浙教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)基礎(chǔ)知識(shí)專項(xiàng)講練 專題1.10 二次根式（全章復(fù)習(xí)與鞏固）（知識(shí)講解）（附參考答案）

專題1.10二次根式（全章復(fù)習(xí)與鞏固）（知識(shí)講解）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、理解并掌握二次根式、最簡(jiǎn)二次根式、同類二次根式的定義和性質(zhì).2、熟練掌握二次根式的加、減、乘、除運(yùn)算，會(huì)用它們進(jìn)行有關(guān)實(shí)數(shù)的四則運(yùn)算.3、了解代數(shù)式的概念，進(jìn)一步體會(huì)代數(shù)式在表示數(shù)量關(guān)系方面的作用.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、二次根式的相關(guān)概念和性質(zhì)1.二次根式形如的式子叫做二次根式，如等式子，都叫做二次根式.特別說明：二次根式有意義的條件是，即只有被開方數(shù)時(shí)，式子才是二次根式，才有意義.2.二次根式的性質(zhì)

特別說明：（1）一個(gè)非負(fù)數(shù)可以寫成它的算術(shù)平方根的平方的形式，即（），如（）.（2）中的取值范圍可以是任意實(shí)數(shù)，即不論取何值，一定有意義.（3）化簡(jiǎn)時(shí)，先將它化成，再根據(jù)絕對(duì)值的意義來進(jìn)行化簡(jiǎn).（4）與的異同不同點(diǎn)：中可以取任何實(shí)數(shù)，而中的必須取非負(fù)數(shù)；=，=（）.相同點(diǎn)：被開方數(shù)都是非負(fù)數(shù)，當(dāng)取非負(fù)數(shù)時(shí)，=.3.最簡(jiǎn)二次根式（1）被開方數(shù)是整數(shù)或整式；（2)被開方數(shù)中不含能開方的因數(shù)或因式.滿足上述兩個(gè)條件的二次根式，叫做最簡(jiǎn)二次根式.如等都是最簡(jiǎn)二次根式.特別說明：最簡(jiǎn)二次根式有兩個(gè)要求：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)中每個(gè)因式的指數(shù)都小于根指數(shù)2.4.同類二次根式幾個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式后，被開方數(shù)相同，這幾個(gè)二次根式就叫同類二次根式.特別說明：判斷是否是同類二次根式，一定要化簡(jiǎn)到最簡(jiǎn)二次根式后，看被開方數(shù)是否相同，再判斷.如與，由于=，與顯然是同類二次根式.要點(diǎn)二、二次根式的運(yùn)算1.乘除法（1）乘除法法則：類型法則逆用法則二次根式的乘法積的算術(shù)平方根化簡(jiǎn)公式：二次根式的除法商的算術(shù)平方根化簡(jiǎn)公式：特別說明：（1）當(dāng)二次根式的前面有系數(shù)時(shí)，可類比單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘（或相除）的法則，如.（2）被開方數(shù)a、b一定是非負(fù)數(shù)（在分母上時(shí)只能為正數(shù)）.如.2.加減法將二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式后，將同類二次根式的系數(shù)相加減，被開方數(shù)和根指數(shù)不變，即合并同類二次根式.特別說明：二次根式相加減時(shí)，要先將各個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，再找出同類二次根式，最后合并同類二次根式.如.【典型例題】類型一、二次根式??概念??有意義條件??二次根式的性質(zhì)1．(2023春·四川樂山·九年級(jí)統(tǒng)考期中）已知實(shí)數(shù)、滿足，求的值．【答案】【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件可得，進(jìn)而可得出，然后可得，從而得出的結(jié)果．解：由題意可知，解得：，則，∴【點(diǎn)撥】本題主要考查了二次根式有意義的條件及負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算，關(guān)鍵是掌握二次根式中被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】(2023秋·上?！て吣昙?jí)?？计谥校┗?jiǎn)：．【答案】【分析】首先根據(jù)題意，由二次根式存在性可得，，化簡(jiǎn)得，再由a的取值范圍，求得，化簡(jiǎn)及，最后進(jìn)行整式運(yùn)算即可．解：∵，∴，∴，∴，，原式===【點(diǎn)撥】本題考查了二次根式的存在性，絕對(duì)值的化簡(jiǎn)，根式的化簡(jiǎn)，掌握二次根式的存在性及正確化簡(jiǎn)是解題的關(guān)鍵．【變式2】(2023秋·江蘇南通·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知，且x為偶數(shù)，求的值．