湖南省常德市2023屆高三二模數(shù)學試題 含解析

2023年湖南省常德市高考模擬試卷

數(shù)學試題

一、單選題(本大題共8小題，共40分.在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項)

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性可排除A,根據(jù)x>0時，的符號可排除D,根據(jù)X→+X)時，函數(shù)的函數(shù)值

可排除C,即可得解.

【詳解】解：因為/(x)=cJ'c,，所以/(T)=Cr…=一/。)，所以函數(shù)/(X)=…Cr為奇

函數(shù),排除A；

2x

x>0時，/(%)=-——>0恒成立，排除D；

2'+2"x7

當x→+/時，根據(jù)一次函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的增長速度，可知y→0,排除C；

故選：B.

2.已知函數(shù)/(x)=COS—,g(x)=sin2x,將函數(shù)/(x)的圖象經過下列哪種可以與g(x)的圖

象重合()

TrTT

A.向左平移一個單位B.向左平移一個單位

126

πTr

C.向右平移一個單位D.向右平移一個單位

126

【答案】C

【解析】

【分析】利用誘導公式結合三角函數(shù)平移即可.

.(gIπ).「勺(，兀1

【詳解】/(x)=COS2x-1=sιn2x——+—sin2x+-=sιn2x-?---

(32I6jI12；

將函數(shù)/(x)的圖象向右平移專個單位：/[?T-^∣J=sin2x=g(x);

故選：C

3.已知向量a、匕滿足卜+“=%一可，且同=豆，W=I,則向量〃與α+b的夾角為()

π2π5π

B.—C.D.

336~6

【答案】A

【解析】

【分析】由題知α∕=0,進而得b?(α+8)=l,卜+司=2,再根據(jù)夾角公式求解即可.

【詳解】解:因為向量0、6滿足卜+0=卜一目,

所以,+》『=卜_可2,即Ia「+2a/+1[=|?！竉2。/+1『

所以，ab=O<即

所以b?+20?∕?+網2)

b??a+b

所以COS(6,4+5)=

?h??a+h?

因為心,α+與?0,兀],

所以G，a+Z?)=：

故選：A

22=1的離心率eN且的

4.某人同時擲兩顆骰子,得到點數(shù)分別為。，b,則焦點在y軸上的橢圓3+5

a2b22

概率是()

511

A.—B.-C.一D.-

36643

【答案】C

【解析】

B,解得o<9≤L,再利用列舉法和古典概型概率計

【分析】根據(jù)橢圓的離心率，有e=

2a2

算公式，求得相應的概率.

2r2

【詳解】因為橢圓「v+J=I的焦點在y軸上，所以α>b,

/b2

，解得O<一≤—，

2a2

投擲骰子得到點數(shù)(a,。)共有36種,

b1_

其中滿足0<t≤一的有：

a2

(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(4,2),(5,2),(6,2),(6,3)共9種，

所以所求概率二9=一1.

364

故選：C.

5.已知/(x)是周期為4的奇函數(shù)，/(3)=2,則/(9)=()

A.6B.-6C.2D.-2

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)的周期性和奇偶性計算即可.

【詳解】/(X)是周期為4的奇函數(shù)，

??∕(9)=∕(l)=-∕(-l)=-∕?(3)=-2.

故選：D

6.已知全集U={0,1,2,3,4},集合A={l,2,3},B={2,4},則AUB=()

A.{2}B.{2,3,4}C.{1,2,3,4}D.{θ,2,3,4}

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)并集的定義即可得解.

【詳解】因為集合A={l,2,3},B={2,4},

所以AB={1,2,3,4}.

故選：C.

7.下列說法不正確的是()

A.回歸分析中，K的值越大，說明殘差平方和越小

B.若一組觀測(為，/)、(占，%)、(X",")滿足y=如+α+e,?(i=l,2,…,〃)，若e,?恒為0,則

/?2=1

C.回歸分析是對具有相關關系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的一種常用方法

D.畫殘差圖時，縱坐標為殘差，橫坐標一定是編號

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)相關指數(shù)與殘差的關系可判斷AB選項的正誤；利用回歸分析的概念可判斷C選項的正

誤；利用殘差圖可判斷D選項的正誤.

