第九章 導(dǎo)體和電介質(zhì)中的靜電場(chǎng)例題詳解

例9-1兩個(gè)半徑分別為R和r的球形導(dǎo)體（R>r），用一跟很長(zhǎng)的細(xì)導(dǎo)線連接起來(lái)，使這個(gè)導(dǎo)體組帶電，電勢(shì)為V，求兩球表面電荷面密度曲率的關(guān)系。

RrQq

說(shuō)明：細(xì)導(dǎo)線很長(zhǎng),忽略兩球之間的靜電感應(yīng),

兩球可近似看成孤立導(dǎo)體。1）導(dǎo)體表面凸出而尖銳的地方（曲率較大）

電荷面密度較大2）導(dǎo)體表面平坦的地方（曲率較小）

電荷面密度較小3）導(dǎo)體表面凹進(jìn)去的地方（曲率為負(fù)）

電荷面密度更小結(jié)論：

對(duì)于孤立帶電體，其電荷分布將只取決于導(dǎo)體自身的形狀。一般導(dǎo)體電荷的分布與導(dǎo)體形狀有關(guān)附近其它帶電體有關(guān)例9-2在內(nèi)外半徑分別為R1和R2的導(dǎo)體球殼內(nèi)，有一個(gè)半徑為r1

的導(dǎo)體小球，小球與球殼同心，讓小球與球殼分別帶上電荷量q和Q。試求：（1）小球的電勢(shì)Vr，球殼內(nèi)、外表面的電勢(shì)；（2）小球與球殼的電勢(shì)差；（3）若球殼接地，再求小球與球殼的電勢(shì)差。qQr1

解：球殼內(nèi)表面均勻分布電荷-q，球殼外表面均

勻分布電荷q+Q。（1）小球的電勢(shì)為球殼內(nèi)、外表面的電勢(shì)為r1球殼為等勢(shì)體場(chǎng)強(qiáng)積分法

球殼內(nèi)、外表面的電勢(shì)為r1電勢(shì)疊加法（1）小球的電勢(shì)為導(dǎo)體組可看成三層均勻帶電球面（3）若外球殼接地，球殼外表面上電荷為零，但

導(dǎo)體球表面和球殼內(nèi)表面上的電荷分布不變，

兩球的電勢(shì)分別為（2）兩球的電勢(shì)差為兩球的電勢(shì)差仍為（1）不管外球殼接地與否，兩球的電勢(shì)差恒保持不變。

當(dāng)q為正值時(shí)，小球的電勢(shì)高于球殼；

當(dāng)q為負(fù)值時(shí)，小球的電勢(shì)低于球殼。（2）球殼與小球的電勢(shì)與小球在殼內(nèi)的位置無(wú)關(guān)。（3）如果兩球用導(dǎo)線相連或小球與球殼相接觸，電荷q總是全部遷移到球殼的外邊面上。兩球的電勢(shì)差為:可見(jiàn)：例9-3三個(gè)電容器按圖連接，其電容分別為C1

、C2和

C3。當(dāng)電鍵K打開(kāi)時(shí)，將C1充電到U0，然后斷開(kāi)電源，并閉合電鍵K。求各電容器上的電勢(shì)差。U0+q0-q0KC1C2C3解：已知在K閉合前,C1極板上所帶電荷量為q0=C1

U0

，C2和C3極板上的電荷量為零。K閉合后，C1放電并對(duì)C2

、C3充電，整個(gè)電路可看作為C2、C3串聯(lián)再與C1并聯(lián)。設(shè)穩(wěn)定時(shí)，C1極板上的電荷量為q1，C2和C3極板上的電荷量為q2。U1U2U3q1q2q2q1Kq1q2C1C2C3U1U2U3q2q2解兩式得因此，得C1

、C2和C3上的電勢(shì)差分別為由此可知，右半球面上左半球面上解：1）球面上任一點(diǎn)極化電荷面密度為例9-4半徑R

的介質(zhì)球被均勻極化，極化強(qiáng)度為

。

求：1）介質(zhì)球表面極化面電荷的分布；

2）極化電荷在球心處的場(chǎng)。2）在球面上取環(huán)帶由對(duì)稱性可知，在球心處的場(chǎng)只有x軸方向的分量R環(huán)帶上的極化電荷元為沿x軸負(fù)方向。由于是均勻極化，所以介質(zhì)球內(nèi)為勻強(qiáng)電場(chǎng)。例題9-5