【答案】【分析】首先根據(jù)二次根式有意義的條件和分式有意義的條件解不等式組，可求得x的范圍，然后根據(jù)x是偶數(shù)即可確定x的值，然后對(duì)所求的式子進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后代入求解即可．解：由題意得，解得：6＜x≤9，∵x為偶數(shù)，∴x＝8．∵原式＝（1+x）＝（x+1）=．∴當(dāng)x＝8時(shí)，原式=．【點(diǎn)撥】本題主要考查了二次根式，分式，不等式組，熟練掌握二次根式有意義的條件，分式有意義的條件，解不等式組，二次根式的化簡(jiǎn)求值，是解決問題的關(guān)鍵．2．(2023·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）已知a、b、c是三角形的三邊，化簡(jiǎn)：．【答案】【分析】根據(jù)三角形三邊關(guān)系確定出每個(gè)括號(hào)內(nèi)的正負(fù)，然后根據(jù)二次根式的性質(zhì)去根號(hào)即可．解：∵a，b，c為三角形三邊，∴，，，，∴．【點(diǎn)撥】本題主要考查二次根式的化簡(jiǎn)，整式加減運(yùn)算，三角形的三邊關(guān)系的應(yīng)用，掌握三角形的三邊關(guān)系，是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】(2023·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）比較和的大?。ㄆ椒椒ǎ敬鸢浮俊痉治觥坷闷椒椒?，即可比較出大?。猓?，，，，又，，．【點(diǎn)撥】本題考查了無理數(shù)大小的比較方法，積的乘方運(yùn)算，利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)，熟練掌握和運(yùn)用無理數(shù)大小的比較方法是解決本題的關(guān)鍵．【變式2】(2023春·山東棗莊·八年級(jí)統(tǒng)考期中）一天老師在黑板上出示：求代數(shù)式的值，其中．如圖是小明和小芳的解答過程：的解法是錯(cuò)誤的；求代數(shù)式的值，其中．【答案】(1)小亮 (2)2028【分析】（1）根據(jù)二次根式的非負(fù)性可判斷小亮的解法是錯(cuò)誤的；（2）根據(jù)二次根式的非負(fù)性化簡(jiǎn)原式并代值求解即可．（1）解：∵，∴，，∴小亮的解法是錯(cuò)誤的，故答案為：小亮；（2）解：∵，∴．【點(diǎn)撥】本題考查二次根式的性質(zhì)、代數(shù)式求值，熟記完全平方公式，掌握二次根式的非負(fù)性是解答的關(guān)鍵．類型二、二次根式??相關(guān)概念??最簡(jiǎn)二次根式??同類二次根式3．(2023·全國(guó)·八年級(jí)假期作業(yè)）已知最簡(jiǎn)二次根式與是同類二次根式，求的值．【答案】1【分析】根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式和同類二次根式的定義求得a，b的值，再代入計(jì)算即可；解：∵最簡(jiǎn)二次根式與是同類二次根式，∴，解得：，∴（a+b）a＝（0+2）0＝1；【點(diǎn)撥】本題考查了最簡(jiǎn)二次根式的定義：被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，字母因式是整式，被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或因式；還考查了二元一次方程組和零指數(shù)冪；掌握最簡(jiǎn)二次根式的定義是解題關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】(2023秋·山東濟(jì)南·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如果最簡(jiǎn)二次根式與同類二次根式，且，求x，y的值．【答案】x=4，y=3．【分析】根據(jù)同類二次根式的概念列式求出a，根據(jù)算術(shù)平方根的非負(fù)性計(jì)算即可．解：∵最簡(jiǎn)二次根式與同類二次根式，∴3a+4=19-2a，解得，a=3，∴，即∵≥0，≥0，∴12-3x=0，y-3=0，解得，x=4，y=3．【點(diǎn)撥】本題考查的是最簡(jiǎn)二次根式、同類二次根式的概念以及二次根式的性質(zhì)，掌握二次根式是非負(fù)數(shù)是解題的關(guān)鍵．【變式2】(2023春·廣東梅州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）閱讀下面的解題過程：已知為正整數(shù)，且與能合并，試寫出三個(gè)滿足條件的的值．解：因?yàn)榕c能合并，所以為正整數(shù)）．所以，所以．又為正整數(shù)，所以為偶數(shù)，所以為奇數(shù)．所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以滿足條件的的值可以為3、31、87．（也可取為其他正奇數(shù)，得出不同的答案）請(qǐng)根據(jù)上面的信息，回答問題：已知為正整數(shù)，且與能合并，試寫出三個(gè)滿足條件的的值．【答案】1，21，61（答案不唯一）【分析】根據(jù)同類二次根式的定義，與能合并，所以它們是同類二次根式，然后模仿例題的過程解答即可．