《5.4三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)》同步練習(xí)及答案（共三套）

《5.4三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)》同步練習(xí)《正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖像》分層同步練習(xí)（一）基礎(chǔ)鞏固1．用“五點(diǎn)法”作的圖像時(shí)，首先描出的五個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)是（）A. B.C. D.2．記，，，則（）A. B. C. D.3．函數(shù)y＝－cosx(x>0)的圖象中與y軸最近的最高點(diǎn)的坐標(biāo)為()A.(，1) B.(，1)C.(0,1) D.(2，1)4．函數(shù)的值域是（）A.0 B. C. D.5．在內(nèi)使成立的的取值范圍是（）A. B.C. D.6．利用余弦曲線，寫出滿足cosx>0，x∈[0，2]的x的區(qū)間是_________．7．函數(shù)的圖像與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)________.8．作出y=2.5能力提升9．已知是定義在上的函數(shù)，的圖像如圖所示，那么不等式的解集是（）A. B.C. D.10．不等式＋2cosx≥0的解集是________。11．函數(shù)在內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)_________．12．求函數(shù)的定義域．素養(yǎng)達(dá)成13．用“五點(diǎn)法”作出函數(shù)，的簡(jiǎn)圖，并回答下列問(wèn)題：（1）觀察函數(shù)圖像，寫出滿足下列條件的的區(qū)間.①；②.（2）若直線與，的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，求的取值范圍.【答案解析】基礎(chǔ)鞏固1．用“五點(diǎn)法”作的圖像時(shí)，首先描出的五個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由五點(diǎn)作圖法可知，首先描出的五個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：，，，，.故選：A.2．記，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】畫出的圖像，如下圖所示，其中，由圖可知，即.故選B.3．函數(shù)y＝－cosx(x>0)的圖象中與y軸最近的最高點(diǎn)的坐標(biāo)為()A.(，1) B.(，1)C.(0,1) D.(2，1)【答案】B【解析】畫出的圖像如下圖所示，由圖可知，與軸最近的最高點(diǎn)的坐標(biāo)為.故選B.4．函數(shù)的值域是（）A.0 B. C. D.【答案】D【解析】：，由此值域?yàn)?．在內(nèi)使成立的的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】∵，∴，∴.在同一坐標(biāo)系中畫出，與，的圖像，如圖.觀察圖像易得使成立的.故選A.6．利用余弦曲線，寫出滿足cosx>0，x∈[0，2]的x的區(qū)間是_________．【答案】【解析】畫出在的圖像如下圖所示，由圖像可知，對(duì)應(yīng)的的取值范圍是.7．函數(shù)的圖像與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_________.【答案】【解析】由cosx+4＝4，求得cosx＝0，再結(jié)合x(chóng)∈[0，2π]，可得x，或x，即函數(shù)y＝cosx+4，x∈[0，2π]與直線y＝4的交點(diǎn)坐標(biāo)為或，故答案為：．8．作出的圖象.【答案】見(jiàn)解析【解析】令則.列表：描點(diǎn)連線，如圖所示.能力提升9．已知是定義在上的函數(shù)，的圖像如圖所示，那么不等式的解集是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】易得：或∴或∴或，即本題正確選項(xiàng)：10．不等式＋2cosx≥0的解集是________。【答案】【解析】由＋2cosx≥0，得cosx≥－．畫出余弦函數(shù)的圖象，如下圖，由圖象得在一個(gè)周期[－π，π]上，不等式cosx≥－的解集為，故原不等式的解集為.故答案為．11．函數(shù)在內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)_________．【答案】【解析】在同一平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)和的圖像如圖，結(jié)合圖像的對(duì)稱性可以看出兩函數(shù)和的圖像應(yīng)有六個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)在內(nèi)有六個(gè)零點(diǎn)，應(yīng)填答案。12．求函數(shù)的定義域．【答案】【解析】由題設(shè)可得，即，借助正弦曲線解得：，借助余弦曲線解得，求其交集可得，故所求函數(shù)的定義域是。素養(yǎng)達(dá)成13．用“五點(diǎn)法”作出函數(shù)，的簡(jiǎn)圖，并回答下列問(wèn)題：（1）觀察函數(shù)圖像，寫出滿足下列條件的的區(qū)間.①；②.（2）若直線與，的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】（1）①當(dāng)時(shí)，；②當(dāng)時(shí)，（2）【解析】列表如下：00－1010131－11描點(diǎn)并將它們用光滑的曲線連接起來(lái)，如下圖：（1）由圖像可知，圖像在直線上方部分時(shí)，在直線下方部分時(shí)，所以①當(dāng)時(shí)，；②當(dāng)時(shí)，.（2）由圖像可知，當(dāng)直線與，的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，或，所以的取值范圍是.《正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖像》同步練習(xí)（二）[合格基礎(chǔ)練]一、選擇題1．用“五點(diǎn)法”作函數(shù)y＝2sinx－1的圖象時(shí)，首先應(yīng)描出的五點(diǎn)的橫坐標(biāo)可以是()A．0，eq\f(π,2)，π，eq\f(3π,2)，2π B．0，eq\f(π,4)，eq\f(π,2)，eq\f(3π,4)，πC．0，π，2π，3π，4π D．0，eq\f(π,6)，eq\f(π,3)，eq\f(π,2)，eq\f(2π,3)A[依據(jù)“五點(diǎn)法”作圖規(guī)則可知選A.]2．若點(diǎn)Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，－m))在函數(shù)y＝sinx的圖象上，則m等于()A．0B．1C[當(dāng)x＝eq\f(π,2)時(shí)，y＝sineq\f(π,2)＝1，故－m＝1，m＝－1.]3．已知f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))，g(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,2)))，則f(x)的圖象()A．與g(x)的圖象相同B．與g(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱C．向左平移eq\f(π,2)個(gè)單位，得g(x)的圖象D．向右平移eq\f(π,2)個(gè)單位，得g(x)的圖象D[f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))，g(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,2)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))＝sinx，f(x)圖象向右平移eq\f(π,2)個(gè)單位得到g(x)圖象．]4．將余弦函數(shù)y＝cosx的圖象向右至少平移m個(gè)單位，可以得到函數(shù)y＝－sinx的圖象，則m＝()A.eq\f(π,2) B．πC.eq\f(3π,2) D.eq\f(3π,4)C[根據(jù)誘導(dǎo)公式得，y＝－sinx＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－x))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3π,2)))，故欲得到y(tǒng)＝－sinx的圖象，需將y＝cosx的圖象向右至少平移eq\f(3π,2)個(gè)單位長(zhǎng)度．]5．函數(shù)y＝cosx＋|cosx|，x∈[0,2π]的大致圖象為()D[由題意得y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2cosx，0≤x≤\f(π,2)或\f(3,2)π≤x≤2π，,0，\f(π,2)＜x＜\f(3,2)π.))顯然只有D合適．]二、填空題6．用“五點(diǎn)法”作函數(shù)y＝1－cosx，x∈[0,2π]的圖象時(shí)，應(yīng)取的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)分別是______________．