廣東省廣州市增城區(qū)2023屆九年級中考一模數(shù)學(xué)試卷(含答案)

絕密★啟用前2023年廣東省廣州市增城區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________題號一二三總分得分注意事項:

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，本試卷和答題卡一并交回。第I卷（選擇題）一、選擇題（本大題共10小題，共30.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.實數(shù)2的倒數(shù)是(

)A.2 B.-12 C.0 2.如圖是2022年北京冬奧運會吉祥物冰墩墩的圖形，是軸對稱圖形的是(

)A. B.

C. D.3.要使x-1在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是(

)A.x≥1 B.x>1 C.x≥0 D.x≤14.已知⊙O的半徑為5，當(dāng)線段OA=6時，則點A與⊙O的位置關(guān)系是(

)A.在圓上 B.在圓外 C.在圓內(nèi) D.不能確定5.下列運算正確的是(

)A.2a+3a=5a B.a2+a3=a6.已知A(0,y1)，B(3,y2)為拋物線y=(x-2)2A.y1>y2 B.y1=7.如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，點E為AD的中點，若OE=3，則菱形ABCD的邊長是(

)A.5

B.6

C.7

D.88.《九章算術(shù)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最重要的著作之一，書中記載：“今有人共買兔，人出七，盈十一；人出五，不足十三，問人數(shù)幾何？”意思是：“有若干人共同出錢買兔，如果每人出七錢，那么多了十一錢；如果每人出五錢，那么少了十三錢.問：共有幾個人？”設(shè)有x個人共同買兔，依題意可列方程為(

)A.5(x-11)=7(x+13) B.5(x+11)=7(x-13)

C.7x+11=5x-13 D.7x-11=5x+139.如圖，正方形MNPQ內(nèi)接于△ABC，點M、N在BC上，點P、Q分別在AC和AB邊上，且BC邊上的高AD=6，BC=12，則正方形MNPQ的邊長為(

)

A.6 B.5 C.4 D.310.如圖，已知直線y=-3x+3與x軸交于點A，點B與點A關(guān)于y軸對稱.M是直線上的動點，將OM繞點O順時針旋轉(zhuǎn)60°得ON.連接BN，則線段BN的最小值為(

)A.3

B.3+3

C.2第II卷（非選擇題）二、填空題（本大題共6小題，共18.0分）11.如圖，已知l1//l2，∠1=50°，則∠2的度數(shù)為______

12.分解因式：a2+2a=

．13.一只不透明的袋子中裝有2個黃球、3個紅球，這些球除顏色外都相同，攪勻后從中任意摸出1個球，摸到紅球的概率為

．14.已知圓錐的母線長為10，底面圓半徑為5，則此圓錐的側(cè)面積為______．15.如圖，在△ABC中，∠B=60°，∠C=75°，將△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)α(0°<α<90°)得到△ADE，若點C恰好落在△ADE的邊上，則α的度數(shù)是______．

16.如圖，點E在正方形ABCD外，連結(jié)AE、BE、DE，過點A作AE的垂線交DE于點F.若AE=AF=42，BF=10，則下列結(jié)論：

①△AFD≌△AEB；

②EB⊥ED；

③點B到直線AE的距離為32；

④S△ABF+S△ADF三、解答題（本大題共9小題，共72.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.(本小題4.0分)

解不等式組：x-1>11+2x<7．18.(本小題4.0分)

如圖，點E、F在線段BC上，AB/?/CD，∠A=∠D，BE=CF．

求證：△ABE≌△DCF．19.(本小題8.0分)

已知A=(x+2)2+(x+1)(x-1)-3．

(1)化簡A；

(2)若x2+2x=320.(本小題8.0分)

近年來，共享單車逐漸成為高校學(xué)生喜愛的“綠色出行”方式之一，某高校為了解本校學(xué)生出行使用共享單車的情況，隨機(jī)調(diào)查了某天50名出行學(xué)生使用共享單車次數(shù)的情況，并整理成如下統(tǒng)計表．使用次數(shù)12345人數(shù)81311126(1)這50名出行學(xué)生使用共享單車次數(shù)的中位數(shù)是______，眾數(shù)是______；

