《余弦定理、正弦定理應(yīng)用舉例》教案、導(dǎo)學(xué)案、課后作業(yè)

《6.4.3余弦定理、正弦定理》教案第3課時(shí)余弦定理、正弦定理應(yīng)用舉例【教材分析】三角形中的幾何計(jì)算問題主要包括長度、角、面積等，常用的方法就是構(gòu)造三角形，把所求的問題轉(zhuǎn)化到三角形中，然后選擇正弦定理、余弦定理加以解決，有的問題與三角函數(shù)聯(lián)系比較密切，要熟練運(yùn)用有關(guān)三角函數(shù)公式.【教學(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)】課程目標(biāo)1、能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些有關(guān)測(cè)量距離的實(shí)際問題，了解常用的測(cè)量相關(guān)術(shù)語；2、激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,并體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值；同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用圖形、數(shù)學(xué)符號(hào)表達(dá)題意和應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想解決數(shù)學(xué)問題的能力.數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)1.數(shù)學(xué)抽象：方位角、方向角等概念；2.邏輯推理：分清已知條件與所求，逐步求解問題的答案；3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：解三角形；4.數(shù)學(xué)建模：數(shù)形結(jié)合，從實(shí)際問題中抽象出一個(gè)或幾個(gè)三角形，然后通過解這些三角形，得到所求的量，從而得到實(shí)際問題的解．【教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)】重點(diǎn)：由實(shí)際問題中抽象出一個(gè)或幾個(gè)三角形，然后逐個(gè)解決三角形，得到實(shí)際問題的解；難點(diǎn)：根據(jù)題意建立數(shù)學(xué)模型，畫出示意圖.【教學(xué)過程】一、情景導(dǎo)入在古代，天文學(xué)家沒有先進(jìn)的儀器就已經(jīng)估算出了兩者的距離，是什么神奇的方法探索到這個(gè)奧秘的呢？我們知道，對(duì)于未知的距離、高度等，存在著許多可供選擇的測(cè)量方案，但是沒有足夠的空間，不能用全等三角形的方法來測(cè)量，所以，有些方法會(huì)有局限性。于是上面介紹的問題是用以前的方法所不能解決的。那么運(yùn)用正弦定理、余弦定理能否解決這些問題？又怎么解決？要求：讓學(xué)生自由發(fā)言，教師不做判斷。而是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步觀察.研探.二、預(yù)習(xí)課本，引入新課閱讀課本48-51頁，思考并完成以下問題1、方向角和方位角各是什么樣的角？2、怎樣測(cè)量物體的高度？3、怎樣測(cè)量物體所在的角度？要求：學(xué)生獨(dú)立完成，以小組為單位，組內(nèi)可商量，最終選出代表回答問題。三、新知探究1、實(shí)際測(cè)量中的有關(guān)名稱、術(shù)語名稱定義圖示基線在測(cè)量中，根據(jù)測(cè)量需要適當(dāng)確定的線段叫做基線仰角在同一鉛垂平面內(nèi)，視線在水平線上方時(shí)與水平線的夾角俯角在同一鉛垂平面內(nèi)，視線在水平線下方時(shí)與水平線的夾角方向角從指定方向線到目標(biāo)方向線的水平角(指定方向線是指正北或正南或正東或正西，方向角小于90°)方位角從正北的方向線按順時(shí)針到目標(biāo)方向線所轉(zhuǎn)過的水平角四、典例分析、舉一反三題型一測(cè)量高度問題例1濟(jì)南泉城廣場(chǎng)上的泉標(biāo)是隸書“泉”字，其造型流暢別致，成了濟(jì)南的標(biāo)志和象征．李明同學(xué)想測(cè)量泉標(biāo)的高度，于是他在廣場(chǎng)的A點(diǎn)測(cè)得泉標(biāo)頂端的仰角為60°，他又沿著泉標(biāo)底部方向前進(jìn)15.2m，到達(dá)B點(diǎn)，測(cè)得泉標(biāo)頂部仰角為80°.