(0,0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，1))，(π，2)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，1))，(2π，0)[x依次取0，eq\f(π,2)，π，eq\f(3π,2)，2π得五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)(0,0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，1))，(π，2)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，1))，(2π，0)．]7．函數(shù)y＝cosx＋4，x∈[0,2π]的圖象與直線y＝4的交點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_______．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，4))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，4))[由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝cosx＋4，,y＝4))得cosx＝0，當(dāng)x∈[0,2π]時(shí)，x＝eq\f(π,2)或eq\f(3π,2)，∴交點(diǎn)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，4))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，4)).]8．函數(shù)y＝lg(eq\r(2)－2cosx)的定義域是________．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋2kπ＜x＜\f(7π,4)＋2kπ，k∈Z))))[由eq\r(2)－2cosx＞0得cosx＜eq\f(\r(2),2)，作出y＝cosx的圖象和直線y＝eq\f(\r(2),2)，由圖象可知cosx＜eq\f(\r(2),2)的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋2kπ＜x＜\f(7π,4)＋2kπ，k∈Z)))).]三、解答題9．用“五點(diǎn)法”作下列函數(shù)的簡(jiǎn)圖．(1)y＝2sinx(x∈[0,2π])；(2)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(5π,2))))).[解](1)列表如下：x0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2π2sinx020－20描點(diǎn)連線如圖：(2)列表如下：xeq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πeq\f(5π,2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,2)))010－10描點(diǎn)連線如圖：10．若函數(shù)y＝2cosx(0≤x≤2π)的圖象和直線y＝2圍成一個(gè)封閉的平面圖形(如圖)，求這個(gè)封閉圖形的面積．[解]觀察圖可知：圖形S1與S2，S3與S4都是兩個(gè)對(duì)稱圖形，有S1＝S2，S3＝S4.因此函數(shù)y＝2cosx的圖象與直線y＝2所圍成的圖形面積，可以等價(jià)轉(zhuǎn)化為求矩形OABC的面積．∵|OA|＝2，|OC|＝2π，∴S矩形OABC＝2×2π＝4π，∴所求封閉圖形的面積為4π.[等級(jí)過(guò)關(guān)練]1．如圖所示，函數(shù)y＝cosx·|tanx|0≤x＜eq\f(3π,2)且x≠eq\f(π,2)的圖象是()C[當(dāng)0≤x＜eq\f(π,2)時(shí)，y＝cosx·|tanx|＝sinx；當(dāng)eq\f(π,2)＜x≤π時(shí)，y＝cosx·|tanx|＝－sinx；當(dāng)π＜x＜eq\f(3π,2)時(shí)，y＝cosx·|tanx|＝sinx，故其圖象為C.]2．方程sinx＝eq\f(x,10)的根的個(gè)數(shù)是()A．7B．8A[在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出y＝eq\f(x,10)和y＝sinx的圖象如圖所示：根據(jù)圖象可知方程有7個(gè)根．]3．在(0,2π)內(nèi)，使sinx>cosx成立的x的取值范圍是______．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(5π,4)))[在同一坐標(biāo)系中畫出y＝sinx，x∈(0,2π)與y＝coseq\x(x)，eq\x(x)∈(0,2π)的圖象如圖所示，由圖象可觀察出當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(5π,4)))時(shí)，sinx>cosx．]4．函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinx，x≥0，,x＋2，x＜0，))則不等式f(x)＞eq\f(1,2)的解集是________．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)＜x＜0或\f(π,6)＋2kπ＜x＜\f(5π,6)＋2kπ，k∈N))))[在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)f(x)和y＝eq\f(1,2)圖象(略)，由圖易得：－eq\f(3,2)＜x＜0或eq\f(π,6)＋2kπ＜x＜eq\f(5π,6)＋2kπ，k∈N.]5．函數(shù)f(x)＝sinx＋2|sinx|，x∈[0,2π]的圖象與直線y＝k有且僅有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求k的取值范圍．[解]f(x)＝sinx＋2|sinx|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3sinx，x∈[0，π]，,－sinx，x∈π，2π].))圖象如圖所示，若使f(x)的圖象與直線y＝k有且僅有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，根據(jù)上圖可得k的取值范圍是(1,3).《正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖像》同步練習(xí)（三）一、選擇題1．利用五點(diǎn)法作函數(shù)的簡(jiǎn)圖時(shí)，第三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A．B．C．D．2.函數(shù)y＝1－sinx，x∈[0,2π]的大致圖象是()A． B．C． D．3．要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象（）A．關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱B．關(guān)于軸對(duì)稱C．關(guān)于軸對(duì)稱D．關(guān)于直線對(duì)稱4．要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象（）A．向上平移個(gè)單位B．向下平移個(gè)單位C．向上平移個(gè)單位D．向下平移個(gè)單位5．圖中的曲線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式是（）A． B．C． D．6．方程在內(nèi)（）A．沒(méi)有根B．有且僅有一個(gè)根C．有且僅有兩個(gè)根D．有無(wú)窮多個(gè)根二、填空題7．點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，則_______．8．函數(shù)的圖象和的圖象在內(nèi)的交點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_______．9．方程的實(shí)數(shù)解有_______________個(gè).10．關(guān)于三角函數(shù)的圖像，有下列說(shuō)法：①與的圖像相同；②與的圖像相同；③與圖像關(guān)于軸對(duì)稱；④與圖像關(guān)于軸對(duì)稱.其中正確的是__________.（寫出所有正確說(shuō)法的序號(hào)）三、解答題11．用五點(diǎn)法作下列函數(shù)的圖像.（1）；（2）.12．已知函數(shù)．（1）作出該函數(shù)的圖象；（2）若，求的值．【答案解析】一、選擇題1．利用五點(diǎn)法作函數(shù)的簡(jiǎn)圖時(shí)，第三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根據(jù)五點(diǎn)法作圖中起關(guān)鍵作用的五點(diǎn)的特征加以判斷.2.函數(shù)y＝1－sinx，x∈[0,2π]的大致圖象是()A． B．C． D．【答案】B【解析】根據(jù)五點(diǎn)得到，，，，，得到選B．3．要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象（）A．關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱B．關(guān)于軸對(duì)稱C．關(guān)于軸對(duì)稱D．關(guān)于直線對(duì)稱【答案】B【解析】由于與的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，所以要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱.4．要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象（）A．向上平移個(gè)單位B．向下平移個(gè)單位C．向上平移個(gè)單位D．