《余弦定理》教學(xué)設(shè)計(jì)、導(dǎo)學(xué)案、同步練習(xí)

《6.4.3余弦定理、正弦定理》教學(xué)設(shè)計(jì)第一課時(shí)余弦定理【教材分析】本節(jié)課選自《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)教科書-必修第二冊》（人教A版）第六章《平面向量及其應(yīng)用》，本節(jié)課主要學(xué)習(xí)余弦定理及利用余弦定理的應(yīng)用。本節(jié)課在證明了余弦定理及其推論以后,教科書從余弦定理與勾股定理的比較中,提出了一個(gè)考問題“勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關(guān)系,余弦定理則指出了一般三角形中三邊平方之間的關(guān)系,如何看這兩個(gè)定理之間的關(guān)系?”并進(jìn)而指出,“從余弦定理以及余弦函數(shù)的性質(zhì)可知,如果一個(gè)三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方,那么第三邊所對(duì)的角是直角;如果小于第三邊的平方,那么第三邊所對(duì)的角是鈍角;如果大于第三邊的平方那么第三邊所對(duì)的角是銳角。由上可知,余弦定理是勾股定理的推廣”,還要啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生注意余弦定理的各種變形式并總結(jié)余弦定理的適用題型的特點(diǎn)，在解題時(shí)正確選用余弦定理達(dá)到求解，求證目的啟發(fā)學(xué)生在證明余弦定理時(shí)能與向量數(shù)量積的知識(shí)產(chǎn)生聯(lián)系，在應(yīng)用向量知識(shí)的同時(shí)注意使學(xué)生體會(huì)三角函數(shù)、正弦定理、向量數(shù)量積等多處知識(shí)之間的聯(lián)系?！窘虒W(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)】課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)A.掌握余弦定理的證明方法，牢記公式；B.掌握余弦定理公式的變式，會(huì)靈活應(yīng)用余弦定理解決兩類解三角形問題；C.掌握給出三邊判斷三角形的形狀問題；D.培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合的能力。1.數(shù)學(xué)抽象：余弦定理的推導(dǎo)過程；2.邏輯推理：余弦定理的證明；3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：利用余弦定理解三角形；4.直觀想象：數(shù)形結(jié)合法；【教學(xué)重點(diǎn)】：余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過程及其基本應(yīng)用；【教學(xué)難點(diǎn)】：利用向量的數(shù)量積推導(dǎo)余弦定理的思想方法及利用余弦定理求解三角形的思路?！窘虒W(xué)過程】教學(xué)過程教學(xué)設(shè)計(jì)意圖復(fù)習(xí)回顧，溫故知新1.向量的減法：【答案】。相同起點(diǎn)，尾尾相連，指向被減向量。2.向量的數(shù)量積【答案】3.證明三角形全等的方法有哪些？【答案】ASA，AAS，SAS，SSS。二、探索新知探究1.在三角形ABC中，三個(gè)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，怎樣用a，b和C表示c？【解析】，所以。同理可證：余弦定理：三角形中任何一邊的平方，等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍，即應(yīng)用：已知兩邊和一個(gè)夾角，求第三邊．思考1：余弦定理指出了三角形的三條邊與其中的一個(gè)角之間的關(guān)系，應(yīng)用余弦定理，我們可以解決已知三角形的三邊確定三角形的角的問題，怎么確定呢？由余弦定理變形得應(yīng)用：已知三條邊求角度。思考2：勾股定理指出了直角三角形中的三條邊之間的關(guān)系，余弦定理則指出了三角形的三條邊與其中一個(gè)角之間的關(guān)系，你能說說這兩個(gè)定理之間的關(guān)系嗎？【解析】探究2：當(dāng)角C為直角時(shí)，有，當(dāng)角C為銳角時(shí)，這三者的關(guān)系是什么？鈍角呢？【結(jié)論】當(dāng)角C為銳角時(shí)，；當(dāng)角C為鈍角時(shí)，；當(dāng)角C為直角時(shí)，。一般地，三角形的三個(gè)角A，B，C和它們的對(duì)邊a，b，c叫做三角形的元素，已知三角形的幾個(gè)元素求其它元素的過程叫做解三角形。例1.在中，已知b=60cm，c=34cm，，解這個(gè)三角形（角度精準(zhǔn)到，邊長精確到1cm.）解：由余弦定理，得所以，由余弦定理的推論，得，利用計(jì)算器，可得所以，例2.在中，已知a=7，b=8，銳角C滿足，求B。（精準(zhǔn)到)通過復(fù)習(xí)所學(xué)知識(shí)，建立知識(shí)間的聯(lián)系，提高學(xué)生概括、類比推理的能力。通過探究，由向量證明余弦定理，提高學(xué)生分析問題、概括能力。通過思考，推導(dǎo)余弦定理的推論，提高學(xué)生解決問題的能力。通過思考與探究，進(jìn)一步推導(dǎo)余弦定理的變形結(jié)論，提高學(xué)生的觀察、概括能力。通過例題的講解，讓學(xué)生進(jìn)一步理解余弦定理，提高學(xué)生解決與分析問題的能力。三、達(dá)標(biāo)檢測1．