jì)算結(jié)果正確的是(D)A．a(chǎn)4·a3＝a12 B．a(chǎn)6÷a3＝a2C．(a3)2＝a5 D．a(chǎn)3·b3＝(a·b)3[解析]a4·a3＝a7，故A錯(cuò)；a6÷a3＝a3，故B錯(cuò)；(a3)2＝a6，故C錯(cuò)；a3·a3＝a6，故D正確．2．下列式子中正確的是(C)A．eq\r(6,－32)＝eq\r(3,－3) B．eq\r(4,a4)＝aC．eq\r(6,22)＝eq\r(3,2) D．a(chǎn)0＝1[解析]eq\r(6,－32)＝eq\r(6,32)＝eq\r(3,3)，eq\r(4,a4)＝|a|，a0＝1(a≠0)，故A、B、D錯(cuò)誤，選C．3．若2＜a＜3，化簡(jiǎn)eq\r(2－a2)＋eq\r(4,3－a4)的結(jié)果是(C)A．5－2a B．2a－5C．1 D．－1[解析]由于2＜a＜3，所以2－a＜0,3－a＞0，所以原式＝a－2＋3－a＝1，故選C．4．求值：eq\r(4,－\f(4,3)4)＝__eq\f(4,3)__.[解析]eq\r(4,－\f(4,3)4)＝eq\r(4,\f(4,3)4)＝eq\f(4,3).《第一課時(shí)n次方根與指數(shù)冪》同步練習(xí)A級(jí)基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1．已知x5＝6，則x等于(B)A．eq\r(6) B．eq\r(5,6)C．－eq\r(5,6) D．±eq\r(5,6)[解析]x為6的5次方根，所以x＝eq\r(5,6).2.eq\r(a－b2)＋eq\r(5,a－b5)的值是(C)A．0 B．2(a－b)C．0或2(a－b) D．a(chǎn)－b[解析]當(dāng)a≥b時(shí)，原式＝a－b＋a－b＝2(a－b)，當(dāng)a<b時(shí)，原式＝b－a＋a－b＝0，故選C．3．已知m10＝2，則m等于(D)A．eq\r(10,2) B．－eq\r(10,2)C．eq\r(210) D．±eq\r(10,2)[解析]∵m10＝2，∴m是2的10次方根．又∵10是偶數(shù)，∴2的10次方根有兩個(gè)，且互為相反數(shù)，∴m＝±eq\r(10,2)，故選D．4.eq\r(3,－\f(8,125))的值是(B)A．eq\f(2,5) B．－eq\f(2,5)C．±eq\f(2,5) D．－eq\f(3,5)[解析]eq\r(3,－\f(8,125))＝eq\r(3,－\f(2,5)3)＝－eq\f(2,5)，故選B．5．化簡(jiǎn)eq\r(x＋32)－eq\r(3,x－33)得(C)A．6 B．2xC．6或－2x D．－2x或6或2[解析]原式＝|x＋3|－(x－3)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(6x≥－3,－2xx<－3)).6．化簡(jiǎn)eq\r(4－2\r(3))－eq\r(4＋2\r(3))＝(D)A．2eq\r(3) B．2C．－2eq\r(3) D．－2[解析]eq\r(4－2\r(3))＝eq\r(3－2\r(3)＋1)＝eq\r(\r(3)－12)＝eq\r(3)－1，同理eq\r(4＋2\r(3))＝eq\r(3)＋1，∴eq\r(4－2\r(3))－eq\r(4＋2\r(3))＝－2，故選D．二、填空題7.eq\r(2－π2)＝__π－2__.[解析]eq\r(2－π2)＝|2－π|＝π－2.8．把a(bǔ)eq\r(－\f(1,a))根號(hào)外的a移到根號(hào)內(nèi)等于＝__－eq\r(－a)__.[解析]由題意，得－eq\f(1,a)>0，∴a<0.∴aeq\r(－\f(1,a))＝－(－a)eq\r(－\f(1,a))＝－eq\r(－a2·－\f(1,a))＝－eq\r(－a).三、解答題9．化簡(jiǎn)下列各式．(1)(eq\r(4,7))4；(2)(eq\r(3,－15))3；(3)eq\r(5,－125)；(4)eq\r(4,－104)；(5)eq\r(4,2a－b4)；(6)eq\f(1,\r(2)＋1)－eq\f(1,\r(2)－1).[解析](1)(eq\r(4,7))4＝7.(2)(eq\r(3,－15))3＝－15.(3)eq\r(5,－125)＝－12.(4)eq\r(4,－104)＝|－10|＝10.(5)eq\r(4,2a－b4)＝|2a－b|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a－b2a≥b,b－2a2a＜b)).(6)eq\f(1,\r(2)＋1)－eq\f(1,\r(2)－1)＝eq\f(\r(2)－1,2－1)－eq\f(\r(2)＋1,2－1)＝－2.B級(jí)素養(yǎng)提升一、選擇題1．若eq\r(3,x2)為一個(gè)正數(shù)，則(C)A．x≥0 B．x>0C．x≠0 D．x<0[解析]當(dāng)x≠0時(shí)，x2>0，∴eq\r(3,x2)是一個(gè)正數(shù)，故選C．2．化簡(jiǎn)eq\f(\r(－x3),x)的結(jié)果是(A)A．－eq\r(－x) B．eq\r(x)C．－eq\r(x) D．eq\r(－x)[解析]∵eq\r(－x3)有意義，∴x<0，∴eq\f(\r(－x3),x)＝eq\f(\r(－x3),－\r(x2))＝－eq\r(－\f(x3,x2))＝－eq\r(－x).3．化簡(jiǎn)(eq\r(2,－b))2的結(jié)果是(A)A．－b B．bC．±b D．eq\f(1,b)[解析]由題意知，－b≥0，∴(eq\r(2,－b))2＝－b.4．當(dāng)eq\r(2－x)有意義時(shí)，化簡(jiǎn)eq\r(x2－4x＋4)－eq\r(x2－6x＋9)的結(jié)果是(C)A．2x－5 B．－2x－1C．－1 D．