你能幫李明同學(xué)求出泉標(biāo)的高度嗎？(精確到1m)【答案】泉城廣場(chǎng)上泉標(biāo)的高約為38m.【解析】如圖所示，點(diǎn)C，D分別為泉標(biāo)的底部和頂端．依題意，∠BAD＝60°，∠CBD＝80°，AB＝15.2m，則∠ABD＝100°，故∠ADB＝180°－(60°＋100°)＝20°.在△ABD中，根據(jù)正弦定理，eq\f(BD,sin60°)＝eq\f(AB,sin∠ADB).∴BD＝eq\f(AB·sin60°,sin20°)＝eq\f(15.2·sin60°,sin20°)≈38.5(m)．在Rt△BCD中，CD＝BDsin80°＝38.5·sin80°≈38(m)，即泉城廣場(chǎng)上泉標(biāo)的高約為38m.解題技巧（測(cè)量高度技巧）(1)在測(cè)量高度時(shí)，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一鉛垂面內(nèi)，視線與水平線的夾角；(2)準(zhǔn)確理解題意，分清已知條件與所求，畫出示意圖；(3)運(yùn)用正、余弦定理，有序地解相關(guān)的三角形，逐步求解問題的答案，注意方程思想的運(yùn)用．跟蹤訓(xùn)練一1、乙兩樓相距200m，從乙樓底望甲樓頂?shù)难鼋菫?0°，從甲樓頂望乙樓頂?shù)母┙菫?0°，則甲、乙兩樓的高分別是多少？【答案】甲樓高為200eq\r(3)m，乙樓高為eq\f(400\r(3),3)m.【解析】如圖所示，AD為乙樓高，BC為甲樓高．在△ABC中，BC＝200×tan60°＝200eq\r(3)，AC＝200÷sin30°＝400，由題意可知∠ACD＝∠DAC＝30°，∴△ACD為等腰三角形．由余弦定理得AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD·cos120°，4002＝AD2＋AD2－2AD2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝3AD2，AD2＝eq\f(4002,3)，AD＝eq\f(400\r(3),3).故甲樓高為200eq\r(3)m，乙樓高為eq\f(400\r(3),3)m.題型二測(cè)量角度問題例2如圖所示，A，B是海面上位于東西方向相距5(3＋eq\r(3))nmile的兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)．現(xiàn)位于A點(diǎn)北偏東45°方向、B點(diǎn)北偏西60°方向的D點(diǎn)有一艘輪船發(fā)出求救信號(hào)，位于B點(diǎn)南偏西60°且與B點(diǎn)相距20eq\r(3)nmile的C點(diǎn)的救援船立即前往營救，其航行速度為30nmile/h，則該救援船到達(dá)D點(diǎn)需要多長時(shí)間？【答案】救援船到達(dá)D點(diǎn)需要的時(shí)間為1h.【解析】由題意，知AB＝5(3＋eq\r(3))nmile，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°.在△DAB中，由正弦定理得eq\f(BD,sin∠DAB)＝eq\f(AB,sin∠ADB)，即BD＝eq\f(ABsin∠DAB,sin∠ADB)＝＝＝10eq\r(3)nmile.又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝60°，BC＝20eq\r(3)nmile，∴在△DBC中，由余弦定理，得CD＝eq\r(BD2＋BC2－2BD·BCcos∠DBC)＝eq\r(300＋1200－2×10\r(3)×20\r(3)×\f(1,2))＝30nmile，則救援船到達(dá)D點(diǎn)需要的時(shí)間為eq\f(30,30)＝1h.解題技巧：(測(cè)量角度技巧)測(cè)量角度問題的關(guān)鍵是根據(jù)題意和圖形及有關(guān)概念，確定所求的角在哪個(gè)三角形中，該三角形中已知哪些量，需要求哪些量．通常是根據(jù)題意，從實(shí)際問題中抽象出一個(gè)或幾個(gè)三角形，然后通過解這些三角形，得到所求的量，從而得到實(shí)際問題的解．跟蹤訓(xùn)練二1、在海岸A處，發(fā)現(xiàn)北偏東45°方向，距離A處(eq\r(3)－1)nmile的B處有一艘走私船，在A處北偏西75°的方向，距離A2nmile的C處的緝私船奉命以10eq\r(3)nmile的速度追截走私船．