在△ABC中，a＝7，b＝4eq\r(3)，c＝eq\r(13)，則△ABC的最小角為()A.eq\f(π,3)B.eq\f(π,6)C.eq\f(π,4)D.eq\f(π,12)【答案】B【解析】由三角形邊角關(guān)系可知，角C為△ABC的最小角，則cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(72＋4\r(3)2－\r(13)2,2×7×4\r(3))＝eq\f(\r(3),2)，所以C＝eq\f(π,6)，故選B.2．在△ABC中，已知a2＝b2＋c2＋bc，則角A等于()A．60°B．45°C．120° D．30°【答案】C【解析】由cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝－eq\f(1,2)，∴A＝120°.故選C。3．在△ABC中，若a＝2bcosC，則△ABC的形狀為________．【答案】等腰三角形【解析】∵a＝2bcosC＝2b·eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(a2＋b2－c2,a)，∴a2＝a2＋b2－c2，即b2＝c2，b＝c，∴△ABC為等腰三角形．4．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知B＝C,2b＝eq\r(3)a，則cosA＝________.【答案】eq\f(1,3)【解析】由B＝C,2b＝eq\r(3)a，可得b＝c＝eq\f(\r(3),2)a，所以cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(\f(3,4)a2＋\f(3,4)a2－a2,2×\f(\r(3),2)a×\f(\r(3),2)a)＝eq\f(1,3).5．在△ABC中，已知a＝5，b＝3，角C的余弦值是方程5x2＋7x－6＝0的根，求第三邊c的長．【解析】5x2＋7x－6＝0可化為(5x－3)·(x＋2)＝0，∴x1＝eq\f(3,5)，x2＝－2(舍去)，∴cosC＝eq\f(3,5).根據(jù)余弦定理，c2＝a2＋b2－2abcosC＝52＋32－2×5×3×eq\f(3,5)＝16，∴c＝4，即第三邊長為4.通過練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識(shí)，通過學(xué)生解決問題的能力，感悟其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)。四、小結(jié)1.余弦定理及其推論；2.利用余弦定理的解三角形。五、作業(yè)習(xí)題6.46（1）（2）題通過總結(jié)，讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固本節(jié)所學(xué)內(nèi)容，提高概括能力,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和邏輯推理能力。【教學(xué)反思】本課中,教師立足于所創(chuàng)設(shè)的情境,通過學(xué)生自主探索、合作交流,親身經(jīng)歷了提出問題解決問題、應(yīng)用反思的過程,學(xué)生成為余弦定理的“發(fā)現(xiàn)者”和“創(chuàng)造者”,切身感受了創(chuàng)造的苦和樂,知識(shí)目標(biāo)、能力目標(biāo)、情感目標(biāo)均得到了較好的落實(shí),為今后的定理教學(xué)提供了一些有用的借鑒。創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境是“情境問題反思應(yīng)用”教學(xué)的基礎(chǔ)環(huán)節(jié),教師必須對(duì)學(xué)生的身心特點(diǎn)、知識(shí)水平、教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)目標(biāo)等因素進(jìn)行綜合考慮,對(duì)可用的情境進(jìn)行比較,選擇具有較好的教育功能的情境。《6.4.3余弦定理、正弦定理》導(dǎo)學(xué)案第1課時(shí)余弦定理【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.掌握余弦定理的證明方法，牢記公式；2.掌握余弦定理公式的變式，會(huì)靈活應(yīng)用余弦定理解決兩類解三角形問題；3.掌握給出三邊判斷三角形的形狀問題；4.培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合的能力?！窘虒W(xué)重點(diǎn)】：余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過程及其基本應(yīng)用；【教學(xué)難點(diǎn)】：利用向量的數(shù)量積推導(dǎo)余弦定理的思想方法及利用余弦定理求解三角形的思路?！局R(shí)梳理】余弦定理文字表述三角形中任何一邊的平方，等于減去這兩邊與它們的兩倍公式表達(dá)a2＝，b2＝，c2＝。變形cosA＝；cosB＝；cosC＝?！緦W(xué)習(xí)過程】一、探索新知探究1.在三角形ABC中，三個(gè)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，怎樣用a，b和C表示c？余弦定理：三角形中任何一邊的平方，等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍，即應(yīng)用：已知兩邊和一個(gè)夾角，求第三邊．思考1：余弦定理指出了三角形的三條邊與其中的一個(gè)角之間的關(guān)系，應(yīng)用余弦定理，我們可以解決已知三角形的三邊確定三角形的角的問題，怎么確定呢？思考2：勾股定理指出了直角三角形中的三條邊之間的關(guān)系，余弦定理則指出了三角形的三條邊與其中一個(gè)角之間的關(guān)系，你能說說這兩個(gè)定理之間的關(guān)系嗎？