5－2x[解析]∵eq\r(2－x)有意義，∴2－x≥0，即x≤2，所以原式＝eq\r(x－22)－eq\r(x－32)＝(2－x)－(3－x)＝－1.二、填空題5.eq\r(7－2\r(10))＝__eq\r(5)－eq\r(2)__.[解析]eq\r(7－2\r(10))＝eq\r(\r(5)－\r(2)2)＝eq\r(5)－eq\r(2).6．函數(shù)f(x)＝eq\r(x－12)＋eq\r(5,x＋15)的值域?yàn)開_[2，＋∞)__.[解析]f(x)＝|x－1|＋x＋1＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x<1,2xx≥1)).當(dāng)x≥1時(shí)，f(x)≥2，當(dāng)x<1時(shí)，f(x)＝2，∴f(x)的值域?yàn)閇2，＋∞)．三、解答題7．已知a、b是方程x2－6x＋4＝0的兩根，且a>b>0，求eq\f(\r(a)－\r(b),\r(a)＋\r(b))的值．[解析]∵a、b是方程x2－6x＋4＝0的兩根，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝6,ab＝4))，∵eq\r(a)>eq\r(b)，(eq\f(\r(a)－\r(b),\r(a)＋\r(b)))2＝eq\f(a＋b－2\r(ab),a＋b＋2\r(ab))＝eq\f(6－2\r(4),6＋2\r(4))＝eq\f(2,10)＝eq\f(1,5).∴eq\f(\r(a)－\r(b),\r(a)＋\r(b))＝eq\r(\f(1,5))＝eq\f(\r(5),5).8．已知eq\r(4a＋12)＝－4a－1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．[解析]∵eq\r(4a＋12)＝|4a＋1|＝－4a－1，∴4a＋1≤0，∴a≤－eq\f(1,4).∴a的取值范圍是(－∞，－eq\f(1,4)]．9．若x>0，y>0，且x－eq\r(xy)－2y＝0，求eq\f(2x－\r(xy),y＋2\r(xy))的值．[解析]∵x－eq\r(xy)－2y＝0，x>0，y>0，∴(eq\r(x))2－eq\r(xy)－2(eq\r(y))2＝0，∴(eq\r(x)＋eq\r(y))(eq\r(x)－2eq\r(y))＝0，由x>0，y>0得eq\r(x)＋eq\r(y)>0，∴eq\r(x)－2eq\r(y)＝0，∴x＝4y，∴eq\f(2x－\r(xy),y＋2\r(xy))＝eq\f(8y－2y,y＋4y)＝eq\f(6,5).《第二課時(shí)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪及其運(yùn)算性質(zhì)》教案【教材分析】學(xué)生在初中學(xué)習(xí)了數(shù)的開平方、開立方以及二次根式的概念，又學(xué)習(xí)了分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念，以及整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則.有了這些知識(shí)作儲(chǔ)備，教科書通過(guò)實(shí)際問(wèn)題引入無(wú)理數(shù)指數(shù)冪，說(shuō)明了擴(kuò)張指數(shù)范圍的必要性.【教學(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)】課程目標(biāo)1.理解分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念;2.掌握實(shí)數(shù)指數(shù)冪和根式之間的互化、化簡(jiǎn)、求值；3.掌握實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)；4.能利用已知條件求值.數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)1.數(shù)學(xué)抽象：分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念；2.邏輯推理：實(shí)數(shù)指數(shù)冪和根式之間的互化；3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：利用實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)求值；4.數(shù)據(jù)分析：分析已知條件與所求式子之間的聯(lián)系；5.數(shù)學(xué)建模：通過(guò)與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪性質(zhì)進(jìn)行類比，得出分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念和性質(zhì)。【教學(xué)重難點(diǎn)】重點(diǎn)：①掌握并運(yùn)用實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)；②能利用已知條件求值．難點(diǎn)：能利用已知條件求值．【教學(xué)方法】：以學(xué)生為主體，采用類比發(fā)現(xiàn)，誘思探究式教學(xué)，精講多練?！窘虒W(xué)過(guò)程】一、情景引入牛頓是大家所熟悉的物理學(xué)家，你知道他在數(shù)學(xué)上的貢獻(xiàn)嗎？