此時(shí)，走私船正以10nmile/h的速度從B處向北偏東30°方向逃竄，問緝私船沿什么方向能最快追上走私船？【答案】緝私船沿北偏東60°方向能最快追上走私船.【解析】設(shè)緝私船用th在D處追上走私船，畫出示意圖，則有CD＝10eq\r(3)t，BD＝10t，在△ABC中，∵AB＝eq\r(3)－1，AC＝2，∠BAC＝120°，∴由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝(eq\r(3)－1)2＋22－2·(eq\r(3)－1)·2·cos120°＝6，∴BC＝eq\r(6)，且sin∠ABC＝eq\f(AC,BC)·sin∠BAC＝eq\f(2,\r(6))·eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(2),2)，∴∠ABC＝45°，∴BC與正北方向成90°角．∴∠CBD＝90°＋30°＝120°，在△BCD中，由正弦定理，得sin∠BCD＝eq\f(BD·sin∠CBD,CD)＝eq\f(10tsin120°,10\r(3)t)＝eq\f(1,2)，∴∠BCD＝30°.即緝私船沿北偏東60°方向能最快追上走私船.題型三測(cè)量距離問題例3如圖所示，要測(cè)量一水塘兩側(cè)A，B兩點(diǎn)間的距離，其方法先選定適當(dāng)?shù)奈恢肅，用經(jīng)緯儀測(cè)出角α，再分別測(cè)出AC，BC的長b，a則可求出A，B兩點(diǎn)間的距離．若測(cè)得CA＝400m，CB＝600m，∠ACB＝60°，試計(jì)算AB的長．【答案】A，B兩點(diǎn)間的距離為200eq\r(7)m.【解析】在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos∠ACB，∴AB2＝4002＋6002－2×400×600cos60°＝280000.∴AB＝200eq\r(7)(m)．即A，B兩點(diǎn)間的距離為200eq\r(7)m.例4如圖所示，A，B兩點(diǎn)在一條河的兩岸，測(cè)量者在A的同側(cè)，且B點(diǎn)不可到達(dá)，要測(cè)出A，B的距離，其方法在A所在的岸邊選定一點(diǎn)C，可以測(cè)出A，C的距離m，再借助儀器，測(cè)出∠ACB＝α，∠CAB＝β，在△ABC中，運(yùn)用正弦定理就可以求出AB.若測(cè)出AC＝60m，∠BAC＝75°，∠BCA＝45°，則A，B兩點(diǎn)間的距離為________m.【答案】20eq\r(6).【解析】∠ABC＝180°－75°－45°＝60°，所以由正弦定理得，eq\f(AB,sinC)＝eq\f(AC,sinB)，∴AB＝eq\f(AC·sinC,sinB)＝eq\f(60×sin45°,sin60°)＝20eq\r(6)(m)．即A，B兩點(diǎn)間的距離為20eq\r(6)m.解題技巧（測(cè)量距離技巧）當(dāng)A，B兩點(diǎn)之間的距離不能直接測(cè)量時(shí)，求AB的距離分為以下三類：(1)兩點(diǎn)間不可通又不可視(如圖①)：可取某點(diǎn)C，使得A，B與C之間的距離可直接測(cè)量，測(cè)出AC＝b，BC＝a以及∠ACB＝γ，利用余弦定理得：AB＝eq\r(a2＋b2－2abcosγ).(2)兩點(diǎn)間可視但不可到達(dá)(如圖②)：可選取與B同側(cè)的點(diǎn)C，測(cè)出BC＝a以及∠ABC和∠ACB，先使用內(nèi)角和定理求出∠BAC，再利用正弦定理求出AB.(3)兩點(diǎn)都不可到達(dá)(如圖③)：在河邊測(cè)量對(duì)岸兩個(gè)建筑物之間的距離，可先在一側(cè)選取兩點(diǎn)C，D，測(cè)出CD＝m，∠ACB，∠BCD，∠ADC，∠ADB，再在△BCD中求出BC，在△ADC中求出AC，最后在△ABC中，由余弦定理求出AB.跟蹤訓(xùn)練三1.如圖，A，B兩點(diǎn)在河的同側(cè)，且A，B兩點(diǎn)均不可到達(dá)，測(cè)出A，B的距離，測(cè)量者可以在河岸邊選定兩點(diǎn)C，D，測(cè)得CD＝a，同時(shí)在C，D兩點(diǎn)分別測(cè)得∠BCA＝α，∠ACD＝β，∠CDB＝γ，∠BDA＝δ.在△ADC和△BDC中，由正弦定理分別計(jì)算出AC和BC，再在△ABC中，應(yīng)用余弦定理計(jì)算出AB.若測(cè)得CD＝eq\f(\r(3),2)km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，求A，B兩點(diǎn)間的距離．【答案】A，B兩點(diǎn)間的距離為eq\f(\r(6),4)km.