(2)這天中，這50名出行學(xué)生平均每人使用共享單車多少次？21.(本小題8.0分)

如圖，在直角坐標(biāo)系中，已知點B(4,0)，等邊三角形OAB的頂點A在反比例函數(shù)y=kx的圖象上．

(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式；

(2)把△OAB向右平移a個單位長度，對應(yīng)得到△O'A'B'，當(dāng)這個函數(shù)圖象經(jīng)過△O'A'B'邊O'A'的中點時，求a的值．22.(本小題8.0分)

某地區(qū)為打造鄉(xiāng)村振興示范區(qū)，實行大面積機(jī)械化種植，今年共計種植某作物700畝，預(yù)計租用10臺作物收割機(jī)在一天之內(nèi)完成該作物的收割．已知可租用A，B兩種型號的作物收割機(jī)，2臺A型號收割機(jī)與3臺B型號收割機(jī)一起工作1天共收割該作物310畝，1臺A型號收割機(jī)和1臺B型號收割機(jī)一起工作1天共收割該作物130畝，租用A型號收割機(jī)的租金為每天3000元，租用B型號收割機(jī)的租金為每天2000元．

(1)兩種型號收割機(jī)每臺每天平均收割多少畝該作物？

(2)設(shè)租用x臺A型號的收割機(jī)，完成該作物的收割需要的總租金為y元，一共有多少種租賃方案，并求出最少的總租金．23.(本小題8.0分)

已知⊙O為△ABC的外接圓，⊙O的半徑為6．

(1)如圖，AB是⊙O的直徑，點C是AB的中點．

①尺規(guī)作圖：作∠ACB的角平分線CD，交⊙O于點D，連接BD(保留作圖痕跡，不寫作法)；

②求BD的長度．

(2)如圖，AB是⊙O的非直徑弦，點C在AB上運動，∠ACD=∠BCD=60°，點C在運動的過程中，四邊形ADBC的面積是否存在最大值，若存在，請求出這個最大值；若不存在，請說明理由．24.(本小題12.0分)

在四邊形ABCD中，AB=BC，∠ABC=60°．

(1)如圖1，已知∠D=30°，直接寫出∠A+∠C的度數(shù)；

(2)如圖2，已知∠ADC=30°，AD=3，CD=4，連接BD，求BD的長度；

(3)如圖3，已知∠ADC=75°，BD=6，請判斷四邊形ABCD的面積是否有最小值？如果有，請求出它的最小值；如果沒有，請說明理由．25.(本小題12.0分)

綜合與探究

已知拋物線C1：y=ax2+bx-5(a≠0)．

(1)當(dāng)拋物線經(jīng)過(-1,-8)和(1,0)兩點時，求拋物線的函數(shù)表達(dá)式．

(2)當(dāng)b=4a時，無論a為何值，直線y=m與拋物線C1相交所得的線段AB(點A在點B的左側(cè))的長度始終不變，求m的值和線段AB的長．

(3)在(2)的條件下，將拋物線C1沿直線y=m翻折得到拋物線C2，拋物線C1，C2的頂點分別記為G，H.是否存在實數(shù)a使得以A，B，答案1.答案：D

解析：解：實數(shù)2的倒數(shù)是12．

故選：D．

根據(jù)倒數(shù)的定義選擇即可．

本題考查求一個數(shù)的倒數(shù)，掌握兩個非零數(shù)相乘積為1，則說它們互為倒數(shù)，其中一個數(shù)是另一個數(shù)的倒數(shù)是解題關(guān)鍵．2.答案：C

解析：解：A，B，C三個選項中的圖形都找不到一條直線能夠使直線兩旁的部分重合，所以不是軸對稱圖形；

C選項中的圖形能夠找到這樣的一條直線，使直線兩旁的部分能夠完全重合，所以是軸對稱圖形．

故選：C．

根據(jù)一個圖形沿某一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸去進(jìn)行分析即可．

本題考查了軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關(guān)鍵在于尋找出對稱軸，使直線兩旁的部分重合是解題的關(guān)鍵．