他在1676年6月13日寫給萊布尼茨的信里面說(shuō)：“因?yàn)閿?shù)學(xué)家將aa，aaa，aaaa等寫成a2，a3，a4等，所以可將eq\r(a)，eq\r(a3)，…寫成aeq\s\up5(\f(1,2))，aeq\s\up5(\f(3,2))，…；將eq\f(1,a)，eq\f(1,aa)，eq\f(1,aaa)，…寫成a－1，a－2，a－3，…”正是由于牛頓的這一發(fā)現(xiàn)，才使得正整數(shù)指數(shù)冪推廣到了任意實(shí)數(shù)指數(shù)冪．本節(jié)我們就一起來(lái)探究一下指數(shù)冪的擴(kuò)充過(guò)程．二、新知導(dǎo)學(xué)1．分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義分?jǐn)?shù)指數(shù)冪正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪規(guī)定：aeq\s\up5(\f(m,n))＝__eq\r(n,am)__(a>0，m，n∈N*，且n>1)負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪規(guī)定：a－eq\s\up5(\f(m,n))＝eq\f(1,aeq\s\up5(\f(m,n)))＝__eq\f(1,\r(n,am))__(a>0，m，n∈N*，且n>1)0的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于__0__，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪__不存在__2.有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)．(2)(ar)s＝__ars__(a>0，r，s∈Q)．(3)(ab)r＝__arbr__(a>0，b>0，r∈Q)．[知識(shí)點(diǎn)撥](1)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算的其他性質(zhì)．①ar÷as＝ar－s(a>0，r，s∈Q)；②(eq\f(a,b))r＝eq\f(ar,br)(a>0，b>0，r∈Q)．(2)指數(shù)冪的幾個(gè)常見結(jié)論．①當(dāng)a>0時(shí)，ab>0；②當(dāng)a≠0時(shí)，a0＝1；而當(dāng)a＝0時(shí)，a0無(wú)意義；③若ar＝as(a≠0且a≠1)，則r＝s；④乘法公式仍適用于分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，如：(aeq\s\up5(\f(1,2))＋beq\s\up5(\f(1,2)))(aeq\s\up5(\f(1,2))－beq\s\up5(\f(1,2)))＝(aeq\s\up5(\f(1,2)))2－(beq\s\up5(\f(1,2)))2＝a－b(a>0，b>0)．三、課前自測(cè)1．4－eq\s\up5(\f(3,2))可化為(C)A．8 B．2eq\s\up5(\f(4,3))C．eq\f(1,8) D．2eq\s\up5(\f(3,4))[解析]4－eq\s\up5(\f(3,2))＝eq\f(1,4eq\s\up5(\f(3,2)))＝eq\f(1,22eq\s\up5(\f(3,2)))＝eq\f(1,23)＝eq\f(1,8).2．若a>0，n，m為實(shí)數(shù)，則下列各式中正確的是(D)A．a(chǎn)m÷an＝aeq\s\up5(\f(m,n)) B．a(chǎn)n·am＝am·nC．(an)m＝am＋n D．1÷an＝a0－n[解析]由指數(shù)冪的運(yùn)算法則知1÷an＝a0÷an＝a0－n正確，故選D．3．化簡(jiǎn)[(－eq\r(3))2]－eq\s\up5(\f(1,2))的結(jié)果是(C)A．－eq\f(\r(3),3) B．eq\r(3)C．eq\f(\r(3),3) D．－eq\r(3)[解析][(－eq\r(3))2]－eq\s\up5(\f(1,2))＝3eq\s\up5(\f(1,2))＝eq\f(1,3eq\s\up5(\f(1,2)))＝eq\f(1,\r(3))＝eq\f(\r(3),3).4．把根式aeq\r(a)化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪是(D)A．(－a)eq\s\up5(\f(3,2)) B．－(－a)eq\s\up5(\f(3,2))C．－aeq\s\up5(\f(3,2)) D．a(chǎn)eq\s\up5(\f(3,2))[解析]aeq\r(a)＝a·aeq\s\up5(\f(1,2))＝aeq\s\up5(\f(3,2))，故選D．5．求值：(1)2eq\r(3)×eq\r(3,1.5)×eq\r(6,12)；(2)2－eq\s\up5(\f(1,2))＋eq\f(－40,\r(2))＋eq\f(1,\r(2)－1)－eq\r(1－\r(5)0).[解析](1)原式＝2×3eq\s\up5(\f(1,2))×(eq\f(3,2))eq\s\up5(\f(1,3))×(22×3)eq\s\up5(\f(1,6))＝2×3eq\s\up5(\f(1,2))×3eq\s\up5(\f(1,3))×2－eq\s\up5(\f(1,3))×2eq\s\up5(\f(1,3))×3eq\s\up5(\f(1,6))＝21－eq\s\up5(\f(1,3))＋eq\s\up5(\f(1,3))×3eq\s\up5(\f(1,2))＋eq\s\up5(\f(1,3))＋eq\s\up5(\f(1,6))＝21×31＝6.(2)原式＝eq\f(1,2eq\s\up5(\f(1,2)))＋eq\f(1,\r(2))＋eq\f(\r(2)＋1,\r(2)－1\r(2)＋1)－1＝eq\f(1,\r(2))＋eq\f(1,\r(2))＋eq\r(2)＋1－1＝eq\f(\r(2),2)＋eq\f(\r(2),2)＋eq\r(2)＝2eq\r(2).