第02講 平面向量的運(yùn)算（人教A版2019必修第二冊(cè)）（原卷版）

第02講平面向量的運(yùn)算【人教A版2019】·模塊一平面向量的線性運(yùn)算·模塊二向量的數(shù)量積·模塊三課后作業(yè)模塊一模塊一平面向量的線性運(yùn)算1．向量的加法運(yùn)算(1)向量加法的定義及兩個(gè)重要法則定義求兩個(gè)向量和的運(yùn)算，叫做向量的加法.向量

加法

的三

角形

法則前提已知非零向量,，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)A.作法作，連接AC.結(jié)論向量叫做與的和，記作，即.圖形向量

加法

的平

行四

邊形

法則前提已知兩個(gè)不共線的向量,，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O.作法作，以O(shè)A,OB為鄰邊作四邊形OACB.結(jié)論以O(shè)為起點(diǎn)的向量就是向量與的和，即.圖形規(guī)定對(duì)于零向量與任一向量，我們規(guī)定. (2)多個(gè)向量相加為了得到有限個(gè)向量的和，只需將這些向量依次首尾相接，那么以第一個(gè)向量的起點(diǎn)為起點(diǎn)，最后一個(gè)向量的終點(diǎn)為終點(diǎn)的向量，就是這些向量的和，如圖所示.2．向量加法的運(yùn)算律(1)交換律：；(2)結(jié)合律：.3．向量的減法運(yùn)算(1)相反向量我們規(guī)定，與向量長度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，記作.零向量的相反向量仍是零向量.(2)向量減法的定義：向量加上的相反向量，叫做與的差，即-=+(-).求兩個(gè)向量差的運(yùn)算叫做向量的減法.(3)向量減法的三角形法則如圖，已知向量,，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作=，=，則=-=-.即-可以表示為從向量的終點(diǎn)指向向量的終點(diǎn)的向量，這是向量減法的幾何意義.4．向量的數(shù)乘運(yùn)算(1)向量的數(shù)乘的定義一般地，我們規(guī)定實(shí)數(shù)與向量的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作，它的長度與方向規(guī)定如下：①；

②當(dāng)>0時(shí)，的方向與的方向相同；當(dāng)<0時(shí)，的方向與的方向相反.(2)向量的數(shù)乘的運(yùn)算律設(shè),為實(shí)數(shù)，那么①()=()；②(+)=+；③(+)=+.

特別地，我們有(-)=-()=(-)，(-)=-.

(3)向量的線性運(yùn)算向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算.對(duì)于任意向量,，以及任意實(shí)數(shù),,，恒有()=.5．向量共線定理(1)向量共線定理向量(≠0)與共線的充要條件是：存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)，使=.

(2)向量共線定理的應(yīng)用——求參

一般地，解決向量,共線求參問題，可用兩個(gè)不共線向量(如,)表示向量,，設(shè)=(≠0)，化成關(guān)于,的方程()=-()，由于,不共線，則解方程組即可.【考點(diǎn)1向量的加減運(yùn)算】【例1.1】（2023下·廣西欽州·高一統(tǒng)考期末）已知四邊形ABCD是平行四邊形，則AC+BA-A．DA B．DB C．AD D．BD【例1.2】（2023上·廣西南寧·高二?？奸_學(xué)考試）下列各式中，化簡后不是零向量的是（

）A．AB+BC+C．OA-OD+【變式1.1】（2023上·江蘇連云港·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）在△ABC中，點(diǎn)M是邊AC上靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，點(diǎn)N是BC的中點(diǎn)，若MN=xAB+yAC，則A．1 B．23 C．-23【變式1.2】（2022下·重慶沙坪壩·高一重慶一中校考期末）如圖所示，在△ABC中，BD=6DC，則AD=

A．17AB+C．16AB+【考點(diǎn)2平面向量的混合運(yùn)算】【例2.1】（2023上·北京·高二校考階段練習(xí)）設(shè)i,j,k是兩兩不共線的向量，且向量a=-i+2A．11i-2j+5k B．-11i【例2.2】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）在△ABC中，已知D是AB邊上一點(diǎn)，若DA=2BD,3CD=A．2 B．１C．-2 D．－1【變式2.1】（2023·全國·高一專題練習(xí)）若a=2b+A．-a B．C．-c D【變式2.2】（2023上·江蘇蘇州·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E在線段AC上，且AE=2EC，點(diǎn)F為線段AD的中點(diǎn)，記EF=λAB+μADλ,μ∈A．-56 B．-16 C．【考點(diǎn)3向量共線定理的應(yīng)用】【例3.1】（2023上·內(nèi)蒙古通遼·高三校考階段練習(xí)）已知向量a,b不共線，AB=a+3b，A．A，B，C三點(diǎn)共線 B．A，C，D三點(diǎn)共線C．A，B，D三點(diǎn)共線 D．B，C，D三點(diǎn)共線【例3.2】（2023下·河北石家莊·高一石家莊二十三中?？计谥校┮阎狾為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且AO=12OB+OC,A．23 B．14 C．13【變式3.1】（2023上·安徽亳州·高三蒙城第一中學(xué)校聯(lián)考期中）在△ABC中，AM=34AB+14AC，CN=12CB+A．27 B．47 C．67【變式3.2】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)D、E、F分別是△ABC的三邊BC、CA、AB上的點(diǎn)，且DC=2BD，CE=2EA，A．AD+BE+CF與BC反向平行 B．C．3BE+3CF-BC與CA反向平行 D【考點(diǎn)4向量線性運(yùn)算的幾何應(yīng)用】【例4.1】（2023上·遼寧沈陽·高二學(xué)業(yè)考試）已知四邊形ABCD為平行四邊形，AC與BD相交于O，設(shè)AB=a,AD=A．12a+C．-12a【例4.2】（2023下·河北石家莊·高一校考期中）已知G是△ABC的重心，若GC=xAB+yAC,x,y∈A．1 B．-1 C．13 D．【變式4.1】（2023上·北京·高三校考期中）在等腰梯形ABCD中，AB=2CD，M為BC的中點(diǎn)，則AM=（