3.答案：A

解析：解：∵x-1在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，

∴x-1≥0，

∴x≥1．

故選：A．

根據(jù)二次根式有意義的條件“被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)”解答即可．

4.答案：B

解析：解：∵OA=6>5，

∴A點在圓外，

故選：B．

根據(jù)點A到圓心的距離大于半徑即可求解．

本題考查了點與圓的位置關(guān)系，掌握點到圓心的距離大于半徑時點在圓外，等于半徑時點在圓上，小于半徑時點在圓內(nèi)是解題的關(guān)鍵．

5.答案：A

解析：解：A.2a+3a=5a，故此選項正確；

B.a2與a3無法合并，故此選項錯誤；

C.2a+3a=5a，故此選項錯誤；

D.2與6.答案：A

解析：解：將A(0,y1)，B(3,y2)代入y=(x-2)2，

得：y1=(0-2)2=4，y2=(3-2)2=1，

∴y17.答案：B

解析：解：∵四邊形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，

∵點E為AD的中點，OE=3，

∴AD=2OE=6，

故選：B．

根據(jù)菱形的性質(zhì)得出對角線互相垂直，再利用直角三角形斜邊中線等于斜邊一半求出菱形邊長．

本題考查了菱形的性質(zhì)，掌握菱形的對角線互相垂直和直角三角形斜邊中線等于斜邊一半的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．

8.答案：D

解析：解：根據(jù)每人出七錢，那么多了十一錢，

可得買兔所需的錢為7x-11，

根據(jù)每人出五錢，那么少了十三錢，

可得買兔所需的錢為5x+13，

∴7x-11=5x+13，

故選：D．

根據(jù)買兔所需的錢建立等量關(guān)系列出方程即可．

本題考查由實際問題抽象出一元一次方程，解題關(guān)鍵是找等量關(guān)系，列出方程．

9.答案：C

解析：解：∵正方形MNPQ內(nèi)接于△ABC，BC邊上的高AD=6，

∴∠ADC=∠ADB=∠CNP=∠BMQ=90°．

∵∠B=∠B，∠C=∠C，

∴△BMQ∽△BDA，△CNP∽△CDA，

∴BMBD=QMAD，NPAD=CNCD．

設(shè)正方形邊長為x，則QM=NP=MN=x，

∴BM=x?BDAD，CN=x?CDAD，

∴BM+CN=x?(BD+CD)AD=x?BCAD．

又∵BM+CN=BC-MN，

∴x?BCAD=BC-MN，即12x6=12-x，

解得：x=4，

∴正方形MNPQ的邊長為4．

故選：C．

根據(jù)正方形及三角形高的定義易得△BMQ∽△BDA，10.答案：A

解析：解：如圖，設(shè)直線y=-3x+3與y軸的交點為E，再取AE的中點D，連接OD、AN，過B作BH⊥AN于H點．

對于y=-3x+3，令x=0，則y=3，

∴E(0,3)．

令y=0，則x=3，

∴A(3,0)．

∴OA=3，OE=3．

∵∠AOE=90°，

∴AE=OA2+OE2=23，

∵AE的中點為D，

∴DO=DA=DE=12AE=3，

∴DO=DA=OA=3，

∴△DAO為等邊三角形，

∴∠AOD=∠ODA=60°，

∴∠ODE=120°．

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知OM=ON，∠MON=60°=∠DOA，

∴∠MON-∠DON=∠DOA-∠DON，即∠MOD=∠NOA，

∴△MOD≌△NOA(SAS)，

∴∠OAN=∠ODE=120°．

∵A為定點，∠OAN=120°為定值，

∴當(dāng)M在直線y=-3x+3上運動時，點N也在定直線AN上運動，

∴當(dāng)點N與點H重合時，BN最短．

∵點B與點A關(guān)于y軸對稱，

∴B(-3,0)，

∴AB=23．

∵∠BAH=180°-∠OAN=60°，

∴BH=AB?sin60°=3，即BN的最小值為3．

故選：A．

設(shè)直線y=-3x+3與y軸的交點為E，再取AE的中點D，連接OD、AN，過B作BH⊥AN于H點．根據(jù)直線解析式求出點A和點E的坐標(biāo)，然后再證明△AOD為等邊三角形．再結(jié)合旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)，并利用SAS11.答案：50°