四、互動(dòng)探究命題方向1?根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化典例1用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪表示下列各式：(1)a3·eq\r(3,a2)；(2)eq\r(\r(\f(b3,a))·\r(\f(a2,b6)))(a>0，b>0)；(3)eq\r(a－4b2\r(3,ab2))(a>0，b>0)．[思路分析](1)關(guān)鍵是理解分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義，先將根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式．(2)運(yùn)用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)．[解析](1)a3·eq\r(3,a2)＝a3·aeq\s\up5(\f(2,3))＝a3＋eq\s\up5(\f(2,3))＝aeq\s\up5(\f(11,3)).(2)∵a>0，b>0，∴eq\r(\r(\f(b3,a))·\r(\f(a2,b6)))＝eq\r(a－1b3eq\s\up5(\f(1,2))·a2b－6eq\s\up5(\f(1,2)))＝eq\r(a－eq\s\up5(\f(1,2))beq\s\up5(\f(3,2))·ab－3)＝eq\r(aeq\s\up5(\f(1,2))b－eq\s\up5(\f(3,2)))＝(aeq\s\up5(\f(1,2))b－eq\s\up5(\f(3,2)))eq\s\up5(\f(1,2))＝aeq\s\up5(\f(1,4))b－eq\s\up5(\f(3,4)).(3)∵a>0，b>0，∴eq\r(a－4b2\r(3,ab2))＝eq\r(a－4b2aeq\s\up5(\f(1,3))beq\s\up5(\f(2,3)))＝eq\r(a－eq\s\up5(\f(11,3))·beq\s\up5(\f(8,3)))＝(a－eqeq\s\up5(\f(11,3))beq\s\up5(\f(8,3)))eq\s\up5(\f(1,2))＝a－eq\s\up5(\f(11,6))beq\s\up5(\f(4,3)).『規(guī)律方法』進(jìn)行分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式的互化時(shí)，主要依據(jù)公式aeq\s\up5(\f(m,n))＝eq\r(n,am)(a>0，m、n∈N＋)，同時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：(1)在分?jǐn)?shù)指數(shù)冪中，若冪指數(shù)為負(fù)數(shù)，可先將其化為正數(shù)，再利用公式化為根式；(2)若表達(dá)式中根式較多，含有多重根號(hào)時(shí)，要理清被開方數(shù)，由里向外逐次用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪表示，最后再運(yùn)用相關(guān)的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)．〔跟蹤練習(xí)1〕(1)5－eq\s\up5(\f(2,11))化為根式形式為__eq\f(1,\r(11,25))__；(2)eq\r(4,b－eq\s\up5(\f(2,3)))(b>0)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式為__b－eq\s\up5(\f(1,6))__；(3)eq\f(1,\r(3,x\r(5,x2)2))(x≠0)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式為__x－eq\s\up5(\f(3,5))__.[解析](1)原式＝eq\f(1,5eq\s\up5(\f(2,11)))＝eq\f(1,\r(11,52))＝eq\f(1,\r(11,25)).(2)原式＝(b－eq\s\up5(\f(2,3)))eq\s\up5(\f(1,4))＝b－eq\s\up5(\f(2,3))×eq\s\up5(\f(1,4))＝b－eq\s\up5(\f(1,6)).(3)原式＝eq\f(1,\r(3,x·xeq\s\up5(\f(2,5))2))＝eq\f(1,\r(3,x·xeq\s\up5(\f(4,5))))＝eq\f(1,\r(3,xeq\s\up5(\f(9,5))))＝eq\f(1,xeq\s\up5(\f(9,5))eq\s\up5(\f(1,3)))＝eq\f(1,xeq\s\up5(\f(5,3)))＝x－eq\s\up5(\f(5,3)).命題方向2?利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)求值典例2(1)計(jì)算：(2eq\s\up5(\f(3,5)))0＋2－2·(2eq\s\up5(\f(1,4)))－eq\s\up5(\f(1,2))－(0.01)0.5＝__eq\f(16,15)__；(2)化簡(jiǎn)：eq\r(3,aeq\s\up5(\f(7,2))\r(a－3))÷eq\r(\r(3,a－8)\r(3,a15))÷eq\r(3,\r(a－3)\r(a－1)).[思路分析]將根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算．[解析](1)原式＝1＋eq\f(1,4)×(eq\f(4,9))eq\s\up5(\f(1,2))－(eq\f(1,100))eq\s\up5(\f(1,2))＝1＋eq\f(1,6)－eq\f(1,10)＝eq\f(16,15).