【詳解】對于A,回歸分析中，內的值越大，說明模型的擬合效果越好，則殘差平方和越小，A對；

對于B,若一組觀測(4，兄)、(才2，%)、(X.,％)滿足y=如+α+e,?(i=l,2,...,"),若e,?恒為0,

則#2=1，B對；

對于C,回歸分析是對具有相關關系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的一種常用方法，C對；

對于D,殘差圖中橫坐標可以是樣本編號，也可以是身高數(shù)據(jù)，還可以是體重的估計值等，D錯.

故選：D.

8.已知A,B,C,D,E為拋物線y=上不同的五點，拋物線焦點為尸，滿足

4

FA+FB+FC+FD+FE則閘+|啊+|罔+歸斗+歸耳=()

585

A.5B.10C.—D.—

1616

【答案】B

【解析】

【分析】由題意可得，焦點E(0,l),準線為y=-l,由￡4+尸8+77C+ED+b2=0，可得

X+%+/+”+為=5,根據(jù)拋物線的定義，可得結論?

【詳解】拋物線y=1/的準線方程為好一1,焦點坐標為(o,l).

4

設A,B,C,D,E的縱坐標分別為兄，J2>力，”，丫5，則

FA+FB+FC+FD+FE=O>

?,?y-1+%-1+%-1+>4-1+%-1=。,

?,?%+%+%+%+%=5，

根據(jù)拋物線的定義，可得

∣M∣+∣FB∣+∣FC∣+∣FD∣+∣FE∣=yl+l+y2+l+y3+l+γ4+l+γ5+l=10,

故選：B.

【點睛】本題考查拋物線的定義、標準方程，以及簡單性質的應用，得到y(tǒng)+必+%+%+%=5是解

題的關鍵.

二、多選題(本大題共4小題，共20分.在每小題有多項符合題目要求)

9.已知圓G：(x+mf+(>-2)2=l與圓。2：(x-l)2+(y+w)2=i6外切，則加的值可以為()

A.-5B.-2C.2D.5

【答案】AC

【解析】

【分析】由兩圓外切可得圓心距等于半徑之和，從而可得答案.

【詳解】圓C∣:。+〃2)2+0-2)2=1的圓心。|(一加,2),半徑4=1,

圓。2：(x-iy+(y+m)2=16的圓心。2(1，一㈤，半徑4=4,

因為圓C：(X+m)2+(y-2)2=1與圓。2：(χ-l)2+(y+m)2=16外切，

所以IGC2∣=q+2，即J(_，篦_1)2+(2+加)2=5,解得加=一5或2.

故選：AC.

10.下列命題中為真命題的是()

7a-b=0”的充要條件是“@=1”

b

B.是“L<《”的既不充分也不必要條件

ab

C.命題/一2，<0”的否定是“心任尺，d—2,≥0''

D.tta>2,力〉2”是“仍>4”的充分條件

【答案】BD

【解析】

【分析】對A：由q=lnα-%=0,但a—@=1即可判斷；

bb

對B：取。=2,匕=一1,滿足a>h,但同理取。=一l,b=2,滿足,<]，但a<b即可判斷；

ahab

對C：根據(jù)存在量詞的命題的否定即可判斷；

對D：因為。>2/>2=>次;>4,但次?>44。>2,/?>2即可判斷.

【詳解】對A：由0=1=>。一人=0,但a=b=O4-=1,所以3=1是〃一力=0的充分不必要條

bhb

件，故選項A錯誤；

對B：取a=2∕=-l,滿足a>b,但4>2，所以a〉/?4,<4；同理取a=-l,b=2,滿足

abah

-<T，但a<b,所以工<工4a>b,所以a>6是的既不充分也不必要條件，故選項B正確:

ababab

對C：命題“3XeR,χ2一2，<o"的否定是VxeR,χ2-2x≥0,?故選項C錯誤；

對D：因為a>2,8>2=>ab>4,但ah>4%a>2,b>2,所以“。>2,〃>2''是"。人>4''的充分

不必要條件，故選項D正確：

故選：BD.

11.已知“4〃是兩條不同的直線，a，尸是兩個不同的平面，給出下列命題中正確的是（）

A.若相?La,“∕∕a,則m_L〃B.若tn∕∕n,nuβ黠m//β

C.若m//a,n//p,a//4，則相〃〃D.若mJ-7?,機//a,則C/?

【答案】AD

【解析】

【分析】根據(jù)線面位置關系的判定定理和性質定理，逐項判定，即可求解.