解析：解：∵l1/?/l2，

∴∠2=∠1=50°．

故答案為：50°．12.答案：a(a+2)

解析：解：a2+2a=a(a+2)．

直接提公因式法：觀察原式a2+2a，找到公因式a13.答案：35解析：解：∵一只不透明的袋子中裝有2個黃球和3個紅球，這些球除顏色外都相同，

∴攪勻后從中任意摸出1個球，則摸出紅球的概率為：32+3=35．

故答案為：35．

由一只不透明的袋子中裝有2個黃球和3個紅球，這些球除顏色外都相同，直接利用概率公式求解即可求得答案．14.答案：50π

解析：解：此圓錐的側(cè)面積為π×5×10=50π．

故答案為：50π．

根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式求解即可．

本題考查求圓錐的計算．掌握求圓錐的側(cè)面積公式S=πrl(r為底面圓的半徑，l為母線長)是解題關(guān)鍵．

15.答案：30°或45°

解析：解：分類討論：①當(dāng)點C在邊AD上時，如圖1，

∵∠B=60°，∠ACB=75°，

∴∠BAC=180°-∠B-∠ACB=180°-60°-75°=45°，

∵將△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)α(0°<α<90°)得到△ADE，

∴∠DAE=∠BAC=α=45°；

②當(dāng)點C在邊DE上時，如圖2，

∵將△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)α(0°<α<90°)得到△ADE，

∴AC=AE，∠E=∠ACB=75°，

∴∠E=∠ACE=75°，

∴∠EAC=α=180°-75°-75°=30°，

綜上可知，α的度數(shù)是30°或45°，

故答案為：30°或45°．

分兩種情況：當(dāng)點C在邊AD上時和當(dāng)點C在邊DE上時，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理即可求出答案．

本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，利用分類討論的思想是解答本題的關(guān)鍵．

16.答案：①②③④

解析：解：∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=AD，∠BAD=90°，

∵AF⊥AE，

∴∠FAE=∠BAE+∠BAF=90°，

∵∠DAF+∠BAF=∠BAD=90°，

∴∠BAE=∠DAF，

又∵AE=AF，

∴△AFD≌△AEB(SAS)，故①正確；

∴∠AFD=∠AEB，

∵∠AEB=∠AEF+∠BEF，∠AFD=∠AEF+∠FAE，

∴∠BEF=∠FAE=90°，即EB⊥ED，故②正確；

過點B作BP⊥AE，交AE的延長線于P，則BF的長即點B到直線AE的距離，

∵AE=AF=42，∠FAE=90°，

∴FE=8，∠AEF=∠AFE=45°，

在Rt△BEF中，F(xiàn)B=10，F(xiàn)E=8，

∴BE=6，

∵EB⊥ED，BP⊥AP，

∴∠EPB=∠PBE=45°，

∴BP=EP=32，

故③正確；

連接BD，

S△AFD+S△AFB=S△AEB+S△AFB=S△AEF+S△BEF=12×42×42+12×6×8=40，

故④正確；

綜上，正確結(jié)論的序號是①②③④，

故答案為：①②③④．

利用正方形和AF⊥AE，證得∠BAE=∠DAF，利用SAS即可證△AFD≌△AEB，得到∠AFD=∠AEB17.答案：解：x-1>1①1+2x<7②，

解不等式①得：x>2，

解不等式②得：x<3，

∴該不等式組的解集為2<x<3．解析：分別解每個不等式，再求出公共解集即可．

本題考查了解一元一次不等式組，解題關(guān)鍵是掌握解不等式的方法以及求公共解集的方法，口訣為：“同大取大，同小取小，大小小大取中間，大大小小無處找”．

18.答案：證明：∵AB/?/CD，

∴∠B=∠C，

在△ABE和△DCF中，

∠A=∠D∠B=∠CBE=CF，

∴△ABE≌△DCF(AAS)解析：先利用兩直線平行，內(nèi)錯角相等求出∠B=∠C，再利用“AAS”即可求證．

本題考查了平行線的性質(zhì)和利用“AAS”判定兩個三角形全等的知識，解題關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定條件．