(2)原式＝eq\r(3,aeq\s\up5(\f(7,2))a－eq\s\up5(\f(2,3)))÷eq\r(a－eq\s\up5(\f(8,3))aeq\s\up5(\f(15,3)))÷eq\r(3,a－eq\s\up5(\f(2,3))a－eq\s\up5(\f(1,2)))＝eq\r(3,a2)÷eq\r(aeq\s\up5(\f(7,3)))÷eq\r(3,a－2)＝aeq\s\up5(\f(2,3))÷(aeq\s\up5(\f(7,3)))eq\s\up5(\f(1,2))÷(a－2)eq\s\up5(\f(1,3))＝aeq\s\up5(\f(2,3))÷aeq\s\up5(\f(7,6))÷a－eq\s\up5(\f(2,3))＝aeq\s\up5(\f(2,3))－eq\s\up5(\f(7,6))÷a－eq\s\up5(\f(2,3))＝a－eq\s\up5(\f(1,2))＋eq\s\up5(\f(2,3))＝aeq\s\up5(\f(1,6)).『規(guī)律方法』1.冪的運(yùn)算的常規(guī)方法(1)化負(fù)指數(shù)冪為正指數(shù)冪或化分母為負(fù)指數(shù)；(2)化根式為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪；(3)化小數(shù)為分?jǐn)?shù)．2．分?jǐn)?shù)指數(shù)冪及根式化簡(jiǎn)結(jié)果的具體要求利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪進(jìn)行根式計(jì)算時(shí)，結(jié)果可化為根式形式或保留分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，不強(qiáng)求統(tǒng)一用什么形式，但結(jié)果不能既有根式又有分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，也不能同時(shí)含有分母和負(fù)指數(shù)．〔跟蹤練習(xí)2〕化簡(jiǎn)：eq\f(aeq\s\up5(\f(4,3))－8aeq\s\up5(\f(1,3))b,4beq\s\up5(\f(2,3))＋2\r(3,ab)＋aeq\s\up5(\f(2,3)))÷(1－2eq\r(3,\f(b,a)))×eq\r(3,a).[解析]原式＝eq\f(aeq\s\up5(\f(1,3))a－8b,4beq\s\up5(\f(2,3))＋2aeq\s\up5(\f(1,3))beq\s\up5(\f(1,3))＋aeq\s\up5(\f(2,3)))÷eq\f(aeq\s\up5(\f(1,3))－2·beq\s\up5(\f(1,3)),aeq\s\up5(\f(1,3)))·aeq\s\up5(\f(1,3))＝eq\f(aeq\s\up5(\f(1,3))aeq\s\up5(\f(1,3))－2beq\s\up5(\f(1,3))aeq\s\up5(\f(2,3))＋2aeq\s\up5(\f(1,3))beq\s\up5(\f(1,3))＋4beq\s\up5(\f(2,3)),4beq\s\up5(\f(2,3))＋2aeq\s\up5(\f(1,3))beq\s\up5(\f(1,3))＋aeq\s\up5(\f(2,3)))·eq\f(aeq\s\up5(\f(1,3)),aeq\s\up5(\f(1,3))－2beq\s\up5(\f(1,3)))·aeq\s\up5(\f(1,3))＝aeq\s\up5(\f(1,3))·aeq\s\up5(\f(1,3))·aeq\s\up5(\f(1,3))＝a.命題方向3?指數(shù)冪運(yùn)算中的條件求值典例3已知aeq\s\up5(\f(1,2))＋a－eq\s\up5(\f(1,2))＝3，求下列各式的值．(1)a＋a－1；(2)a2＋a－2；(3)eq\f(aeq\s\up5(\f(3,2))－a－eq\s\up5(\f(3,2)),aeq\s\up5(\f(1,2))－a－eq\s\up5(\f(1,2))).[思路分析]利用完全平方差公式求(1)(2)，利用立方差公式求(3)．[解析](1)將aeq\s\up5(\f(1,2))＋a－eq\s\up5(\f(1,2))＝3兩邊平方，得a＋a－1＋2＝9，即a＋a－1＝7.(2)將a＋a－1＝7兩邊平方，有a2＋a－2＋2＝49，∴a2＋a－2＝47.(3)由于aeq\s\up5(\f(3,2))－a－eq\s\up5(\f(3,2))＝(aeq\s\up5(\f(1,2)))3－(a－eq\s\up5(\f(1,2)))3，所以有eq\f(aeq\s\up5(\f(3,2))－a－eq\s\up5(\f(3,2)),aeq\s\up5(\f(1,2))－a－eq\s\up5(\f(1,2)))＝eq\f(aeq\s\up5(\f(1,2))－a－eq\s\up5(\f(1,2))a＋a－1＋aeq\s\up5(\f(1,2))·a－eq\s\up5(\f(1,2)),aeq\s\up5(\f(1,2))－a－eq\s\up5(\f(1,2)))＝a＋a－1＋1＝7＋1＝8.『規(guī)律方法』(1)條件求值是代數(shù)式求值中的常見題型，一般要結(jié)合已知條件先化簡(jiǎn)再求值，另外要特別注意條件的應(yīng)用，如條件中的隱含條件，整體代入等，可以簡(jiǎn)化解題過(guò)程．本題若通過(guò)aeq\s\up5(\f(3,2))－a－eq\s\up5(\f(3,2))＝3解出a的值代入求值，則非常復(fù)雜．(2)解決此類問(wèn)題的一般步驟是〔跟蹤練習(xí)3〕已知x＋y＝12，xy＝9，且x<y，求eq\f(xeq\s\up5(\f(1,2))－yeq\s\up5(\f(1,2)),xeq\s\up5(\f(1,2))＋yeq\s\up5(\f(1,2)))的值．