高中物理帶電粒子在有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的臨界問(wèn)題、極值問(wèn)題和多解問(wèn)題

第4節(jié)帶電粒子在有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的臨界極值問(wèn)題和多解問(wèn)題

相切越長(zhǎng)1．剛好穿出磁場(chǎng)邊界的條件是帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡與邊界________.2．當(dāng)速度v一定時(shí)，弧長(zhǎng)(或弦長(zhǎng))越長(zhǎng)，圓周角越大，那么帶電粒子在有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間________.一、帶電粒子在有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的臨界極值問(wèn)題3．當(dāng)速率v變化時(shí)，圓周角大的，運(yùn)動(dòng)時(shí)間_____.長(zhǎng)1．解決此類問(wèn)題關(guān)鍵是找準(zhǔn)臨界點(diǎn)，審題應(yīng)抓住題目中的“恰好”“最大”“最高”“至少”等詞語(yǔ)作為突破口，挖掘隱含條件，分析可能的情況，如有必要那么畫出幾個(gè)不同半徑相應(yīng)的軌跡圖，從而分析出臨界條件．尋找臨界點(diǎn)的兩種有效方法：規(guī)律方法(2)軌跡圓的旋轉(zhuǎn)：當(dāng)粒子的入射速度大小確定而方向不確定時(shí)，所有不同方向入射的粒子的軌跡圓是一樣大的，只是位置繞入射點(diǎn)發(fā)生了旋轉(zhuǎn)，從定圓的動(dòng)態(tài)旋轉(zhuǎn)(作圖)中，也容易發(fā)現(xiàn)“臨界點(diǎn)”．(1)軌跡圓的縮放：當(dāng)粒子的入射方向不變而速度大小可變時(shí)，粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡圓心一定在入射點(diǎn)所受洛倫茲力所表示的射線上，但位置(半徑R)不確定，用圓規(guī)作出一系列大小不同的軌跡圓，從圓的動(dòng)態(tài)變化中即可發(fā)現(xiàn)“臨界點(diǎn)”．2．要重視分析時(shí)的尺規(guī)作圖，標(biāo)準(zhǔn)而準(zhǔn)確的作圖可突出幾何關(guān)系，使抽象的物理問(wèn)題更形象、直觀．

3.找臨界點(diǎn)的方法，常用結(jié)論如下:〔1〕剛好穿出磁場(chǎng)邊界的條件是帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡與邊界相切.〔2〕當(dāng)速度v一定時(shí),弧長(zhǎng)〔或弦長(zhǎng)〕越長(zhǎng),圓周角越大,那么帶電粒子在有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間越長(zhǎng).〔3〕當(dāng)速率v變化時(shí),圓周角大的,運(yùn)動(dòng)時(shí)間越長(zhǎng).一、帶電粒子在平行直線邊界磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)①速度較小時(shí)，作半圓運(yùn)動(dòng)后從原邊界飛出；②速度增加為某臨界值時(shí)，粒子作局部圓周運(yùn)動(dòng)其軌跡與另一邊界相切；③速度較大時(shí)粒子作局部圓周運(yùn)動(dòng)后從另一邊界飛出SBPQ圓心在磁場(chǎng)原邊界上SPQ①速度較小時(shí)，作圓周運(yùn)動(dòng)通過(guò)射入點(diǎn)；②速度增加為某臨界值時(shí)，粒子作圓周運(yùn)動(dòng)其軌跡與另一邊界相切；③速度較大時(shí)粒子作局部圓周運(yùn)動(dòng)后從另一邊界飛出圓心在過(guò)入射點(diǎn)跟邊界垂直的直線上SQ圓心在過(guò)入射點(diǎn)跟跟速度方向垂直的直線上量變積累到一定程度發(fā)生質(zhì)變，出現(xiàn)臨界狀態(tài)P①速度較小時(shí)，作圓弧運(yùn)動(dòng)后從原邊界飛出；②速度增加為某臨界值時(shí)，粒子作局部圓周運(yùn)動(dòng)其軌跡與另一邊界相切；③速度較大時(shí)粒子作局部圓周運(yùn)動(dòng)后從另一邊界飛出二、帶電粒子在矩形邊界磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)oB圓心在磁場(chǎng)原邊界上①速度較小時(shí)粒子作半圓運(yùn)動(dòng)后從原邊界飛出；②速度在某一范圍內(nèi)時(shí)從側(cè)面邊界飛出；③速度較大時(shí)粒子作局部圓周運(yùn)動(dòng)從對(duì)面邊界飛出。臨界狀態(tài)〔軌跡與邊界相切〕①速度較小時(shí)粒子做局部圓周運(yùn)動(dòng)后從原邊界飛出；②速度在某一范圍內(nèi)從上側(cè)面邊界飛；③速度較大時(shí)粒子做局部圓周運(yùn)動(dòng)從右側(cè)面邊界飛出；④速度更大時(shí)粒子做局部圓周運(yùn)動(dòng)從下側(cè)面邊界飛出。dabcθB圓心在過(guò)入射點(diǎn)跟速度方向垂直的直線上臨界狀態(tài)〔軌跡與邊界相切〕(1)假設(shè)使電子源發(fā)射的電子能到達(dá)擋板，那么發(fā)射速度最小為多大？(2)如果電子源S發(fā)射電子的速度為第(1)問(wèn)中的2倍，那么擋扳上被電子擊中的區(qū)域范圍有多大？例1如下圖，S為一個(gè)電子源，它可以在紙面內(nèi)360°范圍內(nèi)發(fā)射速率相同的質(zhì)量為m、電量為e的電子，MN是一塊足夠大的擋板，與S的距離OS＝L，擋板在靠近電子源一側(cè)有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，問(wèn)：