19.答案：解：(1)A=(x+2)2+(x+1)(x-1)-3

=x2+4x+4+x2-1-3

=2x2+4x；解析：(1)根據(jù)整式的混合運算法則計算即可化簡；

(2)將(1)化簡后的式子變形為2(x2+2x)，再將x220.答案：6

2

解析：解：(1)這50名出行學(xué)生使用共享單車次數(shù)的中位數(shù)是3+32=3(次)，眾數(shù)為2，

故答案為：1，2；

(2)這50名出行學(xué)生平均每人使用共享單車150×(1×8+2×13+3×11+4×12+5×6)=2.9(次)．

(1)根據(jù)中位數(shù)的概念求解可得；

(2)21.答案：解：(1)過點A作AC⊥OB于點C，

∵△OAB是等邊三角形，

∴∠AOB=60°，OC=12OB，

∵B(4,0)，

∴OB=OA=4，

∴OC=2，AC=23．

把點A(2,23)代入y=kx，得k=43．

∴反比例函數(shù)的解析式為y=43x；

(2)∵點A(2,23)，

∴OA的中點的坐標(biāo)為(1,3)，

∴O'A'的中點的縱坐標(biāo)為3解析：(1)過點A作AC⊥OB于點C，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出點A坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求得反比例函數(shù)的解析式即可；

(2)求得OA的中點坐標(biāo)，即可求得邊O'A'的中點的縱坐標(biāo)，代入反比例函數(shù)的解析式得出中點橫坐標(biāo)，再根據(jù)平移的法則得出a的值即可．

本題考查了用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，掌握直角三角形、等邊三角形的性質(zhì)以及平移的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

22.答案：解：(1)設(shè)A型號收割機(jī)每臺每天平均收割m畝該作物，B型號收割機(jī)每臺每天平均收割n畝該作物，

依題意得：2m+3n=310m+n=130，

解得：m=80n=50．

答：A型號收割機(jī)每臺每天平均收割80畝該作物，B型號收割機(jī)每臺每天平均收割50畝該作物．

(2)設(shè)租用x臺A型號的收割機(jī)，則租用(10-x)臺B型號的收割機(jī)，

依題意得：80x+50(10-x)≥700，

解得：x≥203，

又∵x為整數(shù)，

∴x可以為7，8，9，10，

∴共有4種租賃方案．

∵完成該作物的收割需要的總租金為y元，且租用A型號收割機(jī)的租金為每天3000元，租用B型號收割機(jī)的租金為每天2000元，

∴y=3000x+2000(10-x)=1000x+20000．

∵1000>0，

∴y隨x的增大而增大，

∴當(dāng)x=7時，y取得最小值，最小值=1000×7+20000=27000(元)．

答：一共有4解析：(1)設(shè)A型號收割機(jī)每臺每天平均收割m畝該作物，B型號收割機(jī)每臺每天平均收割n畝該作物，根據(jù)“2臺A型號收割機(jī)與3臺B型號收割機(jī)一起工作1天共收割該作物310畝，1臺A型號收割機(jī)和1臺B型號收割機(jī)一起工作1天共收割該作物130畝”，即可得出關(guān)于m，n的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；

(2)設(shè)租用x臺A型號的收割機(jī)，則租用(10-x)臺B型號的收割機(jī)，根據(jù)租用的10臺收割機(jī)一天收割的該作物不少于700畝，即可得出關(guān)于x的一元一次不等式，結(jié)合x為整數(shù)，即可得出共有4種租賃方案，利用總租金=每臺收割機(jī)每天的租金×租用數(shù)量，即可得出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，再利用一次函數(shù)的性質(zhì)，即可解決最值問題．