[解析]∵eq\f(xeq\s\up5(\f(1,2))－yeq\s\up5(\f(1,2)),xeq\s\up5(\f(1,2))＋yeq\s\up5(\f(1,2)))＝eq\f(xeq\s\up5(\f(1,2))－yeq\s\up5(\f(1,2))2,xeq\s\up5(\f(1,2))＋yeq\s\up5(\f(1,2))xeq\s\up5(\f(1,2))－yeq\s\up5(\f(1,2)))＝eq\f(x＋y－2xyeq\s\up5(\f(1,2)),x－y)，①又∵x＋y＝12，xy＝9，②∴(x－y)2＝(x＋y)2－4xy＝122－4×9＝108.∵x<y，∴x－y＝－6eq\r(3)③，將②③式代入①式得eq\f(xeq\s\up5(\f(1,2))－yeq\s\up5(\f(1,2)),xeq\s\up5(\f(1,2))＋yeq\s\up5(\f(1,2)))＝eq\f(12－2×9eq\s\up5(\f(1,2)),－6\r(3))＝－eq\f(\r(3),3).因忽視指數(shù)冪運(yùn)算性質(zhì)成立的條件而致誤典例4求值：[(－4)3]eq\s\up5(\f(1,3))＋[(－3)4]eq\s\up5(\f(1,4)).[錯(cuò)解]原式＝(－4)3×eq\s\up5(\f(1,3))＋(－3)4×eq\s\up5(\f(1,4))＝(－4)＋(－3)＝－7.[錯(cuò)因分析]本題的錯(cuò)解忽視了運(yùn)算律(am)n＝amn中a>0這一約束條件．[正解][(－4)3]eq\s\up5(\f(1,3))＋[(－3)4]eq\s\up5(\f(1,4))＝(－43)eq\s\up5(\f(1,3))＋(34)eq\s\up5(\f(1,4))＝－(43)eq\s\up5(\f(1,3))＋(34)eq\s\up5(\f(1,4))＝－4＋3＝－1.[警示]1.對(duì)于指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)(am)n＝amn，要明確a，m，n的取值范圍分別為a>0，m∈R，n∈R；2．遇到此類問(wèn)題先要弄清a的正負(fù)，若a為負(fù)，則先將負(fù)號(hào)提出或去掉再利用運(yùn)算律處理．?dāng)?shù)學(xué)運(yùn)算能力數(shù)學(xué)運(yùn)算是指在明晰運(yùn)算對(duì)象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程．主要包括：理解運(yùn)算對(duì)象，掌握運(yùn)算法則，探究運(yùn)算方向，選擇運(yùn)算方法，設(shè)計(jì)運(yùn)算程序，求得運(yùn)算結(jié)果等．?dāng)?shù)學(xué)運(yùn)算是數(shù)學(xué)活動(dòng)的基本形式，也是演繹推理的一種形式，是得到數(shù)學(xué)結(jié)果的重要手段．?dāng)?shù)學(xué)運(yùn)算是計(jì)算機(jī)解決問(wèn)題的基礎(chǔ)．在數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)的形成過(guò)程中，學(xué)生能夠進(jìn)一步發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算能力；能有效借助運(yùn)算方法解決實(shí)際問(wèn)題；能夠通過(guò)運(yùn)算促進(jìn)數(shù)學(xué)思維發(fā)展，養(yǎng)成程序化思考問(wèn)題的習(xí)慣；形成一絲不茍、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)精神．?dāng)?shù)的計(jì)算能力(簡(jiǎn)便計(jì)算方法)、代數(shù)式的化簡(jiǎn)求解能力、方程不等式的求解能力、數(shù)學(xué)公式、運(yùn)算法則的應(yīng)用能力等都是重要的運(yùn)算能力．典例5函數(shù)f(x)＝eq\f(xeq\s\up5(\f(1,3))－x－eq\s\up5(\f(1,3)),5)，g(x)＝eq\f(xeq\s\up5(\f(1,3))＋x－eq\s\up5(\f(1,3)),5).(1)求證：f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)(已知y＝xeqeq\s\up5(\f(1,3))在R上是增函數(shù))；(2)分別計(jì)算f(4)－5f(2)g(2)和f(9)－5f(3)g(3)的值，由此概括出涉及函數(shù)f(x)和g(x)對(duì)所有不等于零的實(shí)數(shù)x都成立的一個(gè)等式，并加以證明．[解析](1)證明：設(shè)x1>x2>0，∵y＝xeqeq\s\up5(\f(1,3))在R上是增函數(shù)，∴x1eqeq\s\up5(\f(1,3))>x2eqeq\s\up5(\f(1,3)).又∵(x1x2)－eqeq\s\up5(\f(1,3))>0，∴f(x1)－f(x2)＝eq\f(1,5)(x1eqeq\s\up5(\f(1,3))－x1－eqeq\s\up5(\f(1,3))－x2eqeq\s\up5(\f(1,3))＋x2－eqeq\s\up5(\f(1,3)))＝eq\f(1,5)(x1eqeq\s\up5(\f(1,3))－x2eqeq\s\up5(\f(1,3)))[1＋(x1x2)－eqeq\s\up5(\f(1,3))]>0.∴f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)．