一半徑為R的金屬球，帶有電荷q0，浸埋在“無(wú)限大”均勻電介質(zhì)中（相對(duì)電容率為

r），求：球外任一點(diǎn)P的場(chǎng)強(qiáng)及極化電荷分布。解:如圖所示，過(guò)P點(diǎn)作一半徑為r并與金屬球同心的閉合球面S，由高斯定理知：rS,所以離球心r

處P點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)為因Rq0

rP極化面電荷分布在與金屬球交界處的電介質(zhì)界面上（另一電介質(zhì)表面在無(wú)限遠(yuǎn)處），其電荷面密度為因?yàn)棣舝>1，σ

恒與q0反號(hào)，在交界面處，自由電荷和極化電荷的總電荷量為離球心r處場(chǎng)強(qiáng)減小到真空時(shí)的1/

r倍的原因RrSPq0例題9-6

平行板電容器兩板極的面積為S，如圖所示，兩板極之間充有兩層均勻電介質(zhì)，電容率分別為

1

和

2

，厚度分別為d1

和d2

，電容器兩極板上自由電荷面密度為±

。求（1）在各層電介質(zhì)的電位移和場(chǎng)強(qiáng)；（2）電容器的電容。+++++++++++-----------------++++++++++++------解（1）先在兩層電介質(zhì)交界面處作一高斯閉合面S，在此高斯面內(nèi)的自由電荷為零。由電介質(zhì)時(shí)的高斯定理得S可見(jiàn)在這兩層電介質(zhì)中場(chǎng)強(qiáng)并不相等，而是和電容率率（或相對(duì)電容率）成反比。

為了求出電介質(zhì)中電位移和場(chǎng)強(qiáng)的大小，可另作一個(gè)高斯閉合面S

，這一閉合面內(nèi)的自由電荷等于正極板上的電荷，由電介質(zhì)時(shí)的高斯定理，得勻強(qiáng)電場(chǎng)-----++++++++++--------------++++++++++S（2）正、負(fù)兩極板A、B間的電勢(shì)差為q=σS是每一極板上的電荷，這個(gè)電容器的電容為電容的大小與電介質(zhì)的放置次序無(wú)關(guān)++++++++++--------------++++++++++-----S例題9-8如圖所示，在一邊長(zhǎng)為d的立方體的每個(gè)頂點(diǎn)上放有一個(gè)點(diǎn)電荷-e，立方體中心放有一個(gè)點(diǎn)電荷+2e。求此帶電系統(tǒng)的相互作用能量。+2e-e-e-e-e-e-e-e-ed解:任一頂點(diǎn)處的電勢(shì)為

在體心處的電勢(shì)為根據(jù)公式可得這個(gè)點(diǎn)電荷系的總相互作用能為+2e-e-e-e-e-e-e-e-ed例9-9求半徑為R

帶電量為Q的均勻帶電球的靜電能。r

處電場(chǎng)解：利用來(lái)計(jì)算RrOQ球外為真空例題9-10一平行板空氣電容器的板極面積為S，間距為d，用電源充電后兩極板上帶電分別為±Q。斷開(kāi)電源后再把兩極板的距離拉開(kāi)到2d。求（1）外力克服兩極板相互吸引力所作的功；（2）兩極板之間的相互吸引力。（空氣的電容率取為ε0）。板極上帶電±Q時(shí)所儲(chǔ)的電能為解：（1）兩極板的間距為d

和2d

時(shí)，平行板電容器的電容分別為（2）設(shè)兩極板之間的相互吸引力為F

，拉開(kāi)兩極板時(shí)所加外力應(yīng)等于F

，外力所作的功A=Fd

，所以故兩極板的間距拉開(kāi)到2d后電容器中電場(chǎng)能量的增量為例9-11平行板空氣電容器每極板的面積S=3×10-2m2

，極板間的距離d=3×10-3m。今以厚度為d

=1×10-3m的銅板平行地插入電容器內(nèi)。（1）計(jì)算此時(shí)電容器的電容；（2）銅板離極板的距離對(duì)上述結(jié)果是否有影響？（3）使電容器充電到兩極板的電勢(shì)差為300V后與電源斷開(kāi)，再把銅板從電容器中抽出，外界需作功多少功？d1d2dd

+

-

C1C2AB

設(shè)平行板電容器兩板極上帶有電荷±q,銅板的兩表面上將分別產(chǎn)生感應(yīng)電荷，面密度也為±σ，此時(shí)空氣中場(chǎng)強(qiáng)不變，銅板中場(chǎng)強(qiáng)為零。兩極板A、B的電勢(shì)差為所以銅板插入后的電容C'

為（2）由上式可見(jiàn)，C

的值與d1和d2無(wú)關(guān)（d1增大時(shí)，d2減小。d1+d2=