平面向量和向量方法的應用競賽輔導材料

./平面向量與向量的方法的應用〔一〔教師版一、用向量表示三角形的"心"〔重心、內心、垂心、外心在中,角所對的邊分別為．三角形"四心"的向量的統(tǒng)一形式：是的心．引理：若是內的一點,則．證明：這里只證明〔均為正數(shù)．作,,,則．容易證明點為的重心．于是,所以,同理,,所以．取,則,,．練習：1．是的________心．2．是的________心．3．是的________心．是的________心．4．在內部,則是的________心．是的________心．是的________心．當你學完正弦定理和余弦定理后,會有更多的表示方法．5．所在直線一定通過的________心．6．所在直線一定通過的________心．7．所在直線一定通過的________心．8．已知是坐標平面內不共線的三點,是坐標原點,動點滿足〔,則點的軌跡一定經(jīng)過的________心．〔答案：1．重心．2．內心．3．外心．4．垂心〔提示：為的垂心．因為在內部,所以,所以,同理,．又,所以．5．內心．6．重心．7．垂心．提示：設8．重心．提示：,所以,設,則,即．因為經(jīng)過的中點,三點共線,所以的軌跡一定經(jīng)過的重心．二、三角形形狀的判定1．為所在平面內一點,且滿足,則三角形形狀為_______三角形．1．解：由條件,得,即,所以,即．所以是等腰三角形．2．已知非零向量和滿足條件,且,則是___________三角形．2．解：設,則為的角平分線；又由得到,所以．由得到,所以為等邊三角形．3．在中,是邊的中點,角的對邊分別為,若,則的形狀為__________．3．解：因為是邊的中點,所以,所以．因為與不共線,所以且,所以,即為等邊三角形．三、向量分解問題1．如圖,兩塊斜邊長相等的直角三角板拼在一起．若,則__________,__________．1．解：不妨設,則,．由于,所以過點作的垂線,與的延長線交于點,則．∵,,∴,．２．給定兩個長度為1的平面向量和,它們的夾角為．如圖所示,點C在以O為圓心的圓弧上變動．若,其中,則的最大值是________．解法１：設,由可得,,即∴．∴的最大值是．解法２：以點為坐標原點,為軸,建立平面直角坐標系,則,．設〔,由可得,,∴,,∴,,∴,∴的最大值是．解法３：設,過點作的平行線交于點,過點作的平行線交于點,由及可知,,．又,在中,由正弦定理得,∴,,∴,∴的最大值是．3．為內一點,,,,,,設,則__________．3．過點作的平行線交的延長線于點,過點作的平行線交的延長線于點,則,,所以,,,,所以,所以,,所以．四、向量間的夾角〔余弦值或夾角范圍問題1．已知,都是非零向量,且與垂直,與垂直,求與的夾角．1．解：依題意,所以,解得且,所以,所以,因為,所以．2．在和中,是的中點,,,,若,則與的夾角的余弦值等于________．2．解：因為,所以,即．因為,,,所以,即．設與的夾角,則有,即,所以．3．已知的面積為,且,若,則向量與的夾角的范圍是____________．3．解：．因為,所以,所以,所以向量與的夾角的范圍是．4．中,的對邊分別為,重心為,若,則__________．4．因為為的重心,所以,所以,因為與不共線,所以．設的中點為,則,所以,所以．平面向量與向量方法的應用〔二〔教師版一、平面向量基本定理與向量共線定理的應用1．如圖,在中,已知,,過點作直線交、于、兩點,則_______．1．解：構造基底,,則,,,,．設,,因為點、、三點共線,所以〔,于是．又、不共線,所以且,消去,得,即,所以．2中,為的中點,為邊上靠近點的一個三等分點,與交于點,求：=1\*GB3①與的長度之比；=2\*GB3②與的長度之比．2．解：設,,因為為的中點,所以．因為三點共線,所以存在唯一實數(shù)使得,=1\*GB3①．因為三點共線,所以存在唯一實數(shù)使得,即,解得,=2\*GB3②．因為與不共線,所以比較=1\*GB3①=2\*GB3②得,解得,,所以,,所以,．二、數(shù)量積〔或模長的取值范圍〔或最值問題1．平面內的向量,,點是拋物線〔上任意一點,則的取值范圍是_______．1．解：由題意,可設點〔,則,,所以,因為,所以,所以．點評：將表示為關于的函數(shù)式,針對該函數(shù)式及來求函數(shù)的值域．多數(shù)情況下所得到的函數(shù)與二次函數(shù)有關,如本例令,則〔．注意從函數(shù)角度來確定,不要得出錯誤結論．2．已知、是兩個互相垂直的單位向量,且,,,則對于任意實數(shù)、,的最小值是_______．2．解：依題意,,且,于是－,所以,當且僅當、時上式取得等號,故所求的最小值為,選Ｃ．3在長方形中,,,為的中點,若是線段上動點,則的最小值是_________．3．解：由題意得．因為為的中點,所以,設〔,則,,故所求最小值為．三、求面積比1．設為△的邊上一點,為△內一點,且滿足,,則____________．1．解：連,則,所以,故,故．故選Ａ．