(2)經(jīng)計(jì)算知f(4)－5f(2)g(2)＝0，f(9)－5f(3)·g(3)＝0，由此猜想：f(x2)－5f(x)g(x)＝0.證明如下：f(x2)－5f(x)g(x)＝eq\f(1,5)(xeq\s\up5(\f(2,3))－x－eq\s\up5(\f(2,3)))－eq\f(1,5)(xeqeq\s\up5(\f(1,3))＋x－eqeq\s\up5(\f(1,3)))·(xeqeq\s\up5(\f(1,3))－x－eqeq\s\up5(\f(1,3)))＝eq\f(1,5)(xeq\s\up5(\f(2,3))－x－eq\s\up5(\f(2,3)))－eq\f(1,5)(xeq\s\up5(\f(2,3))－x－eq\s\up5(\f(2,3)))＝0.五、課堂達(dá)標(biāo)1．將3eq\s\up5(\f(2,3))化為根式為(C)A．eq\r(2) B．eq\r(3)C．eq\r(3,9) D．eq\r(9)[解析]3eq\s\up5(\f(2,3))＝eq\r(3,32)＝eq\r(3,9).2．下列根式、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化中，正確的是(C)A．eq\r(x2)＝xB．eq\r(6,y2)＝y(tǒng)eq\s\up5(\f(1,3))C．(eq\f(x,y))－eq\s\up5(\f(5,2))＝eq\r(\f(y,x)5)(x、y≠0)D．x－eq\f(1,2)＝－eq\r(x)[解析]eq\r(x2)＝|x|，eq\r(6,y2)＝|y|eq\s\up5(\f(1,3))，(eq\f(x,y))－eq\s\up5(\f(5,2))＝(eq\f(y,x))eq\s\up5(\f(5,2))＝eq\r(\f(y,x)5)(x、y≠0)，x－eq\s\up5(\f(1,2))＝eq\f(1,xeq\s\up5(\f(1,2)))＝eq\f(1,\r(x))，故只有C正確．3．計(jì)算(2a－3b－eq\s\up5(\f(2,3)))·(－3a－1b)÷(4a－4b－eq\s\up5(\f(5,3)))得(A)A．－eq\f(3,2)b2 B．eq\f(3,2)b2C．－eq\f(3,2)beq\s\up5(\f(7,3)) D．eq\f(3,2)beq\s\up5(\f(7,3))[解析]原式＝eq\f(－6a－4beq\s\up5(\f(1,3)),4a－4b－eq\s\up5(\f(5,3)))＝－eq\f(3,2)b2.4．化簡(jiǎn)eq\r(aeq\s\up5(\f(1,2))\r(aeq\s\up5(\f(1,2))\r(a)))的結(jié)果等于__aeqeq\s\up5(\f(1,2))__.[解析]由條件知a≥0，則eq\r(aeq\s\up5(\f(1,2))\r(aeq\s\up5(\f(1,2))\r(a)))＝eq\r(aeq\s\up5(\f(1,2))\r(aeq\s\up5(\f(1,2))＋eq\s\up5(\f(1,2))))＝eq\r(aeq\s\up5(\f(1,2))\r(a))＝eq\r(aeq\s\up5(\f(1,2))·aeq\s\up5(\f(1,2)))＝eq\r(a)＝aeqeq\s\up5(\f(1,2)).5．化簡(jiǎn)下列各式(式中字母都是正數(shù))(1)2eq\r(3,a)÷4eq\r(6,a·b)×3eq\r(b3)；(2)eq\r(3,aeq\s\up5(\f(7,2))·\r(a－3))÷eq\r(\r(3,a－8)·\r(3,a15)).[解析](1)原式＝2aeqeq\s\up5(\f(1,3))÷(4aeq\s\up5(\f(1,6))beq\s\up5(\f(1,6)))×(3beq\s\up5(\f(3,2)))＝eq\f(1,2)aeqeq\s\up5(\f(1,3))－eq\s\up5(\f(1,6))b－eq\s\up5(\f(1,6))·3beq\s\up5(\f(3,2))＝eq\f(3,2)aeq\s\up5(\f(1,6))beq\s\up5(\f(4,3)).(2)原式＝(aeqeq\s\up5(\f(7,2))·a－eq\s\up5(\f(3,2)))eqeq\s\up5(\f(1,3))÷(a－eq\f(8,3)·a5)eq\s\up5(\f(1,2))＝(a2)eqeq\s\up5(\f(1,3))÷(aeq\s\up5(\f(7,3)))eq\s\up5(\f(1,2))＝aeq\s\up5(\f(2,3))÷aeq\s\up5(\f(7,6))＝a－eq\s\up5(\f(1,2)).《第二課時(shí)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪及其運(yùn)算性質(zhì)》同步練習(xí)A級(jí)基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1．下列各式既符合分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的定義，值又相等的是(C)A．(－1)eq\s\up5(\f(1,3))和(－1)eq\s\up5(\f(2,6)) B．0－2或0eq\s\up5(\f(1,2))C．2eq\s\up5(\f(1,2))和4eq\s\up5(\f(1,4)) D．