第42練排列組合與二項式定理-2023年高考數(shù)學一輪復習小題練習（新高考）（解析版）

專題14計數(shù)原理、隨機變量及其分布

第42練排列、組合與二項式定理

1.（2022?廣東汕頭?三模）2022年北京冬季奧運會期間，從3名男志愿者和2名女志愿者中選4名去支援“冰

壺”“花樣滑冰”“短道速滑”三項比賽志愿者工作，其中冰壺項目需要一男一女兩名，花樣滑冰和短道速滑各

需要一名，男女不限.則不同的支援方法的種數(shù)是（）

A.36B.24C.18D.42

【答案】A

【解析】第一步從3名男志愿者和2名女志愿者各選一名志愿者去支援冰壺項目，選法共有C；C；=6種；

第二步從剩余的3人中選一人去支援花樣滑冰，選法共有C；=3種；

第三步從剩余的2人中選一人去支援短道速滑，選法共有C；=2種；

依據(jù)分步乘法計數(shù)原理可知，不同的支援方法的種數(shù)是6x3x2=36,

故選：A.

2.（2022?福建泉州?模擬）面對突如其來的新冠疫情，全國人民眾志成城，齊心抗疫，甲、乙兩位老師在

上課之余.積極參加某社區(qū)的志愿活動，現(xiàn)該社區(qū)計劃連續(xù)三天行核酸檢測，需要多名志愿者協(xié)助工作，因

工作關系，甲、乙不能在同一天參加志愿活動，那么甲、乙每人至少參加其中一天的方案有（）

A.6種B.9種C.12種D.24種

【答案】C

【解析】分為三類：①甲、乙各一天，有用=6種；②甲2天，乙1天，有C"3種；③乙2天，甲1天,

有C；=3種，6+3+3=12,故共有12種方案.故選：C

3.（2022?北京豐臺?一模）在抗擊新冠疫情期間，有3男3女共6位志愿者報名參加某社區(qū)“人員流調”、“社

區(qū)值守”這兩種崗位的志愿服務，其中3位志愿者參加“人員流調”，另外3位志愿者參加“社區(qū)值守”.若該

社區(qū)“社區(qū)值守”崗位至少需要1位男性志愿者.則這6位志愿者不同的分配方式共有（）

A.A種B.20種C.30種D.60種

【答案】A

【解析】6位志愿者3位志愿者參加“人員流調”,另外3位志愿者參加“社區(qū)值守”的分配方式共有C；=20種,

“社區(qū)值守”崗位全是女性的分配方式共1種，故“社區(qū)值守”崗位至少需要1位男性志愿者的分配方式共有

20—1=19種.故選：A

4.（2022?山東泰安?模擬）（X-T『展開式中的常數(shù)項為（）

A.CjB.-C北C.?D.-C1

【答案】B

【解析】卜-:『展開式中的常數(shù)項為c；；（T）U=-C；.故選：B.

5.（2022?福建省福州第一中學三模）（2x-y）6的展開式中，項的系數(shù)是（）

A.30B.-30C.60D.-60

【答案】C

【解析】由題意&I=G（2x）~（-y）"當z?=4時，Vj/項的系數(shù)是］5χ4=60

故選：C

6.（2022?上海?模擬）為了檢測學生的身體素質指標，從游泳類1項，球類3項，田徑類4項共8項項目

中隨機抽取4項進行檢則，則每一類都被抽到的概率為；

3

【答案】I

【解析】解：從游泳類I項，球類3項，田徑類4項共8項項目中隨機抽取4項進行檢測，

則每一類都被抽到的方法共有C；?C；?Cj+C：?C；?C：種，

而所有的抽取方法共有C；種，

故每一類都被抽到的概率為CeCACcC=1^=5，

3

故答案為：y?

7.（2022?江西?九江實驗中學模擬（理））有紅、藍、黃、綠四種顏色的球各6個，每種顏色的6個球分

別標有數(shù)字1、2、3、4、5、6,從中任取3個標號不同的球，這3個顏色互不相同且所標數(shù)字互不相鄰的

取法種數(shù)為.