【解析】∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，∠ACD＝60°，∴∠DAC＝60°，∴AC＝DC＝eq\f(\r(3),2).在△BCD中，∠DBC＝45°，由正弦定理，得BC＝eq\f(DC,sin∠DBC)·sin∠BDC＝eq\f(\f(\r(3),2),sin45°)·sin30°＝eq\f(\r(6),4).在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos45°＝eq\f(3,4)＋eq\f(3,8)－2×eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(6),4)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(3,8).∴AB＝eq\f(\r(6),4)(km)．∴A，B兩點(diǎn)間的距離為eq\f(\r(6),4)km.五、課堂小結(jié)讓學(xué)生總結(jié)本節(jié)課所學(xué)主要知識(shí)及解題技巧六、板書設(shè)計(jì)6.4.3余弦定理、正弦定理第6.4.3余弦定理、正弦定理第3課時(shí)余弦定理、正弦定理應(yīng)用舉例概念例1例2例3例4七、作業(yè)課本51頁練習(xí)，52頁習(xí)題6.4中剩余題.【教學(xué)反思】對(duì)于平面圖形的計(jì)算問題，首先要把所求的量轉(zhuǎn)化到三角形中，然后選用正弦定理、余弦定理解決.構(gòu)造三角形時(shí)，要注意使構(gòu)造三角形含有盡量多個(gè)已知量，這樣可以簡化運(yùn)算.學(xué)生在這里的數(shù)量關(guān)系比較模糊，需要強(qiáng)化，三角形相關(guān)知識(shí)點(diǎn)需要簡單回顧?！?.4.3余弦定理、正弦定理》導(dǎo)學(xué)案第3課時(shí)余弦定理、正弦定理應(yīng)用舉例【學(xué)習(xí)目標(biāo)】知識(shí)目標(biāo)1、能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些有關(guān)測(cè)量距離的實(shí)際問題，了解常用的測(cè)量相關(guān)術(shù)語；2、激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,并體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值；同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用圖形、數(shù)學(xué)符號(hào)表達(dá)題意和應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想解決數(shù)學(xué)問題的能力.核心素養(yǎng)1.數(shù)學(xué)抽象：方位角、方向角等概念；2.邏輯推理：分清已知條件與所求，逐步求解問題的答案；3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：解三角形；4.數(shù)學(xué)建模：數(shù)形結(jié)合，從實(shí)際問題中抽象出一個(gè)或幾個(gè)三角形，然后通過解這些三角形，得到所求的量，從而得到實(shí)際問題的解．【學(xué)習(xí)重點(diǎn)】：由實(shí)際問題中抽象出一個(gè)或幾個(gè)三角形，然后逐個(gè)解決三角形，得到實(shí)際問題的解；【學(xué)習(xí)難點(diǎn)】：根據(jù)題意建立數(shù)學(xué)模型，畫出示意圖.【學(xué)習(xí)過程】一、預(yù)習(xí)導(dǎo)入閱讀課本48-51頁，填寫。1、實(shí)際測(cè)量中的有關(guān)名稱、術(shù)語名稱定義圖示基線在測(cè)量中，根據(jù)測(cè)量需要適當(dāng)確定的線段叫做基線仰角在同一鉛垂平面內(nèi)，視線在水平線方時(shí)與水平線的夾角俯角在同一鉛垂平面內(nèi)，視線在水平線下方時(shí)與水平線的夾角方向角從指定方向線到的水平角(指定方向線是指正北或正南或正東或正西，方向角小于90°)方位角從正北的方向線按時(shí)針到目標(biāo)方向線所轉(zhuǎn)過的水平角小試牛刀1．判斷下列命題是否正確．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)已知三角形的三個(gè)角，能夠求其三條邊()(2)兩個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離無法求得()(3)方位角和方向角是一樣的()2．