【詳解】由加，"是兩條不同的直線，a,夕是兩個不同的平面，

若m[a,n"a,由線面垂直的性質和線面平行的性質，可得加_L〃，所以A正確；

若加//〃,〃u￡,則m//月或加u/?,所以B不正確；

若mlg,川∕β,a∕∕β,則加與〃相交、平行或異面，所以C不正確；

若InHa,則在a內存在直線〃，使得加〃〃，由可得〃_L￡,

結合面面垂直的判定定理，即可證得C4，所以D正確.

故選：AD.

12.數(shù)學中有各式各樣富含詩意的曲線，螺旋線就是其中比較特別的一類.螺旋線這個名詞源于希臘文，

它的原意是“旋卷”或“纏卷”.小明對螺旋線有著濃厚的興趣，連接嵌套的各個正方形的頂點就得到了近似

于螺旋線的美麗圖案，其具體作法是：在邊長為1的正方形ABC。中，作它的內接正方形EFG”，且

TTTT

使得NBEF=一；再作正方形EFG”的內接正方形MNPQ,且使得NFMN=一；與之類似，依次

1212

進行，就形成了陰影部分的圖案，如圖所示.設第〃個正方形的邊長為明（其中第1個正方形ABC。的

邊長為q=AB,第2個正方形EFG〃的邊長為=EF,…），第〃個直角三角形（陰影部分）的面

積為S“（其中第1個直角三角形AE”的面積為S∣,第2個直角三角形EQM的面積為邑，…），則

（）

F

B

A.數(shù)列｛α,,｝是公比為:的等比數(shù)列B.S=-

3112

C.數(shù)列｛S,,｝是公比為9的等比數(shù)列D.數(shù)列｛S,,｝的前〃項和

94

【答案】BD

【解析】

【分析】根據(jù)題意有4=%+∣（sinl50+cosl50）,即可判斷數(shù)列｛%｝為等比數(shù)列，進一步求出S,可

判斷

【詳解】由圖可知%=%（sinl5。+CoSl5。）=5An（15。+45。）=與“

所以%L=邁，所以數(shù)列｛4｝是首項為1,公比為立的等比數(shù)列，故A錯誤；

a,,33

,

（∕∑Y^'111∕2γ

則Q=N-,由題可得5“二一乜用5苗15。?%+40515。=一。用2=—、一，

[3）2/1+ln+,8π+l8（3J

所以S=J?χ2=-L,故B正確；

'8312

S2

因為Yi=弓，所以數(shù)列⑸｝是公比為:的等比數(shù)列，故C錯誤;

工?33

12

r_,⑴_11(2Yl,故D正確.

"1_244⑴4

^3

故選：BD.

三、填空題(本大題共4小題，共20分)

13.己知/為曲線丁=如吧在(l,α)處的切線，當直線/與坐標軸圍成的三角形面積為;時，實數(shù)。的值

為.

3

【答案】0或一

4

【解析】

【分析】求出函數(shù)的導數(shù)，求得在點(La)處的切線方程，令％=()求出y的值，令y=o求出X的值，再由

3

三角形的面積公式，得到關于。的方程，從而求得。或一.

4

1—a—1∏γ

【詳解】因為y=———，所以y(l)=l-α,

X

所以切線的方程為：y-α=(l-α)(x-l),

?-2a

令X=O得：y-2a-??令y=0得：X=--------,

?-a

所以S=一?IXI?IyI=-------------=—,解得：。=0或一，故填：0或一.

22∣l-O∣244

【點睛】本題考查導數(shù)的幾何意義、曲線在某點處的切線方程，考查運算求解能力.

14.從4臺甲型和5臺乙型電視機中任意取出三臺，其中至少要有甲型和乙型電視機各1臺，則不同的取

法共有種.

【答案】70

【解析】

【詳解】試題分析：任意取出三臺，其中至少要有甲型和乙型電視機各1臺，有兩種方法，一是甲型電視

機2臺和乙型電視機1臺；二是甲型電視機1臺和乙型電視機2臺，分別求出取電視機的方法，即可求出

所有的方法數(shù).

2

解：甲型電視機2臺和乙型電視機1臺，取法有C4C5'=30種；

甲型電視機1臺和乙型電視機2臺，取法有C∕C52=40種；

共有30+40=70種.

故答案為70

考點：組合及組合數(shù)公式.

15.已知函數(shù)f(x)=ax3+x2-ax(aeR,a≠O)y.如果存在實數(shù)α∈(τo,-"使函數(shù)

g(χ)=∕(χ)+∕'(χ),%€[-1,句(》>一1)在％=-1處取得最小值，則實數(shù)。的最大值為

[答案]巫二1

2

【解析】

【分析】將g(x)在尸-1處取得最小值，轉化為g(x)Ng(T)恒成立，存在實數(shù)a,再將存在問題轉化為

最值問題即可.

