10.2　事件的相互獨立性（解析版）

10.2事件的相互獨立性【考點梳理】考點一相互獨立事件的概念對任意兩個事件A與B，如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，則稱事件A與事件B相互獨立，簡稱獨立.考點二相互獨立事件的性質(zhì)如果事件A與B相互獨立，那么A與eq\x\to(B)，eq\x\to(A)與B，eq\x\to(A)與eq\x\to(B)也都相互獨立.【題型歸納】題型一：事件獨立性的判斷1．（2022春·安徽黃山·高一統(tǒng)考期末）袋子里裝有大小質(zhì)地都相同的個白球，個黑球，從中不放回地摸球兩次，用表示事件“第次摸得白球”，表示事件“第次摸得白球”，則與是（

）A．互斥事件 B．相互獨立事件 C．對立事件 D．不相互獨立事件【答案】D【分析】根據(jù)相互獨立的乘法公式即可判斷.【詳解】由題意可知,而表示“第一次摸白球，第二次摸白球”，故,故與不相互獨立，同時與可以同時發(fā)生，也不對立，故選：D2．（2022春·河南安陽·高一統(tǒng)考期末）從一批產(chǎn)品中逐個不放回地隨機抽取三件產(chǎn)品，設(shè)事件A為“三件產(chǎn)品全不是次品”，事件B為“三件產(chǎn)品全是次品”，事件C為“三件產(chǎn)品不全是次品”，事件D為“第一件是次品”則下列結(jié)論正確的是（

）A．B與D相互獨立 B．B與C相互對立C． D．【答案】B【分析】根據(jù)互斥事件，對立事件，相互獨立事件的定義逐個判斷即可.【詳解】為三件產(chǎn)品全部是次品，指的是三件產(chǎn)品都是正品，為三件全是次品，為三件產(chǎn)品不全是次品，包括一件次品，兩件次品，三件全是正品三個事件，為第一件是次品，指的是最少有一件次品，包括一件次品，兩件次品，三件次品三個事件.由此可知與是互斥事件，與是包含，不是互斥，與對立故選:B.3．（2022春·河北邯鄲·高一統(tǒng)考期末）拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣次，記事件“次中既有正面朝上又有反面朝上”，“次中至多有一次正面朝上”，下列說法不正確的是（

）A．當時， B．當時，事件A與事件不獨立C．當時， D．當時，事件A與事件不獨立【答案】D【分析】首先，列出和事件，再求概率，然后根據(jù)與的關(guān)系，判斷兩個事件是否獨立.【詳解】當時，所有基本事件有：(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)，共4種，且，,，，，，所以，故A正確；，所以事件A與事件不獨立，故B正確；當時，所有基本事件有：(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)，共8種，，，，，所以，故C正確；，，，，所以事件A與事件獨立，故D錯誤.故選：D.題型二：獨立事件和互斥事件4．（2022春·湖南郴州·高一安仁縣第一中學?？计谀┰O(shè)A，B是兩個概率大于0的隨機事件，則下列論述正確的是（

）A．若A，B是對立事件，則事件A，B滿足P（A）＋P（B）＝1B．事件A，B，C兩兩互斥，則P（A）＋P（B）＋P（C）＝1C．若A和B互斥，則A和B一定相互獨立D．P（A＋B）＝P（A）＋P（B）【答案】A【分析】A.該選項正確；B.事件A，B，C兩兩互斥，舉例說明該選項錯誤；C.若A和B互斥，則A和B一定不相互獨立，所以該選項錯誤；D.只有當A和B互斥時，P（A＋B）＝P（A）＋P（B），所以該選項錯誤.【詳解】A.若A，B是對立事件，則事件A，B滿足P（A）＋P（B）＝1，所以該選項正確；B.事件A，B，C兩兩互斥，如:投擲一枚均勻的骰子，設(shè){向上的點數(shù)是1點}，{向上的點數(shù)是2點}，{向上的點數(shù)是3點}，則A，B，C兩兩互斥，,P（A）＋P（B）＋P（C）＜1,所以該選項錯誤；C.若A和B互斥，則，則A和B一定不相互獨立，所以該選項錯誤；D.只有當A和B互斥時，P（A＋B）＝P（A）＋P（B），所以該選項錯誤.故選：A5．（2021春·高一課時練習）分別擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，“第一枚為正面”記為事件A，“第二枚為正面”記為事件B，“兩枚結(jié)果相同”記為事件C，那么事件A與B，A與C間的關(guān)系是（

