高中數(shù)學(xué)人教A版選修1-2測評2-2-2反證法

第二章推理與證明2.2直接證明與間接證明2.2.2反證法課后篇鞏固提升基礎(chǔ)鞏固1.在運(yùn)用反證法推出矛盾的推理過程中,可以把下列哪些作為條件使用()①結(jié)論的反設(shè);②已知條件;③定義、公理、定理等;④原結(jié)論.A.①② B.②③ C.①②③ D.①②④解析除原結(jié)論不能作為推理?xiàng)l件外,其余均可.答案C2.(1)已知p3+q3=2,求證p+q≤2.用反證法證明時(shí),可假設(shè)p+q≥2.(2)已知a,b∈R,|a|+|b|<1,求證方程x2+ax+b=0的兩根的絕對值都小于1.用反證法證明時(shí)可假設(shè)方程有一根x1的絕對值大于或等于1,即假設(shè)|x1|≥1.以下結(jié)論正確的是()A.(1)與(2)的假設(shè)都錯誤B.(1)與(2)的假設(shè)都正確C.(1)的假設(shè)正確;(2)的假設(shè)錯誤D.(1)的假設(shè)錯誤;(2)的假設(shè)正確解析“≤”的反面是“>”,故(1)錯誤.“兩根的絕對值都小于1”的反面是“至少有一個根的絕對值大于或等于1”,故(2)正確.答案D3.設(shè)a,b,c,d大于0,則4個數(shù)ab,bcA.至多有一個不大于1 B.都大于1C.至少有一個不大于1 D.都小于1解析由a=1,b=2,c=4,d=4可判斷A,B,D錯誤;假設(shè)4個數(shù)ab,bc,cd,da的值都大于1,因?yàn)閍,b,c,d大于0,所以a>b,b>c,c>d,d>a,而a>b,b>c,c>d?a>d,與d>a相矛盾,假設(shè)不成立,故答案C4.用反證法證明“至少存在一個實(shí)數(shù)x,使log3x>0成立”時(shí),假設(shè)正確的是()A.至少存在兩個實(shí)數(shù)x,使log3x>0成立B.至多存在一個實(shí)數(shù)x,使log3x>0成立C.任意實(shí)數(shù)x,log3x>0恒成立D.不存在實(shí)數(shù)x,使log3x>0成立解析根據(jù)反證法的原理,“至少存在一個實(shí)數(shù)”的反面是“不存在實(shí)數(shù)x”,故假設(shè)“不存在實(shí)數(shù)x,使log3x>0成立”.故選D.答案D5.將“函數(shù)f(x)=4x22(p2)x2p2p+1在區(qū)間[1,1]上至少存在一個實(shí)數(shù)c,使f(c)>0”反設(shè),所得命題為“”.

解析“至少存在一個”反面是“不存在”.答案函數(shù)f(x)=4x22(p2)x2p2p+1在區(qū)間[1,1]上恒小于等于06.“x=0,且y=0”的否定形式為.

解析“p且q”的否定形式為“p或q”.答案x≠0或y≠07.完成反證法證題的全過程.題目:設(shè)a1,a2,…,a7是由數(shù)字1,2,…,7任意排成的一個數(shù)列,p=(a11)+(a22)+…+(a77),求證:p為偶數(shù).證明:假設(shè)p為奇數(shù),則均為奇數(shù).

