3.3 拋物線（精講）（解析版）

3.3拋物線（精講）考點(diǎn)一拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程【例1-1】（2023春·江西吉安·高二校聯(lián)考期末）若點(diǎn)在拋物線上，則該拋物線的準(zhǔn)線方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，所以，得，所以拋物線方程為，所以拋物線的準(zhǔn)線方程為，故選：A【例1-2】（2023·陜西榆林）以x軸為對(duì)稱軸，原點(diǎn)為頂點(diǎn)的拋物線上的一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為3，則拋物線的方程是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】根據(jù)題意，可設(shè)拋物線的方程為，由拋物線的定義知，即，所以拋物線方程為．故選：C．【例1-3】（2023春·湖南·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，C上一點(diǎn)滿足，則拋物線C的方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】依題意得，因?yàn)?，所?又，解得，所以拋物線的方程為.故選：D【一隅三反】1．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）頂點(diǎn)在原點(diǎn)、坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的拋物線，過點(diǎn)，則它的方程是（

）A．或B．或C．D．【答案】A【解析】當(dāng)拋物線的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，設(shè)拋物線的方程為．因?yàn)閽佄锞€過點(diǎn)，記為點(diǎn)，如圖，所以，所以、所以拋物線的方程為；當(dāng)拋物線的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，設(shè)拋物線的方程為．因?yàn)閽佄锞€過點(diǎn)，所以，所以，所以拋物線的方程為．故選：A.

.2．（2023·陜西漢中）已知拋物線的焦點(diǎn)在y軸上，頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)O，且經(jīng)過點(diǎn)，若點(diǎn)P到該拋物線焦點(diǎn)的距離為4，則該拋物線的方程為．【答案】【解析】因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)在y軸上，頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)O，且經(jīng)過點(diǎn)，所以可設(shè)拋物線：.由拋物線的定義可得：，解得：.所以拋物線的方程為：.故答案為：.3．（2023春·云南保山·高二統(tǒng)考期末）過點(diǎn)，且焦點(diǎn)在軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是.【答案】【解析】設(shè)方程為，則有，解得，即有.故答案為：.考點(diǎn)二拋物線定義及應(yīng)用【例2-1】（2023春·河南開封）已知拋物線，圓，為上一點(diǎn)，為上一點(diǎn)，則的最小值為（

）A．5 B． C．2 D．3【答案】B【解析】由題意知，，設(shè)，則，所以，

故當(dāng)時(shí)，，所以.故選：B.【例2-2】（2023·海南·海南中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知直線和直線，拋物線上一動(dòng)點(diǎn)到直線和距離之和的最小值是（

）A． B．2 C． D．3【答案】D【解析】由題可知是拋物線的準(zhǔn)線，設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，則，所以動(dòng)點(diǎn)到的距離等于到的距離加1，即動(dòng)點(diǎn)到的距離等于.所以動(dòng)點(diǎn)到直線和直線的距離之和的最小值為焦點(diǎn)到直線的距離加1，即其最小值是.

故選：D【例2-3】（2023·西藏日喀則）已知點(diǎn)P為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q為圓上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為d，若的最小值為3，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】圓的圓心，半徑，拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，則由拋的線的定義可知點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為，所以，由圖可知，當(dāng)共線，且在線段上時(shí)，最短，而，因?yàn)?，所以，解得，故選：B

【一隅三反】1．（2023秋·浙江嘉興·高二統(tǒng)考期末）已知是拋物線：的焦點(diǎn)，點(diǎn)在上且，則的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)槭菕佄锞€：的焦點(diǎn)，所以，又，由拋物線的定義可知，解得，所以.故選：A2．（2023春·四川瀘州·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在C上，若點(diǎn)，則周長(zhǎng)的最小值為（

）．A．13 B．12 C．10 D．8【答案】A【解析】，故,記拋物線的準(zhǔn)線為，則：，記點(diǎn)到的距離為，點(diǎn)到的距離為，則.故選：A.

3．（2023春·云南曲靖·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為是拋物線上一點(diǎn)，若，則的最小值為（

）A．8 B．6 C．5 D．4【答案】D【解析】由焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為得；設(shè)在準(zhǔn)線上的射影為如圖,則，當(dāng)且僅當(dāng)共線時(shí)取得等號(hào)．所以所求最小值是4．故選：D．4．（2023·浙江·校聯(lián)考二模）已知直線和直線，拋物線上一動(dòng)點(diǎn)到直線直線的距離之和的最小值是（

