甘肅省靖遠(yuǎn)一中高三9月月考理數(shù)試卷

此卷只裝訂不密封班級姓名準(zhǔn)考證號此卷只裝訂不密封班級姓名準(zhǔn)考證號考場號座位號高三理科數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試題卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。3．非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。4．考試結(jié)束后，請將本試題卷和答題卡一并上交。第Ⅰ卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知函數(shù)為奇函數(shù)，且當(dāng)時，，則（）A． B．0 C．1 D．22．如表是我國某城市在2017年1月份至10月份個月最低溫與最高溫（）的數(shù)據(jù)一覽表．月份12345678910最高溫59911172427303121最低溫171719232510已知該城市的各月最低溫與最高溫具有相關(guān)關(guān)系，根據(jù)這一覽表，則下列結(jié)論錯誤的是（）A．最低溫與最高位為正相關(guān)B．每月最高溫和最低溫的平均值在前8個月逐月增加C．月溫差（最高溫減最低溫）的最大值出現(xiàn)在1月D．1月至4月的月溫差（最高溫減最低溫）相對于7月至10月，波動性更大3．已知（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)（）A． B． C． D．4．等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，成等差數(shù)列，若，則（）A．7 B．8 C．15 D．165．已知集合，，則（）A． B． C． D．6．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入的，則輸出的（）A．5 B．6 C．7 D．87．三次函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線與軸平行，則在區(qū)間上的最小值是（）A． B． C． D．8．已知，，與的夾角為，則（）A．2 B．3 C．4 D．59．平面直角坐標(biāo)系中，動點(diǎn)到圓上的點(diǎn)的最小距離與其到直線的距離相等，則點(diǎn)的軌跡方程是（）A． B． C． D．10．某四面體的三視圖如圖所示，則該四面體的四個面中，直角三角形的面積和是（）A．2 B．4 C． D．11．已知橢圓：，點(diǎn)，，分別為橢圓的左頂點(diǎn)、上頂點(diǎn)、左焦點(diǎn)，若，則橢圓的離心率是（）A． B． C． D．12．已知是由具有公共直角邊的兩塊直角三角板（與）組成的三角形，如左下圖所示．其中，，．現(xiàn)將沿斜邊進(jìn)行翻折成（不在平面上）．若，分別為和的中點(diǎn)，則在翻折過程中，下列命題不正確的是（）A．在線段上存在一定點(diǎn)，使得的長度是定值B．點(diǎn)在某個球面上運(yùn)動C．對于任意位置，二面角始終大于二面角D．存在某個位置，使得直線與所成角為二、填空題：（本大題共4題，每小題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13．設(shè)，滿足約束條件，則的取值范圍為__________．14．某學(xué)校有兩個食堂，甲、乙、丙三名學(xué)生各自隨機(jī)選擇其中的一個食堂用餐，則他們在同一個食堂用餐的概率為__________．15．在數(shù)列中，，，且．記，，則__________．16．如圖，在中，，點(diǎn)在線段上，且，，則的面積的最大值為__________．三、解答題（本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）17．（12分）在中，角，，所對的邊分別是，，，且．（1）證明：；（2）若，求．18．（12分）如圖，四棱錐中，底面，，，，為線段上一點(diǎn)，，為的中點(diǎn)．（1）證明平面;（2）求直線與平面所成角的正弦值．19．（12分）某商場進(jìn)行有獎促銷活動，顧客購物每滿500元，可選擇返回50元現(xiàn)金或參加一次抽獎，抽獎規(guī)則如下：從1個裝有6個白球、4個紅球的箱子中任摸一球，摸到紅球就可獲得100元現(xiàn)金獎勵，假設(shè)顧客抽獎的結(jié)果相互獨(dú)立．（1）若顧客選擇參加一次抽獎，求他獲得100元現(xiàn)金獎勵的概率；（2）某顧客已購物1500元，作為商場經(jīng)理，是希望顧客直接選擇返回150元現(xiàn)金，還是選擇參加3次抽獎？說明理由；（3）若顧客參加10次抽獎，則最有可能獲得多少現(xiàn)金獎勵？20．（12分）已知中心在原點(diǎn)，左、右焦點(diǎn)分別為，的橢圓的離心率為，焦距為，，是橢圓上兩點(diǎn)．（1）若直線與以原點(diǎn)為圓心的圓相切，且，求此圓的方程；（2）動點(diǎn)滿足：，直線與的斜率的乘積為，求動點(diǎn)的軌跡方程．21．（12分）設(shè)函數(shù)，，其中．（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）若存在極值點(diǎn)，且，其中，求證：；（3）設(shè)，函數(shù)，求證：在區(qū)間上的最大值不小于．