向下平移個(gè)單位【答案】A【解析】要得到函數(shù)的圖象，這里，則只需將函數(shù)的圖象向上平移2個(gè)單位．5．圖中的曲線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】當(dāng)x>0,所以y=-sinx,又因?yàn)榇撕瘮?shù)為偶函數(shù)，所以y=－sin|x|.6．方程在內(nèi)（）A．沒(méi)有根B．有且僅有一個(gè)根C．有且僅有兩個(gè)根D．有無(wú)窮多個(gè)根【答案】C【解析】在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)及函數(shù)的圖象，如圖所示．發(fā)現(xiàn)有個(gè)交點(diǎn)，所以方程有個(gè)根．二、填空題7．點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，則_______．【答案】【解析】將點(diǎn)的坐標(biāo)代入，求得的值。8．函數(shù)的圖象和的圖象在內(nèi)的交點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_______．【答案】和【解析】作出函數(shù)和在上的圖像如下從圖像上可得：函數(shù)的圖象和的圖象在內(nèi)的交點(diǎn)坐標(biāo)為和；9．方程的實(shí)數(shù)解有_______________個(gè).【答案】2【解析】在區(qū)間上，分別畫出和的圖像如下圖所示，由圖可知，兩個(gè)函數(shù)圖像在區(qū)間上有兩個(gè)交點(diǎn)，也即的實(shí)數(shù)解有個(gè).故填：.10．關(guān)于三角函數(shù)的圖像，有下列說(shuō)法：①與的圖像相同；②與的圖像相同；③與圖像關(guān)于軸對(duì)稱；④與圖像關(guān)于軸對(duì)稱.其中正確的是__________.（寫出所有正確說(shuō)法的序號(hào)）【答案】②④【解析】對(duì)于②，，故其圖像相同；對(duì)于④，，故其圖像關(guān)于軸對(duì)稱；由函數(shù)圖像可知①③均不正確.故正確的說(shuō)法是②④.故填②④三、解答題11．用五點(diǎn)法作下列函數(shù)的圖像.（1）；（2）.【答案】（1）圖見(jiàn)解析（2）圖見(jiàn)解析【解析】（1）列表如下：作圖如下：（2）列表如下：作圖如下：12．已知函數(shù)．（1）作出該函數(shù)的圖象；（2）若，求的值．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）的值為或或．【解析】（1）作出函數(shù)的圖象，如圖①所示．（2）因?yàn)?，所以在圖①基礎(chǔ)上再作直線，如圖2所示，則由圖象，知當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，或．綜上，可知的值為或或．《正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)》分層同步練習(xí)（一）基礎(chǔ)鞏固1．若函數(shù)（）的最小正周期為,則（）A.5 B.10 C.15 D.202．若函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則的最小值為（）A. B. C. D.3．在內(nèi)使成立的的取值范圍是（）A. B.C. D.4．函數(shù)是（）A.最小正周期為的偶函數(shù) B.最小正周期為的奇函數(shù)C.最小正周期為的偶函數(shù) D.最小正周期為的奇函數(shù)5．已知函數(shù)，下面結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．函數(shù)的最小正周期為B．函數(shù)是偶函數(shù)C．函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱D．函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)6．比較大小：______cos（）7．已知函數(shù)是定義在上的周期為的奇函數(shù)，且，則___________.8．判斷下列函數(shù)的奇偶性：（1）（2）能力提升9．設(shè)，，，則（）A. B.C. D.10．函數(shù)為偶函數(shù)，則的最小值為_(kāi)_________．11．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為_(kāi)______________.12．已知函數(shù).（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值和最大值.素養(yǎng)達(dá)成13．已知關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案解析】基礎(chǔ)鞏固1．若函數(shù)（）的最小正周期為,則（）A.5 B.10 C.15 D.20【答案】B【解析】根據(jù)周期公式以及得,故選.2．若函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由f(x)＝sin（2x+φ），令2+φ＝kπ，（k∈z）得：φ，（k∈z）又φ＞0，所以k=1時(shí)則φmin，故選：C．3．在內(nèi)使成立的的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】∵，∴，∴.在同一坐標(biāo)系中畫出，與，的圖像，如圖.觀察圖像易得使成立的.故選A.4．函數(shù)是（）A.最小正周期為的偶函數(shù) B.最小正周期為的奇函數(shù)C.最小正周期為的偶函數(shù) D.最小正周期為的奇函數(shù)【答案】A【解析】依題意，所以最小正周期為，且為偶函數(shù).故選：A.5．已知函數(shù)，下面結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．函數(shù)的最小正周期為B．函數(shù)是偶函數(shù)C．函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱D．函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)【答案】C【解析】由函數(shù)可得它的最小正周期為，且是偶函數(shù)，故A，B中結(jié)論正確；當(dāng)時(shí)，，故的圖像不關(guān)于直線對(duì)稱，故C中結(jié)論錯(cuò)誤；在區(qū)間上，，函數(shù)是減函數(shù)，故D中結(jié)論正確．故選C．6．比較大?。篲_____cos（）【答案】＞【解析】cos（π）＝cos（﹣4π）＝cos（）＝cos，cos（π）＝cos（﹣4π）＝cos（）＝cos，∵y＝cosx在（0，π）上為減函數(shù)，∴coscos，即cos（π）＞cos（π）．故答案為：＞．7．已知函數(shù)是定義在上的周期為的奇函數(shù)，且，則___________.【答案】【解析】∵函數(shù)是定義在上的周期為的奇函數(shù)，∴.又∵，∴.8．判斷下列函數(shù)的奇偶性：（1）（2）【答案】（1）奇函數(shù)；（2）偶函數(shù)【解析】（1）依題意，，故函數(shù)為奇函數(shù).（2）令，函數(shù)的定義域?yàn)椋?，故函?shù)為偶函數(shù).能力提升9．設(shè)，，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】,因?yàn)榍沂菃握{(diào)遞減函數(shù)，所以，故選A10．函數(shù)為偶函數(shù)，則的最小值為_(kāi)_________．【答案】【解析】因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，所以，，故答案為：11．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為_(kāi)______________.【答案】【解析】依題意，對(duì)于函數(shù)，由，解得，令，得到函數(shù)區(qū)間上的單調(diào)遞增區(qū)間為和.也即求得的單調(diào)遞減區(qū)間為和.故填：.12．已知函數(shù).（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值和最大值.【答案】（Ⅰ）的遞調(diào)遞增區(qū)間為，；單調(diào)遞減區(qū)間為，.（Ⅱ）最小值和最大值分別為-1，.【解析】（Ⅰ）令，，得，，令，，得，，故函數(shù)的遞調(diào)遞增區(qū)間為，；單調(diào)遞減區(qū)間為，.（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，∴當(dāng)，即時(shí)，取得最大值，，當(dāng)，即時(shí)，取得最小值，，∴函數(shù)在區(qū)間上的最小值和最大值分別為-1，.素養(yǎng)達(dá)成13．已知關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】【解析】由，得，即．令（），則關(guān)于的方程在區(qū)間上有實(shí)數(shù)解．則，因?yàn)楣蕦?shí)數(shù)的取值范圍是．《正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)》同步練習(xí)（二）周期性與奇偶性[合格基礎(chǔ)練]一、選擇題1．下列函數(shù)中最小正周期為π的偶函數(shù)是()A．y＝sineq\f(x,2) B．y＝coseq\f(x,2)C．y＝cosx D．y＝cos2xD[A中函數(shù)是奇函數(shù)，B、C中函數(shù)的周期不是π，只有D符合題目要求．]2．設(shè)函數(shù)f(x)(x∈R)滿足f(－x)＝f(x)，f(x＋2)＝f(x)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象是()B[由f(－x)＝f(x)，則f(x)是偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱．由f(x＋2)＝f(x)，則f(x)的周期為2.故選B.]3．函數(shù)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,6)))的最小正周期為eq\f(π,5)，其中ω＞0，則ω等于()A．5B．10B[由已知得eq\f(2π,|ω|)＝eq\f(π,5)，又ω＞0，所以eq\f(2π,ω)＝eq\f(π,5)，ω＝10.]4．函數(shù)y＝|cosx|－1的最小正周期為()A.eq\f(π,2) B．πC．2π D．4πB[因?yàn)楹瘮?shù)y＝|cosx|－1的周期同函數(shù)y＝|cosx|的周期一致，由函數(shù)y＝|cosx|的圖象(略)知其最小正周期為π，所以y＝|cosx|－1的最小正周期也為π.]5．定義在R上的函數(shù)f(x)周期為π，且是奇函數(shù)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝1，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)))的值為()A．1B．－1B[由已知得f(x＋π)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)－π))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)))＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝－1.]二、填空題6．關(guān)于x的函數(shù)f(x)＝sin(x＋φ)有以下說(shuō)法：①對(duì)任意的φ，f(x)都是非奇非偶函數(shù)；②存在φ，使f(x)是偶函數(shù)；③存在φ，使f(x)是奇函數(shù)；④對(duì)任意的φ，f(x)都不是偶函數(shù)．其中錯(cuò)誤的是________(填序號(hào))．①④[φ＝0時(shí)，f(x)＝sinx，是奇函數(shù)，φ＝eq\f(π,2)時(shí)，f(x)＝cosx是偶函數(shù)．]7．若函數(shù)f(x)＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,3)))的最小正周期為T，且T∈(1,4)，則正整數(shù)ω的最大值為_(kāi)_______．6[T＝eq\f(2π,ω)，1＜eq\f(2π,ω)＜4，則eq\f(π,2)＜ω＜2π，∴ω的最大值是6.]8．若f(x)為奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＝cosx－sinx，當(dāng)x＜0時(shí)，f(x)的解析式為_(kāi)_______．f(x)＝－cosx－sinx[x＜0時(shí)，－x＞0，f(－x)＝cos(－x)－sin(－x)＝cosx＋sinx，因?yàn)閒(x)為奇函數(shù)，所以f(x)＝－f(－x)＝－cosx－sinx，即x＜0時(shí)，f(x)＝－cosx－sinx．]三、解答題9．已知函數(shù)y＝eq\f(1,2)sinx＋eq\f(1,2)|sinx|.(1)畫出函數(shù)的簡(jiǎn)圖；(2)此函數(shù)是周期函數(shù)嗎？若是，求其最小正周期．[解](1)y＝eq\f(1,2)sinx＋eq\f(1,2)|sinx|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinx，x∈[2kπ，2kπ＋π]k∈Z，,0，x∈[2kπ－π，2kπ]k∈Z，))圖象如下：(2)由圖象知該函數(shù)是周期函數(shù)，且周期是2π.10．判斷函數(shù)f(x)＝lg(sinx＋eq\r(1＋sin2x))的奇偶性．[解]∵f(－x)＝lg[sin(－x)＋eq\r(1＋sin2－x)]＝lg(eq\r(1＋sin2x)－sinx)＝lgeq\f(1＋sin2x－sin2x,\r(1＋sin2x)＋sinx)＝lg(sinx＋eq\r(1＋sin2x))－1＝－lg(sinx＋eq\r(1＋sin2x))＝－f(x)．又當(dāng)x∈R時(shí)，均有sinx＋eq\r(1＋sin2x)＞0，∴f(x)是奇函數(shù)．[等級(jí)過(guò)關(guān)練]1．函數(shù)f(x)＝eq\f(1＋sinx－cos2x,1＋sinx)是()A．奇函數(shù) B．偶函數(shù)C．非奇非偶函數(shù) D．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)C[由1＋sinx≠0得sinx≠－1，所以函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閑q\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x∈R\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠2kπ－\f(π,2)，k∈Z))))，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以f(x)是非奇非偶函數(shù)．]2．設(shè)函數(shù)f(x)＝sineq\f(π,3)x，則f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2019)＝()A.eq\f(\r(3),2) B．－eq\f(\r(3),2)C．0 D.eq\r(3)D[∵f(x)＝sineq\f(π,3)x的周期T＝eq\f(2π,\f(π,3))＝6，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2019)＝336[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)]＋f(2017)＋f(2018)＋f(2019)＝336sineq\f(π,3)＋sineq\f(2,3)π＋sinπ＋sineq\f(4,3)π＋sineq\f(5,3)π＋sin2π＋f(336×6＋1)＋f(336×6＋2)＋f(336×6＋3)＝336×0＋f(1)＋f(2)＝sineq\f(π,3)＋sineq\f(2,3)π＋sineq\f(3,3)π＝eq\r(3).]3．已知f(x)是定義在(－3,3)上的奇函數(shù)，當(dāng)0＜x＜3時(shí)，f(x)的圖象如圖所示，那么不等式f(x)cosx＜0的解集是______________________．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，－1))∪(0,1)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，3))[∵f(x)是(－3,3)上的奇函數(shù)，∴g(x)＝f(x)·cosx是(－3,3)上的奇函數(shù)，從而觀察圖象(略)可知所求不等式的解集為－eq\f(π,2)，－1∪(0,1)∪eq\f(π,2)，3.]4．設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)·f(x＋2)＝13.若f(1)＝2，則f(99)＝________.eq\f(13,2)[因?yàn)閒(x)·f(x＋2)＝13，所以f(x＋2)＝eq\f(13,fx)，所以f(x＋4)＝eq\f(13,fx＋2)＝eq\f(13,\f(13,fx))＝f(x)，所以函數(shù)f(x)是周期為4的周期函數(shù)，所以f(99)＝f(3＋4×24)＝f(3)＝eq\f(13,f1)＝eq\f(13,2).]5．已知函數(shù)f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))，若函數(shù)g(x)的最小正周期是π，且當(dāng)x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))時(shí)，g(x)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)))，求關(guān)于x的方程g(x)＝eq\f(\r(3),2)的解集．[解]當(dāng)x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))時(shí)，g(x)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3))).因?yàn)閤＋eq\f(π,3)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(5π,6)))，所以由g(x)＝eq\f(\r(3),2)解得x＋eq\f(π,3)＝－eq\f(π,6)或eq\f(π,6)，即x＝－eq\f(π,2)或－eq\f(π,6).又因?yàn)間(x)的最小正周期為π，所以g(x)＝eq\f(\r(3),2)的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(xeq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝kπ－\f(π,2)))或x＝kπ－eq\f(π,6)，k∈Z)).單調(diào)性與最值[合格基礎(chǔ)練]一、選擇題1．下列函數(shù)中，周期為π，且在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))上為減函數(shù)的是()A．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2))) B．y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))C．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2))) D．