）A．2 B．3 C． D．【答案】B【解析】由題意可得：拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線，設(shè)動(dòng)點(diǎn)直線的距離分別為，點(diǎn)到直線的距離分別為，則，可得，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)到直線的垂線上且在與之間時(shí)，等號(hào)成立，動(dòng)點(diǎn)到直線直線的距離之和的最小值是3.故選：B.考點(diǎn)三直線與拋物線的位置關(guān)系【例3-1】（2023廣東深圳）設(shè)直線，拋物線，當(dāng)為何值時(shí)，與相切？相交？相離？【答案】當(dāng)時(shí)，與相切；當(dāng)時(shí)，與相交；當(dāng)時(shí)，與相離.【解析】：聯(lián)立方程，得消去并整理，得.當(dāng)時(shí)，方程為一元二次方程.所以.當(dāng)，即時(shí)，與相切；當(dāng)，即且時(shí)，與相交；當(dāng)，即時(shí)，與相離.當(dāng)時(shí)，直線的方程為，顯然與拋物線交于點(diǎn).綜上所述，當(dāng)時(shí)，與相切；當(dāng)時(shí)，與相交；當(dāng)時(shí)，與相離.【例3-2】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）（多選）設(shè)拋物線的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)Q，若過點(diǎn)Q的直線l與拋物線有公共點(diǎn)，則直線l的斜率可以是（）A． B．C．1 D．2【答案】BC【解析】拋物線的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)Q，

準(zhǔn)線為，Q點(diǎn)的坐標(biāo)，又直線l過點(diǎn)Q，且斜率必存在，可設(shè)l：，聯(lián)立，可得，當(dāng)時(shí)，得，即交點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，由得，即，解得，或，綜上，k的取值范圍是．故選：BC.【一隅三反】1．（2023·內(nèi)蒙古呼和浩特）過點(diǎn)與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)的直線有（）條.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】由題意可知點(diǎn)在拋物線外故過點(diǎn)且與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)只能是：①過點(diǎn)且與拋物線相切，此時(shí)有兩條直線；②過點(diǎn)且平行對(duì)稱軸軸，此時(shí)有一條直線；則過點(diǎn)與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)的直線有3條.故選：C．2．（2022·全國·高二專題練習(xí)）直線與拋物線的位置關(guān)系為（）A．相交 B．相切 C．相離 D．不能確定【答案】A【解析】直線過定點(diǎn)，∵，∴在拋物線內(nèi)部，∴直線與拋物線相交，故選：A．3．（2023·上海楊浦·高二復(fù)旦附中校考期中）已知過點(diǎn)的直線與拋物線相交于不同的兩點(diǎn)，為直線斜率，則k的取值范圍為.【答案】【解析】直線的方程為：，聯(lián)立，化為，直線與拋物線相交于不同的兩點(diǎn)，，即，解得，且．斜率的取值范圍是．故答案為：．4．（2023·云南·云南師大附中?？寄M預(yù)測(cè)）寫出一條過點(diǎn)且與拋物線：僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線方程：.【答案】（或，答案不唯一）【解析】當(dāng)l平行于x軸時(shí)，l與C只有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)方程為；當(dāng)l與拋物線相切時(shí)，l與C只有一個(gè)公共點(diǎn)，設(shè)直線l方程為，聯(lián)立方程得，由，此時(shí)直線l的方程為.故答案為：（或，答案不唯一）.考點(diǎn)四弦長(zhǎng)【例4-1】（2023·陜西延安）已知拋物線：的準(zhǔn)線方程為．(1)求拋物線的方程；(2)直線：交拋物線于、兩點(diǎn)，求弦長(zhǎng)．【答案】(1)(2)8【解析】（1）由拋物線：的準(zhǔn)線方程為，得，．拋物線的方程為．（2）設(shè)，，由消去，得，則，．又直線過拋物線的焦點(diǎn)，．【例4-2】（2023春·黑龍江·高二校聯(lián)考開學(xué)考試）已知直線l過拋物線C：的的焦點(diǎn)且與C交于A，B兩點(diǎn)，線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)3，則．【答案】8【解析】設(shè)，則，拋物線中，所以．故答案為：8．【例4-3】（2023·陜西渭南）設(shè)為拋物線的焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，若，則（

）A．8 B．12 C．16 D．24【答案】D【解析】由拋物線可知，由拋物線的定義可得，即，又在拋物線上，，.故選：D.【一隅三反】1．（2023春·上海長(zhǎng)寧·高二?？计谥校┮阎獟佄锞€與過焦點(diǎn)的一條直線相交于A，B兩點(diǎn)，若弦的中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為，則弦的長(zhǎng)【答案】【解析】由題意拋物線焦點(diǎn)，且直線斜率不為0，設(shè)，聯(lián)立拋物線得，，故，，所以，即，則.故答案為：2．（2023秋·山西大同·高二統(tǒng)考期末）（多選）經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，設(shè)，，則下列說法中正確的是（