解：與能合并，為正整數(shù)），，，又為正整數(shù)，為偶數(shù)，為奇數(shù)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以滿足條件的的值可以為1、21、61．（也可取為其他正奇數(shù)，得出不同的答案）．【點(diǎn)撥】本題考查了同類二次根式，掌握同類二次根式的定義是解題的關(guān)鍵，一般地，把幾個(gè)二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式后，如果它們的被開方數(shù)相同，就把這幾個(gè)二次根式叫做同類二次根式．類型三、二次根式??二次根式的乘除??運(yùn)算??化簡(jiǎn)4．(2023春·上?！ぐ四昙?jí)?？茧A段練習(xí)）【答案】【分析】根據(jù)二次根式的乘除計(jì)算法則和化簡(jiǎn)法則求解即可．解：原式【點(diǎn)撥】此題主要考查了二次根式的乘除運(yùn)算和二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，正確化簡(jiǎn)二次根式是解題關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】(2023春·廣東惠州·九年級(jí)校考開學(xué)考試）計(jì)算：；（2）；（3）．【答案】(1) (2)1 (3)18【分析】（1）先把各二次根式化簡(jiǎn)，再按照從左至右的順序進(jìn)行運(yùn)算即可；（2）先把被開方數(shù)中的帶分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)，再按照從左至右的順序進(jìn)行運(yùn)算即可；（3）按照從左至右的運(yùn)算順序進(jìn)行乘除運(yùn)算即可．（1）解：（2）＝1；（3）＝18．【點(diǎn)撥】本題考查的是二次根式的乘除混合運(yùn)算，掌握“二次根式的乘除運(yùn)算的運(yùn)算法則與運(yùn)算順序”是解本題的關(guān)鍵．【變式2】(2023秋·江蘇無錫·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）計(jì)算；（2）【答案】(1) (2)【分析】（1）先將根號(hào)下的帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù)，然后跟號(hào)外與跟號(hào)外相乘，根號(hào)內(nèi)與根號(hào)內(nèi)相乘即可；（2）先將根號(hào)進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后跟號(hào)外與跟號(hào)外相乘除，根號(hào)內(nèi)與根號(hào)內(nèi)相乘除即可；（1）解：原式===（2）解：原式===【點(diǎn)撥】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握二次根式混合運(yùn)算的運(yùn)算法則．類型四、二次根式??二次根式的加減??運(yùn)算??化簡(jiǎn)5．(2023春·上?！ぐ四昙?jí)?？茧A段練習(xí)）計(jì)算：【答案】【分析】先根據(jù)二次根式性質(zhì)化簡(jiǎn)，再結(jié)合去括號(hào)法則及二次根式混合運(yùn)算逐步計(jì)算，最后合并同類二次根式即可得到答案．解：．【點(diǎn)撥】本題考查二次根式混合運(yùn)算，涉及二次根式性質(zhì)化簡(jiǎn)、去括號(hào)法則、二次根式加減乘除運(yùn)算法則及合并同類二次根式等知識(shí)，熟練掌握二次根式混合運(yùn)算法則是解決問題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】(2023春·重慶北碚·八年級(jí)西南大學(xué)附中校考階段練習(xí)）計(jì)算下列各題；；（2）【答案】(1) (2)【分析】（1）先利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)各個(gè)根式，再合并同類二次根式即可求解；（2）先利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)各個(gè)根式，再合并同類二次根式即可求解．（1）解：；（2）解：．【點(diǎn)撥】本題考查二次根式的性質(zhì)及加減運(yùn)算，正確化簡(jiǎn)各個(gè)二次根式是解答的關(guān)鍵．【變式2】(2023春·全國(guó)·八年級(jí)期末）計(jì)算：；（2）．【答案】(1) (2)【分析】（1）先計(jì)算乘方與開方，再計(jì)算加減即可；（2）先求絕對(duì)值，再去括號(hào)，然后合并同類二次根式即可（1）解：原式；（2）解：原式．【點(diǎn)撥】本題考查實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，二次根式的加減運(yùn)算，絕對(duì)值，熟練掌握實(shí)數(shù)法則和合并同類二次根式法則是解題的關(guān)鍵．類型五、二次根式??二次根式的混合運(yùn)算??運(yùn)算??化簡(jiǎn)6．(2023秋·重慶渝中·八年級(jí)重慶市第二十九中學(xué)校?？计谥校┯?jì)算．；（2）．【答案】(1) (2)【分析】（1）由題意先把二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式，然后合并即可；（2）利用二次根式的乘法法則和完全平方公式計(jì)算．