）A．A與B，A與C均相互獨立B．A與B相互獨立，A與C互斥C．A與B，A與C均互斥D．A與B互斥，A與C相互獨立【答案】A【分析】結(jié)合相互獨立事件的概念直接判斷即可【詳解】因為事件A是否發(fā)生對事件B、C是否發(fā)生不產(chǎn)生影響，所以A與B，A與C均相互獨立.故選：A6．（2021春·湖南常德·高一臨澧縣第一中學?？计谀仈S兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，設(shè)事件“第一枚硬幣正面向上”，設(shè)事件“第二枚硬幣正面向上”，則（

）A．事件與互為對立事件 B．件與為互斥事件C．事件與事件相等 D．事件與相互獨立【答案】D【分析】事件發(fā)生與否與事件無關(guān)，事件發(fā)生與否與事件無關(guān)，從而事件與事件相互獨立．【詳解】解：拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，設(shè)事件“第一枚硬幣正面向上”，設(shè)事件“第二枚硬幣正面向上”，事件發(fā)生與否與事件無關(guān)，事件發(fā)生與否與事件無關(guān)，事件與事件相互獨立．故選：．【點睛】本題考查兩個事件的相互關(guān)系的判斷，考查互斥事件、對立事件、相互獨立事件的定義等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．題型三：相互獨立事件概率的計算7．（2023秋·遼寧·高一校聯(lián)考期末）從高一（男、女生人數(shù)相同,人數(shù)很多）抽三名學生參加數(shù)學競賽，記事件A為“三名學生都是女生”，事件B為“三名學生都是男生”，事件C為“三名學生至少有一名是男生”，事件D為“三名學生不都是女生”，則以下錯誤的是（

）A． B．C．事件A與事件B互斥 D．事件A與事件C對立【答案】B【分析】由獨立乘法公式求，根據(jù)事件的描述，結(jié)合互斥、對立事件的概念判斷B、C、D即可.【詳解】由所抽學生為女生的概率均為，則，A正確；兩事件不可能同時發(fā)生，為互斥事件，C正確；事件包含：三名學生有一名男生、三名學生有兩名男生、三名學生都是男生，其對立事件為，D正確；事件包含：三名學生都是男生、三名學生有一名男生、三名學生有兩名男生，與事件含義相同，故，B錯誤；故選：B.8．（2023秋·山東濰坊·高一統(tǒng)考期末）小剛參與一種答題游戲，需要解答A，B，C三道題．已知他答對這三道題的概率分別為a，a，，且各題答對與否互不影響，若他恰好能答對兩道題的概率為，則他三道題都答錯的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】記小剛解答A，B，C三道題正確分別為事件D，E，F(xiàn)，并利用D，E，F(xiàn)構(gòu)造相應的事件，根據(jù)概率加法公式與乘法公式求解相應事件的概率.【詳解】記小剛解答A，B，C三道題正確分別為事件D，E，F(xiàn)，且D，E，F(xiàn)相互獨立，且.恰好能答對兩道題為事件，且兩兩互斥，所以，整理得，他三道題都答錯為事件，故.故選：C.9．（2023秋·遼寧撫順·高一撫順一中?？计谀┠成鐖F開展“建黨100周年主題活動——學黨史知識競賽”，甲、乙兩人能得滿分的概率分別為、，兩人能否獲得滿分相互獨立，則下列說法正確的是（