A．12AB+12AD B．3【變式4.2】（2023上·湖北恩施·高二校聯(lián)考期中）已知點(diǎn)G是△ABC的重心，過點(diǎn)G作直線分別與AB,AC兩邊交于M,N兩點(diǎn)（點(diǎn)M,N與點(diǎn)B,C不重合），設(shè)AB=xAM，AC=yAN，則A．1 B．1+22 C．2 D模塊二模塊二向量的數(shù)量積1．向量的數(shù)量積(1)向量數(shù)量積的物理背景在物理課中我們學(xué)過功的概念：如果一個(gè)物體在力的作用下產(chǎn)生位移，那么力所做的功W=||||，其中是與的夾角.

我們知道力和位移都是矢量，而功是一個(gè)標(biāo)量(數(shù)量).這說明兩個(gè)矢量也可以進(jìn)行運(yùn)算，并且這個(gè)運(yùn)算明顯不同于向量的數(shù)乘運(yùn)算，因?yàn)閿?shù)乘運(yùn)算的結(jié)果是一個(gè)向量，而這個(gè)運(yùn)算的結(jié)果是數(shù)量.(2)向量的夾角已知兩個(gè)非零向量,，如圖所示，O是平面上的任意一點(diǎn)，作=，=，則∠AOB=(0≤≤π)叫做向量與的夾角，也常用表示.(3)兩個(gè)向量數(shù)量積的定義已知兩個(gè)非零向量與，它們的夾角為，我們把數(shù)量||||叫做向量與的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作，即=||||.

規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0，即0=0.(4)向量的投影如圖，設(shè)，是兩個(gè)非零向量，=，=，我們考慮如下的變換：過的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B，分別作所在直線的垂線，垂足分別為，，得到，我們稱上述變換為向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量.2．向量數(shù)量積的性質(zhì)和運(yùn)算律(1)向量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)，是非零向量，它們的夾角是，是與方向相同的單位向量，則

①==.

②=0.

③當(dāng)與同向時(shí)，=；當(dāng)與反向時(shí)，=-.

特別地，==或=.

④|a|，當(dāng)且僅當(dāng)向量，共線，即∥時(shí)，等號(hào)成立.

⑤=.(2)向量數(shù)量積的運(yùn)算律由向量數(shù)量積的定義，可以發(fā)現(xiàn)下列運(yùn)算律成立：

對(duì)于向量，，和實(shí)數(shù)，有

①交換律：=；

②數(shù)乘結(jié)合律：()=()=()；

③分配律：(+)=+.3．向量數(shù)量積的常用結(jié)論(1)=；

(2)；

(3)；

(4)；

(5)，當(dāng)且僅當(dāng)與同向共線時(shí)右邊等號(hào)成立，與反向共線時(shí)左邊等號(hào)成立.