2

【詳解】/(x)=ax'+x-axf

f(x)=3ax2+2x-a,

g(x)=/(?)+/(x)=ax'+(3Q+1)X2÷(2-a)x-a,

當xe[—1,々時，g(x)在行一1處取得最小值，

則g(x)≥g(-1),即：(x+l)[α√+(2α+i)χ+(i-3α)]≥0,

當X=-I時,不等式恒成立.

當一l<x≤b時，不等式可化為：0x2+(2α+l)x+(l-3α)≥0,

設MX)=Or2+(2α+l)x+(l-3α),a∈(-∞,-Γ∣,

知其圖象是開口向下的拋物線，故旗村在閉區(qū)間上的最小值必在端點處取得，且A(-l)=-4。>0,則不等

式成立的充要條件是∕zS)≥O,整理得1，,則該不等式在α∈(-8,-l]上有解，即

"+Zb1≤(_1)=1,得一1</,4姮二L,解,故實數(shù)b的最大值為姮二?.

h+la22

故答案為：Ml二1

2

16.在正方體ABa)-ABlG。中，M是線段AG的中點，若四面體M—ABO的外接球體積為36兀，

則正方體棱長為.

【答案】4

【解析】

【分析】利用幾何關系，找到外接球的球心，從而列出一個關于正方體棱長的方程，解方程即可.

【詳解】設該正方體的棱長為設四面體M-ABO的外接球的半徑為R,

取3。的中點H,可得H是下底面ABCD的中心，設四面體M—A3。的外接球的球心為0，

在正方體ABCZ)-ΛiB]G0ι中，

.?.J_平面ABC。，即，平面AB￡>,

則點。在MH上,

連接0A,

MH=a,0H=MH—R=a—3.

AH=-a,OA=R=3,OA2=AH2+OH?

2

.?.32=ɑ)?+(。-3)2,

a>0y,?a=4,即正方體棱長為4.

故答案為：4

四、解答題(本大題共5小題，共60分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.在ABC中，絲Ws=Ξ2≤,5=2，BC邊中線AM=

√3aCOSA6

(I)求A的值；

(2)求一ABC的面積.

【答案】(1)?

6

⑵√3

【解析】

【分析】(1)由正弦定理結合三角恒等變換得出A的值；

(2)由余弦定理得出b=2,最后由面積公式得出一ABC的面積.

【小問1詳解】

因為2bdC=竺￡,所以由正弦定理可得2任斤Q呼C=您C

?∣3acosA√3sinAcosA

2sinBcosA=布SinAcosC+>∕3sinCcosA=?j3sin(A+C)=6SinB

因為SinBW0,所以COSA=立，因為A∈(0,兀)，所以A==.

26

【小問2詳解】

因為3=套，C=乃一A-B=鼻，可知.HBC為等腰三角形.

.一AMC中，由余弦定理可得AW?=AC2+M02-2AeMCCoSl20°

即7=/+(2)2—2x6χ2XeoSI20。，解得b=2

22

所以一ASC的面積為5=?∕>2sinC=?×22×^--?f3-

222

18.已知數(shù)列｛%｝的前〃項和為S”，且滿足2S,+2〃=3a,(〃eN)

(1)｛%｝的通項公式；

(2)若么=nan+n,求數(shù)列也｝的前"項和Tn.

【答案】(1)4=3"-l

【解析】

S,π=1/、

【分析】⑴根據(jù)1。C作差得到3%+2,從而得到4+1=3(*+1),即可得到

⑸-Sg,心2

｛4+1｝是以3為首項，3為公比的等比數(shù)列，即可求出通項公式；

(2)由(1)可知"="3",利用錯位相減法求和即可.

【小問1詳解】

因為2S“+2〃=3a“(〃eN*)①，

當〃=1時2S∣+2=3α∣,則α∣=2,

當“≥2時?2S,,τ+2(〃-l)=3α,τ②，

①一②得2S“+2.-2S"T-2(〃-1)=34-3α,τ,即2an+2-3an-3απ,l,

Λ

則an=3α,ι+2,所以a”+1=3(,,,I+1),

所以｛%+l｝是以3為首項，3為公比等比數(shù)列，所以α,,+l=3",貝∣J4=3"-1.