【答案】96

【解析】從1、2、3、4、5、6中任取3個標號不同且3個標號數(shù)字互不相鄰的取法有：135、136、146、

246,共4種；

3個顏色互不相同的取法有：C：A；=24種；所以滿足題意的取法共有：4x24=96種.

故答案為：96.

8.（2022?湖北?襄陽四中模擬）從3位女生，5位男生中選4人參加科技比賽，且至少有1位女生入選，則

不同的選法共有種（用數(shù)字作答）.

【答案】65

【解析】根據(jù)題意，可得為三類：

第一類：恰好一名女生時，共有C；C；=30種不同的選法；

第二類：恰好兩名女生時，共有C；C；=30種不同的選法；

第三類：恰好三名女生時，共有C；C=I5種不同的選法，

由分類計數(shù)原理可得，共有30+30+15=65種不同的選法.

故答案為：65.

9.（2022?上海?模擬）二項式（3+x）”的展開式中，一項的系數(shù)是常數(shù)項的5倍，則〃=；

【答案】10

【解析】由題知＜+i=C；3"TV,當廠=2時，/的系數(shù)為c：3"2；當/=（）時?，常數(shù)項為C：3"；

乂Y的系數(shù)是常數(shù)項的5倍，所以CHT=5C：3",解得〃=10.

故答案為：10

10.（2022?湖南?邵陽市第二中學模擬）若（X-IJ展開式中只有第五項的二項式系數(shù)最大，則展開后的常

數(shù)項為.

【答案】1120

【解析】的展開式中只有第5項的二項式系數(shù)最大，則由二項式系數(shù)性質知：展開式共有9項，則

7?=8,

j展開式的通項為=G/-r?（-∣）r=（-2）rC；√-2r（∕?∈N,r≤8）,

展開式中常數(shù)項，必有8-2r=0,即r=4,

所以展開式中常數(shù)項為（=（-2）4C；=16X70=1120.

故答案為：1120.

1.（2022?江西?九江實驗中學模擬（理））2010年世界杯足球賽預計共有24個球隊參加比賽，第一輪分成

6個組進行單循環(huán)賽（在同一組的每兩個隊都要比賽），決出每個組的一、二名，然后又在剩下的12個隊

中按積分取4個隊（不比賽），共計16個隊進行淘汰賽來確定冠亞軍，則一共需比賽（）場次.

A.53B.52C.51D.50

【答案】C

【解析】第一輪分成6個組進行單循環(huán)賽共需要6C：=36場比賽，淘汰賽有如下情況：16進8需要8場比

賽，8進4需要4場比賽，4進2需要2場比賽，確定冠亞軍需要1場比賽，共需要36+8+4+2+1=51場

比賽：故選：C.

2.（2022?江蘇鹽城?三模）為落實立德樹人的根本任務，踐行五育并舉，某學校開設A,B,C三門德育校

本課程，現(xiàn)有甲、乙、丙、丁、戊五位同學參加校本課程的學習，每位同學僅報一門，每門至少有一位同

學參加，則不同的報名方法有（）

A.54種B.240種C.150種D.60種

【答案】C

【解析】根據(jù)題意，甲、乙、丙、丁、戊五位同學選A,B,C三門德育校本課程，

每位同學僅報一門，每門至少有一位同學參加，需要分三組，有兩類情況，

CCC

①三組人數(shù)為1、1、3,此時有A；=60種;

A；

Ccc

②三組人數(shù)為2、2、1,此時有?A；=90種.

A；

所以共有60+90=150種.

故選：C

（2022?四川廣安?模擬（理））在（2-/

的展開式中，常數(shù)項為（

A.-60B.60C.-240D.240

【答案】D

7

【解析】由題知，展開式中第r+1項7；M=CK—產(chǎn)（_/），=（-1>2-C

X

令"—6=0,得r=2,所以展開式中常數(shù)項為n=2"C：=240.

故選：D

4.(2022?新疆?三模(理))若(2-x)6=%+4(l+x)+α2(l+xy+…+4(l+x)6,則4=()

A.270B.135C.~135D.-270

【答案】B

66

【解析】(2-x)=ao+alO+x)+α2(1+x)^■+----∣-6z6(l+x)?