點評：由且與沒有公共點推出,再利用同位角相等和面積公式而使問題簡捷獲解．2．設點在的內部,且有,求____________．2．解：延長至,使,延長至,使得,則,所以為的重心．顯然．同理,,所以．3設點是內的一點,記,,,．若,則___________．3．解：如圖,,,因為,所以,,,所以點到的距離是點到的距離的,點到的距離是點到的距離的,所以,,所以．所以．四、求參數(shù)或參數(shù)和的取值范圍或最值1四邊形是邊長為的正方形,,點為內〔含邊界的動點,〔,則的最大值等于_________．1．解：顯然點在線段上〔不含點上無法取得最大值,點在線段上才有可能取得最大值．因為,,所以．點三點共線時,,所以,由幾何圖形知,所以的最大值為,當位于點時取得．2已知點是的重心,點是內一點,若〔,則的取值范圍是___________．2．解：因為點是的重心,點是內一點,若,所以,,,,．而點到的距離越大,越大,越?。^點作的平行線,觀察可知,當點與場合時,當點在上時．因為點是內一點,所以的取值范圍是．3．設兩個單位向量、滿足、,、的夾角為,若向量與向量的夾角為鈍角,求實數(shù)的取值范圍．3．解：由條件,得,,,所以＝．由解得,,數(shù)形結合可得不等式的解為．設〔,因為、不共線,所以且,得到,,即當時向量與向量的夾角為．故實數(shù)的取值范圍為．五、平面向量與平面幾何的交匯問題1．已知為的外接圓的外心、垂心,求證：．證明：延長交的外接圓于,連結,則,,所以,,所以,所以．2．已知內接于,,為的中點,為的重心．求證：．證明：設,,,因為為的中點,為的重心,所以,,．所以〔因為因為,,所以為的中垂線,所以．所以,故．3設向量,滿足：,,．以,,的模為邊長構成三角形,則它的邊與半徑為的圓的公共點個數(shù)最多為___________．3．解：∵,,,∴．,,的模為邊長構成三角形是一個直角三角形,其內切圓半徑．當半徑為的圓所處的位置正好是三角形的內切圓位置時,三角形與圓只有三個交點,當圓的位置偏離后使得三角形有兩條邊與圓相交時,能實現(xiàn)4個交點的情況,但5個以上的交點不能實現(xiàn)．因此公共點個數(shù)最多為個．平面向量與向量的方法的應用〔一〔學生版一、用向量表示三角形的"心"〔重心、內心、垂心、外心在中,角所對的邊分別為．三角形"四心"的向量的統(tǒng)一形式：是的心．引理：若是內的一點,則．證明：這里只證明〔均為正數(shù)．作,,,則．容易證明點為的重心．于是,所以,同理,,所以．取,則,,．練習：1．是的________心．2．是的________心．3．是的________心．是的________心．4．在內部,則是的________心．是的________心．是的________心．當你學完正弦定理和余弦定理后,會有更多的表示方法．5．所在直線一定通過的________心．6．所在直線一定通過的________心．7．所在直線一定通過的________心．8．已知是坐標平面內不共線的三點,是坐標原點,動點滿足〔,則點的軌跡一定經(jīng)過的________心．二、三角形形狀的判定1．為所在平面內一點,且滿足,則三角形形狀為_______三角形．2．已知非零向量和滿足條件,且,則是___________三角形．3．在中,是邊的中點,角的對邊分別為,若,則的形狀為__________．三、向量分解問題1．如圖,兩塊斜邊長相等的直角三角板拼在一起．若,則__________,__________．２．給定兩個長度為1的平面向量和,它們的夾角為．如圖所示,點C在以O為圓心的圓弧上變動．若,其中,則的最大值是________．3．為內一點,,,,,,設,則__________．四、向量間的夾角〔余弦值或夾角范圍問題1．已知,都是非零向量,且與垂直,與垂直,求與的夾角．2．在和中,是的中點,,,,若,則與的夾角的余弦值等于________．3．已知的面積為,且,若,則向量與的夾角的范圍是____________．4．中,的對邊分別為,重心為,若,則__________．平面向量與向量方法的應用〔二〔學生版一、平面向量基本定理與向量共線定理的應用1．如圖,在中,已知,,過點作直線交、于、兩點,則_______．2中,為的中點,為邊上靠近點的一個三等分點,與交于點,求：=1\*GB3①與的長度之比；=2\*GB3②與的長度之比．二、數(shù)量積〔或模長的取值范圍〔或最值問題1．平面內的向量,,點是拋物線〔上任意一點,則的取值范圍是_______．2．已知、是兩個互相垂直的單位向量,且,,,則對于任意實數(shù)、,的最小值是_______．3在長方形中,,,為的中點,若是線段上動點,則的最小值是_________．三、求面積比1．設為△的邊上一點,為△內一點,且滿足,,則____________．2．設點在的內部,且有,求____________．3設點是內的一點,記,,,．若,則___________．四、求參數(shù)或參數(shù)和的取值范圍或最值1四邊形是邊長為的正方形,,點為內〔含邊界的動