《第四章 指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)》考點講解與同步練習(xí)

《第四章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)》考點講解與同步練習(xí)4.1指數(shù)【思維導(dǎo)圖】【常見考點】考點一根式的運算【例1】化簡下列各式：（1）；（2）；（3）.【一隅三反】1．求下列各式的值：（1）；（2）.2．下列各式正確的是（）A． B．C． D．3．若，則化簡________.考點二分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運算【例2】化簡下列各式；（1）；（2）.【一隅三反】1．將下列根式化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式.（1）(a>0)；（2）；（3）(b>0).2．將下列根式化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式.（1）(a>0)；（2）；（3）(b>0).考點三條件等式求值【例3】已知，求下列各式的值：（1）.（2）.（3）.【一隅三反】1．已知，那么等于（）A． B． C． D．2．若,則_____.考點四綜合運算【例4】計算下列各式：（1）.（2）.（3）.【一隅三反】1．；2化簡：________.4.1指數(shù)答案解析考點一根式的運算【例1】化簡下列各式：（1）；（2）；（3）.【答案】（1）（2）原式（3）【解析】（1）原式.（2）原式，當(dāng)時，原式；當(dāng)時，原式.∴原式（3）原式.將式子化簡成含絕對值的式子，再對絕對值內(nèi)的數(shù)進(jìn)行正負(fù)討論，去絕對值將式子化簡成含絕對值的式子，再對絕對值內(nèi)的數(shù)進(jìn)行正負(fù)討論，去絕對值【一隅三反】1．求下列各式的值：（1）；（2）.【答案】（1）（2）【解析】（1）原式.；（2）原式..2．下列各式正確的是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】對于A，，當(dāng)為負(fù)數(shù)時等式不成立，故A不正確；對于B，，當(dāng)時無意義，故B不正確；對于C，，左邊為正，右邊為負(fù)，故C不正確；對于D，，故D正確.故選：D.3．若，則化簡________.【答案】【解析】因為所以，當(dāng)時，原式；當(dāng)時，原式.故答案為：考點二分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運算【例2】化簡下列各式；（1）；（2）.【答案】（1）（2）【解析】（1）原式.（2）原式.先把根式化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，然后利用指數(shù)冪的運算法則求解即可2.先把根式化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，然后利用指數(shù)冪的運算法則求解即可2.所求根式含有多重根號時，要搞清被開方數(shù)，由里向外用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪寫出，然后用性質(zhì)進(jìn)行化簡.【一隅三反】1．將下列根式化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式.（1）(a>0)；（2）；（3）(b>0).【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】（1）原式＝＝＝＝.（2）原式＝＝＝＝＝＝.（3）原式＝[]＝＝.2．將下列根式化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式.（1）(a>0)；（2）；（3）(b>0).【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】（1）；（2）；（3）.考點三條件等式求值【例3】已知，求下列各式的值：（1）.（2）.（3）.【答案】（1）7；（2）47；（3）3.【解析】（1）將兩邊平方，得，即.（2）將上式兩邊平方，可得，∴.（3）∵，而，∴原式.本題考查指數(shù)冪的化簡計算，涉及整體代換思想的應(yīng)用，解題時要觀察變量指數(shù)之間的倍數(shù)關(guān)系，結(jié)合完全平方公式進(jìn)行計算，但同時也要注意確定所求代數(shù)式的符號本題考查指數(shù)冪的化簡計算，涉及整體代換思想的應(yīng)用，解題時要觀察變量指數(shù)之間的倍數(shù)關(guān)系，結(jié)合完全平方公式進(jìn)行計算，但同時也要注意確定所求代數(shù)式的符號【一隅三反】1．已知，那么等于（）A． B． C． D．【答案】C【解析】當(dāng)時，，，此時；當(dāng)時，，，此時.，因此，.故選：C.2．若,則_____.【答案】【解析】因為，所以平方得再平方得而，因此 考點四綜合運算【例4】計算下列各式：（1）.（2）.（3）.【答案】（1）；（2）100；（3）.【解析】（1）原式.（2）原式.（3）原式.【一隅三反】1．；【答案】100【解析】；2.化簡：________.【答案】【解析】原式.4.2指數(shù)函數(shù)【思維導(dǎo)圖】【常見考點】考點一指數(shù)函數(shù)的判斷【例1-1】下列函數(shù)中指數(shù)函數(shù)的個數(shù)是（）①②③④（為常數(shù)，，）⑤⑥⑦A．1 B．2 C．3 D．4【例1-2】函數(shù)f(x)=(a2﹣3a+3)ax是指數(shù)函數(shù)，則a的值為（）A．1 B．3 C．2 D．1或3【一隅三反】1．函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，則（）A．或 B． C． D．且2．若函數(shù)是指數(shù)函數(shù),則的值為()A．2 B．-2 C． D．3．下列函數(shù)不是指數(shù)函數(shù)的是（）A． B． C． D．考點二定義域和值域【例2-1】求下列函數(shù)的定義域和值域：（1）；（2）；（3）.【例2-2】若函數(shù)的值域為[0，+∞），則實數(shù)a的取值范圍是___．【一隅三反】1．求下列函數(shù)的定義域和值域；（1）；（2）；（3）.2．求下列函數(shù)的定義域與值域.（1）（2）且（3）（4）3．若函數(shù)的值域為，則a的取值范圍為（）A． B． C． D．4．設(shè)函數(shù)的定義域為A，函數(shù)的值域為B，則()A． B． C． D．5．若函數(shù)有最大值，則實數(shù)的值為（）A． B． C． D．考點三指數(shù)函數(shù)性質(zhì)【例3】（1）若函數(shù)單調(diào)遞增,則實數(shù)a的取值范圍是()A． B． C．? D．（2）已知函數(shù)，則不等式的解集為()A． B． C． D．（3）如果，那么（）A． B．C． D．【一隅三反】1．函數(shù)為增函數(shù)的區(qū)間是（）A． B． C． D．2．已知定義在R上的函數(shù)m為實數(shù)）為偶函數(shù)，記，，，則()A． B． C． D．3．設(shè)，，，則（）A． B． C． D．4．若關(guān)于的方程有解，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．5.已知函數(shù)，則該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是__________.6．