26

以X-I代替X,得(3-X)6=a0+atx+a2x+■??+a6x,

所以其通項公式為4M=G3J(τ>=Ch-(-1)3,

令，=4,

所以4=C36Y(-1)4=135,

故選：B

5.(2022?江蘇蘇州?模擬)舉世矚目的第24屆冬奧會于2022年2月4日至2月20日在北京舉辦，某高校

甲、乙、丙、丁、戊5位大學生志愿者前往A、B、C、。四個場館服務，每一位志愿者只去一個場館，每

個場館至少分配一位志愿者，由于工作需要甲同學和乙同學不能去同一場館，則所有不同的安排方法種數(shù)

為()

A.216B.180C.108D.72

【答案】A

【解析】由題可得甲、乙、丙、丁、戊5位大學生志愿者前往A、B、C、。四個場館服務，每一位志愿者

只去一個場館，每個場館至少分配一位志愿者，共有不同的安排方法C；A：=240利J

其中甲同學和乙同學去同一場館的安排方法種數(shù)為A：=24,

故甲同學和乙同學不去同一場館，所有不同的安排方法種數(shù)為240-24=216.

故選：A.

6.(2022?江蘇?常州高級中學模擬)(Y-x+l)(x-l)5的展開式中/的系數(shù)為()

A.-25B.25C.-5D.5

【答案】A

［解析］；(χ2-χ+I)(X-1)3=x^(x-l)?—x(x—1)?+(X—I)5

(X-I)S的展開式為小=C*5-%-l)*=(-IycX5Λ4=0,1,2,…,5,

令A=3,得（一1）七V=TOX2,則χ2（τ0χ2）=-[0/,

令&=2,得（一1）2CX3=ιoV,則-X（IOX3）=-10χ4,

令k=l,得（—1）CH=—5x4,

.?.（χ2γ+ι）（χ-i）5的展開式中/的系數(shù)為㈠o）+（τo）+Q5）=-25.

故選：A.

7.（2022?浙江?紹興一中模擬）某科室有4名人員，兩男兩女，參加會議時一排有5個位置，從左到右排,

則兩女員工不相鄰（中間隔空位也叫不相鄰），且左側的男員工前面一定有女員工的排法有種（結

果用數(shù)字表示）.

【答案】44

【解析】先排兩男和空位，再把兩女插空，分兩種情形：

第一種，先排兩男和空位，最左邊是空位時，排兩男和空位共A；=2種，

將女生插空時乂分兩種情形：

先排兩男和空位時，空位兩側排兩名女生時計A；=2種；

空位兩側共排一名女生時計C；C；C；=8種，

共計A；（A；+C；CA）=20種；

第二種，先排兩男和空位，最左邊是男生時，排兩男和空位共C；A；=4種，將女生插空共C；C；=6種，共計

C；A；C；C；=24種,

綜上，共計A；（A；+C；GG）+C；A；CC=44種.

故答案為：44

8.（2022?陜西?交大附中模擬（理））黨的十九大報告提出“鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略”，要“推動城鄉(xiāng)義務教育一體化

發(fā)展，高度重視農(nóng)村義務教育為了響應報告精神，某師范大學6名畢業(yè)生主動申請到某貧困山區(qū)的鄉(xiāng)村

小學工作，若將這6名畢業(yè)生分配到該山區(qū)的3所鄉(xiāng)村小學，每所學校至少分配1人，則分配方案的總數(shù)

為-

【答案】540

【解析】第一步將6名畢業(yè)生分成3組，且每組至少1人，一共有3種分配方案，即1、1、4或1、2、3或2、

cC2C2C2

2、2,其中1、1、4分配方式有??J=15種/、2、3,分配方式有C=60種,2、2、2,分配方式有七二=15

種,

第二步將分好的3組畢業(yè)生分配到3所鄉(xiāng)村小學，其分法有A；=6種,

利用分步計數(shù)原理可知，分配方案的總數(shù)為(15+60+15)x6=540,

故答案為：540.