）A．當(dāng)與軸垂直時(shí)，最小 B．C．以弦為直徑的圓與直線相離 D．【答案】ABD【解析】

如圖，設(shè)直線為，聯(lián)立，得，即，所以，，故D正確，，將代入得，故當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)直線與軸垂直，故A正確，，代入，，得，故B正確，設(shè)的中點(diǎn)為，則以弦為直徑的圓的圓心為，半徑為分別過作拋物線的垂線，垂足分別為,由拋物線的定義知，，則,故以弦為直徑的圓與直線相切，C錯(cuò)誤，故選：ABD3．（2023春·四川·高二統(tǒng)考期末）已知直線與拋物線相交于、兩點(diǎn).(1)若直線過點(diǎn)，且傾斜角為，求的值；(2)若直線過點(diǎn)，且弦恰被平分，求所在直線的方程.【答案】(1)(2)【解析】（1）因直線的傾斜角為，所以直線的斜率，又因直線過點(diǎn)，所以直線的方程為：，即，聯(lián)立得，設(shè)，，所以，，所以（2）因、在拋物線上，所以，，兩式相減得：，得，故直線的斜率為4，所以直線的方程為：，即考點(diǎn)五拋物線有關(guān)的軌跡【例5】（2023秋·福建寧德·）已知圓：與定直線：，動(dòng)圓與圓外切且與直線相切，記動(dòng)圓的圓心的軌跡為曲線，則曲線的方程為.【答案】【解析】設(shè)，動(dòng)圓與圓外切且與直線相切，則有，化簡(jiǎn)得.故曲線的方程為.故答案為：【一隅三反】1．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）在平面坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)P和點(diǎn)滿足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為．【答案】【解析】由題意，由得，化簡(jiǎn)得．故答案為：．2．（2022秋·北京海淀·高二北京市十一學(xué)校?？计谥校┰O(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，點(diǎn)A是直線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AF并作AF的垂直平分線l，過點(diǎn)A作y軸的垂線交l于點(diǎn)P，則點(diǎn)P的軌跡方程為．【答案】【解析】如圖，由垂直平分線的性質(zhì)可得，符合拋物線第一定義，拋物線開口向右，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故，點(diǎn)P的軌跡方程為.故答案為：3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)，在軸上，且，則外心的軌跡的方程；【答案】【解析】設(shè)外心為，且，，，由點(diǎn)在的垂直平分線上知由，得故即點(diǎn)G的軌跡S為：，故答案為：.考點(diǎn)六拋物線的實(shí)際應(yīng)用【例6】（2023·全國·高二專題練習(xí)）清代青花瓷蓋碗是中國傳統(tǒng)茶文化的器物載體，具有“溫潤”“淡遠(yuǎn)”“清新”的特征．如圖，已知碗體和碗蓋的內(nèi)部均近似為拋物線形狀，碗蓋深為，碗蓋口直徑為，碗體口直徑為，碗體深，則蓋上碗蓋后，碗蓋內(nèi)部最高點(diǎn)到碗底的垂直距離為（碗和碗蓋的厚度忽略不計(jì)）（

）

A． B． C． D．【答案】C【解析】以碗體的最低點(diǎn)為原點(diǎn)，向上方向?yàn)檩S，建立直角坐標(biāo)系，如圖所示．

設(shè)碗體的拋物線方程為（），將點(diǎn)代入，得，解得，則，設(shè)蓋上碗蓋后，碗蓋內(nèi)部最高點(diǎn)到碗底的垂直距離為，則兩拋物線在第一象限的交點(diǎn)為，代入到，解得，解得．故選：C【一隅三反】1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）南宋晚期的龍泉窯粉青釉刻花斗笠盞如圖1所示，忽略杯盞的厚度，這只杯盞的軸截面如圖2所示，其中光滑的曲線是拋物線的一部分，已知杯盞盛滿茶水時(shí)茶水的深度為3cm，則該拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】以拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，依題意可得的坐標(biāo)為．設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，解得．故該拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為．故選：C2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）探照燈?汽車前燈的反光曲面?手電筒的反光鏡面?太陽灶的鏡面等都是拋物鏡面.燈泡放在拋物線的焦點(diǎn)位置，通過鏡面反射就變成了平行光束，如圖所示，這就是探照燈?汽車前燈?手電筒的設(shè)計(jì)原理.已知某型號(hào)探照燈反射鏡的縱斷面是拋物線的一部分，光源位于拋物線的焦點(diǎn)處，燈口直徑是，燈深，則光源到反射鏡頂點(diǎn)的距離為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】在縱斷面內(nèi)，以反射鏡的頂點(diǎn)（即拋物線的頂點(diǎn)）為坐標(biāo)原點(diǎn)，過頂點(diǎn)垂直于燈口直徑的直線為軸，建立直角坐標(biāo)系，如圖所示，由題意可得.設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，于是，解得.所以拋物