第08講 橢圓-【寒假自學(xué)課】2023年高二數(shù)學(xué)寒假精品課（滬教版2020選修第一冊）（原卷版）

第08講橢圓【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.能正熟練使用直接法、待定系數(shù)法、定義法求橢圓的方程；2.能熟練運用幾何性質(zhì)（如范圍、對稱性、頂點、離心率）解決相關(guān)問題；3.能夠把直線與橢圓的位置關(guān)系的問題轉(zhuǎn)化為方程組解的問題，判斷位置關(guān)系及解決相關(guān)問題.【基礎(chǔ)知識】一．橢圓的定義【知識點的認(rèn)識】1．橢圓的第一定義平面內(nèi)與兩個定點F1、F2的距離的和等于常數(shù)2a（2a＞|F1F2|）的動點P的軌跡叫做橢圓，其中，這兩個定點F1、F2叫做橢圓的焦點，兩焦點之間的距離|F1F2|叫做焦距．2．橢圓的第二定義平面內(nèi)到一個定點的距離和到一條定直線的距離之比是常數(shù)e＝（0＜e＜1，其中a是半長軸，c是半焦距）的點的軌跡叫做橢圓，定點是橢圓的焦點，定直線叫橢圓的準(zhǔn)線，常數(shù)e叫橢圓的離心率．3．注意要點橢圓第一定義中，橢圓動點P滿足{P||PF1|+|PF2|＝2a}．（1）當(dāng)2a＞|F1F2|時，動點P的軌跡是橢圓；（2）當(dāng)2a＝|F1F2|時，動點P的軌跡是線段F1F2；（3）當(dāng)2a＜|F1F2|時，動點P沒有運動軌跡．【命題方向】利用定義判斷動點運動軌跡，需注意橢圓定義中的限制條件：只有當(dāng)平面內(nèi)動點P與兩個定點F1、F2的距離的和2a＞|F1F2|時，其軌跡才為橢圓．1．根據(jù)定義判斷動點軌跡例：如圖，一圓形紙片的圓心為O，F(xiàn)是圓內(nèi)一定點，M是圓周上一動點，把紙片折疊使M與F重合，然后抹平紙片，折痕為CD，設(shè)CD與OM交于點P，則點P的軌跡是（）A．橢圓B．雙曲線C．拋物線D．圓分析：根據(jù)CD是線段MF的垂直平分線．可推斷出|MP|＝|PF|，進而可知|PF|+|PO|＝|PM|+|PO|＝|MO|結(jié)果為定值，進而根據(jù)橢圓的定義推斷出點P的軌跡．解答：由題意知，CD是線段MF的垂直平分線．∴|MP|＝|PF|，∴|PF|+|PO|＝|PM|+|PO|＝|MO|（定值），又顯然|MO|＞|FO|，∴根據(jù)橢圓的定義可推斷出點P軌跡是以F、O兩點為焦點的橢圓．故選A點評：本題主要考查了橢圓的定義的應(yīng)用．考查了學(xué)生對橢圓基礎(chǔ)知識的理解和應(yīng)用．2．與定義有關(guān)的計算例：已知橢圓上的一點P到左焦點的距離為，則點P到右準(zhǔn)線的距離為（）A．2B．2C．5D．3分析：先由橢圓的第一定義求出點P到右焦點的距離，再用第二定義求出點P到右準(zhǔn)線的距離d．解答：由橢圓的第一定義得點P到右焦點的距離等于4﹣＝，離心率e＝，再由橢圓的第二定義得＝e＝，∴點P到右準(zhǔn)線的距離d＝5，故選C．點評：本題考查橢圓的第一定義和第二定義，以及橢圓的簡單性質(zhì)．二．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【知識點的認(rèn)識】橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種形式：（1）（a＞b＞0），焦點在x軸上，焦點坐標(biāo)為F（±c，0），焦距|F1F2|＝2c；（2）（a＞b＞0），焦點在y軸上，焦點坐標(biāo)為F（0，±c），焦距|F1F2|＝2c．兩種形式相同點：形狀、大小相同；都有a＞b＞0；a2＝b2+c2兩種形式不同點：位置不同；焦點坐標(biāo)不同．標(biāo)準(zhǔn)方程（a＞b＞0）中心在原點，焦點在x軸上（a＞b＞0）中心在原點，焦點在y軸上圖形頂點A（a，0），A′（﹣a，0）B（0，b），B′（0，﹣b）A（b，0），A′（﹣b，0）B（0，a），B′（0，﹣a）對稱軸x軸、y軸，長軸長2a，短軸長2b焦點在長軸長上x軸、y軸，長軸長2a，短軸長2b焦點在長軸長上焦點F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0）F1（0，﹣c），F(xiàn)2（0，c）焦距|F1F2|＝2c（c＞0）c2＝a2﹣b2|F1F2|＝2c（c＞0）c2＝a2﹣b2離心率e＝（0＜e＜1）e＝（0＜e＜1）準(zhǔn)線x＝±y＝±三．