）．A．兩人均獲得滿分的概率為B．兩人至少一人獲得滿分的概率為C．兩人恰好只有甲獲得滿分的概率為D．兩人至多一人獲得滿分的概率為【答案】A【分析】利用獨立事件同時發(fā)生的概率公式和對立事件概率公式計算各自的概率，進而作出判定【詳解】解：∵甲、乙兩人能得滿分的概率分別為、，兩人能否獲得滿分相互獨立，分別記甲，乙能得滿分的事件為M，N，則，，M，N相互獨立，∴兩人均獲得滿分的概率為，故A正確；兩人至少一人獲得滿分的概率為，故B錯誤；兩人恰好只有甲獲得滿分的概率為，故C錯誤；兩人至多一人獲得滿分的概率為，故D錯誤．故選：A．題型四：相互獨立事件概率的綜合應用10．（2021春·湖南岳陽·高一統(tǒng)考期末）某大學選拔新生補充進“籃球”，“電子競技”，“國學”三個社團，據(jù)資料統(tǒng)計，新生通過考核選拔進入這三個社團成功與否相互獨立，2019年某新生入學，假設(shè)他通過考核選拔進入該校的“籃球”，“電子競技”，“國學”三個社團的概率依次為概率依次為m，，n，已知三個社團他都能進入的概率為，至少進入一個社團的概率為，且m＞n．則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題中條件求出的值，然后再根據(jù)至少進入一個社團的概率求出.【詳解】由題知三個社團都能進入的概率為，即，又因為至少進入一個社團的概率為，即一個社團都沒能進入的概率為，即，整理得.故選：C.【點睛】本題考查了相互獨立事件的概率計算問題，屬于基礎(chǔ)題.11．（2023春·高一單元測試）甲、乙、丙、丁4名棋手進行象棋比賽，賽程如下面的框圖所示，其中編號為的方框表示第場比賽，方框中是進行該場比賽的兩名棋手，第場比賽的勝者稱為“勝者”，負者稱為“負者”，第6場為決賽，獲勝的人是冠軍.已知甲每場比賽獲勝的概率均為，而乙?丙?丁相互之間勝負的可能性相同.(1)求乙僅參加兩場比賽且連負兩場的概率；(2)求甲獲得冠軍的概率；(3)求乙進入決賽，且乙與其決賽對手是第二次相遇的概率.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）乙僅參加兩場比賽且連負兩場，所以1、4均負，由獨立事件概率公式，即可得出答案；（2）甲獲得冠軍，則甲參加的比賽結(jié)果有三種情況：1勝3勝6勝，1負4勝5勝6勝，1勝3負5勝6勝，由此求出甲獲得冠軍的概率；（3）分成三類進行討論，若乙的決賽對手是甲，若乙的決賽對手是丙，若乙的決賽對手是丁，從而能求出乙進入決賽，且乙與其決賽對手是第二次相遇的概率.【詳解】（1）根據(jù)題意，乙獲連負兩場，所以1、4均負，所以乙獲連負兩場的概率為.（2）甲獲得冠軍，則甲參加的比賽結(jié)果有三種情況：1勝3勝6勝；1負4勝5勝6勝；1勝3負5勝6勝，所以甲獲得冠軍的概率為.（3）若乙的決賽對手是甲，則兩人參加的比賽結(jié)果有兩種情況：甲1勝3勝，乙1負4勝5勝；甲1負4勝5勝，乙1勝3勝，所以甲與乙在決賽相遇的概率為：，若乙的決賽對手是丙，則兩人只可能在第3場和第6場相遇，兩人參加的比賽的結(jié)果有兩種：乙1勝3勝，丙2勝3負5勝；乙1勝3負5勝，丙2勝3勝，同時考慮甲在第4場和第5場的結(jié)果，乙與丙在第3場和第6場相遇的概率為：，若乙的決賽對手是丁，則其概率與乙的決賽對手是丙相同，所以乙進入決賽，且乙與其決賽對手是第二次相遇的概率為.12．（2022春·山東泰安·高一統(tǒng)考期末）某工廠有，，三條生產(chǎn)線各自獨立地生產(chǎn)同一種汽車配件，已知生產(chǎn)線生產(chǎn)的汽車配件是合格品且生產(chǎn)線生產(chǎn)的汽車配件是合格品的概率為，生產(chǎn)線生產(chǎn)的汽車配件是非合格品且生產(chǎn)線生產(chǎn)的汽車配件是合格品的概率為，生產(chǎn)線生產(chǎn)的汽車配件是合格品且生產(chǎn)線生產(chǎn)的汽車配件是合格品的概率為，記事件，，分別為，，三條生產(chǎn)線各自生產(chǎn)的汽車配件是合格品．(1)求事件，，的概率；(2)隨機從，，三條生產(chǎn)線上各取1個汽車配件進行檢驗，求恰有2個合格品的概率．【答案】(1)，，(2)【分析】（1）借助對立事件的概率公式，把相互獨立的事件同時發(fā)生的概率表示出來，然后聯(lián)立方程組求解即可得到每個事件發(fā)生的概率；（2）隨機從三條生產(chǎn)線上各取1個汽車配件進行檢驗，恰有2個合格品的情況分為、、三種，根據(jù)相互獨立事件的概率公式求解即可.【詳解】（1）因為事件，，分別為，，三條生產(chǎn)線各自生產(chǎn)的汽車配件是合格品，則事件，，分別為，，三條生產(chǎn)線各自生產(chǎn)的汽車配件是非合格品，且，，相互獨立，，，也相互獨立．由得解得，，，（2）由（1）知，，，記事件為抽取的三個汽車配件中合格品為2個，則【雙基達標】一、單選題13．（2023春·江西贛州·高一校聯(lián)考期中）若甲?乙?丙在10分鐘之內(nèi)獨立復原魔方的概率分別為，則甲?乙?丙至多有一人在10分鐘之內(nèi)獨立復原魔方的概率為（