請考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分．22．（10分）【選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程】以直角坐標(biāo)系中，以為極點(diǎn)，軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線的方程為，定點(diǎn)，點(diǎn)是曲線上的動點(diǎn)，為的中點(diǎn)．（1）求點(diǎn)的軌跡的直角坐標(biāo)方程；（2）直線與曲線相交于，兩點(diǎn)，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．23．（10分）【選修45：不等式選講】已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，求不等式的解集；（2）若的解集包含，求的取值范圍．高三理科數(shù)學(xué)答案一、選擇題．1．【答案】A2．【答案】B3．【答案】D4．【答案】C5．【答案】C6．【答案】C7．【答案】D8．【答案】B9．【答案】A10．【答案】C11．【答案】A12．【答案】D二、填空題．13．【答案】14．【答案】15．【答案】316．【答案】三、解答題．17．【答案】（1）見解析；（2）4．【解析】（1）根據(jù)正弦定理，可設(shè)，則，，．代入中，有，變形可得．在中，由，有，所以．（2）由已知，，根據(jù)余弦定理，有．所以．由（1），，所以，故．18．【答案】（1）見解析；（2）．【解析】（1）由已知得．取的中點(diǎn)，連接，，由為中點(diǎn)知，．又，故，四邊形為平行四邊形，于是．因?yàn)槠矫?，平面，所以平面．?）取的中點(diǎn)，連結(jié)．由得，從而，且．以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．由題意知，，，，，，，．設(shè)為平面的一個法向量，則，即可取，于是．19．【答案】（1）；（2）見解析；（3）400元．【解析】（1）因?yàn)閺难b有10個球的箱子中任摸一球的結(jié)果共有種，摸到紅球的結(jié)果共有種，所以顧客參加一次抽獎獲得100元現(xiàn)金獎勵的概率是．……2分（2）設(shè)表示顧客在三次抽獎中中獎的次數(shù)，由于顧客每次抽獎的結(jié)果是相互獨(dú)立的，則，所以．由于顧客每中獎一次可獲得100元現(xiàn)金獎勵，因此該顧客在三次抽獎中可獲得的獎勵金額的均值為元．由于顧客參加三次抽獎獲得現(xiàn)金獎勵的均值120元小于直接返現(xiàn)的150元，所以商場經(jīng)理希望顧客參加抽獎．……………7分（3）設(shè)顧客參加10次抽獎摸中紅球的次數(shù)為．由于顧客每次抽獎的結(jié)果是相互獨(dú)立的，則．于是，恰好次中獎的概率為，．從而，，當(dāng)時，；當(dāng)時，，則最大．所以，最有可能獲得的現(xiàn)金獎勵為元．于是，顧客參加10次抽獎，最有可能獲得400元的現(xiàn)金獎勵．………………12分20．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）設(shè)橢圓方程為，由已知，得，∴橢圓方程為．①當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線為，，，代入橢圓方程得．∴，．∵，∴，即，即．∵與以原點(diǎn)為圓心的圓相切，∴圓半徑，則，∴圓的方程為．②當(dāng)直線的斜率存在時，易知方程為滿足上述方程．綜上，所求圓的方程為．（2）設(shè)，，，由得又直線，的斜率積為，∴，即．∵，在橢圓上，∴，聯(lián)立得消去，，，，得．當(dāng)斜率不存在時，即，得，，．此時，同理斜率不存在時，，∴點(diǎn)的軌跡方程為．21．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析．【解析】（1）解：由，可得，下面分兩種情況討論：①當(dāng)時，有恒成立，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為．②當(dāng)時，令，解得或．當(dāng)變化時，，的變化情況如下表：00單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，．（2）證明：因?yàn)榇嬖跇O值點(diǎn)，所以由（1）知且．由題意，得，即，進(jìn)而，又，且，由題意及（1）知，存在唯一實(shí)數(shù)滿足，且，因此，所以．（3）證明：設(shè)在區(qū)間上的最大值為，表示，兩數(shù)的最大值，下面分三種情況討論：（1）當(dāng)時，，由（1）知，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以在區(qū)間上的取值范圍為，因此所以．（2）當(dāng)時，，由（1）和（2）知，，所以在區(qū)間上的取值范圍為，因此．（3）當(dāng)時，，由（1）和（2）知，，，所以在區(qū)間上的取值范圍為，因此，．綜上所述，當(dāng)時，在區(qū)間上的最大值不小于．22．【