（江蘇專用）高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第18課 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 文-人教版高三全冊數(shù)學(xué)試題

第18課利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性(本課時對應(yīng)學(xué)生用書第頁)自主學(xué)習(xí)回歸教材1.(選修2-2P28例1改編)函數(shù)f(x)=x3-15x2-33x+6的單調(diào)減區(qū)間為.【答案】(-1，11)【解析】f'(x)=3x2-30x-33=3(x-11)(x+1)，由(x-11)(x+1)<0，得單調(diào)減區(qū)間為(-1，11).亦可填寫閉區(qū)間或半開半閉區(qū)間.2.(選修2-2P29練習(xí)4(1)改編)函數(shù)y=xlnx的單調(diào)減區(qū)間為.【答案】【解析】y'=lnx+1，令y'<0，即lnx+1<0，解得0<x<，故所求的單調(diào)減區(qū)間為.3.(選修1-1P74練習(xí)2改編)若函數(shù)f(x)=x3+ax-2在區(qū)間(-∞，+∞)上是增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是.【答案】[0，+∞)【解析】f'(x)=3x2+a，因為f(x)在(-∞，+∞)上是增函數(shù)，所以f'(x)≥0恒成立，所以a≥0.4.(選修1-1P87練習(xí)3改編)若函數(shù)f(x)=ex-ax在區(qū)間(1，+∞)上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍是.【答案】(-∞，e]【解析】由f'(x)=ex-a>0，得a<ex.若函數(shù)在(1，+∞)上單調(diào)遞增，則a<ex在區(qū)間(1，+∞)上恒成立，所以a≤e.5.(選修2-2P29例2改編)方程x3-3x2+1=0在區(qū)間(0，2)上恰好有個根.【答案】1【解析】設(shè)f(x)=x3-3x2+1，則f'(x)=x2-6x=x(x-6)，當(dāng)x∈(0，2)時，f'(x)<0，f(x)在(0，2)上為減函數(shù)，又f(0)f(2)=1×<0，所以f(x)=0在區(qū)間(0，2)上恰好有1個根.1.用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性在某個區(qū)間(a，b)內(nèi)，如果f'(x)≥0且不恒為0，那么函數(shù)y=f(x)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果f'(x)≤0且不恒為0，那么函數(shù)y=f(x)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.2.判定函數(shù)單調(diào)性的一般步驟(1)確定函數(shù)y=f(x)的定義域；(2)求導(dǎo)數(shù)f'(x)；(3)在函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)解不等式f'(x)>0或f'(x)<0；(4)根據(jù)(3)的結(jié)果確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【要點導(dǎo)學(xué)】要點導(dǎo)學(xué)各個擊破求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例1求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.(1)y=x3-x2-2x+5；(2)y=2x2-lnx.【思維引導(dǎo)】直接解f'(x)>0和f'(x)<0即可.【解答】(1)因為y'=3x2-x-2=(3x+2)(x-1)，定義域為R，所以當(dāng)y'>0時，x∈∪(1，+∞)；當(dāng)y'<0時，x∈.所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，(1，+∞)，單調(diào)減區(qū)間為.(2)因為y'=4x-=，定義域為(0，+∞)，令y'<0，得x∈；令y'>0，得x∈.所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.【精要點評】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間的一般步驟為：(1)確定函數(shù)f(x)的定義域；(2)求導(dǎo)函數(shù)f'(x)；(3)在函數(shù)f(x)的定義城內(nèi)解不等式f'(x)>0和f'(x)<0；(4)根據(jù)(3)的結(jié)果確定函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.