）A．0.26 B．0.29 C．0.32 D．0.35【答案】D【分析】應用對立事件概率，結(jié)合互斥事件加法、獨立事件乘法公式求甲?乙?丙至多有一人在10分鐘之內(nèi)獨立復原魔方的概率.【詳解】甲?乙?丙至多有一人在10分鐘之內(nèi)獨立復原魔方的概率為.故選：D14．（2023秋·江西萍鄉(xiāng)·高一統(tǒng)考期末）據(jù)統(tǒng)計，下午2點在某超市付款處排隊的人數(shù)及其概率如下表，則下午2點至多有2人排隊的概率為（

）排隊人數(shù)012345人及以上概率0.10.250.310.20.10.04A．0.31 B．0.34 C．0.35 D．0.66【答案】D【分析】至多有兩人排隊即沒有人排隊，一人排隊和兩人排隊三種情況，利用互斥事件的概率公式求解即可．【詳解】設(shè)下午2點沒有人排隊為事件，一人排隊為事件，兩人排隊為事件，則彼此互斥，因此下午2點至多有2人排隊的概率為故選：D15．（2023·高一課時練習）一批零件共有10個，其中8個正品，2個次品，每次任取一個零件裝配機器，若第二次取到合格品的概率為，第三次取到合格品的概率為，則（

）A． B． C． D．與的大小關(guān)系不確定【答案】B【分析】分兩種情況結(jié)合獨立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式求出，同理分四種情況求出.【詳解】第1次取到合格品，第2次也取到合格品的概率為，第1次取到次品，第2次取到合格品的概率為，故，第1次，第2次和第3次均取得合格品的概率為，第1次取得次品，第二次和第三次均取得合格品的概率為，第1次取得合格品，第二次取得次品，第三次取得合格品的概率為，第1次和第2次取得次品，第三次取得合格品的概率為，故.故選：B16．（2023·高一課時練習）下列說法中正確的是（

）A．事件A、B至少有一個發(fā)生的概率一定比A、B中恰有一個發(fā)生的概率大B．事件A、B同時發(fā)生的概率一定比A、B中恰有一個發(fā)生的概率小C．互斥事件一定是對立事件，對立事件也是互斥事件D．互斥事件不一定是對立事件，而對立事件一定是互斥事件【答案】D【分析】對于AB，利用事件的運算方法，舉反例排除即可；對于CD，根據(jù)對立事件與互斥事件的概念，對選項進行分析判斷即可.【詳解】對于A，因為事件A，B中至少有一個發(fā)生包括事件A發(fā)生B不發(fā)生，A不發(fā)生B發(fā)生和A，B都發(fā)生；事件A，B中恰有一個發(fā)生包括事件A發(fā)生B不發(fā)生，A不發(fā)生B發(fā)生；又當事件A，B為對立事件時，事件A，B都發(fā)生的概率為，所以事件A、B至少有一個發(fā)生與A、B中恰有一個發(fā)生是相等事件，兩者概率相等，故A錯誤；對于B，若A、B是相等事件，此時A、B恰有一個發(fā)生為不可能事件，概率為0，而事件A、B同時發(fā)生的概率必然大于或等于0，故B錯誤；對于CD，由互斥事件和對立事件的概念知，互斥事件不一定是對立事件，對立事件一定是互斥事件，故C錯誤，D正確.故選：D.17．（2023秋·高一單元測試）為了紀念2017年在德國波恩舉行的聯(lián)合國氣候大會，某社區(qū)舉辦《“環(huán)保我參與”有獎問答比賽》活動．某場比賽中，甲、乙、丙三個家庭同時回答一道有關(guān)環(huán)保知識的問題．已知甲家庭回答正確這道題的概率是，甲、丙兩個家庭都回答錯誤的概率是，乙、丙兩個家庭都回答正確的概率是．若各家庭回答是否正確互不影響．(1)求乙、丙兩個家庭各自回答正確這道題的概率；(2)求甲、乙、丙三個家庭中不少于2個家庭回答正確這道題的概率．【答案】(1)，；(2)．【分析】（1）記“甲家庭回答正確這道題”“乙家庭回答正確這道題”“丙家庭回答正確這道題”分別為事件A，B，C，根據(jù)獨立事件概率的求法計算即可得出結(jié)果；（2）根據(jù)獨立事件概率的求法分別求出有0個、1個家庭回答正確的概率，利用間接法即可求出不少于2個家庭回答正確這道題的概率．【詳解】（1）記“甲家庭回答正確這道題”“乙家庭回答正確這道題”“丙家庭回答正確這道題”分別為事件A，B，C，則，，，即，，所以，．所以乙、丙兩個家庭各自回答正確這道題的概率為和.（2）有0個家庭回答正確的概率，有1個家庭回答正確的概率，所以不少于2個家庭回答正確這道題的概率．18．（2023秋·遼寧丹東·高一統(tǒng)考期末）甲、乙兩人進行體育比賽，比賽共設(shè)三個項目，每個項目勝方得1分，負方得0分，沒有平局．三個項目比賽結(jié)束后，總得分高的人獲得冠軍．已知甲在三個項目中獲勝的概率分別為，，（），各項目的比賽結(jié)果相互獨立，甲得0分的概率是，甲得3分的概率是．(1)求，的值；(2)甲乙兩人誰獲得最終勝利的可能性大？并說明理由．【答案】(1)，(2)甲，理由見解析【分析】（1）根據(jù)獨立事件的概率公式進行求解即可；（2）根據(jù)獨立事件的概率公式和概率加法公式進行求解即可.【詳解】（1）因為，且，解得．（2）甲得2分的概率，所以甲得2分或3分的概率，那么乙得2分或3分的概率為所以甲獲得最終勝利的可能性大．【高分突破】一、單選題19．（2023秋·北京昌平·高一統(tǒng)考期末）已知射擊運動員甲擊中靶心的概率為，射擊運動員乙擊中靶心的概率為，且甲?乙兩人是否擊中靶心互不影響.若甲?乙各射擊一次，則至少有一人擊中靶心的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)獨立事件的乘法公式和對立事件的概率公式可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)甲擊中靶心為事件，乙擊中靶心為事件，則，，因為與相互獨立，所以與也相互獨立，則甲、乙都不擊中靶心的概率為，所以甲、乙至少有一人擊中靶心的概率為.故選：A20．（2022秋·高一課時練習）出租車司機老王從飯店到火車站途中經(jīng)過六個交通崗，已知各交通崗信號燈相互獨立.假設(shè)老王在各交通崗遇到紅燈的概率都是，則他遇到紅燈前已經(jīng)通過了兩個交通崗的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)相互獨立事件概率計算公式求得正確答案.【詳解】因為司機老王在第一、二個交通崗未遇到紅燈，在第三個交通崗遇到紅燈之間是相互獨立的，且遇到紅燈的概率都是，所以未遇到紅燈的概率都是，所以遇到紅燈前已經(jīng)通過了兩個交通崗的概率為.故選：B21．（2022秋·陜西漢中·高一校聯(lián)考期末）對于事件，，下列命題不正確的是（