9.(2022?山東?勝利一中模擬)已知(α√+l)卜-彳)的展開式中各項系數(shù)的和為-3,則該展開式中X的系

數(shù)為_________

【答案】-120

【解析】解：因為(Or2+1)卜一的展開式中各項系數(shù)的和為一3,

所以令x=l,得-(α+l)=-3,

解得。=2,

所以二項式為(2Y+l)(χ-2j,

則展開式中含X的項為2丁×C；=-120x,

故X的系數(shù)為-120,

故答案為：-120

10.(2022?青海?模擬(理))偉大的數(shù)學家歐拉28歲時解決了困擾數(shù)學界近一個世紀的“巴塞爾問題”：計

…，又知SinX=.《+看.…+平:+…

算已知

2???l-?2-2

nTr3!5!(2π-l)!

*E1Il1

/1∈N,貝IJp"+尹+示+…+-τ+…=?

【答案】-

6

【解析】由SinX=X-土+土++V_—+,兩邊同時除以X,

3!5!(2n-l)!

得皿=qJ+(4"7+

X3!5!(2/2-1)!

Lsinx

又——=

x

展開式中F的系數(shù)為-*(/+*+*++Λ+

,1<1111、1

所以一EK+級+?++√+Γ~y.'

所以4+111lt1

2Γ+++=+^6^

I2Fti-

_2

故答案為：

6

1.（2022?江蘇省濱海中學模擬）用1,2,3,4,5,6組成六位數(shù)（沒有重復數(shù)字），在任意相鄰兩個數(shù)

字的奇偶性不同的條件下，1和2相鄰的概率是（）

D

?-?b?lc?I?Ti

【答案】C

【解析】將3個偶數(shù)排成一排有A；種，再將3個奇數(shù)分兩種情況插空有2A；種,

所以任意相鄰兩個數(shù)字的奇偶性不同的6位數(shù)有2A；A；=72種，

任意相鄰兩個數(shù)字的奇偶性不同且1和2相鄰，分兩種情況討論：

當個位是偶數(shù)：2在個位，則1在十位，此時有段國=4種；

2不在個位：將4或6放在個位，百位或萬位上放2,在2的兩側選一個位置放1,最后剩余的2個位置放

其它兩個奇數(shù)，此時有C；GG&=16種；

所以個位是偶數(shù)共有20種；

同理，個位是奇數(shù)也有20種，則任意相鄰兩個數(shù)字的奇偶性不同且1和2相鄰數(shù)有40種，

所以任意相鄰兩個數(shù)字的奇偶性不同的條件F,1和2相鄰的概率是比=1.

故選：C

2.（2022?北京市第十二中學三模）如圖，一次移動是指：從某一格開始只能移動到鄰近的一格，并且總是

向右或右上或右下移動，而一條移動路線由若干次移動構成，如l-3-4-5τ6τ7就是一條移動路線，則

從數(shù)字“1”到“7”，漏掉兩個數(shù)字的移動路線條數(shù)為（）

A.5B.6C.7D.8

【答案】B

【解析】由題意1和7是不能漏掉的，所以由以下路線：

(1,3,5,6,7),(1,3,4,6,7),(1,3,4,5,7),(1,2,4,6,7),(1,2,4,5,7),(1,2,3,5,7)共6條，

故選：B.

3.(2022?河南?模擬(理))已知(χ2-x+l)"卜2+’的展開式中各項系數(shù)和為%則/的系數(shù)為()

A.16B.8C.0D.-12

【答案】D

【解析】因為各項系數(shù)和為4,

所以令x=l,代入可得(l-l+l)"(l+l)”τ=4,解得〃=3,

所以原式為(X2-X+l)[χ2+=(f-χ+])[χ4+々+ax),

又任7+1U-X)+1，展開式的通項公式為7；M==C；(VTx,

令仁3,則n=C；(Y—x)0=l,所以可得一個y*的系數(shù)為IXl=1,

令y0,則T>C)(χ2-χ)3,

又(V-Xy展開式的通項公式為=G(X2廣(-獷=G(-gj,

令r=0,T；=Cf(-?)°X6=X6,所以可得一個/的系數(shù)為1X1=1,

令r=3,<=C≈(-l)3x3=-xV，所以可得一個X-的系數(shù)為(7)x2=-2,

22423

令仁1,T2=Cl(x-x)=3(x+x-2X),所以可得一個小的系數(shù)為3X(-2)X2=-12,

綜上：/的系數(shù)為I+J2-12=-12.