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為________7．比較下列各題中的兩個值的大?。?），；（2），1；（3），.考點四定點【例4】函數(shù)（，且）的圖象過定點，則點的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．【一隅三反】1．函數(shù)的圖象必經(jīng)過點（）A． B． C． D．2．函數(shù)且過定點（）A． B． C． D．3．函數(shù)y=ax﹣1+2（a＞0且a≠1）圖象一定過點（）A．（1，1） B．（1，3） C．（2，0） D．（4，0）考點五圖像【例5-1】函數(shù)的圖像可能是（）．A．B．C．D．【例5-2】若函數(shù)的圖像在第一、三、四象限內(nèi)，則（）A． B．，且C．，且 D．【一隅三反】1．函數(shù)與，其中，且，它們的大致圖象在同一直角坐標(biāo)系中有可能是()A． B． C． D．2．在如圖所示的圖象中，二次函數(shù)與函數(shù)的圖象可能是（）A．B．C． D．3．若函數(shù)的圖像不經(jīng)過第二象限，則的取值范圍是()A． B． C． D．4．若直線與函數(shù)的圖象有兩個公共點，則的取值范圍是___________4.2指數(shù)函數(shù)答案解析考點一指數(shù)函數(shù)的判斷【例1-1】下列函數(shù)中指數(shù)函數(shù)的個數(shù)是（）①②③④（為常數(shù)，，）⑤⑥⑦A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】對①：指數(shù)式的系數(shù)為2，不是1，故不是指數(shù)函數(shù)；對②：其指數(shù)為，不是，故不是指數(shù)函數(shù)；對③④：滿足指數(shù)函數(shù)的定義，故都是指數(shù)函數(shù)；對⑤：是冪函數(shù)，不是指數(shù)函數(shù)；對⑥：指數(shù)式的系數(shù)為-1，不是1，故不是指數(shù)函數(shù)；對⑦：指數(shù)的底數(shù)為-4，不滿足底數(shù)大于零且不為1的要求，故不是；綜上，是指數(shù)函數(shù)的只有③④，故選：B.【例1-2】函數(shù)f(x)=(a2﹣3a+3)ax是指數(shù)函數(shù)，則a的值為（）A．1 B．3 C．2 D．1或3【答案】C【解析】因為函數(shù)f(x)=(a2﹣3a+3)ax是指數(shù)函數(shù)，故可得解得或，當(dāng)時，不是指數(shù)函數(shù)，舍去.故選：C.只有形如的函數(shù)才是指數(shù)函數(shù)，系數(shù)等于只有形如的函數(shù)才是指數(shù)函數(shù)，系數(shù)等于1【一隅三反】1．函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，則（）A．或 B． C． D．且【答案】C【解析】因為函數(shù)是指數(shù)函數(shù)所以，且，解得.故選：C.2．若函數(shù)是指數(shù)函數(shù),則的值為()A．2 B．-2 C． D．【答案】D【解析】∵函數(shù)f（x）＝（a﹣3）?ax是指數(shù)函數(shù)，∴a﹣3＝1，a＞0，a≠1，解得a＝8，∴f（x）＝8x，∴f（）2，故選：D．3．下列函數(shù)不是指數(shù)函數(shù)的是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】指數(shù)函數(shù)是形如（且）的函數(shù).對于A：，系數(shù)不是1，所以不是指數(shù)函數(shù)；對于B：，符合指數(shù)函數(shù)的定義，所以是指數(shù)函數(shù)；對于C：，符合指數(shù)函數(shù)的定義，所以是指數(shù)函數(shù)；對于D：，符合指數(shù)函數(shù)的定義，所以是指數(shù)函數(shù).故選：A.考點二定義域和值域【例2-1】求下列函數(shù)的定義域和值域：（1）；（2）；（3）.【答案】（1）定義域，值域為且；（2）定義域，值域；（3）定義域，值域【解析】（1）要使函數(shù)式有意義，則，解得.所以函數(shù)的定義域為.因為，所以，即函數(shù)的值域為.（2）要使函數(shù)式有意義，則，解得，所以函數(shù)的定義域為.因為，所以，即函數(shù)的值域為.（3）函數(shù)的定義域為.因為，所以.又，所以函數(shù)的值域為.【例2-2】若函數(shù)的值域為[0，+∞），則實數(shù)a的取值范圍是_____．【答案】（﹣∞，﹣2]【解析】設(shè)，若函數(shù)的值域為，，則等價于，是值域的子集，，設(shè)，則，則，，當(dāng)對稱軸，即時，不滿足條件．當(dāng)，即時，則判別式△，即，則，即實數(shù)的取值范圍是，.故答案為：，1.對于1.對于y＝af(x)這類函數(shù)，①定義域是指使f(x)有意義的x的取值范圍．②值域問題，應(yīng)分以下兩步求解：ⅰ由定義域求出u＝f(x)的值域；ⅱ利用指數(shù)函數(shù)y＝au的單調(diào)性或利用圖象求得此函數(shù)的值域．2.對于y＝(ax)2＋b·ax＋c這類函數(shù)，①定義域是R.②值域可以分以下兩步求解：ⅰ設(shè)t＝ax，求出t的范圍；ⅱ利用二次函數(shù)y＝t2＋bt＋c的配方法求函數(shù)的值域．【一隅三反】1．求下列函數(shù)的定義域和值域；（1）；（2）；（3）.【答案】（1）定義域為R，值域為；（2），；（3），.【解析】（1）的定義域為R，值域為.（2）由知，故的定義域為；由知，故的值域為.（3）的定義域為；由知，故的值域為.2．求下列函數(shù)的定義域與值域.（1）（2）且（3）（4）【答案】（1）定義域為；值域為；（2）定義域為R；值域為(－1，1)；（3）定義域為；值域為且；（4）定義域為；值域為.【解析】（1），解得：，∴原函數(shù)的定義域為，令，則∴原函數(shù)的值域為（2）原函數(shù)的定義域為R.設(shè)，則，，，，，即原函數(shù)的值域為.（3）由得，所以函數(shù)定義域為，由得，所以函數(shù)值域為且.(4)由得，所以函數(shù)定義域為，由得，所以函數(shù)值域為.3．若函數(shù)的值域為，則a的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】當(dāng)時，當(dāng)時，函數(shù)的值域為，即故選：B4．設(shè)函數(shù)的定義域為A，函數(shù)的值域為B，則()A． B． C． D．【答案】A【解析】函數(shù)定義域滿足：，即，所以，函數(shù)的值域，所以，故選：A.5．若函數(shù)有最大值，則實數(shù)的值為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由于函數(shù)有最大值，所以，且當(dāng)時，取得最大值為，故.故選：D考點三指數(shù)函數(shù)性質(zhì)【例3】（1）若函數(shù)單調(diào)遞增,則實數(shù)a的取值范圍是()A． B． C．? D．（2）已知函數(shù)，則不等式的解集為()A． B． C． D．（3）如果，那么（）A． B．C． D．【答案】（1）B（2）B(3)C【解析】（1）函數(shù)單調(diào)遞增，解得所以實數(shù)的取值范圍是．故選：．（2）可知函數(shù)為減函數(shù)，由，可得，整理得，解得，所以不等式的解集為．故選B.(3)根據(jù)函數(shù)在是減函數(shù)，且，所以，所以，故選C.11.11.