）A．若，互斥，則B．若，對立，則C．若，獨立，則D．若，獨立，則【答案】D【分析】根據(jù)對立事件，獨立事件和互斥事件的性質(zhì)，分別進行判斷即可.【詳解】因為，互斥，互斥事件概率和在(0,1]區(qū)間，所以，故選項正確；因為，對立，對立事件概率和為1，所以，故選項正確；因為，獨立，則,也相互獨立，所以，故選項正確；因為，獨立，由獨立事件的性質(zhì)可知：二者同時發(fā)生的概率，由概率大于零可知：不一定成立，故選項錯誤；所以命題不正確的是，故選：.22．（2022春·新疆克拉瑪依·高一克拉瑪依市高級中學?？计谀┫铝袛⑹觯孩倌橙松鋼?次，“射中7環(huán)”與“射中8環(huán)”是互斥事件；②甲、乙兩人各射擊1次，“至少有1人射中目標”與“沒有人射中目標”是對立事件；③拋擲一枚硬幣，連續(xù)出現(xiàn)4次正面向上，則第5次出現(xiàn)反面向上的概率大于；④在相同條件下，進行大量重復試驗，可以用頻率來估計概率；則所有正確結(jié)論的序號是（

）A．①②④ B．①③ C．②④ D．①②【答案】A【分析】根據(jù)互斥事件，對立事件和獨立重復事件的相關(guān)定義，逐個選項進行判斷，可得答案.【詳解】對于①．某人射擊1次，“射中7環(huán)”與“射中8環(huán)”是不可能同時發(fā)生的事件，所以是互斥事件，故①正確．對于②．甲、乙兩人各射擊1次，“至少有1人射中目標”包括：1人射中，1人沒有射中和2人都射中，由對立事件的定義：“至少有1人射中目標”與“沒有人射中目標”是對立事件．故②正確．對于③．拋擲一枚硬幣n次，屬于獨立重復事件，每次出現(xiàn)正面向上的概率為，出現(xiàn)反面向上的概率為，所以連續(xù)出現(xiàn)4次正面向上，第5次出現(xiàn)反面向上的概率為，故③不正確．對于④，在相同條件下，試驗次數(shù)越多，頻率就會穩(wěn)定在概率附近，故④正確；故選：A23．（2021秋·高一課時練習）如圖，隨機事件A，B互斥，記分別為事件A，B的對立事件，那么（）A．A∪B是必然事件B．∪是必然事件C．與一定互斥D．與一定不互斥【答案】B【分析】用集合的思想看事件的Venn圖即可的解.【詳解】由Venn圖可知A，B互斥，即為不可能事件，∪是必然事件，故選：B.24．（2021秋·高一課時練習）三個元件T1，T2，T3正常工作的概率分別為，，，且是互相獨立的.若將它們接入電路中，則電路不發(fā)生故障的概率是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】記“三個元件T1，T2，T3正常工作”分別為事件A1，A2，A3，“電路不發(fā)生故障”為事件M，由M=(A2∪A3)∩A1求解.【詳解】解：記“三個元件T1，T2，T3正常工作”分別為事件A1，A2，A3，則P(A1)=，P(A2)=，P(A3)=，記“電路不發(fā)生故障”為事件M，則M=(A2∪A3)∩A1，∴不發(fā)生故障的概率為P(M)=P[(A2∪A3)∩A1]=[1-P()P()]P(A1)=×=.故選：A.25．（2023秋·遼寧沈陽·高一沈陽鐵路實驗中學?？计谀┠成虉鐾瞥龀楠劵顒樱诩壮楠勏渲杏兴膹堄歇劒勂?六張無獎獎票；乙抽獎箱中有三張有獎獎票，七張無獎獎票.每人能在甲乙兩箱中各抽一次，以A表示在甲抽獎箱中中獎的事件，B表示在乙抽獎箱中中獎的事件，C表示兩次抽獎均末中獎的事件.下列結(jié)論中不正確的是（

）A． B．事件A與事件相互獨立C．與和為 D．事件A與事件B互斥【答案】D【分析】分別求出，，進一步求出與，從而判斷AC選項，在甲抽獎箱抽獎和在乙抽獎箱抽獎互不影響，故事件A和事件B相互獨立，判斷BD選項.【詳解】，在甲抽獎箱抽獎和在乙抽獎箱抽獎互不影響，故事件A和事件B相互獨立，B項正確，故A正確，故C正確事件A與事件B相互獨立而非互斥，故D錯誤.故選：D.26．（2022春·天津·高一校聯(lián)考期末）一個質(zhì)地均勻的正四面體木塊的四個面上分別標有數(shù)字1，2，3，4.連續(xù)拋擲這個正四面體木塊兩次，并記錄每次正四面體木塊朝下的面上的數(shù)字，記事件A為“第一次向下的數(shù)字為2或3”，事件B為“兩次向下的數(shù)字之和為奇數(shù)”，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．事件A與事件B互斥C．事件A與事件B相互獨立 D．【答案】C【分析】利用互斥事件、相互獨立事件的意義及古典概率公式逐項計算判斷作答.【詳解】依題意，拋擲正四面體木塊，第一次向下的數(shù)字有1，2，3，4四個基本事件，則，A不正確；事件B含有的基本事件有8個：，其中事件發(fā)生時，事件A也發(fā)生，即事件A，B可以同時發(fā)生，B不正確；拋擲正四面體木塊兩次的所有基本事件有16個，，即事件A與事件B相互獨立，C正確；，D不正確.故選：C二、多選題27．（2023春·河南焦作·高一統(tǒng)考期中）若則（

）A． B．事件A與B不互斥C．事件A與B相互獨立 D．事件A與B不一定相互獨立【答案】BC【分析】根據(jù)互斥與獨立事件的定義判斷即可.【詳解】因為，所以與能同時發(fā)生，不是互斥事件，故B正確；，所以，故A不正確；又，故成立，故事件A與B相互獨立，故C正確，D錯誤故選：BC.28．（2023秋·遼寧沈陽·高一沈陽二十中校聯(lián)考期末）下列說法正確的有（