以上結(jié)論可作為公式使用.【考點(diǎn)1向量數(shù)量積的計(jì)算】【例1.1】（2023上·山西·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知等邊三角形ABC的邊長為1，則AB?BC=A．12 B．32 C．-1【例1.2】（2023上·河北保定·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知單位向量a,b滿足a+2b=2A．1 B．14 C．-14【變式1.1】（2023上·北京海淀·高二?？茧A段練習(xí)）已知向量a,b滿足a=2，|b|=3，且a與A．1 B．3 C．3 D．3【變式1.2】（2023上·江蘇徐州·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）在平行四邊形ABCD中，AB=2,AD=2,∠BAD=3π4,E是線段A．1 B．4 C．6 D．7【考點(diǎn)2向量夾角（夾角的余弦值）的計(jì)算】【例2.1】（2023下·寧夏吳忠·高一吳忠中學(xué)?？计谀┤鬳1，e2是夾角為60°的兩個(gè)單位向量，且a=2e1A．60° B．120° C．30° D．150°【例2.2】（2023·全國·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知非零向量a與b滿足|a|=2|b|，若|aA．12 B．-34 C．3【變式2.1】（2023·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知單位向量e1，e2的夾角為60°，向量a=-2e1+3e2，b=2me1-2eA．1 B．-4 C．2 D．-5【變式2.2】（2022下·江蘇蘇州·高一江蘇省沙溪高級(jí)中學(xué)?？计谥校┮阎猧,j為互相垂直的單位向量，a=-i+2j,b=3A．0,+∞ B．C．-∞,0 D【考點(diǎn)3已知數(shù)量積求?！俊纠?.1】（2023上·湖北·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知a?b=1，a=2，a，b的夾角為π3A．1 B．2 C．2 D．4【例3.2】（2023上·陜西榆林·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知非零向量a，b滿足a=2，且a,b=2A．2 B．3 C．2 D．1【變式3.1】（2023上·江蘇泰州·高三統(tǒng)考期中）如圖，在平面圖形ABCD中，BC=2AD，BD=6.若AC?AD=27，

A．13 B．3 C．9 D．13【變式3.2】（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知平面向量a,b的夾角為π3,|a→|=2,|A．3 B．23 C．2 D．【考點(diǎn)4向量數(shù)量積的最值問題】【例4.1】（2023下·河南省直轄縣級(jí)單位·高一?？茧A段練習(xí)）△OAB中，OA⊥OB，OA=2，OB=2，點(diǎn)C是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D是OB的中點(diǎn)，則DC·OCA．13 B．12 C．2 D【例4.2】（2023下·北京海淀·高一清華附中校考期末）已知AB=1，CD=2，AD?AC=A．1 B．2 C．22 D．【變式4.1】（2023下·湖北恩施·高一校聯(lián)考期末）如圖所示，邊長為1的正△ABC，以BC的中點(diǎn)O為圓心，BC為直徑在點(diǎn)A的另一側(cè)作半圓弧BC，點(diǎn)P在圓弧上運(yùn)動(dòng)，則AB?AP的取值范圍（

A．12,54 B．14,【變式4.2】（2023上·湖北·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）八卦文化是中華文化的精髓，襄陽市古隆中景區(qū)建有一巨型八卦圖（圖1），其輪廓分別為正八邊形ABCDEFGH和圓O（圖2），其中正八邊形的中心是點(diǎn)O，魚眼（黑白兩點(diǎn)）P,Q是圓O半徑的中點(diǎn)，且關(guān)于點(diǎn)O對(duì)稱,若OA=82，圓O的半徑為6，當(dāng)太極圖轉(zhuǎn)動(dòng)（即圓面O及其內(nèi)部點(diǎn)繞點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)）時(shí)，PA?QC

A．-39 B．-48C．-57 D．-60模塊三模塊三課后作業(yè)1．（2023下·天津紅橋·高一統(tǒng)考期末）化簡：AB+CA+A．BC B．DC C．CD D．DA2．（2023上·北京海淀·高二?？茧A段練習(xí)）已知向量a,b，那么12A．a(chǎn)-2b B．a(chǎn)-4b C．3．（2023下·河南省直轄縣級(jí)單位·高一?？茧A段練習(xí)）在平面四邊形ABCD中，下列表達(dá)式化簡結(jié)果與AB相等的是（

）A．AC+CD BC．CA-CB D4．（2023上·江蘇·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）對(duì)于任意空間向量a，b，c，下列說法正確的是（

）A．若a//b且b//c，則C．若a?b=a?c，且5．（2024·四川自貢·統(tǒng)考一模）如圖所示的△ABC中，點(diǎn)D是線段BC上靠近B的三等分點(diǎn)，點(diǎn)E是線段AB的中點(diǎn)，則DE=（

A．-13ABC．-56AB6．（2023·安徽·校聯(lián)考一模）在三角形ABC中，AC=3，AB=4，∠CAB=120°，則AB+A．10 B．12 C．-10 D．-127．（2023上·青海西寧·高三統(tǒng)考期中）已知向量a=1，b=2，|c|=5，且aA．3434 B．3417 C．3348．（2023·四川甘孜·統(tǒng)考一模）已知平面向量a,b,|a|=2,|b|=1，且a與bA．5 B．4 C．2 D．09．（2023上·福建廈門·高二?？计谥校┮阎猠1，e2是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，AB=4e1+2e2，BC=-e1+λeA．12 B．2 C．4 D．10．（2023上·福建莆田·高三?？计谥校┤鐖D，在等腰直角三角形ABC中，斜邊AC=22，M為線段AB上的動(dòng)點(diǎn)（包含端點(diǎn)），D為AC的中點(diǎn)．將線段AC繞著點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)得到線段EF，則ME?MFA．-2 B．-32 C．-1 D11．（2023·全國·高一假期作業(yè)）化簡(1)AB-(2)(AB12．（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）