（1）解：原式．（2）解：原式．【點(diǎn)撥】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，完全平方公式，在二次根式的混合運(yùn)算中，解題的關(guān)鍵是結(jié)合題目特點(diǎn)，靈活運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑．舉一反三：【變式1】(2023春·四川攀枝花·九年級(jí)統(tǒng)考期中）計(jì)算題【答案】(1) (2)【分析】（1）根據(jù)零指數(shù)冪，負(fù)整數(shù)冪以及二次根式的運(yùn)算，求解即可；（2）根據(jù)二次根式的運(yùn)算求解即可．（1）解： ；（2）解：【點(diǎn)撥】此題考查了二次根式的混合運(yùn)算，零指數(shù)冪，負(fù)整數(shù)冪等運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則．【變式2】(2023春·河南平頂山·八年級(jí)統(tǒng)考期中）計(jì)算：（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】(1) (2)8 (3) (4)0【分析】（1）直接利用絕對(duì)值的性質(zhì)以及二次根式的性質(zhì)、零指數(shù)冪的性質(zhì)分別化簡(jiǎn)，進(jìn)而得出答案；（2）直接利用立方根的性質(zhì)以及二次根式的性質(zhì)分別化簡(jiǎn)，進(jìn)而得出答案；（3）直接利用絕對(duì)值的性質(zhì)以及有理數(shù)的乘方運(yùn)算法則分別化簡(jiǎn)，進(jìn)而得出答案；（4）直接利用二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，再利用二次根式的除法運(yùn)算法則計(jì)算，進(jìn)而得出答案．解：（1）原式；（2）原式=8；（3）原式；（4）原式．【點(diǎn)撥】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．7．(2023春·上海靜安·八年級(jí)?？计谥校┫然?jiǎn)：，再求當(dāng)，時(shí)的值．【答案】原式，當(dāng)，時(shí)，原式【分析】根據(jù)二次根式的運(yùn)算法則，將代數(shù)式進(jìn)行化簡(jiǎn)，再代入求值即可．解：原式，當(dāng)，時(shí)，原式．【點(diǎn)撥】本題主要考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值，解題的關(guān)鍵是掌握二次根式的混合運(yùn)算法則和運(yùn)算順序，以及運(yùn)用平方差公式．舉一反三：【變式1】(2023春·上海奉賢·八年級(jí)校考期中）化簡(jiǎn)并求值：已知，求的值．【答案】；5【分析】將的值分子分母同時(shí)乘以化簡(jiǎn)，把所求式子配方變形，將的值代入計(jì)算即可得到結(jié)果．解：∵，∴．【點(diǎn)撥】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值，涉及的知識(shí)有：分母有理化，完全平方公式，以及配方法的應(yīng)用，是一道技巧性較強(qiáng)的試題．【變式2】(2023秋·安徽安慶·八年級(jí)安徽省安慶市外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？计谥校┮阎?，求的值．【答案】18【分析】先將條件變形為：，，然后將結(jié)論變形，最后將化簡(jiǎn)后的條件代入變形后的式子就可以求出其值．解：∵，，∴，，∴ab＝1，，∴．【點(diǎn)撥】本題主要考查了二次根式的分母有理化，完全平方公式的運(yùn)用，正確求出，是解答本題的關(guān)鍵．類型六、二次根式??綜合與拓展8．(2023春·江西撫州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）小明在做二次根式的化簡(jiǎn)時(shí)，遇到了比較復(fù)雜的二次根式，通過資料的查詢，他得到了該二次根式的化簡(jiǎn)過程如下＝＝=結(jié)合以上化簡(jiǎn)過程，請(qǐng)你動(dòng)手嘗試化簡(jiǎn)．善于動(dòng)腦的小明繼續(xù)探究：當(dāng)a，b，m，n為正整數(shù)時(shí)，若，則，所以，若，且a，m，n為正整數(shù)，；求a，m，n的值．【答案】(1) (2)【分析】（1）根據(jù)閱讀材料和完全平方公式以及二次根式的性質(zhì)解答；（2）先將展開，然后與對(duì)邊得到、，再根據(jù)確定m、n的值，進(jìn)而求得a的值．（1）解：==．（2）解：∵∴，∵∴，，．【點(diǎn)撥】本題主要考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值、完全平方公式等知識(shí)點(diǎn)，掌握二次根式的性質(zhì)和完全平方公式是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】(2023秋·廣西南寧·八年級(jí)統(tǒng)考期中）【閱讀材料】賓賓在學(xué)習(xí)二次根式時(shí)，發(fā)現(xiàn)一些含根號(hào)的式子可以化成另一個(gè)式子的