變式已知函數(shù)f(x)=mx3+nx2(m，n∈R，m≠0)，且函數(shù)y=f(x)的圖象在點(2，f(2))處的切線與x軸平行.(1)用含有m的代數(shù)式表示n；(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間.【解答】(1)由已知得f'(x)=3mx2+2nx，又f'(2)=0，所以3m+n=0，故n=-3m.(2)由(1)知n=-3m，所以f(x)=mx3-3mx2，所以f'(x)=3mx2-6mx.令f'(x)>0，即3mx2-6mx>0.當(dāng)m>0時，解得x<0或x>2，則函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(-∞，0)和(2，+∞)；當(dāng)m<0時，解得0<x<2，則函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0，2).綜上，當(dāng)m>0時，函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(-∞，0)和(2，+∞)；當(dāng)m<0時，函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0，2).【精要點評】通過解不等式f'(x)>0(或f'(x)<0來確定函數(shù)的單調(diào)增(或減)區(qū)間，要注意對參數(shù)進行討論；反之，若函數(shù)f(x)在某區(qū)間上單調(diào)遞增(或減)，則由f'(x)≥0(或f'(x)≤0)在這個區(qū)間上恒成立求出參數(shù)的取值范圍.含參函數(shù)單調(diào)性的討論例2(2014·江蘇模擬改編)已知函數(shù)f(x)=x2-(2+b)x+blnx(x>0，b為實常數(shù))，討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性.【思維引導(dǎo)】先確定函數(shù)的定義域為(0，+∞)，然后求解函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)，最后利用導(dǎo)數(shù)的符號判斷函數(shù)的單調(diào)性.【解答】f'(x)=2x-(2+b)+=.令f'(x)=0，得x1=，x2=1.①當(dāng)≤0，即b≤0時，函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(0，1)，單調(diào)增區(qū)間為(1，+∞)；②當(dāng)0<<1，即0<b<2時，列表如下：x(1，+∞)f'(x)+-+f(x)↗↘↗所以函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為，(1，+∞)，單調(diào)減區(qū)間為；③當(dāng)=1，即b=2時，函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0，+∞)；④當(dāng)>1，即b>2時，列表如下：x(0，1)f'(x)+-+f(x)↗↘↗所以函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0，1)，，單調(diào)減區(qū)間為.綜上，當(dāng)b≤0時，函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(0，1)，單調(diào)增區(qū)間為(1，+∞)；當(dāng)0<b<2時，函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為，(1，+∞)，單調(diào)減區(qū)間為；當(dāng)b=2時，函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0，+∞)；當(dāng)b>2時，函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0，1)，，單調(diào)減區(qū)間為.【精要點評】當(dāng)導(dǎo)函數(shù)中含有字母參數(shù)時，要注意對字母參數(shù)進行討論后再確定導(dǎo)數(shù)符號.其本質(zhì)是利用分類討論思想求解含參數(shù)不等式.變式已知函數(shù)f(x)=x2-mlnx+(m-1)x，當(dāng)m≤0時，試討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性.【解答】函數(shù)的定義域為(0，+∞)，f'(x)=x-+(m-1)==.①當(dāng)-1<m≤0時，令f'(x)>0，得0<x<-m或x>1；令f'(x)<0，得-m<x<1，所以當(dāng)-1<m≤0時，函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0，-m)和(1，+∞)，單調(diào)減區(qū)間為(-m，1)；②當(dāng)m=-1時，f'(x)≥0在(0，+∞)上恒成立，所以當(dāng)m=-1時，函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0，+∞).