）A．擲一枚質(zhì)地均勻的骰子一次，事件M＝“出現(xiàn)奇數(shù)點”，事件N＝“出現(xiàn)3點或4點”，則B．袋中有大小質(zhì)地相同的3個白球和2個紅球．從中依次不放回取出2個球，則“兩球同色”的概率是C．甲，乙兩名射擊運動員進行射擊比賽，甲的中靶率為0.8，乙的中靶率為0.9，則“至少一人中靶”的概率為0.98D．某學生在上學的路上要經(jīng)過4個路口，假設(shè)在各路口是否遇到紅燈是相互獨立的，遇到紅燈的概率都是，那么該生在上學路上到第3個路口首次遇到紅燈的概率為【答案】AC【分析】計算古典概率判斷A；利用列舉法結(jié)合古典概型計算判斷B；利用對立事件及相互獨立事件求出概率判斷CD作答.【詳解】對于A，依題意，事件=“出現(xiàn)3點”，而擲骰子一次有6個不同結(jié)果，所以，A正確；對于B，記3個白球為，2個紅球為，從5個球中任取2個的不同結(jié)果有：，共10個，其中兩球同色的結(jié)果有：，共4個，所以“兩球同色”的概率是，B錯誤；對于C，依題意，“至少一人中靶”的概率為，C正確；對于D，該生在上學路上到第3個路口首次遇到紅燈，即在前兩個路口都沒有遇到紅燈，第3個路口遇到紅燈，所以到第3個路口首次遇到紅燈的概率為，D錯誤.故選：AC29．（2023秋·廣西北?！じ咭唤y(tǒng)考期末）某工廠制造一種零件，甲機床的正品率是0.7，乙機床的正品率為0.8，分別從它們制造的產(chǎn)品中任意抽取一件，則（