探究2：當(dāng)角C為直角時(shí)，有，當(dāng)角C為銳角時(shí)，這三者的關(guān)系是什么？鈍角呢？一般地，三角形的三個(gè)角A，B，C和它們的對(duì)邊a，b，c叫做三角形的元素，已知三角形的幾個(gè)元素求其它元素的過程叫做解三角形。例1.在中，已知b=60cm，c=34cm，，解這個(gè)三角形（角度精準(zhǔn)到，邊長精確到1cm.）例2.在中，已知a=7，b=8，銳角C滿足，求B。（精準(zhǔn)到)【達(dá)標(biāo)檢測】1．在△ABC中，a＝7，b＝4eq\r(3)，c＝eq\r(13)，則△ABC的最小角為()A.eq\f(π,3)B.eq\f(π,6)C.eq\f(π,4)D.eq\f(π,12)2．在△ABC中，已知a2＝b2＋c2＋，則角A等于()A．60°B．45°C．120° D．30°3．在△ABC中，若a＝2bcosC，則△ABC的形狀為________．4．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知B＝C,2b＝eq\r(3)a，則cosA＝________.5．在△ABC中，已知a＝5，b＝3，角C的余弦值是方程5x2＋7x－6＝0的根，求第三邊c的長．參考答案：探究1.，所以。同理可證：余弦定理：思考1.由余弦定理變形得思考2.探究2.【結(jié)論】當(dāng)角C為銳角時(shí)，；當(dāng)角C為鈍角時(shí)，；當(dāng)角C為直角時(shí)，。例1.解：由余弦定理，得所以，由余弦定理的推論，得，利用計(jì)算器，可得所以，例2.達(dá)標(biāo)檢測1.【答案】B【解析】由三角形邊角關(guān)系可知，角C為△ABC的最小角，則cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(72＋4\r(3)2－\r(13)2,2×7×4\r(3))＝eq\f(\r(3),2)，所以C＝eq\f(π,6)，故選B.2.【答案】C【解析】由cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝－eq\f(1,2)，∴A＝120°.故選C。3.【答案】等腰三角形【解析】∵a＝2bcosC＝2b·eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(a2＋b2－c2,a)，∴a2＝a2＋b2－c2，即b2＝c2，b＝c，∴△ABC為等腰三角形．4.【答案】eq\f(1,3)【解析】由B＝C,2b＝eq\r(3)a，可得b＝c＝eq\f(\r(3),2)a，所以cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(\f(3,4)a2＋\f(3,4)a2－a2,2×\f(\r(3),2)a×\f(\r(3),2)a)＝eq\f(1,3).5.【解析】5x2＋7x－6＝0可化為(5x－3)·(x＋2)＝0，∴x1＝eq\f(3,5)，x2＝－2(舍去)，∴cosC＝eq\f(3,5).根據(jù)余弦定理，c2＝a2＋b2－2abcosC＝52＋32－2×5×3×eq\f(3,5)＝16，∴c＝4，即第三邊長為4.《6.4.3余弦定理、正弦定理》同步練習(xí)第一課時(shí)余弦定理一、選擇題1．在中，已知，，，則a等于（）A． B．6 C．或6 D．2．的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c．已知，，，則（）A． B． C．2 D．33．在中，若，則最大角的余弦值是（）A． B． C． D．4．已知銳角三角形的三邊長分別為1，3，a，則a的取值范圍是（）A．8＜a<10 B．2＜a＜C．2＜a＜10 D．＜a＜85．（多選題）在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，則角的值為（）A． B．或 C． D．6.（多選題）設(shè)的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若且b<c，則（）A.b=2B.C.D.二、填空題7．已知中，，則＝________．8．在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，則_____________.9．已知a，b，c為△ABC的三邊，B＝120°，則a2＋c2＋ac－b2＝________.10.設(shè)的內(nèi)角的對(duì)邊分別為．若，且則A=，是_________三角形．三、解答題11．設(shè)的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值．12．在中，，，已知，是方程的兩個(gè)根，且．（1）求角的大?。唬?）求的長．《6.4.3余弦定理、正弦定理》同步練習(xí)答案解析第一課時(shí)余弦定理一、選擇題1．在中，已知，，，則a等于（）A． B．6 C．或6 D．【答案】A【解析】由余弦定理得4812－2×××()＝84，所以．故選A．2．的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c．已知，，，則（）A． B． C．2 D．3【答案】D【解析】由余弦定理，得，解得（舍去）．故選D．3．在中，若，則最大角的余弦值是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由余弦定理得，解得，可知角最大，則．故選C．4．已知銳角三角形的三邊長分別為1，3，a，則a的取值范圍是（）A．8＜a<10 B．2＜a＜C．2＜a＜10 D．＜a＜8【答案】B【解析】若a是最大邊，則即3＜a＜；若3是最大邊，則，即3＞＞2；當(dāng)a=3時(shí)符合題意，綜上2＜a＜，故選B．5．（多選題）在中