③當(dāng)m<-1時，同理可得，函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0，1)和(-m，+∞)，單調(diào)減區(qū)間為(1，-m).根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)例3已知函數(shù)f(x)=x3+mx2-3m2x+1，m∈R.(1)當(dāng)m=1時，求曲線y=f(x)在點(2，f(2))處的切線方程；(2)若f(x)在區(qū)間(-2，3)上是減函數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍.【思維引導(dǎo)】(1)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解；(2)利用f'(x)≤0對x∈(-2，3)恒成立來處理，即(-2，3)f(x)的單調(diào)減區(qū)間.【解答】(1)當(dāng)m=1時，f(x)=x3+x2-3x+1，則f'(x)=x2+2x-3，所以f'(2)=5.又因為f(2)=，所以所求切線方程為y-=5(x-2)，即15x-3y-25=0.(2)因為f'(x)=x2+2mx-3m2，令f'(x)=0，得x=-3m或m.當(dāng)m=0時，f'(x)=x2≥0恒成立，不符合題意；當(dāng)m>0時，f(x)的單調(diào)減區(qū)間是(-3m，m)，若f(x)在區(qū)間(-2，3)上是減函數(shù)，則解得m≥3；當(dāng)m<0時，f(x)的單調(diào)減區(qū)間是(m，-3m)，若f(x)在區(qū)間(-2，3)上是減函數(shù)，則解得m≤-2.綜上，實數(shù)m的取值范圍是(-∞，-2]∪[3，+∞).【精要點評】由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍，這類問題一般已知f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增(遞減)，等價于不等式f'(x)≥0(f'(x)≤0)在區(qū)間I上恒成立，然后可借助分離參數(shù)等方法求出參數(shù)的取值范圍.變式(2015·湖北重點中學(xué)聯(lián)考)已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(1)=2，且f(x)的導(dǎo)函數(shù)f'(x)在R上恒有f'(x)<1，則不等式f(x)<x+1的解集為.【答案】(1，+∞)【解析】令g(x)=f(x)-x-1，因為f'(x)<1(x∈R)，所以g'(x)=f'(x)-1<0，所以g(x)=f(x)-x-1為減函數(shù).又因為f(1)=2，所以g(1)=f(1)-1-1=0，所以不等式f(x)<x+1的解集為g(x)=f(x)-x-1<0=g(1)的解集，即g(x)<g(1)，又g(x)=f(x)-x-1為減函數(shù)，所以x>1，即x∈(1，+∞).1.(2015·南昌?？?函數(shù)f(x)=lnx+x2-3x的單調(diào)減區(qū)間為.【答案】【解析】f(x)的定義域為(0，+∞)，f'(x)=+2x-3=，當(dāng)<x<1時，f'(x)<0，所以f(x)的單調(diào)減區(qū)間為.2.(2014·全國卷)若函數(shù)f(x)=kx-lnx在區(qū)間(1，+∞)上單調(diào)遞增，則實數(shù)k的取值范圍是.【答案】[1，+∞)【解析】f'(x)=k-=，且x>0，令f'(x)≥0，得kx-1≥0，所以x≥且k>0.因為函數(shù)f(x)在區(qū)間(1，+∞)上單調(diào)遞增，所以≤1，解得k≥1.3.(2015·浙江重點中學(xué)聯(lián)考)若函數(shù)y=f(x)在(0，+∞)上的導(dǎo)函數(shù)為f'(x)，且不等式xf'(x)>f(x)恒成立，又常數(shù)a，b滿足a>b>0，給出下列不等式：①bf(a)>af(b)；②af(a)>bf(b)；③bf(a)<af(b)；④af(a)<bf(b).其中一定成立的是.(填序號)【答案】①【解析】令g(x)=(x>0)，則g'(x)=(x>0).又因為xf'(x)>f(x)，所以g'(x)>0，所以函數(shù)g(x)在(0，+∞)上是增函數(shù).又因為a>b>0，所以g(a)>g(b)，即>，所以bf(a)>af(b).4.(2014·南通期末)已知a為實常數(shù)，y=f(x)是定義在(-∞，0)∪(0，+∞)上的奇函數(shù)，且當(dāng)x<0時，f(x)=2x-+1.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若f(x)≥a-1對一切x>0恒成立，求a的取值范圍.