若P在Q的北偏東44°50′方向上，則Q在P的()A．東偏北45°10′方向上 B．東偏北45°50′方向上C．南偏西44°50′方向上 D．西偏南45°50′方向上3．從A處望B處的仰角為α，從B處望A處的俯角為β，則α，β的關(guān)系為（）A．α＞β B．α＝βC．α＋β＝90° D．α＋β＝180°4.如圖，已知A，B，C三地，其中A，C兩地被一個(gè)湖隔開，測(cè)得AB＝3km，B＝45°，C＝30°，則A，C兩地的距離為________km.【自主探究】題型一測(cè)量高度問題例1濟(jì)南泉城廣場(chǎng)上的泉標(biāo)是隸書“泉”字，其造型流暢別致，成了濟(jì)南的標(biāo)志和象征．李明同學(xué)想測(cè)量泉標(biāo)的高度，于是他在廣場(chǎng)的A點(diǎn)測(cè)得泉標(biāo)頂端的仰角為60°，他又沿著泉標(biāo)底部方向前進(jìn)15.2m，到達(dá)B點(diǎn)，測(cè)得泉標(biāo)頂部仰角為80°.你能幫李明同學(xué)求出泉標(biāo)的高度嗎？(精確到1m)跟蹤訓(xùn)練一1、乙兩樓相距200m，從乙樓底望甲樓頂?shù)难鼋菫?0°，從甲樓頂望乙樓頂?shù)母┙菫?0°，則甲、乙兩樓的高分別是多少？題型二測(cè)量角度問題例2如圖所示，A，B是海面上位于東西方向相距5(3＋eq\r(3))nmile的兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)．現(xiàn)位于A點(diǎn)北偏東45°方向、B點(diǎn)北偏西60°方向的D點(diǎn)有一艘輪船發(fā)出求救信號(hào)，位于B點(diǎn)南偏西60°且與B點(diǎn)相距20eq\r(3)nmile的C點(diǎn)的救援船立即前往營救，其航行速度為30nmile/h，則該救援船到達(dá)D點(diǎn)需要多長時(shí)間？跟蹤訓(xùn)練二1、在海岸A處，發(fā)現(xiàn)北偏東45°方向，距離A處(eq\r(3)－1)nmile的B處有一艘走私船，在A處北偏西75°的方向，距離A2nmile的C處的緝私船奉命以10eq\r(3)nmile的速度追截走私船．此時(shí)，走私船正以10nmile/h的速度從B處向北偏東30°方向逃竄，問緝私船沿什么方向能最快追上走私船？題型三測(cè)量距離問題例3如圖所示，要測(cè)量一水塘兩側(cè)A，B兩點(diǎn)間的距離，其方法先選定適當(dāng)?shù)奈恢肅，用經(jīng)緯儀測(cè)出角α，再分別測(cè)出AC，BC的長b，a則可求出A，B兩點(diǎn)間的距離．若測(cè)得CA＝400m，CB＝600m，∠ACB＝60°，試計(jì)算AB的長．例4如圖所示，A，B兩點(diǎn)在一條河的兩岸，測(cè)量者在A的同側(cè)，且B點(diǎn)不可到達(dá)，要測(cè)出A，B的距離，其方法在A所在的岸邊選定一點(diǎn)C，可以測(cè)出A，C的距離m，再借助儀器，測(cè)出∠ACB＝α，∠CAB＝β，在△ABC中，運(yùn)用正弦定理就可以求出AB.若測(cè)出AC＝60m，∠BAC＝75°，∠BCA＝45°，則A，B兩點(diǎn)間的距離為________m.跟蹤訓(xùn)練三1.如圖，A，B兩點(diǎn)在河的同側(cè)，且A，B兩點(diǎn)均不可到達(dá)，測(cè)出A，B的距離，測(cè)量者可以在河岸邊選定兩點(diǎn)C，D，測(cè)得CD＝a，同時(shí)在C，D兩點(diǎn)分別測(cè)得∠BCA＝α，∠ACD＝β，∠CDB＝γ，∠BDA＝δ.在△ADC和△BDC中，由正弦定理分別計(jì)算出AC和BC，再在△ABC中，應(yīng)用余弦定理計(jì)算出AB.若測(cè)得CD＝eq\f(\r(3),2)km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，求A，B兩點(diǎn)間的距離．【達(dá)標(biāo)檢測(cè)】1．已知A，B兩地的距離為10km，B，C兩地的距離為20km，現(xiàn)測(cè)得∠ABC＝120°，則A，C兩地的距離為()A．10km B.eq\r(3)kmC．10eq\r(5)km D．10eq\r(7)km2．