指數(shù)函數(shù)性質(zhì)記憶口訣指數(shù)增減要看清，抓住底數(shù)不放松；反正底數(shù)大于0，不等于1已表明；底數(shù)若是大于1，圖象從下往上增；底數(shù)0到1之間，圖象從上往下減；無論函數(shù)增和減，圖象都過(0,1)點．2.比較冪值大小的三種類型及處理方法【一隅三反】1．函數(shù)為增函數(shù)的區(qū)間是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵是減函數(shù)，在上遞增，在上遞減，∴函數(shù)的增區(qū)間是．故選：C．2．已知定義在R上的函數(shù)m為實數(shù)）為偶函數(shù)，記，，，則()A． B． C． D．【答案】B【解析】為偶函數(shù)，，，；；；在，上單調(diào)遞減，并且，，．故選：．3．設(shè)，，，則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】，因為函數(shù)在定義域上為單調(diào)遞增函數(shù)，所以．故選：D．4．若關(guān)于的方程有解，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】由，得（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立），解得故選D5.已知函數(shù)，則該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是__________.【答案】【解析】由題得函數(shù)的定義域為.設(shè)，函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，函數(shù)在其定義域內(nèi)單調(diào)遞減，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.故答案為：.6．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為________【答案】【解析】函數(shù)，根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性可得，函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.故答案為：7．比較下列各題中的兩個值的大?。?），；（2），1；（3），.【答案】（1）（2）（3）【解析】（1）因為，，又指數(shù)函數(shù)為增函數(shù)，且，所以，即.（2），（3），，所以.考點四定點【例4】函數(shù)（，且）的圖象過定點，則點的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為的圖象恒過點，則的圖象恒過點，所以恒過定點.故選.【一隅三反】1．函數(shù)的圖象必經(jīng)過點（）A． B． C． D．【答案】C【解析】函數(shù)的圖象過點，而函數(shù)的圖象是把函數(shù)的圖象向上平移1個單位，函數(shù)的圖象必經(jīng)過的點．故選：．2．函數(shù)且過定點（）A． B． C． D．【答案】D【解析】令，所以函數(shù)且過定點．3．函數(shù)y=ax﹣1+2（a＞0且a≠1）圖象一定過點（）A．（1，1） B．（1，3） C．（2，0） D．（4，0）【答案】B由x﹣1=0，解得x=1，此時y=1+2=3，即函數(shù)的圖象過定點（1，3），故選B考點五圖像【例5-1】函數(shù)的圖像可能是（）．A．B．C． D．【答案】D【解析】∵，∴，∴函數(shù)需向下平移個單位，不過（0,1）點，所以排除A，當(dāng)時，∴，所以排除B，當(dāng)時，∴，所以排除C，故選D.【例5-2】若函數(shù)的圖像在第一、三、四象限內(nèi)，則（）A． B．，且C．，且 D．【答案】B【解析】因為函數(shù)的圖像在第一、二象限內(nèi)，所以欲使其圖像在第三、四象限內(nèi)，必須將向下移動，因為當(dāng)時，圖像向下移動，只能經(jīng)過第一、二、四象限或第二、三、四象限，所以只有當(dāng)時，圖像向下移動才可能經(jīng)過第一、三、四象限，故，因為圖像向下移動小于一個單位時，圖像經(jīng)過第一、二、三象限，而向下移動一個單位時，圖像恰好經(jīng)過原點和第一、三象限，所以欲使圖像經(jīng)過第一、三、四象限，則必須向下平移超過一個單位，故，，故選：B.【一隅三反】1．函數(shù)與，其中，且，它們的大致圖象在同一直角坐標(biāo)系中有可能是()A． B． C． D．【答案】D【解析】因為函數(shù)單調(diào)遞增，所以排除AC選項；當(dāng)時，與軸交點縱坐標(biāo)大于1，函數(shù)單調(diào)遞增，B選項錯誤；當(dāng)時，與軸交點縱坐標(biāo)大于0小于1，函數(shù)單調(diào)遞減；D選項正確.故選：D2．在如圖所示的圖象中，二次函數(shù)與函數(shù)的圖象可能是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根據(jù)選項中二次函數(shù)圖象，可知，根據(jù)選項中指數(shù)函數(shù)的圖象，可知，所以，所以二次函數(shù)的對稱軸在軸左側(cè)，且，所以可排除B、C、D，只有A符合題意.故選：A.3．若函數(shù)的圖像不經(jīng)過第二象限，則的取值范圍是()A． B． C． D．【答案】D【解析】指數(shù)函數(shù)過點,則函數(shù)過點,若圖像不經(jīng)過第二象限,則,即,故選：D4．若直線與函數(shù)的圖象有兩個公共點，則的取值范圍是___________【答案】【解析】當(dāng)時，做出圖象，如下圖所示，直線與函數(shù)的圖象有兩個公共點時，.故答案為:4.3對數(shù)【思維導(dǎo)圖】【常見考點】考點一指數(shù)對數(shù)的轉(zhuǎn)化【例1】將下列指數(shù)式與對數(shù)式互化.（1）；（2）；（3）；（4）.【一隅三反】1．下列指數(shù)式與對數(shù)式互化不正確的一組是（）A．與 B．與C．與 D．與2．將下列指數(shù)式寫成對數(shù)式：（1）；（2）；（3）；（4）3．將下列對數(shù)式改為指數(shù)式：（1），指數(shù)式為__________；（2），指數(shù)式為__________；（3），指數(shù)式為__________；（4），指數(shù)式為____________.考點二對數(shù)式求值【例2】求下列各式中x的值：（1）；（2）；（3）；（4）.【一隅三反】1．下列四個等式:①;②;③若,則;④若,則.其中正確的是()A．①③ B．②④ C．①② D．③④2．已知log7[log3(log2x)]＝0，那么＝()A． B． C． D．3．方程的解__________考點三對數(shù)式化簡【例3】（1）計算：_______.（2）計算：__________．（3）的值等于______．【一隅三反】1．計算______．______.log2eq\r(\f(7,48))＋log212－eq\f(1,2)log242；4.(lg2)3＋3lg2·lg5＋(lg5)3.考點四換底公式【例4】若，且，則為（）A．0 B．1 C．1或2 D．0或2【一隅三反】1．_________.2．設(shè)，，則等于（）A． B． C． D．3．計算：（1）.（2）.考點五指數(shù)對數(shù)運算的綜合【例5】（1）已知，試用表示.（2）若26a＝33b＝62c，求證：eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)＝eq\f(3,c).