4.5.2 用二分法求方程的近似解（三大題型）（原卷版）

4．5．2用二分法求方程的近似解【題型歸納目錄】題型一：用二分法求近似解的條件題型二：用二分法求方程近似解的過程題型三：用二分法求函數(shù)零點的過程【知識點梳理】知識點一：二分法1、二分法對于區(qū)間上圖象連續(xù)不斷且的函數(shù)，通過不斷把它的零點所在區(qū)間一分為二，使所得區(qū)間的兩個端點逐漸逼近零點，進而得到近似值的方法．2、用二分法求函數(shù)零點的一般步驟：已知函數(shù)定義在區(qū)間D上，求它在D上的一個零點x0的近似值x，使它滿足給定的精確度．第一步：在D內(nèi)取一個閉區(qū)間，使與異號，即，零點位于區(qū)間中．第二步：取區(qū)間的中點，則此中點對應(yīng)的坐標(biāo)為．計算和，并判斷：①如果，則就是的零點，計算終止；②如果，則零點位于區(qū)間中，令；③如果，則零點位于區(qū)間中，令第三步：取區(qū)間的中點，則此中點對應(yīng)的坐標(biāo)為．計算和，并判斷：①如果，則就是的零點，計算終止；②如果，則零點位于區(qū)間中，令；③如果，則零點位于區(qū)間中，令；……繼續(xù)實施上述步驟，直到區(qū)間，函數(shù)的零點總位于區(qū)間上，當(dāng)和按照給定的精確度所取的近似值相同時，這個相同的近似值就是函數(shù)的近似零點，計算終止．這時函數(shù)的近似零點滿足給定的精確度．知識點詮釋：（1）第一步中要使：①區(qū)間長度盡量??；②、的值比較容易計算且．（2）根據(jù)函數(shù)的零點與相應(yīng)方程的根的關(guān)系，求函數(shù)的零點和求相應(yīng)方程的根式等價的．對于求方程的根，可以構(gòu)造函數(shù)，函數(shù)的零點即為方程的根．3、關(guān)于精確度（1）“精確度”與“精確到”不是一回事，這里的“精確度”是指區(qū)間的長度達到某個確定的數(shù)值，即；“精確到”是指某謳歌數(shù)的數(shù)位達到某個規(guī)定的數(shù)位．（2）精確度表示當(dāng)區(qū)間的長度小于時停止二分；此時除可用區(qū)間的端點代替近似值外，還可選用該區(qū)間內(nèi)的任意一個數(shù)值作零點近似值．【典型例題】題型一：用二分法求近似解的條件例1．（2023·福建福州·高一福建省福州格致中學(xué)?？计谥校┫铝泻瘮?shù)中不能用二分法求零點的是（

）A． B． C． D．例2．（2023·高一課時練習(xí)）以下每個圖象表示的函數(shù)都有零點，但不能用二分法求函數(shù)零點的是（

）A．

B．

C．

D．

例3．（2023·全國·高一專題練習(xí)）用二分法求函數(shù)的零點可以取的初始區(qū)間是（

）A． B．C． D．變式1．（2023·全國·高一專題練習(xí)）下列圖象中，不能用二分法求函數(shù)零點的是（

）A．

B．

C．

D．

變式2．（2023·高一單元測試）下列函數(shù)圖象與軸均有交點，其中不能用二分法求圖中函數(shù)零點的是（

）A． B．C． D．變式3．（2023·全國·高一專題練習(xí)）下列函數(shù)中，不能用二分法求零點的是（

）A． B． C． D．變式4．（2023·湖北荊州·高一校聯(lián)考期末）下列函數(shù)圖象與軸均有交點，其中不能用二分法求圖中函數(shù)零點的是（