橢圓的性質(zhì)【知識點的認(rèn)識】1．橢圓的范圍2．橢圓的對稱性3．橢圓的頂點頂點：橢圓與對稱軸的交點叫做橢圓的頂點．頂點坐標(biāo)（如上圖）：A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b）其中，線段A1A2，B1B2分別為橢圓的長軸和短軸，它們的長分別等于2a和2b，a和b分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長．4．橢圓的離心率①離心率：橢圓的焦距與長軸長的比叫做橢圓的離心率，用e表示，即：e＝，且0＜e＜1．②離心率的意義：刻畫橢圓的扁平程度，如下面兩個橢圓的扁平程度不一樣：e越大越接近1，橢圓越扁平，相反，e越小越接近0，橢圓越圓．當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，c＝0，橢圓變?yōu)閳A，方程為x2+y2＝a2．5．橢圓中的關(guān)系：a2＝b2+c2．【考點剖析】一．橢圓的定義（共3小題）1．（2022春?黃浦區(qū)校級期中）如圖，AB是平面α的斜線段，A為斜足，若點P在平面α內(nèi)運動，使得△ABP的面積為定值，則動點P的軌跡是（）A．圓 B．橢圓 C．一條直線 D．兩條平行直線2．（2021春?奉賢區(qū)校級月考）已知F1、F2是定點，|F1F2|＝6．若動點M滿足|MF1|+|MF2|＝6，則動點M的軌跡是（）A．直線 B．線段 C．圓 D．橢圓3．（2019秋?浦東新區(qū)校級期末）若方程表示焦點在x軸上的橢圓，則k的取值范圍是．二．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（共5小題）4．（2022春?楊浦區(qū)校級期中）若方程表示的曲線是橢圓，則實數(shù)k的取值范圍為．5．（2021秋?長寧區(qū)校級期末）若橢圓的長軸長是短軸長的2倍，它的一個焦點是F1（0，﹣3），則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．6．（2022秋?嘉定區(qū)校級期中）若方程表示橢圓，則實數(shù)m的取值范圍是．7．（2022秋?楊浦區(qū)校級期中）一個圓經(jīng)過橢圓＝1的三個頂點．且圓心在x軸的正半軸上．則該圓標(biāo)準(zhǔn)方程為．8．（2021秋?崇明區(qū)期末）若橢圓C的焦點和頂點分別是雙曲線的頂點和焦點，則橢圓C的方程是．三．橢圓的性質(zhì)（共20小題）9．（2022春?金山區(qū)期中）已知F1，F(xiàn)2是橢圓＝1的兩個焦點，過F1的直線交此橢圓于A，B兩點，若|AF2|+|BF2|＝8，則|AB|＝．10．（2021秋?楊浦區(qū)校級期末）2021年12月29日19時13分，長征二號丁遙四十一運載火箭在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心點火升空，成功將天繪﹣4衛(wèi)星送入預(yù)定軌道，發(fā)射任務(wù)取得圓滿成功．已知天繪﹣4衛(wèi)星的運行軌道是以地球的中心為焦點的橢圓，距地球表面最近點的距離為m千米，距地球表面最遠點的距離為n千米，地球可近似地看作一個半徑為R千米的球體，則天繪﹣4衛(wèi)星的運動軌道的短軸長為（）千米．A．m+n+2R B． C． D．11．（2022春?徐匯區(qū)期末）設(shè)橢圓的焦距為2c，若b2＝ac，則橢圓的離心率為．12．（2022春?長寧區(qū)校級期末）若P（x，y）為橢圓C：上的一點，則x+y的最大值為．13．（2022春?楊浦區(qū)校級期中）設(shè)F1、F2分別是橢圓的左、右焦點，點P在橢圓C上，且滿足，則＝．14．（2022春?楊浦區(qū)校級期中）與橢圓有相等的焦距，且過圓x2+y2﹣6x﹣8y＝0的圓心的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．15．（2022春?