【一隅三反】1．若實數(shù)a，b滿足，則（）A． B． C． D．12．若，，則________，________．3．已知log189＝a，18b＝5，則log3645=（）A． B． C． D．4.3對數(shù)答案解析考點一指數(shù)對數(shù)的轉(zhuǎn)化【例1】將下列指數(shù)式與對數(shù)式互化.（1）；（2）；（3）；（4）.【答案】（1）.（2）.（3）.（4）.【解析】因為由可得，所以(1)由可得；(2)由可得；由可得，所以(3)由可得；(4)由可得.指數(shù)式和對數(shù)式的互化.指數(shù)式和對數(shù)式的互化.由指數(shù)式轉(zhuǎn)化為對數(shù)式時，以指數(shù)式的底數(shù)為底數(shù)，指數(shù)運算的結(jié)果為真數(shù)的對數(shù)，其結(jié)果為指數(shù)式的指數(shù)；由對數(shù)式轉(zhuǎn)化為指數(shù)式時，以對數(shù)的底數(shù)為底數(shù)，對數(shù)運算的結(jié)果為指數(shù)的指數(shù)，其結(jié)果為對數(shù)式的真數(shù).【一隅三反】1．下列指數(shù)式與對數(shù)式互化不正確的一組是（）A．與 B．與C．與 D．與【答案】C【解析】，故正確；，故正確；，，故不正確；，故正確．故選：C．2．將下列指數(shù)式寫成對數(shù)式：（1）；（2）；（3）；（4）【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【解析】（1）因為，所以.（2）因為，所以.（3）因為，所以.（4）因為，所以.3．將下列對數(shù)式改為指數(shù)式：（1），指數(shù)式為__________；（2），指數(shù)式為__________；（3），指數(shù)式為__________；（4），指數(shù)式為____________.【答案】【解析】由于，所以：（1），指數(shù)式為；（2），指數(shù)式為；（3），指數(shù)式為；（4），指數(shù)式為故答案為：；；；.考點二對數(shù)式求值【例2】求下列各式中x的值：（1）；（2）；（3）；（4）.【答案】（1）；（2）；（3）2；（4）【解析】（1）因為所以.（2）因為,所以.又所以（3）因為所以于是（4）因為所以于是【一隅三反】1．下列四個等式:①;②;③若,則;④若,則.其中正確的是()A．①③ B．②④ C．①② D．③④【答案】C【解析】①;②;③若,則;④若,則.故選：C2．已知log7[log3(log2x)]＝0，那么＝()A． B． C． D．【答案】D【解析】∵，∴，∴，∴．∴．故選D．3．方程的解__________【答案】【解析】∵，∴，∴經(jīng)檢驗滿足故答案為：.考點三對數(shù)式化簡【例3】（1）計算：_______.（2）計算：__________．（3）的值等于______．【答案】（1）2（2）4（3）【解析】（1）原式.故答案為：2.（2）原式故答案為4（3）=．故答案為:．【一隅三反】1．計算______．【答案】0【解析】由題意.故答案為：.2．______.【答案】【解析】根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)及換底公式化簡可得，故答案為：.log2eq\r(\f(7,48))＋log212－eq\f(1,2)log242；【答案】－eq\f(1,2)【解析】原式＝log2eq\f(\r(7)×12,\r(48)×\r(42))＝log22＝－eq\f(1,2).4.(lg2)3＋3lg2·lg5＋(lg5)3.【答案】1【解析】原式＝(lg2＋lg5)[(lg2)2－lg2·lg5＋(lg5)2]＋3lg2·lg5＝(lg2)2＋2lg2·lg5＋(lg5)2＝(lg2＋lg5)2＝1.考點四換底公式【例4】若，且，則為（）A．0 B．1 C．1或2 D．0或2【答案】D【解析】令，則，，，依換底公式得或.當(dāng)時，且，故；當(dāng)時，.故選：D【一隅三反】1．_________.【答案】3【解析】原式.故答案為：.2．設(shè)，，則等于（）A． B． C． D．【答案】D【解析】根據(jù)對數(shù)的換底公式得，，故選D．3．計算：（1）.（2）.【答案】（1）4；（2）.【解析】（1）.（2）.考點五指數(shù)對數(shù)運算的綜合【例5】（1）已知，試用表示.（2）若26a＝33b＝62c，求證：eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)＝eq\f(3,c).【答案】（1）.（2）見解析【解析】（1）.∵∴.則.（2）證明設(shè)26a＝33b＝62c＝k(k＞0)，那么eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(6a＝log2k，,3b＝log3k，,2c＝log6k，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＝\f(6,log2k)＝6logk2，,\f(1,b)＝\f(3,log3k)＝3logk3，,\f(1,c)＝\f(2,log6k)＝2logk6.))∴eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)＝6·logk2＋2×3logk3＝logk(26×36)＝6logk6＝3×2logk6＝eq\f(3,c)，即eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)＝eq\f(3,c).【一隅三反】1．若實數(shù)a，b滿足，則（）A． B． C． D．1【答案】D【解析】因為，所以，．故選：D．2．若，，則________，________．【答案】1【解析】因為，所以，又，所以，.3．已知log189＝a，18b＝5，則log3645=（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由得，．故選：D．4.4對數(shù)函數(shù)【思維導(dǎo)圖】【常見考點】考點一對數(shù)函數(shù)的概念辨析【例1-1】下列函數(shù)表達(dá)式中，是對數(shù)函數(shù)的有（）①；②；③；④；⑤；⑥；⑦.A．1個B．2個C．3個D．4個【例1-2】若函數(shù)的圖像過點，則的值為（）A． B．2 C． D．【一隅三反】1．下列函數(shù)為對數(shù)函數(shù)的是（）A．y＝logax＋1(a＞0且a≠1)B．y＝loga(2x)(a＞0且a≠1)C．y＝log(a－1)x(a＞1且a≠2)D．y＝2logax(a＞0且a≠1)2．下列函數(shù)是對數(shù)函數(shù)的是()A． B．C． D．3．下列函數(shù)，是對數(shù)函數(shù)的是A．y=lg10x B．y=log3x2C．y=lnx D．y=log（x–1）4．對數(shù)函數(shù)的圖象過點M(16,4)，則此對數(shù)函數(shù)的解析式為()A．y＝log4x B．y＝xC．y＝x D．y＝log2x考點二單調(diào)性（區(qū)間）【例2】（1）函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是（）A． B． C． D．（2）已知在上是增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．【一隅三反】1．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（）A． B． C． D．2．函數(shù)y=是A．區(qū)間（–∞，0）上的增函數(shù) B．區(qū)間（–∞，0）上的減函數(shù)C．區(qū)間（0，+∞）上的增函數(shù) D．區(qū)間（0，+∞）上的減函數(shù)3．已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（）A． B． C． D．考點三定義域和值域【例3】（1）函數(shù)的定義域為（）A． B． C． D．（2）函數(shù)的值域是（