y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))A[對(duì)于選項(xiàng)A，注意到y(tǒng)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))＝cos2x的周期為π，且在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))上是減函數(shù)．]2．下列關(guān)系式中正確的是()A．sin11°<cos10°<sin168°B．sin168°<sin11°<cos10°C．sin11°<sin168°<cos10°D．sin168°<cos10°<sin11°C[由誘導(dǎo)公式，得cos10°＝sin80°，sin168°＝sin(180°－12°)＝sin12°，由正弦函數(shù)y＝sinx在[0°，90°]上是單調(diào)遞增的，所以sin11°<sin12°<sin80°，即sin11°<sin168°<cos10°.故選C.]3．函數(shù)f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))，x∈[－π，0]的單調(diào)遞增區(qū)間是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－π，－\f(5π,6))) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5π,6)，－\f(π,6)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，0)) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，0))D[令2kπ－eq\f(π,2)≤x－eq\f(π,3)≤2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，解得2kπ－eq\f(π,6)≤x≤2kπ＋eq\f(5,6)π，k∈Z，又－π≤x≤0，∴－eq\f(π,6)≤x≤0，故選D.]4．函數(shù)y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))的值域是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2))) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，1)) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))B[因?yàn)閤∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以x＋eq\f(π,6)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(2π,3)))，所以y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2))).]5．設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋φ＋\f(π,4)))(ω＞0，|φ|＜eq\f(π,2))的最小正周期為π，且是偶函數(shù)，則()A．f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))單調(diào)遞減B．f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(3π,4)))單調(diào)遞減C．f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))單調(diào)遞增D．f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(3π,4)))單調(diào)遞增A[由條件知ω＝2.∵f(x)是偶函數(shù)且|φ|＜eq\f(π,2)，∴φ＝eq\f(π,4)，這時(shí)f(x)＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))＝eq\r(2)cos2x.∵x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))時(shí)，2x∈(0，π)，∴f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上單調(diào)遞減．]二、填空題6．y＝acosx＋1的最大值為5，則a＝________.±4[∵|a|＋1＝5，∴|a|＝4，∴a＝±4.]7．將cos150°，sin470°，cos760°按從小到大排列為_(kāi)________．cos150°＜cos760°＜sin470°[cos150°＜0，sin470°＝sin110°＝cos20°＞0，cos760°＝cos40°＞0且cos20°＞cos40°，所以cos150°＜cos760°＜sin470°.]8．已知函數(shù)y＝sineq\f(πx,3)在區(qū)間[0，t]上至少取得2次最大值，則正整數(shù)t的最小值是________．8[因?yàn)門＝eq\f(2π,\f(π,3))＝6.所以在[0，＋∞)第一次出現(xiàn)最大值x＝eq\f(6,4)＝eq\f(3,2)，第二次出現(xiàn)最大值x＝eq\f(15,2)，所以t≥eq\f(15,2).又因?yàn)閠∈Z，所以t的最小值為8.]三、解答題9．求下列函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．(1)y＝eq\f(1,3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－x))，x∈[0，π]；(2)y＝logeq\f(1,2)sinx.[解](1)由y＝－eq\f(1,3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))的單調(diào)性，得eq\f(π,2)＋2kπ≤x－eq\f(π,6)≤eq\f(3π,2)＋2kπ，k∈Z，即eq\f(2π,3)＋2kπ≤x≤eq\f(5π,3)＋2kπ，k∈Z.又x∈[0，π]，故eq\f(2π,3)≤x≤π.即單調(diào)遞增區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，π)).(2)由sinx＞0，得2kπ＜x＜2kπ＋π，k∈Z，∴函數(shù)的定義域?yàn)?2kπ，2kπ＋π)(k∈Z)．設(shè)u＝sinx，則0＜u≤1，又y＝logeq\f(1,2)u是減函數(shù)，∴函數(shù)的值域?yàn)?0，＋∞)．∵eq\f(1,2)＜1，∴函數(shù)y＝logeq\f(1,2)sinx的遞增區(qū)間即為u＝sinx(sinx＞0)的遞減區(qū)間，故函數(shù)y＝logeq\f(1,2)sinx的遞增區(qū)間為2kπ＋eq\f(π,2)，2kπ＋π(k∈Z)．10．求下列函數(shù)的最大值和最小值．(1)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))；(2)y＝－2cos2x＋2sinx＋3，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(5π,6))).[解](1)當(dāng)x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))時(shí)，2x－eq\f(π,6)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(5π,6)))，由函數(shù)圖象(略)知，－eq\f(1,2)≤sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))≤1，所以，f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的最大值和最小值分別為1，－eq\f(1,2).(2)y＝－2(1－sin2x)＋2sinx＋3＝2sin2x＋2sinx＋1＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinx＋\f(1,2)))2＋eq\f(1,2).∵x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(5π,6)))，∴eq\f(1,2)≤sinx≤1.當(dāng)sinx＝1時(shí)，ymax＝5；當(dāng)sinx＝eq\f(1,2)時(shí)，ymin＝eq\f(5,2).[等級(jí)過(guò)關(guān)練]1．函數(shù)f(x)＝eq\f(1,5)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))的最大值為()A.eq\f(6,5) B．1C.eq\f(3,5) D.eq\f(1,5)A[∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－x))＝eq\f(π,2)，∴f(x)＝eq\f(1,5)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))＝eq\f(1,5)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－x))＝eq\f(1,5)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))＝eq\f(6,5)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))≤eq\f(6,5).∴f(x)max＝eq\f(6,5).故選A.]2．