黃浦區(qū)校級期中）方程表示橢圓，則實數(shù)k的取值范圍是．16．（2022春?寶山區(qū)校級期中）已知直線l交橢圓于A，B兩點，且線段AB的中點為（﹣1，1），則直線l的斜率為．17．（2022春?寶山區(qū)校級期中）已知橢圓+＝1（a＞b＞0）的左、右焦點分別是F1，F(xiàn)2，點A是橢圓上位于x軸上方的一點，若直線AF1的斜率為，且|AF1|＝|F1F2|，則橢圓的離心率為．18．（2022?迎澤區(qū)校級模擬）國家體育場“鳥巢”的鋼結(jié)構(gòu)鳥瞰圖如圖1所示，內(nèi)外兩圈的鋼骨架是離心率相同的橢圓；某校體育館的鋼結(jié)構(gòu)與“鳥巢”相同，其平面圖如圖2所示，若由外層橢圓長軸一端點A和短軸一端點B分別向內(nèi)層橢圓引切線AC，BD，且兩切線斜率之積等于，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．19．（2022春?閔行區(qū)校級期末）設(shè)F1、F2分別是橢圓E：x2+＝1（0＜b＜1）的左、右焦點，過F1的直線l與橢圓E相交于A、B兩點，且2|AB|＝|AF2|+|BF2|，則|AB|的長為（）A． B．1 C． D．20．（2022春?虹口區(qū)校級期末）已知橢圓的焦點分別F1（﹣3，0）、F2（3，0），點A為橢圓Γ的上頂點，直線AF2，與橢圓Γ的另一個交點為B．若|BF1|＝5|BF2|，則橢圓Γ的方程為．21．（2022春?徐匯區(qū)校級期末）已知橢圓滿足，長軸AB上2021個等分點從左至右依次為點M1，M2，?，M2021，過點M1作斜率為k（k≠0）的直線，交橢圓于P1、P2兩點，P1點在x軸上方；過M2點作斜率為k（k≠0）的直線，交橢圓于P3、P4兩點，P3點在x軸上方；以此類推，過M2021點作斜率為k（k≠0）的直線，交橢圓于P4041、P4042兩點，P4041點在x軸上方；則4042條直線AP1，AP2，?，AP4042的斜率乘積為．22．（2022春?徐匯區(qū)校級期末）設(shè)橢圓的左、右焦點分別為F1、F2，點P在該橢圓上，則使得△F1F2P為等腰三角形的個數(shù)是．23．（2022春?徐匯區(qū)期末）已知定點A（a，0）（a＞0）到橢圓上的點的距離的最小值為1，則a的值為．24．（2022春?寶山區(qū)校級期中）設(shè)F1、F2是橢圓的左、右焦點，過F1的直線l交橢圓于A、B兩點，則|AF2|+|BF2|的最大值為．25．（2022春?黃浦區(qū)校級期中）已知直線l：2x﹣y+2＝0與x軸的交點為F1，與y軸的交點為B．（1）將直線l繞著點F1按逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°得到直線l'，則直線l'的斜率為；（2）若F1、B是橢圓的一個焦點和一個頂點，F(xiàn)2是橢圓的另一個焦點，則cos∠F1BF2＝．26．（2022春?楊浦區(qū)校級期中）我國計劃發(fā)射火星探測器天問一號，該探測器的運行軌道是以火星（其半徑R＝34百公里）的中心F為一個焦點的橢圓．如圖，已知探測器的近火星點（軌道上離火星表面最近的點），A到火星表面的距離為8百公里，遠火星點（軌道上離火星表面最遠的點）B到火星表面的距離為800百公里．（1）請求出天問一號運行軌道的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）假定該探測器由近火星點A第一次逆時針運行到與軌道中心O的距離為百公里時進行變軌，其中a、b分別為橢圓的長半軸、短半軸的長，求此時探測器與火星表面的距離（精確到1百公里）．27．（2022春?金山區(qū)期中）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C過點（0，2），其焦點為．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知點P在橢圓C上，且|PF1|＝4，求△PF1F2的面積．【過關(guān)檢測】一、單選題1．（2022·上海市行知中學(xué)高二階段練習(xí)）“”是“方程表示橢圓”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件2．（2022·上海市嘉定區(qū)第二中學(xué)高二期中）2021年12月29日19時13分，長征二號丁遙四十一運載火箭在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心點火升空，成功將天繪-4衛(wèi)星送入預(yù)定軌道，發(fā)射任務(wù)取得圓滿成功.已知天繪-4衛(wèi)星的運行軌道是以地球的中心為焦點的橢圓，距地球表面最近點的距離為m千米，距地球表面最遠點的距離為n千米，地球可近似地看作一個半徑為R千米的球體，則天繪-4衛(wèi)星的運動軌道的短軸長為（