）.A．R B． C． D．【一隅三反】1．函數(shù)的定義域為（）A． B． C． D．2．已知函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域是_______.3．若函數(shù)則函數(shù)的值域是（）A． B． C． D．考點四比較大小【例4】比較下列各組數(shù)中兩個值的大小．（1）log23.4，log28.5；（2）log0.31.8，log0.32.7；（3）loga5.1，loga5.9(a>0，且a≠1)．【一隅三反】1．已知，，，則，，的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．2．已知，，，則（）A． B．C． D．3．若，，，則（）A． B．C． D．考點五解不等式【例5】不等式的解集是________.【一隅三反】1．已知函數(shù)是定義域為的偶函數(shù)，在上單調(diào)遞減，則不等式的解集是（）A．B．（1，3）C．D．2．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，若實數(shù)滿足，則的取值范圍是（）A． B． C． D．3．已知函數(shù)(>0且≠1)的圖像過點(9，2)(1)求函數(shù)的解析式；(2)解不等式．考點六定點【例6】函數(shù)的圖象恒過定點，（其中且），則的坐標(biāo)為__________.【一隅三反】1.函數(shù)的圖象必過定點（）A． B． C． D．2．函數(shù)（，且）的圖象恒過點（）A． B． C． D．考點七圖像【例7】函數(shù)（且）與函數(shù)（且）在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)的圖象可能是（）A． B． C． D．【一隅三反】1．函數(shù)的圖象大致是（）A．B．C． D．2．函數(shù)y＝2log4(1－x)的圖象大致是A．B． C． D．3.如圖，若C1，C2分別為函數(shù)y＝logax和y＝logbx的圖象，則()A．0＜a＜b＜1B．0＜b＜a＜1C．a(chǎn)＞b＞1D．b＞a＞1考點八對數(shù)函數(shù)綜合運用【例8】已知函數(shù)．（1）求的值；（2）求函數(shù)的定義域（3）判斷函數(shù)的奇偶性，并證明.【一隅三反】1．已知函數(shù)且.（1）求的定義域；（2）解關(guān)于的不等式.2．已知函數(shù)，a常數(shù).（1）若，求證為奇函數(shù)，并指出的單調(diào)區(qū)間；（2）若對于，不等式恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.4.4對數(shù)函數(shù)答案解析考點一對數(shù)函數(shù)的概念辨析【例1-1】下列函數(shù)表達(dá)式中，是對數(shù)函數(shù)的有（）①；②；③；④；⑤；⑥；⑦.A．1個 B．2個C．3個 D．4個【答案】B【解析】由于①中自變量出現(xiàn)在底數(shù)上，①不是對數(shù)函數(shù)；由于②中底數(shù)不能保證，且，②不是對數(shù)函數(shù)；由于⑤⑦的真數(shù)分別為，，⑤⑦也不是對數(shù)函數(shù)；由于⑥中的系數(shù)為2，⑥也不是對數(shù)函數(shù)；只有③④符合對數(shù)函數(shù)的定義.故選：B【例1-2】若函數(shù)的圖像過點，則的值為（）A． B．2 C． D．【答案】B【解析】由題,.故選：B判斷一個函數(shù)是對數(shù)函數(shù)的方法判斷一個函數(shù)是對數(shù)函數(shù)的方法【一隅三反】1．下列函數(shù)為對數(shù)函數(shù)的是（）A．y＝logax＋1(a＞0且a≠1)B．y＝loga(2x)(a＞0且a≠1)C．y＝log(a－1)x(a＞1且a≠2)D．y＝2logax(a＞0且a≠1)【答案】C【解析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的定義，可得判定，只有函數(shù)且復(fù)數(shù)對數(shù)函數(shù)的概念，所以函數(shù)且是對數(shù)函數(shù)，而選項A、B、D中的函數(shù)只能是對數(shù)型函數(shù)，不是對數(shù)函數(shù).故選：C.2．下列函數(shù)是對數(shù)函數(shù)的是()A． B．C． D．【答案】C【解析】由對數(shù)函數(shù)定義可以，本題選C．3．下列函數(shù)，是對數(shù)函數(shù)的是A．y=lg10x B．y=log3x2C．y=lnx D．y=log（x–1）【答案】C【解析】由對數(shù)函數(shù)的定義，形如y=logax（a>0，a≠1）的函數(shù)是對數(shù)函數(shù)，由此得到：y=lg10x=x，y==2、y=都不是對數(shù)函數(shù)，只有y=lnx是對數(shù)函數(shù)．故選C．4．對數(shù)函數(shù)的圖象過點M(16,4)，則此對數(shù)函數(shù)的解析式為()A．y＝log4x B．y＝xC．y＝x D．y＝log2x【答案】D【解析】由于對數(shù)函數(shù)的圖象過點M(16,4)，所以4＝loga16，得a＝2所以對數(shù)函數(shù)的解析式為y＝log2x，故選D.考點二單調(diào)性（區(qū)間）【例2】（1）函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是（）A． B． C． D．（2）已知在上是增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】（1）D（2）C【解析】由題：，，解得：，的減區(qū)間，即的減區(qū)間，對稱軸為結(jié)合二次函數(shù)單調(diào)性，所以的減區(qū)間.故選：D（2）設(shè)，在上是增函數(shù)，，即，解得，實數(shù)的取值范圍是，故選：C．函數(shù)單調(diào)性的判斷方法，一般地，增函數(shù)與增函數(shù)的和為增函數(shù)，增函數(shù)與減函數(shù)的差為增函數(shù)，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判斷方法是同增異減，對于與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)，注意真數(shù)恒大于零的要求.函數(shù)單調(diào)性的判斷方法，一般地，增函數(shù)與增函數(shù)的和為增函數(shù)，增函數(shù)與減函數(shù)的差為增函數(shù)，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判斷方法是同增異減，對于與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)，注意真數(shù)恒大于零的要求.【一隅三反】1．