故選：D

4.(2022?湖南?長郡中學模擬)現(xiàn)安排甲、乙、丙、丁、戊5名同學參加2022年杭州亞運會志愿者服務活動，

有翻譯、導游、禮儀、司機四項工作可以安排，則以下說法錯誤的是()

A.若每人都安排一項工作，則不同的方法數(shù)為5-

B.若每項工作至少有1人參加，則不同的方法數(shù)為4C

C.每項工作至少有1人參加，甲、乙不會開車但能從事其他三項工作，丙、丁、戊都能勝任四項工作，則不

同安排方案的種數(shù)是C；C：A；+C；A；

D.如果司機工作不安排，其余三項工作至少安排1人，則這5名同學全部被安排的不同方法數(shù)為

（CG+盤窗）用

【答案】ABD

【解析】解：根據(jù)題意，依次分析選項：

對于A,安排5人參加4項工作，若每人都安排一項工作，每人有4種安排方法，則有4$種安排方法，故A

錯誤；

對于B,根據(jù)題意，分2步進行分析：先將5人分為4組，再將分好的4組全排列，安排4項工作，有C；A：

種安排方法，故B錯誤；

對于C，根據(jù)題意，分2種情況討論：①從丙，丁，戊中選出2人開車，②從丙，丁，戊中選出1人開車,

則有8種安排方法，C正確；

對于分2步分析：需要先將5人分為3組，有（竽+筆］種分組方法，將分好的三組安排翻譯、導

游、禮儀三項工作，有A；種情況，則有.［竽+等種安排方法，。錯誤；

14Λ2）

故選：ABD.

5.（2022?江蘇?南京市天印高級中學模擬）卜+：）的展開式中，下列結論正確的是（）

A.展開式共6項

B.常數(shù)項為160

C.所有項的系數(shù)之和為729

D.所有項的二項式系數(shù)之和為64

【答案】BCD

【解析】展開式的總項數(shù)是7,A不正確；

展開式的通項公式為C"6rrβ2r

C'fι2x-

令6-2r=0得r=3,常數(shù)項為CQ3=160,B正確;

取x=l得卜+：)展開式的所有項的系數(shù)之和為36=729,C正確;

由二項式系數(shù)的性質得(x+1)展開式的所有項的二項式系數(shù)之和為2‘=64,D正確.

故選：BCD.

6.(2022?江西新余?二模(理))若一個三位數(shù)的各位數(shù)字之和為10,則稱這個三位數(shù)“十全十美數(shù)”，如

208,136都是“十全十美數(shù)”，現(xiàn)從所有三位數(shù)中任取一個數(shù)，則這個數(shù)恰為“十全十美數(shù)”的概率是

3

【答案】①

【解析】所有三位數(shù)個數(shù)為900個.

“十全十美數(shù)”有54個列舉如下：①有一位數(shù)字是0的，共有4+4+4+4+2=18個，分別為

109,190,901,910;208,280,802,820;307,370,730,703;406,460,604,640;505,550；

②含有兩個相同數(shù)字的，共有3+3+3+3=12個，分別為181,118,811;226,262,622;334,343,433;442,244,424；

③不含0且沒有相同數(shù)字的，共有4x&=24個，分別為

127,172,217,271,712,721;136,163,316,361,613,631;145,154,415,451,514,541;235,253,325,352,523,532,

543

從所有三位數(shù)中任取一個數(shù)，則這個數(shù)恰為“十全十美數(shù)”的概率P=而=H.

故答案為:立3

7.(2022?河南安陽?模擬(理))己知d-2nx)"(a>0)的展開式中只有第4項的二項式系數(shù)最大，且所有

X

項的系數(shù)和為1,則展開式中Y的系數(shù)為.

【答案】240

［解析】因(?-20r)"的展開式中只有笫4項的二項式系數(shù)最大，則n=6,其所有項的系數(shù)和為(?-2a)b=1,

X

而4>0,解得α=1,則有P-2x)6展開式的通項為J=CZd產(chǎn)(-2Xy=(-2),qx2r^*6,7r∈N,r≤6,

冗X

由2—6=2得r=4,于是得展開式「I項為(-2)4CN=240x2,

所以展開式中d的系數(shù)為240.

故答案為：2