函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))|cosx|在[－π，π]上的單調(diào)遞減區(qū)間為()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0)) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))及eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π)) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))∪eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))C[在[－π，π]上，依據(jù)函數(shù)圖象的對(duì)稱性可知y＝|cosx|的單調(diào)遞增區(qū)間是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))及eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，而f(x)依|cosx|取值的遞增而遞減，故eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))及eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))為f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間．]3．函數(shù)y＝sinx的定義域?yàn)閇a，b]，值域?yàn)閑q\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)))，則b－a的最大值是________．eq\f(4π,3)[因?yàn)楹瘮?shù)y＝sinx，x∈[a，b]的最小值和最大值分別為－1和eq\f(1,2).不妨在一個(gè)區(qū)間[0,2π]內(nèi)研究，可知sineq\f(π,6)＝sineq\f(5π,6)＝eq\f(1,2)，sineq\f(3π,2)＝－1，結(jié)合圖象(略)可知(b－a)min＝eq\f(3π,2)－eq\f(5π,6)＝eq\f(2π,3)，(b－a)max＝eq\f(13π,6)－eq\f(5π,6)＝eq\f(4π,3).]4．若函數(shù)f(x)＝sinωx(0＜ω＜2)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))上單調(diào)遞增，在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))上單調(diào)遞減，則ω等于________．eq\f(3,2)[根據(jù)題意知f(x)在x＝eq\f(π,3)處取得最大值1，∴sineq\f(ωπ,3)＝1，∴eq\f(ωπ,3)＝2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，即ω＝6k＋eq\f(3,2)，k∈Z.又0＜ω＜2，∴ω＝eq\f(3,2).]5．已知函數(shù)f(x)＝sin(2x＋φ)，其中φ為實(shí)數(shù)，且|φ|＜π.若f(x)≤eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))))對(duì)x∈R恒成立，且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＞f(π)，求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間．[解]由f(x)≤eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))))對(duì)x∈R恒成立知，2·eq\f(π,6)＋φ＝2kπ±eq\f(π,2)(k∈Z)．∴φ＝2kπ＋eq\f(π,6)或φ＝2kπ－eq\f(5π,6)(k∈Z)．∵|φ|＜π，得φ＝eq\f(π,6)或φ＝－eq\f(5π,6)，又∵feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＞f(π)，∴φ＝－eq\f(5π,6)，由2kπ－eq\f(π,2)≤2x－eq\f(5π,6)≤2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，得f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,6)，kπ＋\f(2π,3)))(k∈Z)．《正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)》同步練習(xí)（三）一、選擇題1．函數(shù)，是()A．最小正周期為的奇函數(shù) B．最小正周期為的偶函數(shù)C．最小正周期為的奇函數(shù) D．最小正周期為的偶函數(shù)2．函數(shù)（）A．是奇函數(shù)B．是偶函數(shù)C．既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)D．是非奇非偶函數(shù)3．在內(nèi)，不等式的解集是（）A．B．C．D．4．函數(shù)的一個(gè)單調(diào)增區(qū)間是（）A．B．C．D．5．下列關(guān)系式中正確的是（）A．B．C．D．6．下列函數(shù)中，周期為，且在上為減函數(shù)的是（）A． B． C． D．二、填空題7．函數(shù)的最小正周期是_____________.8．如果函數(shù)y＝3cos(2x＋φ)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，那么|φ|的最小值為_(kāi)___________.9．f(x)＝2sinωx(0<ω<1)，在區(qū)間上的最大值是，則ω＝________.10．函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，則的取值范圍是________．三、解答題11．已知函數(shù)f(x)＝cos(2x－)，x∈R.(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[－，]上的最小值和最大值，并求出取得最值時(shí)x的值.12．設(shè)函數(shù)f(x)＝sin(2x＋φ)(－π<φ<0)，y＝f(x)圖象的一條對(duì)稱軸是直線x＝.(1)求φ；(2)求函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)增區(qū)間；(3)畫出函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[0，π]上的圖象．【答案解析】一、選擇題1．函數(shù)，是()A．最小正周期為的奇函數(shù) B．最小正周期為的偶函數(shù)C．最小正周期為的奇函數(shù) D．最小正周期為的偶函數(shù)【答案】A【解析】設(shè)則故函數(shù)函數(shù)，是奇函數(shù)，由故函數(shù)，是最小正周期為的奇函數(shù).故選A.2．函數(shù)（）A．是奇函數(shù)B．是偶函數(shù)C．既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)D．是非奇非偶函數(shù)【答案】A【解析】∵，∴,∴是奇函數(shù)．3．在內(nèi)，不等式的解集是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】畫出的草圖如下：因?yàn)?，所以，，即在?nèi)，滿足的是或.可知不等式的解集是.故選C.4．函數(shù)的一個(gè)單調(diào)增區(qū)間是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由圖象易得函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為，當(dāng)時(shí)，得為的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間．故選C.5．下列關(guān)系式中正確的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】∵，，由正弦函數(shù)的單調(diào)性得，即.6．下列函數(shù)中，周期為，且在上為減函數(shù)的是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意得，函數(shù)的周期為，只有C,D滿足題意，對(duì)于函數(shù)在上為增函數(shù)，函數(shù)在上為減函數(shù)，故選D.二、填空題7．函數(shù)的最小正周期是_____________.【答案】【解析】∵函數(shù)的周期為，∴函數(shù)的最小正周期，8．如果函數(shù)y＝3cos(2x＋φ)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，那么|φ|的最小值為_(kāi)___________.【答案】 【解析】∵函數(shù)y＝3cos（2x+）的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，∴，得，k∈Z，由此得．9．f(x)＝2sinωx(0<ω<1)，在區(qū)間上的最大值是，則ω＝________.【答案】【解析】函數(shù)f(x)的周期T＝，因此f(x)＝2sinωx在上是增函數(shù)，∵0<ω<1，∴是的子集，∴f(x)在上是增函數(shù)，∴＝，即2sin＝，∴ω＝，∴ω＝，故答案為.10．函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，則的取值范圍是________．【答案】【解析】因?yàn)樵谏鲜窃龊瘮?shù)，在上是減函數(shù)，所以只有時(shí)滿足條件，故．三、解答題11．已知函數(shù)f(x)＝cos(2x－)，x∈R.(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[－，]上的最小值和最大值，并求出取得最值時(shí)x的值.