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為，所以，解得或令，因為的圖像開口向上，對稱軸方程為，所以內(nèi)函數(shù)在上單調(diào)遞增，外函數(shù)單調(diào)遞減，所以由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)可知函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為故選A.2．函數(shù)y=是A．區(qū)間（–∞，0）上的增函數(shù) B．區(qū)間（–∞，0）上的減函數(shù)C．區(qū)間（0，+∞）上的增函數(shù) D．區(qū)間（0，+∞）上的減函數(shù)【答案】A【解析】如圖所示，函數(shù)y=的圖象與函數(shù)y=的圖象關(guān)于y軸對稱，所以函數(shù)y=是區(qū)間（–∞，0）上的增函數(shù)．故選A．3．已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由得或所以的定義域為因為在上單調(diào)遞增所以在上單調(diào)遞增所以故選：D考點三定義域和值域【例3】（1）函數(shù)的定義域為（）A． B． C． D．（2）函數(shù)的值域是（

）.A．R B． C． D．【答案】（1）C（2）B【解析】（1）要使得函數(shù)有意義，只需：且，解得.故函數(shù)定義域為.故選：.（2）恒成立，函數(shù)的定義域為設(shè)由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)在定義域上先增后減，函數(shù)取到最大值即：函數(shù)的值域為故選具體函數(shù)的定義域的求解，求解原則如下：（1）分式中分母不為零；具體函數(shù)的定義域的求解，求解原則如下：（1）分式中分母不為零；（2）偶次根式中被開方數(shù)非負(fù)；（3）對數(shù)中真數(shù)大于零，底數(shù)大于零且不為；（4）正切函數(shù)中，；（5）求定義域只能在原函數(shù)解析式中求，不能對解析式變形.【一隅三反】1．函數(shù)的定義域為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】函數(shù)的定義域滿足：，解得.故選：A.2．已知函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域是________.【答案】【解析】由題意，函數(shù)的定義域是，即，則函數(shù)有意義，則滿足，解得，解得，即函數(shù)的定義域是.故答案為：.3．若函數(shù)則函數(shù)的值域是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】畫出函數(shù)的圖像如下圖所示，由圖可知，函數(shù)的值域為，故選A.考點四比較大小【例4】比較下列各組數(shù)中兩個值的大小．（1）log23.4，log28.5；（2）log0.31.8，log0.32.7；（3）loga5.1，loga5.9(a>0，且a≠1)．【答案】（1）；（2）；（3）當(dāng)時，；當(dāng)時，.【解析】（1）根據(jù)對數(shù)函數(shù)在為單調(diào)遞增函數(shù)，因為，所以.（2）根據(jù)對數(shù)函數(shù)在為單調(diào)遞減函數(shù)，因為，所以.（3）根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得：當(dāng)時，函數(shù)在為單調(diào)遞減函數(shù)，因為，所以；當(dāng)時，函數(shù)在為單調(diào)遞增函數(shù)，因為，所以.比較對數(shù)式的大小，主要依據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性．1比較對數(shù)式的大小，主要依據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性．1．若底數(shù)為同一常數(shù)，則可由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性直接進(jìn)行比較．2．若底數(shù)為同一字母，則根據(jù)底數(shù)對對數(shù)函數(shù)單調(diào)性的影響，對底數(shù)進(jìn)行分類討論．3．若底數(shù)不同，真數(shù)相同，則可以先用換底公式化為同底后，再進(jìn)行比較，也可以利用順時針方向底數(shù)增大的規(guī)律畫出函數(shù)的圖象，再進(jìn)行比較．4．若底數(shù)與真數(shù)都不同，則常借助1,0等中間量進(jìn)行比較【一隅三反】1．已知，，，則，，的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】,,,,故選：A2．已知，，，則（）A． B．C． D．【答案】A【解析】，，，所以，故選：A.3．若，，，則（）A． B．C． D．【答案】A【解析】因為，所以，故.故選：A.考點五解不等式【例5】不等式的解集是________.【答案】【解析】由在單調(diào)遞減，因為，所以，解得，，即解集為.故答案為:【一隅三反】1．已知函數(shù)是定義域為的偶函數(shù)，在上單調(diào)遞減，則不等式的解集是（）A． B．（1，3） C． D．【答案】C【解析】因為的圖象是由的圖象向左平移2個單位，而的圖象關(guān)于軸對稱，故的圖象關(guān)于直線對稱.由在上單調(diào)遞減可得在上單調(diào)遞增，故即為，也就是，所以或，解得或，故選：C．2．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，若實數(shù)滿足，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】當(dāng)時，，，因為是定義在上的奇函數(shù)，所以，即.因此，作出的圖象如下：在上單調(diào)遞增，又，由得：，解得：.故選：A.3．已知函數(shù)(>0且≠1)的圖像過點(9，2)(1)求函數(shù)的解析式；(2)解不等式．【答案】（1）（2）【解析】(1)因為，所以，即(2)因為單調(diào)遞增，所以即不等式的解集是考點六定點【例6】函數(shù)的圖象恒過定點，（其中且），則的坐標(biāo)為__________.【答案】【解析】令，解得，所以，所以的坐標(biāo)為，故答案為：【一隅三反】1.函數(shù)的圖象必過定點（）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵過定點，∴，，故圖象必過定點．故選：A．2．函數(shù)（，且）的圖象恒過點（）A． B． C． D．【答案】B【解析】真數(shù)為1時，對數(shù)為0，所以令x=2，則f（x）=1，所以函數(shù)的圖象過定點.考點七圖像【例7】函數(shù)（且）與函數(shù)（且）在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)的圖象可能是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】當(dāng)時，和均為減函數(shù)，而的圖象和的圖象關(guān)于y軸對稱，結(jié)合選項知A、B、C、D均錯誤；當(dāng)時，和均為增函數(shù)，而的圖象和的圖象關(guān)于y軸對稱，結(jié)合選項可得A正確.故選：A函數(shù)y函數(shù)y＝logax(a＞0且a≠1)的底數(shù)變化對圖象位置的影響．觀察圖象，注意變化規(guī)律：(1)上下比較：在直線x＝1的右側(cè)，a＞1時，a越大，圖象向右越靠近x軸，0＜a＜1時a越小，圖象向右越靠近x軸．