）A． B．C． D．【方法技巧與總結(jié)】判斷一個函數(shù)能否用二分法求其零點的依據(jù)是：其圖象在零點附近是連續(xù)不斷的，且該零點為變號零點．因此，用二分法求函數(shù)的零點近似值的方法僅對函數(shù)的變號零點適用，對函數(shù)的不變號零點不適用．題型二：用二分法求方程近似解的過程例4．（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）用二分法求方程的近似解．（精確度為0.1，可以使用計算器）例5．（2023·全國·高一專題練習(xí)）下列是函數(shù)在區(qū)間上一些點的函數(shù)值.由此可判斷：方程的一個近似解為(精確度0.1)．x11.251.3751.40651.4380.165x1.51.6251.751.87520.6251.9822.6454.356例6．（2023·高一課時練習(xí)）若用二分法求方程在初始區(qū)間內(nèi)的近似解，則第三次取區(qū)間的中點.變式5．（2023·上海·高一專題練習(xí)）用二分法求方程在上的近似解，取中點，則下一個有根區(qū)間是．變式6．（2023·上海浦東新·高一上海市實驗學(xué)校?？计谀┯谩岸址ā鼻蠓匠淘趨^(qū)間內(nèi)的實根，首先取區(qū)間中點進行判斷，那么下一個取的點是．變式7．（2023·全國·高一專題練習(xí)）求方程在區(qū)間內(nèi)的實根，取區(qū)間中點，那么下一個有根區(qū)間是．變式8．（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點，求方程在區(qū)間內(nèi)的一個近似解．（精確度為0.1）變式9．（2023·全國·高一課堂例題）利用計算器，求方程的近似解（精確到）.【方法技巧與總結(jié)】（1）依據(jù)圖象估計零點所在的初始區(qū)間（這個區(qū)間既要包含所求的根，又要使其長度盡可能的小，區(qū)間的端點盡量為整數(shù)）．（2）取區(qū)間端點的平均數(shù)，計算，確定有解區(qū)間是還是，逐步縮小區(qū)間的“長度”，直到區(qū)間的長度符合精確度要求（這個過程中應(yīng)及時檢驗所得區(qū)間端點差的絕對值是否達到給定的精確度），才終止計算，得到函數(shù)零點的近似值（為了比較清晰地表達計算過程與函數(shù)零點所在的區(qū)間往往采用列表法）．題型三：用二分法求函數(shù)零點的過程例7．（2023·全國·高一課堂例題）求曲線和直線的交點的橫坐標(biāo)（誤差不超過0.01）．例8．（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）借助計算器或計算機，用二分法求函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點的近似值（誤差不超）．例9．（2023·全國·高一專題練習(xí)）在在上恰有一個零點．試用二分法來計算這個零點的更精確的近似值（誤差不超過0.001）．變式10．（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）用二分法求方程在區(qū)間上的根的近似值（誤差不超過0.01）．變式11．（2023·高一課時練習(xí)）用二分法求函數(shù)的一個零點，其參考數(shù)據(jù)如下:據(jù)此數(shù)據(jù)，可得方程的一個近似解為（誤差不超過0.01）.變式12．（2023·江蘇揚州·高一統(tǒng)考期中）用“二分法”求方程在區(qū)間內(nèi)的實根，首先取區(qū)間中點進行判斷，那么下一個取的點是．變式13．（2023·上海楊浦·高一上海市楊浦高級中學(xué)?？奸_學(xué)考試）利用二分法計算函數(shù)在區(qū)間的零點，第一次操作后確認在內(nèi)有零點，那么第二次操作后確認在區(qū)間內(nèi)有零點.【方法技巧與總結(jié)】利用二分法求函數(shù)近似零點的流程圖：【過關(guān)測試】一、單選題1．（2023·高一課時練習(xí)）若函數(shù)的一個正數(shù)零點附近的函數(shù)值用二分法計算，其參考數(shù)據(jù)如下:那么方程的一個近似解（誤差不超過0.02）為（）A．1.4375 B．1.375C．1.25 D．1.4222．（2023·全國·高一專題練習(xí)）若函數(shù)的零點與的零點之差的絕對值不超過0.25，則函數(shù)可以是（