【解答】(1)由奇函數(shù)的對稱性可知，我們只要討論f(x)在區(qū)間(-∞，0)上的單調(diào)性即可.f'(x)=2+，令f'(x)=0，得x=-a.①若a≤0，則f'(x)>0，故f(x)在區(qū)間(-∞，0)上單調(diào)遞增.②若a>0，則當(dāng)x∈(-∞，-a)時，f'(x)>0，所以f(x)在區(qū)間(-∞，-a)上單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(-a，0)時，f'(x)<0，所以f(x)在區(qū)間(-a，0)上單調(diào)遞減.綜上所述，當(dāng)a≤0時，f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(-∞，0)，(0，+∞)；當(dāng)a>0時，f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(-∞，-a)，(a，+∞)，單調(diào)減區(qū)間為(-a，0)，(0，a).(2)因為f(x)為奇函數(shù)，所以當(dāng)x>0時，f(x)=-f(-x)=-=2x+-1.①當(dāng)a<0時，要使f(x)≥a-1對一切x>0恒成立，即2x+≥a對一切x>0恒成立.而當(dāng)x=->0時，有-a+4a≥a，所以a≥0，與a<0矛盾，所以a<0不成立.②當(dāng)a=0時，f(x)=2x-1>-1=a-1對一切x>0恒成立，故a=0滿足題設(shè)要求.③當(dāng)a>0時，由(1)可知f(x)在(0，a)上是減函數(shù)，在(a，+∞)上是增函數(shù).所以f(x)min=f(a)=3a-1>a-1，所以a>0時也滿足題設(shè)要求.綜上，a的取值范圍是[0，+∞).趁熱打鐵，事半功倍.請老師布置同學(xué)們完成《配套檢測與評估》中的練習(xí)第35~36頁.【檢測與評估】第18課利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性一、填空題1.當(dāng)x>0時，函數(shù)f(x)=x+的單調(diào)減區(qū)間是.2.若函數(shù)f(x)=x-lnx，則f(x)的單調(diào)增區(qū)間為.3.已知f(x)=x3-ax在[1，+∞)上是單調(diào)增函數(shù)，則實數(shù)a的最大值是.4.已知函數(shù)f(x)=kx3-3(k+1)x2-k2+1(k>0)，且f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(0，4)，那么實數(shù)k的值為.5.若函數(shù)f(x)=-(x-2)2+blnx在(1，+∞)上是減函數(shù)，則實數(shù)b的取值范圍為.6.(2015·唐山一中模擬)已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：f(x)+f'(x)>1，f(0)=4，則不等式exf(x)>ex+3(其中e為自然對數(shù)的底數(shù))的解集為.7.已知函數(shù)f(x)=lnx+2x，若f(x2+2)<f(3x)，則實數(shù)x的取值范圍是.8.已知函數(shù)f(x)=ax3-3x2+1，若f(x)存在唯一的零點x0，且x0>0，則實數(shù)a的取值范圍是.二、解答題9.已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx(a，b∈R)的圖象過點P(1，2)，且在點P處的切線的斜率為8.(1)求a，b的值；(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.10.已知函數(shù)f(x)=(ax2+x)ex，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，a∈R.(1)當(dāng)a<0時，解不等式f(x)>0；(2)若f(x)在區(qū)間[-1，1]上是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍.11.(2014·山東卷)已知函數(shù)f(x)=alnx+，其中a為常數(shù).(1)若a=0，求曲線y=f(x)在點(1，f(1))處的切線方程；(2)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性.三、選做題(不要求解題過程，直接給出最終結(jié)果)12.已知函數(shù)f(x)=ex-ax-1.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間.(2)若f(x)在定義域R內(nèi)單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍.(3)是否存在實數(shù)a，使得函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞，0]上單調(diào)遞減，在[0，+∞)上單調(diào)遞增?