【答案】（1）π.，（2）最大值為，此時(shí)；最小值為，此時(shí)．【解析】(1)f(x)的最小正周期T＝＝＝π.當(dāng)2kπ≤2x－≤2kπ＋π，即kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z時(shí)，f(x)單調(diào)遞減，∴f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是[kπ＋，kπ＋]，k∈Z.(2)∵x∈[－，]，則2x－∈[－，]，故cos(2x－)∈[－，1]，∴f(x)max＝，此時(shí)2x－＝0，即x＝；f(x)min＝－1，此時(shí)2x－＝，即x＝12．設(shè)函數(shù)f(x)＝sin(2x＋φ)(－π<φ<0)，y＝f(x)圖象的一條對(duì)稱軸是直線x＝.(1)求φ；(2)求函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)增區(qū)間；(3)畫出函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[0，π]上的圖象．【答案】（1）；（2）；（3）圖象見(jiàn)解析.【解析】（I）∵，∴．∵，∴．（II）．由得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（Ⅲ）由知0010故函數(shù)在區(qū)間上的圖象如圖所示．《正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)》分層同步練習(xí)（一）基礎(chǔ)鞏固1．函數(shù)是()A.周期為的奇函數(shù) B.周期為的奇函數(shù)C.周期為的偶函數(shù) D.周期為的偶函數(shù)2．下列關(guān)于函數(shù)的結(jié)論正確的是（）A.是偶函數(shù) B.關(guān)于直線對(duì)稱C.最小正周期為 D.3．函數(shù)的定義域是（）A． B．C． D．4．下列函數(shù)中，同時(shí)滿足以下三個(gè)條件的是（）①在上為增函數(shù)；②最小正周期為；③是奇函數(shù).A. B. C. D.5．下面哪個(gè)點(diǎn)不是函數(shù)圖像的對(duì)稱點(diǎn)（）A. B. C. D.6．函數(shù)，的值域是________．7．與的大小關(guān)系是_______.8．求函數(shù)的值域．能力提升9．已知函數(shù)，其函數(shù)圖像的一個(gè)對(duì)稱中心是，則該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間可以是（）A. B. C. D.10．函數(shù)在，)上的大致圖象依次是下圖中的()A.①②③④ B.②①③④ C.①②④③ D.②①④③11．若函數(shù)在上是遞增函數(shù)，則的取值范圍是________12．設(shè)函數(shù)f(x)＝tan.(1)求函數(shù)f(x)的定義域、周期和單調(diào)區(qū)間；(2)求不等式－1≤f(x)≤的解集．素養(yǎng)達(dá)成13．已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的定義域；（2）用定義判斷函數(shù)的奇偶性；（3）在上作出函數(shù)的圖象．【答案解析】基礎(chǔ)鞏固1．函數(shù)是()A.周期為的奇函數(shù) B.周期為的奇函數(shù)C.周期為的偶函數(shù) D.周期為的偶函數(shù)【答案】A【解析】，即周期為,，即函數(shù)為奇函數(shù)本題正確選項(xiàng)：2．下列關(guān)于函數(shù)的結(jié)論正確的是（）A.是偶函數(shù) B.關(guān)于直線對(duì)稱C.最小正周期為 D.【答案】D【解析】函數(shù)是最小正周期為的奇函數(shù)，排除，正切函數(shù)是中心對(duì)稱圖形，不是軸對(duì)稱圖形，排除，，，則故選3．函數(shù)的定義域是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】由，得．故選C4．下列函數(shù)中，同時(shí)滿足以下三個(gè)條件的是（）①在上為增函數(shù)；②最小正周期為；③是奇函數(shù).A. B. C. D.【答案】D【解析】對(duì)于A選項(xiàng)中的函數(shù)，該函數(shù)在上為增函數(shù)，最小正周期為，且為奇函數(shù)，A選項(xiàng)中的函數(shù)不符合條件；對(duì)于B選項(xiàng)中的函數(shù)，該函數(shù)上為減函數(shù)，最小正周期為，且為偶函數(shù)，B選項(xiàng)中的函數(shù)不符合條件；對(duì)于C選項(xiàng)中的函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則該函數(shù)在上為減函數(shù)，最小正周期為，且為奇函數(shù)，C選項(xiàng)中的函數(shù)不符合條件；對(duì)于D選項(xiàng)中的函數(shù)，該函數(shù)在上為增函數(shù)，最小正周期為，且為奇函數(shù)，D選項(xiàng)中的函數(shù)符合條件.故選：D.5．下面哪個(gè)點(diǎn)不是函數(shù)圖像的對(duì)稱點(diǎn)（）A. B. C. D.【答案】C【解析】函數(shù)的對(duì)稱中心橫坐標(biāo)滿足：，解得：，令可得：，則選項(xiàng)A中的點(diǎn)是函數(shù)的對(duì)稱點(diǎn)；令可得：，則選項(xiàng)B中的點(diǎn)是函數(shù)的對(duì)稱點(diǎn)；令可得：，則選項(xiàng)D中的點(diǎn)是函數(shù)的對(duì)稱點(diǎn)；注意到?jīng)]有整數(shù)解，故不是函數(shù)的對(duì)稱點(diǎn).故選：C.6．函數(shù)，的值域是________．【答案】【解析】因?yàn)楹瘮?shù)在單調(diào)遞增，所以，，故函數(shù)的值域?yàn)?7．與的大小關(guān)系是_______.【答案】【解析】.∵，∴，即.8．求函數(shù)的值域．【答案】【解析】設(shè)，則，所以的值域是．故答案為：．能力提升9．已知函數(shù)，其函數(shù)圖像的一個(gè)對(duì)稱中心是，則該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間可以是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】為函數(shù)的對(duì)稱中心，解得：，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不單調(diào)，錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不單調(diào)，錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不單調(diào)，錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增，正確本題正確選項(xiàng)：10．函數(shù)在，)上的大致圖象依次是下圖中的()A.①②③④ B.②①③④ C.①②④③ D.②①④③【答案】C【解析】對(duì)應(yīng)的圖象為①，對(duì)應(yīng)的圖象為②，對(duì)應(yīng)的圖象為④，對(duì)應(yīng)的圖象為③.故選C.11．若函數(shù)在上是遞增函數(shù)，則的取值范圍是________【答案】【解析】由于數(shù)在上是遞增函數(shù)，所以.由，則，由正切函數(shù)的遞增區(qū)間可知：，所以，，由于，故取，所以.故填：.12．設(shè)函數(shù)f(x)＝tan.(1)求函數(shù)f(x)的定義域、周期和單調(diào)區(qū)間；(2)求不等式－1≤f(x)≤的解集．【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間是;(2)解集是.【解析】(1)由－≠＋kπ(k∈Z)，得x≠＋2kπ(k∈Z)，所以函數(shù)f(x)的定義域是.因?yàn)棣兀?，所以周期T＝＝2π.由－＋kπ<－<＋kπ(k∈Z)，得－＋2kπ<x<＋2kπ(k∈Z)．所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(k∈Z)．(2)由－1≤tan≤，得－＋kπ≤－≤＋kπ(k∈Z)．解得＋2kπ≤x≤＋2kπ(k∈Z)．所以不等式－1≤f(x)≤的解集是.素養(yǎng)達(dá)成13．已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的定義域；（2）用定義判斷函數(shù)的奇偶性；（3）在上作出函數(shù)的圖象．【答案】（1）；（2）奇函數(shù),見(jiàn)解析；(3)見(jiàn)解析【解析】（1）由,得（）,所以函數(shù)的定義域是.（2）由（1）知函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,因?yàn)?所以是奇函數(shù).（3）,所以在上的圖象如圖所示,《正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)》同步練習(xí)（二）[合格基礎(chǔ)練]一、選擇題1．函數(shù)y＝|x|tan2x是()A．奇函數(shù)B．偶函數(shù)C．非奇非偶函數(shù)D．既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)A[易知2x≠kπ＋eq\f(π,2)，即x≠eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,4)，k∈Z，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．又|－x|tan(－2x)＝－|x|tan2x，∴y＝|x|tan2x是奇函數(shù)．]