本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用以及一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：(1)找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；(2)根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，找出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．

23.答案：解：(1)①如圖1，即為所作圖形；

②∵點C是AB的中點，

∴AC=BC．

∵CD是∠ACB的平分線，

∴CD⊥AB．

∵AB是⊙O的直徑，

∴CD經(jīng)過圓心O，

∴∠BOD=90°．

∵⊙O的半徑為6，

∴OB=OD=6，

∴BD=OB2+OD2=62；

(2)點C在運動過程中，四邊形ADBC的面積存在最大值．

理由：如圖，連接AB，過點D作DC'⊥AB于點E，交⊙O于點C'，過點C作CF⊥AB．

∵∠ACD=∠BCD=60°，

∴AD=BD，∠ACB=2∠BCD=120°，

∴AD=BD．

∵四邊形ADBC為⊙O內(nèi)接四邊形，

∴∠ADB=180°-∠ACB=60°，

∴△ADB為等邊三角形．

∵DC'⊥AB，

∴DC'為⊙O直徑，C'是AB的中點．

∵S四邊形ADBC=S△ABD+S△ABC，

∴S四邊形ADBC=12AB?DE+12AB?CF=12AB?(DE+CF)．

∵△ADB為等邊三角形，

∴AB和AB邊上的高都為定值，

∴當(dāng)CF最大時，S四邊形ADBC最大，此時點C與點C'重合，

∴當(dāng)點C為AB中點時，S四邊形ADBC最大，此時DC為⊙O直徑，

∴∠A=∠B=90°，如圖3．

∵⊙O的半徑為6，

∴CD=12．

∵∠ADC=90°-∠ACD=30°，

解析：(1)①根據(jù)角平分線的作圖方法畫出CD，在連接BD即可；②由點C是AB的中點，得出AC=BC.根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出CD⊥AB.結(jié)合AB是⊙O的直徑，即得出CD經(jīng)過圓心O，即∠BOD=90°，最后根據(jù)勾股定理求解即可．

(2)連接AB，過點D作DC'⊥AB于點E，交⊙O于點C'，過點C作CF⊥AB.由題意易證△ADB為等邊三角形．根據(jù)DC'⊥AB，即得出DC'為⊙O直徑，C'是AB的中點．根據(jù)△ADB為等邊三角形，可得出AB和AB邊上的高都為定值，再根據(jù)S四邊形ADBC=12AB?(DE+CF)，即得出當(dāng)CF最大時，S四邊形ABCD最大，此時點C與點C'重合，即當(dāng)點C為AB中點時，S四邊形ADBC最大，此時DC為⊙O直徑，得出此時∠A=∠B=90°.易求出∠ADC=90°-∠ACD=30°，結(jié)合勾股定理和含30度角的直角三角形的性質(zhì)得出AC=12CD=6，AD=CD2-AC2=63，進(jìn)而可求出24.答案：解：(1)∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°，∠B=60°，∠D=30°，

∴∠A+∠C=360°-60°-30°=270°；

(2)如圖，將△BCD繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△BAQ．

∴∠CBD=∠ABQ，∠C=∠BAQ，CD=AQ=4，BD=BQ．

∵∠CBD+∠ABD=60°，

∴∠ABQ+∠ABD=60°，即∠DBQ=60°，

∴△DBQ是等邊三角形，

∴BD=DQ．

∵∠C+∠BAD=270°，

∴∠BAQ+∠BAD=270°，

∴∠DAQ=90°，

∴BD=DQ=AD2+AQ2=5；

(3)如圖，將△BCD繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△BAH，連接DH．

由(2)同理可證△BDH為等邊三角形，

∴S四邊形ABCD=S△BAH+S△ABD=S△DBH-S△ADH，

∴當(dāng)△ADH面積最大時，四邊形ABCD的面積最?。?/p>