）A．兩件都是次品的概率為0.06B．事件“至多有一件正品”與事件“至少有一件正品”是互斥事件C．恰有一件正品的概率為0.38D．事件“兩件都是次品”與事件“至少有一件正品”是對立事件【答案】ACD【分析】求得兩件都是次品的概率判斷選項A；判定出事件“至多有一件正品”與事件“至少有一件正品”的關(guān)系判斷選項B；求得恰有一件正品的概率判斷選項C；判定出事件“兩件都是次品”與事件“至少有一件正品”的關(guān)系判斷選項D.【詳解】兩件都是次品的概率，A正確；“至多有一件正品”包含有兩件次品、一件正品和一件次品；“至少有一件正品”包含有兩件正品、一件正品和一件次品；故“至多有一件正品”“至少有一件正品”兩個事件不是互斥事件，B錯誤；恰有一件正品的概率，C正確；分別從甲乙機床制造的產(chǎn)品中任意抽取一件，共有兩件都是正品、一件正品和一件次品，兩件都是次品三種情況；“至少有一件正品”包含有兩件都是正品、一件正品和一件次品兩種情況，則“至少有一件正品”“兩件都是次品”是對立事件；D正確；故選：ACD.30．（2023秋·山東濰坊·高一統(tǒng)考期末）如圖，已知正方體頂點處有一質(zhì)點Q，點Q每次會隨機地沿一條棱向相鄰的某個頂點移動，且向每個頂點移動的概率相同，從一個頂點沿一條棱移動到相鄰頂點稱為移動一次，若質(zhì)點Q的初始位置位于點A處，記點Q移動n次后仍在底面ABCD上的概率為，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．點Q移動4次后恰好位于點的概率為0【答案】ABD【分析】根據(jù)題意找出在下或上底面時，隨機移動一次仍在原底面及另一底面的概率即可逐步分析計算確定各選項的正誤.【詳解】依題意，每一個頂點由3個相鄰的點，其中兩個在同一底面.所以當點在下底面時，隨機移動一次仍在下底面的概率為：，在上底面時，隨機移動一次回到下底面的概率為：，所以，故A選項正確；對于B：，故B選項正確；對于C：，故C選項錯誤；對于D：點由點移動到點處至少需要3次，任意折返都需要2次移動，所以移動4次后不可能到達點，所以點Q移動4次后恰好位于點的概率為0.故D選項正確；故選：ABD.三、填空題31．（2023·高一課時練習）從甲口袋中摸出1個白球的概率是，從乙口袋中摸出1個白球的概率是，那么從兩個口袋中各摸1個球，2個球都不是白球的概率是______.【答案】【分析】根據(jù)給定條件，利用相互獨立事件的概率公式計算作答.【詳解】記甲口袋中摸出1個白球的事件為A，從乙口袋中摸出1個白球的事件為B，則，而事件A與B相互獨立，因此，所以從兩個口袋中各摸1個球，2個球都不是白球的概率是.故答案為：32．（2023·高一單元測試）已知A、B是獨立事件，，，則______.【答案】【分析】根據(jù)公式和，即可求出．【詳解】∵為兩個獨立事件，∴，∵∴∴．故答案為：．33．（2023秋·北京·高一?？计谀┘?乙兩人獨立解同一道數(shù)學題目，甲解出這道題目的概率是，乙解出這道題目的概率是，這道題被解出（至少有一人解出來）的概率是__________.【答案】【分析】設(shè)這道題沒被解出來為事件A，則這道題被解出（至少有一人解出來）的概率【詳解】設(shè)數(shù)學題沒被解出來為事件A，則，則這道題被解出（至少有一人解出來）的概率：.故答案為：34．（2022·高一單元測試）2022北京冬奧會期間，吉祥物冰墩墩成為“頂流”，吸引了許多人購買，使一“墩”難求.甲?乙?丙3人為了能購買到冰墩墩，商定3人分別去不同的官方特許零售店購買，若甲?乙2人中至少有1人購買到冰墩墩的概率為，丙購買到冰墩墩的概率為，則甲，乙?