某公司要測(cè)量一水塔CD的高度，測(cè)量人員在該水塔所在的東西方向水平線上選A，B兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)，在A處測(cè)得該水塔頂端D的仰角為α，在B處測(cè)得該水塔頂端D的仰角為β，已知AB＝a,0<β<α<eq\f(π,2)，則水塔CD的高度為()A.eq\f(asinα－βsinβ,sinα) B.eq\f(asinαsinβ,sinα－β)C.eq\f(asinα－βsinα,sinβ) D.eq\f(asinα,sinα－βsinβ)3．如圖所示為起重機(jī)裝置示意圖．支桿BC＝10m，吊桿AC＝15m，吊索AB＝5eq\r(19)m，起吊的貨物與岸的距離AD為()A．30m B.eq\f(15\r(3),2)mC．15eq\r(3)m D．45m4．學(xué)校里有一棵樹，甲同學(xué)在A地測(cè)得樹尖的仰角為45°，乙同學(xué)在B地測(cè)得樹尖的仰角為30°，量得AB＝AC＝10m，樹根部為C(A，B，C在同一水平面上)，則∠ACB＝________.5．如圖所示，要測(cè)量底部不能到達(dá)的電視塔AB的高度，在C點(diǎn)測(cè)得塔頂A的仰角是45°，在D點(diǎn)測(cè)得塔頂A的仰角是30°，并測(cè)得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40m，求電視塔的高度．答案小試牛刀1.(1)×(2)×(3)×2．C.3．B.4.3eq\r(2).自主探究例1【答案】泉城廣場(chǎng)上泉標(biāo)的高約為38m.【解析】如圖所示，點(diǎn)C，D分別為泉標(biāo)的底部和頂端．依題意，∠BAD＝60°，∠CBD＝80°，AB＝15.2m，則∠ABD＝100°，故∠ADB＝180°－(60°＋100°)＝20°.在△ABD中，根據(jù)正弦定理，eq\f(BD,sin60°)＝eq\f(AB,sin∠ADB).∴BD＝eq\f(AB·sin60°,sin20°)＝eq\f(15.2·sin60°,sin20°)≈38.5(m)．在Rt△BCD中，CD＝BDsin80°＝38.5·sin80°≈38(m)，即泉城廣場(chǎng)上泉標(biāo)的高約為38m.跟蹤訓(xùn)練一1、【答案】甲樓高為200eq\r(3)m，乙樓高為eq\f(400\r(3),3)m.【解析】如圖所示，AD為乙樓高，BC為甲樓高．在△ABC中，BC＝200×tan60°＝200eq\r(3)，AC＝200÷sin30°＝400，由題意可知∠ACD＝∠DAC＝30°，∴△ACD為等腰三角形．由余弦定理得AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD·cos120°，4002＝AD2＋AD2－2AD2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝3AD2，AD2＝eq\f(4002,3)，AD＝eq\f(400\r(3),3).故甲樓高為200eq\r(3)m，乙樓高為eq\f(400\r(3),3)m.例2【答案】救援船到達(dá)D點(diǎn)需要的時(shí)間為1h.【解析】由題意，知AB＝5(3＋eq\r(3))nmile，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°.在△DAB中，由正弦定理得eq\f(BD,sin∠DAB)＝eq\f(AB,sin∠ADB)，即BD＝eq\f(ABsin∠DAB,sin∠ADB)＝＝＝10eq\r(3)nmile.又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝60°，BC＝20eq\r(3)nmile，∴在△DBC中，由余弦定理，得CD＝eq\r(BD2＋BC2－2BD·BCcos∠DBC)＝eq\r(300＋1200－2×10\r(3)×20\r(3)×\f(1,2))＝30nmile，則救援船到達(dá)D點(diǎn)需要的時(shí)間為eq\f(30,30)＝1h.跟蹤訓(xùn)練二1、【答案】緝私船沿北偏東60°方向能最快追上走私船.【解析】設(shè)緝私船用th在D處追上走私船，畫出示意圖，則有CD＝10eq\r(3)t，BD＝10t，在△ABC中，∵AB＝eq\r(3)－1，AC＝2，∠BAC＝120°，∴由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝(eq\r(3)－1)2＋22－2·(eq\r(3)－1)·2·cos120°＝6，∴BC＝eq\r(6)，且sin∠ABC＝eq\f(AC,BC)·sin∠BAC＝eq\f(2,\r(6))·eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(2),2)，∴∠ABC＝45°，∴BC與正北方向成90°角．