4－eq\s\up5(\f(3,2))和(eq\f(1,2))－3[解析]選項(xiàng)A中，(－1)eq\s\up5(\f(1,3))和(－1)eq\s\up5(\f(2,6))均符合分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的定義，但(－1)eq\s\up5(\f(1,3))＝eq\r(3,－1)＝－1，(－1)eq\s\up5(\f(2,6))＝eq\r(6,－12)＝1，故A不滿足題意；選項(xiàng)B中，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒(méi)有意義，故B不滿足題意；選項(xiàng)D中，4－eq\s\up5(\f(3,2))和(eq\f(1,2))－3雖符合分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的定義，但值不相等，故D不滿足題意；選項(xiàng)C中，2eq\s\up5(\f(1,2))＝eq\r(2)，4eq\s\up5(\f(1,4))＝eq\r(4,22)＝2eq\s\up5(\f(1,2))＝eq\r(2)，滿足題意，故選C．2．計(jì)算(eq\f(81,16))－eq\s\up5(\f(1,4))的結(jié)果為(A)A．eq\f(2,3) B．eq\f(3,2)C．－eq\f(2,3) D．－eq\f(3,2)[解析](eq\f(81,16))－eq\s\up5(\f(1,4))＝[(eq\f(3,2))4]－eq\s\up5(\f(1,4))＝(eq\f(3,2))－1＝eq\f(2,3).3．若(3x－2)－eq\s\up5(\f(1,2))＋(x－2)0有意義，則x的取值范圍是(D)A．[eq\f(2,3)，＋∞) B．(eq\f(2,3)，＋∞)C．[eq\f(2,3)，2)∪(2，＋∞) D．(eq\f(2,3)，2)∪(2，＋∞)[解析]∵(3x－2)－eq\s\up5(\f(1,2))＝eq\f(1,\r(3x－2)).∴要使原式有意義應(yīng)有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－2>0,x－2≠0))，∴x>eq\f(2,3)且x≠2.故選D．4．化簡(jiǎn)[eq\r(3,－52)]eq\s\up5(\f(3,4))的結(jié)果為(B)A．5 B．eq\r(5)C．－eq\r(5) D．－5[解析][eq\r(3,－52)]eq\s\up5(\f(3,4))＝(eq\r(3,52))eq\s\up5(\f(3,4))＝(5eq\s\up5(\f(2,3)))eq\s\up5(\f(3,4))＝5eq\s\up5(\f(1,2))＝eq\r(5).5．(－x)2·eq\r(－\f(1,x))等于(B)A．eq\r(x) B．－x·eq\r(－x)C．x·eq\r(x) D．x·eq\r(－x)[解析]由eq\r(－\f(1,x))知x＜0，又當(dāng)x＜0時(shí)，eq\r(x2)＝|x|＝－x，因此(－x)2eq\r(－\f(1,x))＝eq\f(x2·\r(－x),|x|)＝－x·eq\r(－x)，故選B．6．設(shè)aeq\s\up5(\f(1,2))－a－eq\s\up5(\f(1,2))＝m，則eq\f(a2＋1,a)＝(C)A．m2－2 B．2－m2C．m2＋2 D．m2[解析]由aeq\s\up5(\f(1,2))－a－eq\s\up5(\f(1,2))＝m兩邊平方得a－2＋a－1＝m2，∴a＋a－1＝m2＋2，∴a＋eq\f(1,a)＝m2＋2，即eq\f(a2＋1,a)＝m2＋2.二、填空題7．若10α＝2,100β＝3，則10002α－eq\s\up5(\f(1,3))β等于__eq\f(64\r(3),3)__.[解析]∵10α＝2,100β＝102β＝3，∴10β＝eq\r(3).∴10002α－eq\s\up5(\f(1,3))β＝106α－β＝eq\f(106α,10β)＝eq\f(64,\r(3))＝eq\f(64\r(3),3).8．27eq\s\up5(\f(2,3))＋16－eq\s\up5(\f(1,2))－(eq\f(1,2))－2－(eq\f(8,27))－eq\s\up5(\f(2,3))＝__3__.[解析]原式＝(33)eq\s\up5(\f(2,3))＋(42)－eq\s\up5(\f(1,2))－22－[(eq\f(2,3))3]－eq\s\up5(\f(2,3))＝32＋4－1－4－eq\f(9,4)＝3.三、解答題9．求下列各式的值：(1)25eq\s\up5(\f(3,2))；(2)(eq\f(25,4))－eq\s\up5(\f(3,2))；(3)eq\r(3,3)×eq\r(4,3)×eq\r(4,27).[解析](1)25eq\s\up5(\f(3,2))＝(52)eq\s\up5(\f(3,2))＝53＝125.(2)(eq\f(25,4))－eq\s\up5(\f(3,2))＝[(eq\f(5,2))2]－eq\s\up5(\f(3,2))＝(eq\f(5,2))－3＝eq\f(8,125).(3)eq\r(3,3)×eq\r(4,3)×eq\r(4,27)＝3eq\s\up5(\f(1,3))×3eq\s\up5(\f(1,4))×3eq\s\up5(\f(3,4))＝3eq\r(3,3).B級(jí)素養(yǎng)提升一、選擇題1．化簡(jiǎn)aeq\s\up5(\f(2,3))beq\s\up5(\f(1,2))(－3aeq\s\up5(\f(1,2))·beq\s\up5(\f(1,3)))÷(eq\f(1,3)aeq\s\up5(\f(1,6))beq\s\up5(\f(5,6)))的結(jié)果為(B)A．9a B．－9aC．9b D．－9b[解析]原式＝(－3)×3aeq\s\up5(\f(2,3))＋eq\s\up5(\f(1,2))－eq\f(1,6)beq\s\up5(\f(1,2))＋eq\s\up5(\f(1,3))－eq\s\up5(\f(5,6))＝－9ab0＝－9a.2．若a>1，b>0，ab＋a－b＝2eq\r(2)，則ab－a－b等于(D)A．eq\r(6) B．2或－2C．－2 D．2[解析]設(shè)ab－a－b＝t，∵a>1，b>0，∴ab>1，a－b<1，∴t＝ab－a－b>0，∴t2＝(ab－a－b)2＝(ab＋a－b)2－4＝(2eq\r(2))2－4＝4，∴t＝2.即ab－a－b＝2.3．(