因?yàn)?個奇數(shù)之和為奇數(shù),故有(a11)+(a22)+…+(a77)為.①

而(a11)+(a22)+…+(a77)=(a1+a2+…+a7)(1+2+…+7)=.②

①與②矛盾,故假設(shè)不成立,故p為偶數(shù).解析由假設(shè)p為奇數(shù),可知a11,a22,…,a77均為奇數(shù),故(a11)+(a22)+…+(a77)為奇數(shù),而(a11)+(a22)+…+(a77)=(a1+a2+…+a7)(1+2+…+7)=0,矛盾,故假設(shè)不成立,故p為偶數(shù).答案a11,a22,…,a77奇數(shù)08.已知a,b,c是互不相等的非零實(shí)數(shù),求證:由y1=ax2+2bx+c,y2=bx2+2cx+a和y3=cx2+2ax+b確定的三條拋物線中至少有一條與x軸有兩個不同的交點(diǎn).證明假設(shè)題設(shè)中的函數(shù)確定的三條拋物線都不與x軸有兩個不同的交點(diǎn).由y1=ax2+2bx+c,y2=bx2+2cx+a,y3=cx2+2ax+b,得Δ1=(2b)24ac≤0,且Δ2=(2c)24ab≤0,且Δ3=(2a)24bc≤0.同向不等式求和得4b2+4c2+4a24ac4ab4bc≤0,∴2a2+2b2+2c22ab2bc2ac≤0.∴(ab)2+(bc)2+(ac)2≤0.∴a=b=c.這與題設(shè)a,b,c互不相等矛盾,因此假設(shè)不成立,從而原命題得證.9.如圖,已知兩個正方形ABCD和DCEF不在同一平面內(nèi),M,N分別為AB,DF的中點(diǎn).用反證法證明:直線ME與BN是兩條異面直線.證明假設(shè)ME與BN共面,則AB?平面MBEN,且平面MBEN∩平面DCEF=EN.由已知兩正方形不共面,得AB?平面DCEF.又AB∥CD,所以AB∥平面DCEF,而EN為平面MBEN與平面DCEF的交線,所以AB∥EN.又AB∥CD∥EF,所以EN∥EF,這與EN∩EF=E矛盾,故假設(shè)不成立,所以ME與BN不共面,即直線ME與BN是兩條異面直線.能力提升1.已知x1,x2,x3,…,x2019均為正實(shí)數(shù),且11+x1+11+x2+11+x3+…+11+x2019=1,有下列四個說法:①最多有一個xi(i∈(1,2,3,…,2019))小于1;②最多有兩個xi(i∈(1,2,3,…,2019))小于2;③至少有一個xi(i∈(1,2,3,…,2019))不小于2019;④至少有一個A.1 B.2 C.3 D.4解析不妨設(shè)x1≤x2≤…≤x2019,故11+x1+11+x2+11+x3+…+11+x2019對于①,若存在xi,xj(i≠j),它們均小于1,則11+x這與11+x1+11+x2+11+x對于②,若存在xi,xj,xk(i<j<k),它們均小于2,則11+xi+11+這也與11+x1+11+x2+11+x對于③,取xi=2018(i=1,2,…,2019),則11+x1+11+x2+1故選C.答案C2.在△ABC中,若AB=AC,P是△ABC內(nèi)的一點(diǎn),∠APB>∠APC,求證:∠BAP<∠CAP.用反證法證明時(shí)應(yīng)分:假設(shè)和兩類.

解析反證法對結(jié)論的否定是全面否定,∠BAP<∠CAP的對立面就是∠BAP=∠CAP或∠BAP>∠CAP.答案∠BAP=∠CAP∠BAP>∠CAP3.設(shè)a,b是兩個實(shí)數(shù),給出下列條件:①a+b>1;②a+b=2;③a+b>2;④a2+b2>2;⑤ab>1.其中能推出“a,b中至少有一個大于1”的條件是(填序號).

解析若a=12,b=23,則a+b>1,但a<1,b<1,故①若a=b=1,則a+b=2,故②推不出;若a=2,b=3,則a2+b2>2,故④推不出;若a=2,b=3,則ab>1,故⑤推不出;若a+b>2,則a,b中至少有一個大于1.用反證法證明③:假設(shè)a≤1,且b≤1,則a+b≤2與a+b>2矛盾,因此假設(shè)不成立,故a,b中至少有一個大于1.故答案為③.答案③4.已知m是整數(shù),且m2+6m是偶數(shù),求證:m不是奇數(shù).證明假設(shè)m是奇數(shù),不妨設(shè)m=2k1(k∈Z),則m2+6m=(2k1)2+6(2k1)=4k2+8k5=4(k2+2k)5,因?yàn)閗∈Z,所以k2+2k∈Z,于是4(k2+2k)是偶數(shù),從而4(k2+2k)5為奇數(shù),即m2+6m是奇數(shù),這與已知條件中的m2+6m是偶數(shù)相矛盾,因此假設(shè)錯誤,即m不是奇數(shù).5.已知直線m與直線a和b分別交于A,B,且a∥b.求證:過a,b,m有且只有一個平面.證明如圖所示,因?yàn)閍∥b,所以過a,b有一個平面α,又m∩a=A,m∩b=B,所以A∈a,B∈b,所以A∈α,B∈α.又A∈m,B∈m,所以m?α.即過a,b,m有一個平面α.假設(shè)過a,b,m還有一個平面β異于平面α,則a?α,b?α,a?β,b?β,這與a∥b,過a,b有且只有一個平面相矛盾.因此,過a,b,m有且只有一個平面.6.設(shè){an}是公比為q的等比數(shù)列.(1)推導(dǎo){an}的前n項(xiàng)和公式;(2)設(shè)q≠1,證明數(shù)列{an+1}不是等比數(shù)列.(1)解設(shè){an}的前n項(xiàng)和為Sn,當(dāng)q=1時(shí),Sn=a1+a1+…+a1=na1;當(dāng)q≠1時(shí),Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn1,①qSn=a1q+a1q2+…+a1qn,②①②得,(1q)Sn=a1a1qn,∴Sn=a1(1-qn(2)證明假設(shè){an+1}