(2)左右比較：比較圖象與y＝1的交點，交點的橫坐標(biāo)越大，對應(yīng)的對數(shù)函數(shù)的底數(shù)越大．【一隅三反】1．函數(shù)的圖象大致是（）A．B．C． D．【答案】A【解析】,所以舍B;當(dāng)時,單調(diào)遞增，所以舍去CD，故選：A2．函數(shù)y＝2log4(1－x)的圖象大致是A．B． C． D．【答案】C【解析】函數(shù)的定義域為且單調(diào)遞減，故選C.3.如圖，若C1，C2分別為函數(shù)y＝logax和y＝logbx的圖象，則()A．0＜a＜b＜1B．0＜b＜a＜1C．a(chǎn)＞b＞1D．b＞a＞1【答案】B【解析】作直線y＝1，則直線與C1，C2的交點的橫坐標(biāo)分別為a，b，易知0＜b＜a＜1.考點八對數(shù)函數(shù)綜合運用【例8】已知函數(shù)．（1）求的值；（2）求函數(shù)的定義域（3）判斷函數(shù)的奇偶性，并證明.【答案】(1)；(2)；(3)偶函數(shù)，證明見解析．【解析】(1)令，則(2)由題意:，解得，故定義域為；(3)函數(shù)為偶函數(shù)證明：對任意，由偶函數(shù)的定義可得函數(shù)為偶函數(shù)【一隅三反】1．已知函數(shù)且.（1）求的定義域；（2）解關(guān)于的不等式.【答案】（1）當(dāng)時，定義域為，當(dāng)時，定義域為；（2）.【解析】（1）由函數(shù)有意義得，∴當(dāng)時，定義域為，當(dāng)時，定義域為.（2）∵在定義域內(nèi)，∴∴單調(diào)遞增，結(jié)合定義域可知：的解集為.2．已知函數(shù)，a常數(shù).（1）若，求證為奇函數(shù)，并指出的單調(diào)區(qū)間；（2）若對于，不等式恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.【答案】（1）證明見解析，單調(diào)增區(qū)間為；（2）.【解析】（1）證明：當(dāng)時，.的定義域為.當(dāng)時,.，∴在區(qū)間上是奇函數(shù)，的單調(diào)增區(qū)間為，.（2）由，得.令，若使題中不等式恒成立，只需要.由（1）知在上是增函數(shù)，所以.所以m的取值范圍是.4.5函數(shù)的應(yīng)用（二）【思維導(dǎo)圖】【常見考點】考點一零點的求解【例1】若函數(shù)的零點是（），則函數(shù)的零點是（）A． B．和 C． D．和【一隅三反】1．已知函數(shù)f(x)＝，則函數(shù)f(x)的零點為（）A．，0 B．－2，0 C． D．02.已知函數(shù)，則函數(shù)的零點為________．考點二零點區(qū)間的判斷【例2】函數(shù)的零點所在的區(qū)間為（）A． B． C． D．【一隅三反】1．函數(shù)f(x)=的零點所在的一個區(qū)間是A．（-2，-1） B．（-1,0） C．（0,1） D．（1,2）2．函數(shù)的零點所在區(qū)間為（）A． B． C． D．3．函數(shù)的零點所在的區(qū)間是（）A． B． C． D．考點三零點個數(shù)的判斷【例3】（1）函數(shù)的零點個數(shù)為（）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個（2）方程的實數(shù)解的個數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．0【一隅三反】1．函數(shù)的零點個數(shù)為_______.2．方程的實根的個數(shù)為________．3.已知，則函數(shù)的零點的個數(shù)為______.考點四根據(jù)零點求參數(shù)【例4】．已知關(guān)于的方程有兩個不等實根，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【一隅三反】1．方程有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B．C． D．2．若函數(shù)的零點所在的區(qū)間為,則k=()A．3 B．4 C．1 D．23．函數(shù)f(x)＝x2－2|x|＋a－1有四個不同的零點，求實數(shù)a的取值范圍．考點五二分法【例5】設(shè)，用二分法求方程在內(nèi)近似解的過程中得，，，則方程的根落在區(qū)間A． B． C． D．不能確定【一隅三反】1．在用“二分法”求函數(shù)f(x)零點近似值時，第一次所取的區(qū)間是[－2,4]，則第三次所取的區(qū)間可能是()A．[1,4] B．[－2,1]C． D．2．利用計算器，列出自變量的函數(shù)值的對應(yīng)值如下表：0.20.61.01.41.82.22.63.03.4…1.1491.5162.02.6393.4824.5956.0638.010.556…0.040.361.01.963.244.846.769.011.56…那么方程的一個根位于下列區(qū)間（）A．（0.6，1.0） B．（1.4，1.8） C．（1.8，2.2） D．（2.6，3.0）3．下列函數(shù)圖像與x軸均有公共點，其中能用二分法求零點的是()A． B． C． D．考法六函數(shù)模型【例6】某科技股份有限公司為激勵創(chuàng)新，計劃逐年增加研發(fā)資金投入，若該公司2016年全年投入的研發(fā)資金為100萬元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長10%，則該公司全年投入的研發(fā)獎金開始超過200萬元的年份是（參考數(shù)據(jù)：）A．2022年 B．2023年C．2024年 D．2025年【一隅三反】1．一種藥在病人血液中的量保持以上才有效，而低于病人就有危險．現(xiàn)給某病人注射了這種藥，如果藥在血液中以每小時的比例衰減，為了充分發(fā)揮藥物的利用價值，那么從現(xiàn)在起經(jīng)過（）小時向病人的血液補充這種藥，才能保持療效．（附：，，答案采取四舍五入精確到）A．2.3小時 B．3.5小時 C．5.6小時 D．8.8小時2．某品牌牛奶的保質(zhì)期（單位：天）與儲存溫度（單位：）滿足函數(shù)關(guān)系.該品牌牛奶在的保質(zhì)期為270天，在的保質(zhì)期為180天，則該品牌牛奶在的保質(zhì)期是（）A．60天 B．70天 C．80天 D．90天3．十三屆全國人大一次會議《政府工作報告》指出：過去五年來，我國經(jīng)濟(jì)實力躍上新臺階．國內(nèi)生產(chǎn)總值從54萬億元增加到82.7萬億元，年均增長7.1%，占世界經(jīng)濟(jì)比重從11.4%提高到15%左右，對世界經(jīng)濟(jì)增長貢獻(xiàn)率超過30%，2018年發(fā)展的預(yù)期目標(biāo)是國內(nèi)生產(chǎn)總值增長6.5%左右．如果從2018年開始，以后每年的國內(nèi)生產(chǎn)總值都按6.5%的增長率增長，那么2020年的國內(nèi)生產(chǎn)總值約為（）（提示：）A．93.8萬億元 B．97萬億元 C．99.9萬億元 D．106.39萬億元4．水葫蘆原產(chǎn)于巴西，年作為觀賞植物引入中國.現(xiàn)在南方一些水域水葫蘆已泛濫成災(zāi)嚴(yán)重影響航道安全和水生動物生長.某科研團(tuán)隊在某水域放入一定量水葫蘆進(jìn)行研究，發(fā)現(xiàn)其蔓延速度越來越快，經(jīng)過個月其覆蓋面積為，經(jīng)過個月其覆蓋面積為.現(xiàn)水葫蘆覆蓋面積（單位）與經(jīng)過時間個月的關(guān)系有兩個函數(shù)模型與可供選擇.