）A． B． C． D．3．（2023·全國·高一專題練習(xí)）用二分法求方程近似解時，所取的第一個區(qū)間可以是（

）A． B． C． D．4．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)在內(nèi)有一個零點，要使零點的近似值的精確度為0.001，若只從二等分區(qū)間的角度來考慮，則對區(qū)間至少需要二等分（

）A．8次 B．9次 C．10次 D．11次5．（2023·全國·高一專題練習(xí)）在使用二分法計算函數(shù)的零點的近似解時，現(xiàn)已知其所在區(qū)間為，如果要求近似解的精確度為0.1，則接下來至少需要計算（

）次區(qū)間中點的函數(shù)值．A．2 B．3 C．4 D．56．（2023·高一?？颊n時練習(xí)）下列函數(shù)中不能用二分法求零點近似值的是（

）A．f(x)＝3x－1 B．f(x)＝x3C．f(x)＝|x| D．f(x)＝lnx7．（2023·高一課時練習(xí)）已知定義在上的增函數(shù)，在用二分法尋找零點的過程中，依次確定了零點所在區(qū)間為，，，又，則函數(shù)的零點為（

）A． B． C． D．8．（2023·全國·高一專題練習(xí)）用二分法求方程x3＋3x－7＝0在(1，2)內(nèi)的近似解的過程中，構(gòu)造函數(shù)f(x)＝x3＋3x－7，算得f(1)<0，f(1.25)<0，f(1.5)>0，f(1.75)>0，則該方程的根所在的區(qū)間是（

）A．(1，1.25) B．(1.25，1.5)C．(1.5，1.75) D．(1.75，2)二、多選題9．（2023·山東臨沂·高一校考開學(xué)考試）已知函數(shù)在區(qū)間上有兩個零點，且都可以用二分法求得，其圖象是連續(xù)不斷的，若，，則下列命題正確的是（

）A．函數(shù)的兩個零點可以分別在區(qū)間和內(nèi)B．函數(shù)的兩個零點可以分別在區(qū)間和內(nèi)C．函數(shù)的兩個零點可以分別在區(qū)間和內(nèi)D．函數(shù)的兩個零點不可能同時在區(qū)間內(nèi)10．（2023·高一課時練習(xí)）(多選題)已知函數(shù)的圖象是連續(xù)的，且函數(shù)的唯一零點同在內(nèi)，則與符號不同的是（

）A． B．C． D．11．（2023·全國·高一專題練習(xí)）（多選）以下每個圖象表示的函數(shù)都有零點，其中能用二分法求函數(shù)零點的是（

）A．

B．

C．

D．

12．（2023·全國·高一專題練習(xí)）某同學(xué)求函數(shù)的零點時，用計算器算得部分函數(shù)值如表所示：則方程的近似解（精確度）可取為（

）A． B． C． D．三、填空題13．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)的表達式為，用二分法計算此函數(shù)在區(qū)間上零點的近似值，第一次計算、的值，第二次計算的值，第三次計算的值，則．14．（2023·四川成都·高一成都實外?？计谀┯枚址ㄇ蠛瘮?shù)在區(qū)間上近似解，要求精確度為0.01時，所需二分區(qū)間次數(shù)最少為次．15．（2023·全國·高一專題練習(xí)）函數(shù)的零點，對區(qū)間利用兩次“二分法”，可確定所在的區(qū)間為．16．（2023·全國·高一假期作業(yè)）用二分法求函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點近似值時，驗證了，取區(qū)間的中點，得，那么此時零點（填區(qū)間）．四、解答題17．（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）根據(jù)圖象是連續(xù)曲線的函數(shù)的性質(zhì)以及函數(shù)增長快慢的差異，判斷方程至少有兩個實數(shù)根．用二分法求方程的一個近似解．（精確度為0.01）18．（2023·高一課時練習(xí)）在26枚嶄新的金幣中，混入了一枚外表與它們完全相同的假幣（質(zhì)量稍輕），現(xiàn)在只有一臺天平，請問：你最多稱幾次就可以發(fā)現(xiàn)這枚假幣？19．（2023·高一課時練習(xí)）判斷函數(shù)在區(qū)