∴∠CBD＝90°＋30°＝120°，在△BCD中，由正弦定理，得sin∠BCD＝eq\f(BD·sin∠CBD,CD)＝eq\f(10tsin120°,10\r(3)t)＝eq\f(1,2)，∴∠BCD＝30°.即緝私船沿北偏東60°方向能最快追上走私船.例3【答案】A，B兩點(diǎn)間的距離為200eq\r(7)m.【解析】在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos∠ACB，∴AB2＝4002＋6002－2×400×600cos60°＝280000.∴AB＝200eq\r(7)(m)．即A，B兩點(diǎn)間的距離為200eq\r(7)m.例4【答案】20eq\r(6).【解析】∠ABC＝180°－75°－45°＝60°，所以由正弦定理得，eq\f(AB,sinC)＝eq\f(AC,sinB)，∴AB＝eq\f(AC·sinC,sinB)＝eq\f(60×sin45°,sin60°)＝20eq\r(6)(m)．即A，B兩點(diǎn)間的距離為20eq\r(6)m.跟蹤訓(xùn)練三1.【答案】A，B兩點(diǎn)間的距離為eq\f(\r(6),4)km.【解析】∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，∠ACD＝60°，∴∠DAC＝60°，∴AC＝DC＝eq\f(\r(3),2).在△BCD中，∠DBC＝45°，由正弦定理，得BC＝eq\f(DC,sin∠DBC)·sin∠BDC＝eq\f(\f(\r(3),2),sin45°)·sin30°＝eq\f(\r(6),4).在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos45°＝eq\f(3,4)＋eq\f(3,8)－2×eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(6),4)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(3,8).∴AB＝eq\f(\r(6),4)(km)．∴A，B兩點(diǎn)間的距離為eq\f(\r(6),4)km.當(dāng)堂檢測(cè) 1-3.DAB4.30°5．【答案】電視塔的高為40m.【解析】設(shè)電視塔AB的高為x，則在Rt△ABC中，由∠ACB＝45°，得BC＝x.在Rt△ADB中，∠ADB＝30°，∴BD＝eq\r(3)x.在△BDC中，由余弦定理，得BD2＝BC2＋CD2－2BC×CDcos120°，即(eq\r(3)x)2＝x2＋402－2·x·40·cos120°，解得x＝40，所以電視塔的高為40m.《6.4.3余弦定理、正弦定理》課后作業(yè)第3課時(shí)余弦定理、正弦定理應(yīng)用舉例基礎(chǔ)鞏固1．若點(diǎn)在點(diǎn)的北偏東方向上，則點(diǎn)在點(diǎn)的（）A．東偏北方向上 B．北偏東方向上C．南偏西方向上 D．西偏南方向上2．若點(diǎn)在點(diǎn)的北偏東方向上，點(diǎn)在點(diǎn)的南偏東方向上，且，則點(diǎn)在點(diǎn)的（）A．北偏東方向上 B．北偏西方向上C．北偏東方向上 D．北偏西方向上3．如圖，某景區(qū)欲在兩山頂A，C之間建纜車，需要測(cè)量兩山頂間的距離已知山高，，在水平面上E處測(cè)得山頂A的仰角為，山頂C的仰角為，，則兩山頂A，C之間的距離為A．B．C．D．4．一海輪從A處出發(fā)，以每小時(shí)40海里的速度沿南偏東40°的方向直線航行，30分鐘后到達(dá)B處．在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是南偏東70°，在B處觀察燈塔，其方向是北偏東65°，那么B，C兩點(diǎn)間的距離是()A．10海里 B．10海里 C．20海里 D．20海里5．如圖，為測(cè)塔的高度，某人在與塔底同一水平線上的點(diǎn)測(cè)得，再沿方向前行米到達(dá)點(diǎn)，測(cè)得，則塔高為（）A．米 B．米 C．40米 D．20米6．已知甲船位于小島的南偏西的處，乙船位于小島處，千米，甲船沿的方向以每小時(shí)6千米的速度行駛，同時(shí)乙船以每小時(shí)8千米的速度沿正東方向勻速行駛，當(dāng)甲、乙兩船相距最近時(shí)，他們行駛的時(shí)間為_____小時(shí)．7．