【小問2詳解】

因為2=nall+n,所以a="(3"-l)+〃="x3",

所以7；=1X3∣+2X32+3X33++〃x3"③，

37；=l×32+2×33+3×34++n×3n+1(≡),

③一④得一2(,=1X3∣+1X32+1X3'++l×3),-n×3,,+'

19.某大學一個專業(yè)團隊為某專業(yè)大學生研究了多款學習軟件，其中有A,B,C三款軟件投入使用，經

一學年使用后，團隊調查了這個專業(yè)大一四個班的使用情況，從各班抽取的樣本人數(shù)如下表：

(1)從這12人中隨機抽取2人，求這2人恰好來自同一班級的概率；

(2)從這12名學生中，指定甲、乙、丙三人為代表，已知他們下午自習時間每人選擇一款軟件，其中選

A,B兩款軟件學習的概率都是L,且他們選擇A，B,C任一款軟件都是相互獨立的，設這三名學生

6

中下午自習時間選軟件C的人數(shù)為J,求J的分布列和數(shù)學期望.

13

【答案】(1)

66

(2)分布列見解析，E圖=2

【解析】

【分析】(1)結合組合的應用，根據(jù)古典概型公式求解即可；

(2)由題知，甲乙丙同學選擇。任一款軟件學習的概率是I,J8卜,1),進而根據(jù)二項分布求解即

可.

【小問1詳解】

解：由題知，從這12人中隨機抽取2人，共有C》=66種可能情況，

記“這2人恰好來自同一班級”為事件A,

則事件A包含的可能情況有：C；+C；+C；+C；=3+1+3+6=13種，

13

所以，P(A)=-

66

【小問2詳解】

解：由題知，J的可能取值為01,2,3,

因為選A,8兩款軟件學習的概率都是,，且他們選擇A,B,C任一款軟件都是相互獨立的

6

112

所以，他們選擇?？钴浖W習的概率是1--------=-

663

所以，這三名學生中下午自習時間選軟件C的人數(shù)為4β∣3,∣

??/

所以,P(K)=需詞V，P(X)=G職守哮＞

4(2?"1?°8

P(4=2)=C

927

所以，J的分布列為:

40123

1248

P

279927

所以，E(J)=3xg=2

20.己知A、B是雙曲線a：r=1（?！?/〉0）的兩個頂點，點。是雙曲線上異于八、8的一

a

22

點，O為坐標原點，射線OP交橢圓。2：鼻+%=1（〃＞方＞0）于點。，設直線B4、PB、QA.QB

的斜率分別為人、七、勺、li4-

若雙曲線的漸近線方程是且過點

(1)Gy=±gχ,求G的方程;

(2)在（1）的條件下，如果4+&=g，求MBQ的面積;

(3)試問：勺+&+%+勺是否為定值？如果是，請求出此定值；如果不是，請說明理由.

1*2]6

【答案】（1）--/=1：（2）AABQ的面積為二；（3）定值為0.

417

【解析】

2

【分析】（1）設雙曲線Cl的方程為工一＞2=4,將點的坐標代入雙曲線G的方程，求出2的值,

4-

可求出雙曲線Cl的方程;

（2）設點P的坐標為（X°，%），設直線PQ的方程為丁="，則%="，由點P在雙曲線α上得出

Y215

包-尤=1,可得出其-4=4邸，利用斜率公式以及條件K+&=?可求出射線OP的方程，由此可

48

得出點Q的縱坐標，由此計算出ΔABβ的面積;

LL

（3）由題意得出K=%，設點夕（々），九）、β（χ1,y1）.則2=2=3利用斜率公式得出

??i

OA2OA2

K+A,=冬，k3+k4=-=^τ,由此可得出K+&+&+&的值.

^ka^ka'

!2

【詳解】（1）由于雙曲線Cl的漸近線方程為y=±-x,可設雙曲線Cl的方程為r二—>2=2,

的坐標代入雙曲線Cl的方程得Zl

因此，雙曲線Cl的方程為￡一：/=1；

（2）設射線OP所在直線的方程為丁=丘，設點尸（題，兒），則為=日°，

2

因為點尸在雙曲線G上，所以今一第=1,可得焉一4=4%.

Qi∣=）））Λ

Qi+i2'oI'o==2xoY=0=1=15.G—W

'?+2X0-2只一44y：2%2k8'一"一S

4

所以，射線。尸所在直