題后反思(1)審題應(yīng)首先抓住“速率相等”?即軌跡圓半徑相等，其次“各個(gè)方向發(fā)射”?軌跡不同．然后作出一系列軌跡圓．(2)注意粒子在磁場(chǎng)中總沿順時(shí)針方向做圓周運(yùn)動(dòng)，所以粒子打在左邊和右邊最遠(yuǎn)點(diǎn)的情形不同．

(1)假設(shè)要粒子從ab邊上射出，那么入射速度v0的范圍是多少？(2)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間為多少？【跟蹤訓(xùn)練1】如下圖，一足夠長(zhǎng)的矩形區(qū)域abcd內(nèi)有磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，現(xiàn)從ad邊的中點(diǎn)O處，以垂直磁場(chǎng)且跟ad邊成30°角的速度方向射入一帶電粒子．粒子質(zhì)量為m，帶電荷量為q，ad邊長(zhǎng)為l，不計(jì)粒子重力．求：

二、帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的多解問(wèn)題

規(guī)律方法1．帶電粒子電性不確定形成多解帶電粒子假設(shè)帶正電，其軌跡為a；假設(shè)帶負(fù)電，其軌跡為b.2．磁場(chǎng)方向不確定形成多解

如下圖，帶正電粒子以速率v垂直進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)，如果B垂直于紙面向里，其軌跡為a；如果B垂直于紙面向外，其軌跡為b.

帶電粒子在洛倫茲力作用下飛越有界磁場(chǎng)時(shí)，由于粒子運(yùn)動(dòng)軌跡是圓弧狀，因此，它可能穿過(guò)去了，也可能轉(zhuǎn)過(guò)180°從入射界面這邊反向飛出，如下圖，于是形成了多解．3．臨界狀態(tài)不唯一形成多解(1)帶電粒子在局部是電場(chǎng)、局部是磁場(chǎng)的空間運(yùn)動(dòng)時(shí)，運(yùn)動(dòng)往往具有往復(fù)性，從而形成多解．如下圖．

4．運(yùn)動(dòng)的往復(fù)性形成多解(2)帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，由于磁場(chǎng)方向突然反向等，使得運(yùn)動(dòng)具有往復(fù)性而形成多解．

例2如下圖，在x<0與x>0的區(qū)域中，存在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小分別為B1與B2的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向均垂直于紙面向里，且B1>B2.一個(gè)帶負(fù)電荷的粒子從坐標(biāo)原點(diǎn)O以速度v沿x軸負(fù)方向射出，要使該粒子經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后又經(jīng)過(guò)O點(diǎn)，B1與B2的比值應(yīng)滿足什么條件？例3如下圖，在NOQ范圍內(nèi)有垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)I，在MOQ范圍內(nèi)有垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)Ⅱ，M、O、N在一條直線上，∠MOQ=60°，這兩個(gè)區(qū)域磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B。離子源中的離子帶電荷量為+q，質(zhì)量為m，通過(guò)小孔O1進(jìn)入兩板間電壓為U的加速電場(chǎng)區(qū)域〔可認(rèn)為初速度為零〕，離子經(jīng)電場(chǎng)加速后由小孔O2射出，再?gòu)腛點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域I，此時(shí)速度方向沿紙面垂直于磁場(chǎng)邊界MN，不計(jì)離子的重力。求：〔1〕假設(shè)加速電場(chǎng)兩板間電壓U=U0，求離子進(jìn)入磁場(chǎng)后做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑R0；

〔2〕在OQ上有一點(diǎn)P，P點(diǎn)到O點(diǎn)距離為L(zhǎng)，假設(shè)離子能通過(guò)P點(diǎn)，求加速電壓U和從O點(diǎn)到P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間。解：（1）離子在電場(chǎng)中加速時(shí)

離子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，洛倫茲力提供向心力

解得

（2）離子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示

由幾何關(guān)系可知OP'=P'P"=R0要保證離子通過(guò)P點(diǎn)，則I=nR0

解得

其中n=1，2，3，…

，其中n=1，2，3，…【跟蹤訓(xùn)練2】如圖甲所示，M、N為豎直放置彼此平行的兩塊平板，板間距離為d，兩板中央各有一個(gè)小孔O、O′且正對(duì)，在兩板間有垂直于紙面方向的磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度隨時(shí)間的變化如圖乙所示，有一束正離子在t＝0時(shí)垂直于M板從小孔O射入磁場(chǎng)．正離子的質(zhì)量為m，帶電荷量為q，正離子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期與磁感應(yīng)強(qiáng)度變化的周期都為T0，不考慮由于磁場(chǎng)變化而產(chǎn)生的電場(chǎng)的影響，不計(jì)離子所受重力．求：(1)磁感應(yīng)強(qiáng)度B0的大??；(2)要使正離子從O′孔垂直于N板射出磁場(chǎng)，正離子射入磁場(chǎng)時(shí)的速度v0的可能值．誘思啟導(dǎo)先分析正離子在交變磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)性質(zhì)，明確物理過(guò)程，然后判斷出要使正離子垂直于N板射出磁場(chǎng)，必須讓正離子從O孔垂直于M板射入磁場(chǎng)，且在磁場(chǎng)中運(yùn)