）千米.A． B． C． D．3．（2022·上?！らh行中學(xué)高二期中）若方程表示焦點在軸上的橢圓，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．或4．（2022·上海市嘉定區(qū)第二中學(xué)高二期末）橢圓的左、右焦點分別為，過焦點的傾斜角為直線交橢圓于兩點，弦長，若三角形的內(nèi)切圓的面積為，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．5．（2022·上海金山·高二期中）國家體育場“鳥巢”的鋼結(jié)構(gòu)鳥瞰圖如圖1所示，內(nèi)外兩圈的鋼骨架是離心率相同的橢圓；某校體育館的鋼結(jié)構(gòu)與“鳥巢”相同，其平面圖如圖2所示，若由外層橢圓長軸一端點和短軸一端點分別向內(nèi)層橢圓引切線，，且兩切線斜率之積等于，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．二、填空題6．（2022·上?！げ軛疃懈叨谀┮阎?是橢圓的左?右焦點，點是橢圓上任意一點，以為直徑作圓，直線與圓交于點（點不在橢圓內(nèi)部），則______.7．（2022·上海市向明中學(xué)高二期末）已知橢圓，的上頂點為，兩個焦點為、，離心率為．過且垂直于的直線與交于、兩點，則的周長是_____．8．（2022·上海市嘉定區(qū)第一中學(xué)高二期末）已知橢圓，焦點，．若過的直線和圓相切，與橢圓的第一象限交于點，且軸，則該直線的斜率是_______．9．（2022·上海市建平中學(xué)高二期中）設(shè)橢圓上一點M到左焦點的距離為3，記N為的中點，O為坐標(biāo)原點，則______.10．（2022·上?！?fù)旦附中高二期中）橢圓的焦距為，則實數(shù)的值為___________.11．（2022·上海虹口·高二期末）已知為橢圓上的一點，若，分別是圓和上的點，則的最大值為________．12．（2022·上?！とA師大二附中高二期中）已知橢圓：的左、右兩個焦點分別為、，過的直線交橢圓于兩點.若是等邊三角形，則的值等于_________.13．（2022·上海市行知中學(xué)高二期中）已知直線交橢圓于兩點，且線段的中點為，則直線的斜率為______.14．（2022·上海崇明·高二期末）參加數(shù)學(xué)興趣小組的小何同學(xué)在打籃球時，發(fā)現(xiàn)當(dāng)籃球放在地面上時，籃球的斜上方燈泡照過來的光線使得籃球在地面上留下的影子有點像數(shù)學(xué)課堂上學(xué)過的橢圓，但他自己還是不太確定這個想法，于是回到家里翻閱了很多參考資料，終于明白自己的猜想是沒有問題的，而且通過學(xué)習(xí)，他還確定地面和籃球的接觸點（切點）就是影子橢圓的焦點.他在家里做了個探究實驗：如圖所示，桌面上有一個籃球，若籃球的半徑為個單位長度，在球的右上方有一個燈泡（當(dāng)成質(zhì)點），燈泡與桌面的距離為個單位長度，燈泡垂直照射在平面的點為，影子橢圓的右頂點到點的距離為個單位長度，則這個影子橢圓的離心率______.15．（2022·上海市延安中學(xué)高二期末）若橢圓的長軸長是短軸長之的2倍，它的一個焦點是，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為___________.16．（2022·上海市崇明中學(xué)高二期中）圓錐曲線的焦點在軸上，離心率為，則實數(shù)的值是__________.17．（2022·上海市復(fù)旦實驗中學(xué)高二期末）已知，是橢圓：的兩個焦點，為橢圓上一點，且若的面積為，則______