如圖，測(cè)量河對(duì)岸的塔高時(shí)，可以選與塔底在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)點(diǎn)與，現(xiàn)測(cè)得，，米，并在點(diǎn)測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?，則塔高_(dá)_____米8．已知海島在海島北偏東，，相距海里，物體甲從海島以海里/小時(shí)的速度沿直線向海島移動(dòng)，同時(shí)物體乙從海島沿著海島北偏西方向以海里/小時(shí)的速度移動(dòng)．（1）問經(jīng)過多長時(shí)間，物體甲在物體乙的正東方向；（2）求甲從海島到達(dá)海島的過程中，甲、乙兩物體的最短距離．能力提升9．如圖所示，隔河可以看到對(duì)岸兩目標(biāo)A，B，但不能到達(dá)，現(xiàn)在岸邊取相距4km的C，D兩點(diǎn)，測(cè)得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A，B，C，D在同一平面內(nèi))，則兩目標(biāo)A，B間的距離為()km.A． B． C． D．210．如圖，為了測(cè)量河對(duì)岸、兩點(diǎn)之間的距離，觀察者找到一個(gè)點(diǎn)，從點(diǎn)可以觀察到點(diǎn)、；找到一個(gè)點(diǎn)，從點(diǎn)可以觀察到點(diǎn)、；找到一個(gè)點(diǎn)，從點(diǎn)可以觀察到點(diǎn)、；并測(cè)量得到一些數(shù)據(jù)：，，，，，，，則、兩點(diǎn)之間的距離為__________．（其中取近似值）11．如圖，已知在東西走向上有兩座發(fā)射塔，且，，一輛測(cè)量車在塔底的正南方向的點(diǎn)處測(cè)得發(fā)射塔頂?shù)难鼋菫?0°，該測(cè)量車向北偏西60°方向行駛了后到達(dá)點(diǎn)，在點(diǎn)處測(cè)得發(fā)射塔頂?shù)难鼋菫?，且，?jīng)計(jì)算，，求兩發(fā)射塔頂之間的距離.素養(yǎng)達(dá)成12．國家邊防安全條例規(guī)定：當(dāng)外輪與我國海岸線的距離小于或等于海里時(shí)，就會(huì)被警告.如圖，設(shè)，是海岸線上距離海里的兩個(gè)觀察站，滿足，一艘外輪在點(diǎn)滿足，.（1），滿足什么關(guān)系時(shí)，就該向外輪發(fā)出警告令其退出我國海域？（2）當(dāng)時(shí)，間處于什么范圍內(nèi)可以避免使外輪進(jìn)入被警告區(qū)域？《6.4.3余弦定理、正弦定理》課后作業(yè)答案解析第3課時(shí)余弦定理、正弦定理應(yīng)用舉例基礎(chǔ)鞏固1．若點(diǎn)在點(diǎn)的北偏東方向上，則點(diǎn)在點(diǎn)的（）A．東偏北方向上 B．北偏東方向上C．南偏西方向上 D．西偏南方向上【答案】C【解析】如圖所示,點(diǎn)在點(diǎn)的南偏西方向上.故選：C2．若點(diǎn)在點(diǎn)的北偏東方向上，點(diǎn)在點(diǎn)的南偏東方向上，且，則點(diǎn)在點(diǎn)的（）A．北偏東方向上 B．北偏西方向上C．北偏東方向上 D．北偏西方向上【答案】B【解析】如圖所示,.又∵,∴.∵,∴.∴點(diǎn)在點(diǎn)的北偏西方向上.故選：B3．如圖，某景區(qū)欲在兩山頂A，C之間建纜車，需要測(cè)量兩山頂間的距離已知山高，，在水平面上E處測(cè)得山頂A的仰角為，山頂C的仰角為，，則兩山頂A，C之間的距離為A．B．C．D．【答案】A【解析】，，，，，，；△ACE中，由余弦定理得，；即兩山頂A，C之間的距離為．故選A．4．一海輪從A處出發(fā)，以每小時(shí)40海里的速度沿南偏東40°的方向直線航行，30分鐘后到達(dá)B處．在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是南偏東70°，在B處觀察燈塔，其方向是北偏東65°，那么B，C兩點(diǎn)間的距離是()A．10海里 B．10海里 C．20海里 D．20海里【答案】B【解析】根據(jù)已知條件可知△ABC中，AB＝20，∠BAC＝30°，∠ABC＝105°，所以∠C＝45°，由正弦定理，有，所以10.故選B.5．如圖，為測(cè)塔的高度，某人在與塔底同一水平線上的點(diǎn)測(cè)得，再沿方向前行米到達(dá)點(diǎn)，測(cè)得，則塔高為（）A．米 B．米 C．40米 D．20米【答案】D【解析】Rt△ABC中,設(shè),則由可知,在中,,所以,解得.則塔高為20米.故選：D.6．已知甲船位于小島的南偏西的處，乙船位于小島處，千米，甲船沿的方向