若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由.【檢測與評估答案】第18課利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性1.(0，2)【解析】f'(x)=1-(x>0)，令f'(x)<0，解得0<x<2，所以f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(0，2).2.(1，+∞)【解析】令f'(x)=1-=0，解得x=1.當(dāng)x∈(0，1)時，f'(x)<0；當(dāng)x∈(1，+∞)時，f'(x)>0，所以f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(1，+∞).3.3【解析】由題意知f'(x)=3x2-a≥0在[1，+∞)上恒成立，即a≤3x2在[1，+∞)上恒成立，而(3x2)min=3×12=3，所以a≤3，故amax=3.4.1【解析】由f'(x)=3kx2-6(k+1)x<0的解集為(0，4)，得k=1.5.(-∞，-1]【解析】由f(x)=-(x-2)2+blnx，得f'(x)=-(x-2)+(x>0)，由題意知f'(x)≤0，即-(x-2)+≤0在(1，+∞)上恒成立，所以b≤[x(x-2)]min，當(dāng)x∈(1，+∞)時[x(x-2)]∈(-1，+∞)，所以b≤-1.6.(0，+∞)【解析】設(shè)g(x)=exf(x)-ex，則g'(x)=exf(x)+exf'(x)-ex，因為f(x)+f'(x)>1，所以f(x)+f'(x)-1>0，所以g'(x)>0，所以y=g(x)在定義域R上單調(diào)遞增.因為exf(x)>ex+3，所以g(x)>3，又因為g(0)=e0f(0)-e0=3，所以g(x)>g(0)，所以x>0，即x∈(0，+∞).7.(1，2)【解析】由f(x)=lnx+2x，得f'(x)=+2xln2>0，x∈(0，+∞)，所以f(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞增.又由f(x2+2)<f(3x)，得0<x2+2<3x，所以x∈(1，2).8.(-∞，-2)【解析】①當(dāng)a=0時，顯然f(x)有兩個零點，不符合題意.②當(dāng)a≠0時，f'(x)=3ax2-6x，令f'(x)=0，解得x1=0，x2=.當(dāng)a>0時，>0，所以函數(shù)f(x)=ax3-3x2+1在(-∞，0)和上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，因為f(x)存在唯一零點x0，且x0>0，則f(0)<0，即1<0，不成立.當(dāng)a<0時，<0，所以函數(shù)f(x)=ax3-3x2+1在和(0，+∞)上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，因為f(x)存在唯一零點x0，且x0>0，則f>0，即a·-3·+1>0，解得a>2或a<-2，又因為a<0，故實數(shù)a的取值范圍為(-∞，-2).9.(1)由函數(shù)f(x)的圖象過點P(1，2)，得f(1)=2，所以a+b=1.因為函數(shù)圖象在點P處的切線的斜率為8，所以f'(1)=8.又f'(x)=3x2+2ax+b，所以2a+b=5.因此，a=4，b=-3.(2)由(1)得f'(x)=3x2+8x-3.令f'(x)>0，得x<-3或x>；令f'(x)<0，得-3<x<.故函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(-∞，-3)，；單調(diào)減區(qū)間為.10.(1)因為ex>0，所以不等式f(x)>0即為ax2+x>0.又a<0，所以不等式可化為x<0，所以當(dāng)a<0時，不等式f(x)>0的解集為.(2)f'(x)=(2ax+1)ex+(ax2+x)ex=[ax2+(2a+1)x+1]ex.①當(dāng)a=0時，f'(x)=(x+1)ex，f'(x)≥0在[-1，1]上恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)x=-1時取等號，故a=0符合要求.②當(dāng)a≠0時，令g(x)=ax2+(2a+1)x+1，因為Δ=(2a+1)2-4a=4a2+1>0，所以g(x)=0有兩個不相等的實數(shù)根x1，x2，不妨設(shè)x1>x2，因此f(x)有極大值又有極小值.若a>0，因為g(-1)·g(0)=-a<0，所以f(x)在(-1，1)內(nèi)有極值點，故f(x)在[-1，1]上不單調(diào)；若a<0，可知x1>0>x2，因為g(x)的圖象開口向下，所以要使f(x)在[-1，1]上單調(diào)，因為g(0)=1>0，必須滿足即所以-≤a<0.綜上可知，實數(shù)a的取值范圍是.11.(1)由題意知當(dāng)a=0時，f(x)=，x∈(0，+∞).此時f'(x)=，所以f'(1)=.又f(1)=0，所以曲線y=f(x)在點(1，f(1))處的切線方程為x-2