（參考數(shù)據(jù)：）（Ⅰ）試判斷哪個函數(shù)模型更合適，并求出該模型的解析式；（Ⅱ）求原先投放的水葫蘆的面積并求約經(jīng)過幾個月該水域中水葫蘆面積是當(dāng)初投放的倍.4.5函數(shù)的應(yīng)用（二）答案解析考點一零點的求解【例1】若函數(shù)的零點是（），則函數(shù)的零點是（）A． B．和 C． D．和【答案】B【解析】由條件知，∴，∴的零點為和.故選B.（1（1）代數(shù)法：根據(jù)零點的定義，解方程，它的實數(shù)解就是函數(shù)的零點.（2）幾何法：若方程無法求解，可以根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)及圖象求出零點.【一隅三反】1．已知函數(shù)f(x)＝，則函數(shù)f(x)的零點為（）A．，0 B．－2，0 C． D．0【答案】D【解析】當(dāng)時，令f(x)＝2x－1＝0，解得x＝0；當(dāng)時，令f(x)＝1＋log2x＝0，解得x＝，又因為，所以此時方程無解.綜上所述，函數(shù)f(x)的零點只有0.故選：D2.已知函數(shù)，則函數(shù)的零點為________．【答案】0【解析】當(dāng)時，由，解得；當(dāng)時，由，解得，又因為，所以此時方程無解．綜上，函數(shù)的零點為0.考點二零點區(qū)間的判斷【例2】函數(shù)的零點所在的區(qū)間為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】可以求得，所以函數(shù)的零點在區(qū)間內(nèi)．故選C．判斷函數(shù)零點所在區(qū)間的三個步驟(1)判斷函數(shù)零點所在區(qū)間的三個步驟(1)代入：將區(qū)間端點值代入函數(shù)求出函數(shù)的值．(2)判斷：把所得的函數(shù)值相乘，并進(jìn)行符號判斷．(3)結(jié)論：若符號為正且函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，則在該區(qū)間內(nèi)無零點，若符號為負(fù)且函數(shù)連續(xù)，則在該區(qū)間內(nèi)至少有一個零點．【一隅三反】1．函數(shù)f(x)=的零點所在的一個區(qū)間是A．（-2，-1） B．（-1,0） C．（0,1） D．（1,2）【答案】B【解析】因為函數(shù)f(x)=2+3x在其定義域內(nèi)是遞增的，那么根據(jù)f(-1)=,f（0）=1+0=1>0,那么函數(shù)的零點存在性定理可知，函數(shù)的零點的區(qū)間為（-1,0），選B．2．函數(shù)的零點所在區(qū)間為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】，，，，，，由零點存在定理可知：零點所在區(qū)間為.故選：.3．函數(shù)的零點所在的區(qū)間是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】，，，，零點所在區(qū)間為故選：考點三零點個數(shù)的判斷【例3】（1）函數(shù)的零點個數(shù)為（）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個（2）方程的實數(shù)解的個數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．0【答案】（1）C（2）A【解析】（1）令，則，即，又，故該方程有兩根，且均滿足函數(shù)定義域.故該函數(shù)有兩個零點.故選：（2）方程的實數(shù)解的個數(shù)，即為方程的實數(shù)解的個數(shù)，即為函數(shù)與函數(shù)圖象的交點的個數(shù)，在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)與函數(shù)的圖象，如圖所示：只有一個交點，所以方程的實數(shù)解的個數(shù)為1故選：A判斷函數(shù)零點個數(shù)的三種方法(1)判斷函數(shù)零點個數(shù)的三種方法(1)方程法：若方程f(x)＝0的解可求或能判斷解的個數(shù)，可通過方程的解來判斷函數(shù)是否存在零點或判定零點的個數(shù)．(2)圖象法：由f(x)＝g(x)－h(huán)(x)＝0，得g(x)＝h(x)，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出y1＝g(x)和y2＝h(x)的圖象，根據(jù)兩個圖象交點的個數(shù)來判定函數(shù)零點的個數(shù)．(3)定理法：函數(shù)y＝f(x)的圖象在區(qū)間[a，b]上是一條連續(xù)不斷的曲線，由f(a)·f(b)<0即可判斷函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)至少有一個零點．若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上是單調(diào)函數(shù)，則函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)只有一個零點．【一隅三反】1．函數(shù)的零點個數(shù)為_______.【答案】2【解析】令，則，在同一直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)與的圖象，如圖：由圖象可知，函數(shù)當(dāng)時，則與的圖象有必有兩個交點，所以方程有兩個不同實根，所以函數(shù)的零點個數(shù)為2.故答案為：2.2．方程的實根的個數(shù)為________．【答案】2個【解析】方程的實根個數(shù)可轉(zhuǎn)為函數(shù)和的交點個數(shù)，在同一坐標(biāo)系中作出和的圖像，如圖，可得交點個數(shù)為2個，故方程的實根個數(shù)是2個，故答案為：2個3.已知，則函數(shù)的零點的個數(shù)為______.【答案】2【解析】函數(shù)的零點的個數(shù)即為方程的解的個數(shù)，也就是函數(shù)與的圖象的交點的個數(shù).畫出函數(shù)圖象如圖所示，觀察可得函數(shù)與的圖象的交點的個數(shù)為2，從而函數(shù)的零點的個數(shù)為2考點四根據(jù)零點求參數(shù)【例4】．已知關(guān)于的方程有兩個不等實根，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意,畫出的圖像如下圖所示:由圖像可知,若方程有兩個不等實根則函數(shù)圖像在軸左側(cè)的最大值大于等于1即可,所以即故選:D【一隅三反】1．方程有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B．C． D．【答案】B【解析】方程中，令，得，化簡得，解得，所以時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；故選：B.2．若函數(shù)的零點所在的區(qū)間為,則k=()A．3 B．4 C．1 D．2【答案】D【解析】∵且單調(diào)遞增,∴的零點所在的區(qū)間為（2,3）,∴.故選：D3．函數(shù)f(x)＝x2－2|x|＋a－1有四個不同的零點，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】(1,2)【解析】由f(x)＝0得a－1＝2|x|－x2，因為函數(shù)f(x)＝x2－2|x|＋a－1有四個不同的零點，所以函數(shù)y＝a－1與y＝2|x|－x2的圖象有四個交點，畫出函數(shù)y＝2|x|－x2的圖象，如