2．下列各式中正確的是()A．tan735°＞tan800° B．tan1＞－tan2C．taneq\f(5π,7)＜taneq\f(4π,7) D．taneq\f(9π,8)＜taneq\f(π,7)D[對(duì)于A，tan735°＝tan15°，tan800°＝tan80°，tan15°＜tan80°，所以tan735°＜tan800°；對(duì)于B，－tan2＝tan(π－2)，而1＜π－2＜eq\f(π,2)，所以tan1＜－tan2；對(duì)于C，eq\f(π,2)＜eq\f(4π,7)＜eq\f(5π,7)＜π，taneq\f(4π,7)＜taneq\f(5π,7)；對(duì)于D，taneq\f(9π,8)＝taneq\f(π,8)＜taneq\f(π,7).]3．函數(shù)y＝tan(cosx)的值域是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,4))) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)))C．[－tan1，tan1] D．以上都不對(duì)C[cosx∈[－1,1]，y＝tanx在[－1,1]上是增函數(shù)，所以y＝tan(cosx)的值域是[－tan1，tan1]．]4．與函數(shù)y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))的圖象不相交的一條直線是()A．x＝eq\f(π,2) B．x＝－eq\f(π,2)C．x＝eq\f(π,4) D．x＝eq\f(π,8)D[當(dāng)x＝eq\f(π,2)時(shí)，y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))＝taneq\f(5π,4)＝1；當(dāng)x＝－eq\f(π,2)時(shí)，y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3π,4)))＝1；當(dāng)x＝eq\f(π,4)時(shí)，y＝taneq\f(3π,4)＝－1；當(dāng)x＝eq\f(π,8)時(shí)，y＝taneq\f(π,2)不存在．]5．方程taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))＝eq\r(3)在區(qū)間[0,2π)上的解的個(gè)數(shù)是()A．5B．4B[由taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))＝eq\r(3)，得2x＋eq\f(π,3)＝eq\f(π,3)＋kπ，k∈Z，所以x＝eq\f(kπ,2)，k∈Z，又x∈[0,2π)，所以x＝0，eq\f(π,2)，π，eq\f(3π,2)，故選B.]二、填空題6．函數(shù)y＝eq\r(－tanx)＋eq\r(cosx)的定義域?yàn)開(kāi)_______．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,2)＜x≤2kπ，k∈Z))))[由題意得，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－tanx≥0，,cosx≥0，))所以2kπ－eq\f(π,2)＜x≤2kπ，k∈Z，所以函數(shù)y＝eq\r(－tanx)＋eq\r(cosx)的定義域?yàn)閑q\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,2)＜x≤2kπ，k∈Z)))).]7．函數(shù)y＝|tanx|，y＝tanx，y＝tan(－x)，y＝tan|x|在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3π,2)，\f(3π,2)))上的大致圖象依次是________(填序號(hào))．①②④③[∵|tanx|≥0，∴圖象在x軸上方，∴y＝|tanx|對(duì)應(yīng)①；∵tan|x|是偶函數(shù)，∴圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，∴y＝tan|x|對(duì)應(yīng)③；而y＝tan(－x)與y＝tanx關(guān)于y軸對(duì)稱，∴y＝tan(－x)對(duì)應(yīng)④，y＝tanx對(duì)應(yīng)②，故四個(gè)圖象依次是①②④③.]8．f(x)＝asinx＋btanx＋1，滿足f(5)＝7，則f(－5)＝________.－5[∵f(5)＝asin5＋btan5＋1＝7，∴asin5＋btan5＝6，∴f(－5)＝asin(－5)＋btan(－5)＋1＝－(asin5＋btan5)＋1＝－6＋1＝－5.]三、解答題9．已知函數(shù)f(x)＝3taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－\f(x,4))).(1)求它的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；(2)試比較f(π)與feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)))的大?。甗解](1)因?yàn)閒(x)＝3taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－\f(x,4)))＝－3taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,4)－\f(π,6)))，所以T＝eq\f(π,ω)＝eq\f(π,\f(1,4))＝4π.由kπ－eq\f(π,2)＜eq\f(x,4)－eq\f(π,6)＜kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，得4kπ－eq\f(4π,3)＜x＜4kπ＋eq\f(8π,3)(k∈Z)．因?yàn)閥＝3taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,4)－\f(π,6)))在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4kπ－\f(4π,3)，4kπ＋\f(8π,3)))(k∈Z)上單調(diào)遞增，所以f(x)＝3taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－\f(x,4)))在4kπ－eq\f(4π,3)，4kπ＋eq\f(8π,3)(k∈Z)上單調(diào)遞減．故函數(shù)的最小正周期為4π，單調(diào)遞減區(qū)間為4kπ－eq\f(4π,3)，4kπ＋eq\f(8π,3)(k∈Z)．(2)f(π)＝3taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－\f(π,4)))＝3taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,12)))＝－3taneq\f(π,12)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)))＝3taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－\f(3π,8)))＝3taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5π,24)))＝－3taneq\f(5π,24)，因?yàn)閑q\f(π,12)＜eq\f(5π,24)，且y＝tanx在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上單調(diào)遞增，所以taneq\f(π,12)＜taneq\f(5π,24)，所以f(π)＞feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2))).10．已知函數(shù)f(x)＝2taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kx－\f(π,3)))的最小正周期T滿足1＜T＜eq\f(3,2)，求正整數(shù)k的值，并寫出f(x)的奇偶性、單調(diào)區(qū)間．[解]因?yàn)?＜T＜eq\f(3,2)，所以1＜eq\f(π,k)＜eq\f(3,2)，即eq\f(2π,3)＜k＜π.因?yàn)閗∈N*，所以k＝3，則f(x)＝2taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(π,3)))，由3x－eq\f(π,3)≠eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z得x≠eq\f(5π,18)＋eq\f(kπ,3)，k∈Z，定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以f(x)＝2taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(π,3)))是非奇非偶函數(shù)．由－eq\f(π,2)＋kπ＜3x－eq\f(π,3)＜eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z，得－eq\f(π,18)＋eq\f(kπ,3)＜x＜eq\f(5π,18)＋eq\f(kπ,3)，k∈Z.所以f(x)＝2taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(π,3)))的單調(diào)增區(qū)間為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,18)＋\f(kπ,3)，\f(5π,18)＋\f(kπ,3)))，k∈Z.[等級(jí)過(guò)關(guān)練]1．函數(shù)y＝tanx＋sinx－|tanx－sinx|在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\