丙3人中至少有1人購買到冰墩墩的概率為___________.【答案】【分析】先算出甲乙2人均購買不到冰墩墩的概率，然后算出丙購買不到冰墩墩的概率，進而算出甲乙丙3人都購買不到冰墩墩的概率，最后算出答案.【詳解】因為甲乙2人中至少有1人購買到冰墩墩的概率為，所以甲乙2人均購買不到冰墩墩的概率，因為丙購買到冰墩墩的概率為，所以丙購買不到冰墩墩的概率，所以甲乙丙3人都購買不到冰墩墩的概率，于是甲乙丙3人中至少有1人購買到冰墩墩的概率.故答案為：.35．（2022春·重慶沙坪壩·高一重慶八中校考期末）在一個由三個元件構(gòu)成的系統(tǒng)中，已知元件正常工作的概率分別是，，，且三個元件正常工作與否相互獨立，則這個系統(tǒng)正常工作的概率為______．【答案】【分析】先求出都不工作的概率，可得至少有一個能正常工作的概率，繼而求得這個系統(tǒng)正常工作的概率.【詳解】由題意可知都不工作的概率為，所以至少有一個能正常工作的概率為，故這個系統(tǒng)正常工作的概率為，故答案為：四、解答題36．（2023秋·遼寧·高一大連二十四中校聯(lián)考期末）某校團委舉辦“喜迎二十大，奮進新征程”知識競賽.比賽共分為兩輪，每位參賽選手均須參加兩輪比賽，若其在兩輪比賽中均勝出，則視為贏得比賽.已知在第一輪比賽中，選手甲、乙勝出的概率分別為，，在第二輪比賽中，甲、乙勝出的概率分別為，.甲、乙兩人在每輪比賽中是否勝出互不影響.(1)從甲、乙兩人中選取1人參加比賽，派誰參賽贏得比賽的概率更大？(2)若甲、乙兩人均參加比賽，求兩人中至少有一人贏得比賽的概率.【答案】(1)派乙參賽贏得比賽的概率更大(2)【分析】（1）記事件表示“甲在第一輪比賽中勝出”，事件表示“甲在第二輪比賽中勝出”，事件表示“乙在第一輪比賽中勝出”，事件表示“乙在第二輪比賽中勝出”，由表示“甲贏得比賽”，表示“乙贏得比賽”求解即可；（2）記表示“甲贏得比賽”，表示“乙贏得比賽”由（1）知，，由表示“兩人中至少有一個贏得比賽”，且求解即可.【詳解】（1）記事件表示“甲在第一輪比賽中勝出”，事件表示“甲在第二輪比賽中勝出”，事件表示“乙在第一輪比賽中勝出”，事件表示“乙在第二輪比賽中勝出”，所以表示“甲贏得比賽”，，表示“乙贏得比賽”，，因為，所以派乙參賽贏得比賽的概率更大；（2）記表示“甲贏得比賽”，表示“乙贏得比賽”由（1）知，，所以表示“兩人中至少有一個贏得比賽”，所以，所以兩人至少一人贏得比賽的概率為.37．（2023秋·遼寧·高一校聯(lián)考期末）某電視臺舉行沖關(guān)直播活動，該活動共有四關(guān)，只有一等獎和二等獎兩個獎項，參加活動的選手從第一關(guān)開始依次通關(guān)，只有通過本關(guān)才能沖下一關(guān)．已知第一關(guān)的通過率為0.7，第二關(guān)、第三關(guān)的通過率均為0.5，第四關(guān)的通過率為0.2，四關(guān)全部通過可以獲得一等獎（獎金為500元），通過前三關(guān)就可以獲得二等獎（獎金為200元），如果獲得二等獎又獲得一等獎，獎金可以累加．假設(shè)選手是否通過每一關(guān)相互獨立，現(xiàn)有甲、乙兩位選手參加本次活動．(1)求甲未獲得獎金的概率；(2)求甲和乙最后所得獎金之和為900元的概率．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)概率乘法公式分別求出獲得一二等獎概率，再利用對立事件即可求出甲未獲獎金的概率；（2）根據(jù)最后獎金總和分析得甲和乙中一人獲得一等獎，一人獲得二等獎，根據(jù)概率乘法和加法公式即可求解.【詳解】（1）獲得二等獎的概率