隨機(jī)振動(dòng)講義全文

隨機(jī)振動(dòng)講義全文(總49頁)

-CA^^M^HAT>(YICAI)-CompanyOnel

校作為文酗面，使用請(qǐng)直接刪除

目錄

第一章緒論.....................................錯(cuò)誤!未指定書簽。

1.1隨機(jī)振動(dòng)的基本概念和特征....................錯(cuò)誤!未指定書簽。

1.2隨機(jī)振動(dòng)研究的內(nèi)容和意義...................................3

第二章隨機(jī)振動(dòng)的數(shù)學(xué)描述.........................錯(cuò)誤!未指定書簽。

2.1隨機(jī)過程的基本概念和特征..................錯(cuò)誤!未指定書簽。

2.2隨機(jī)過程的數(shù)學(xué)描述........................錯(cuò)誤!未指定書簽。

2.2.1隨機(jī)變量定義.........................錯(cuò)誤!未指定書簽。

2.2.2一維隨機(jī)變量的概率分布函數(shù)與概率密度函數(shù)錯(cuò)誤！未指定書

簽。

2.2.3多維隨機(jī)變量.........................錯(cuò)誤!未指定書簽。

2.2.4隨機(jī)變量的數(shù)字特征...................錯(cuò)誤!未指定書簽。

2.2.5隨機(jī)變量的分布以及運(yùn)算...............錯(cuò)誤!未指定書簽。

2.3隨機(jī)過程的幅域描述........................錯(cuò)誤!未指定書簽。

2.3.1隨機(jī)過程概率統(tǒng)計(jì)特征量...............錯(cuò)誤!未指定書簽。

2.3.2平穩(wěn)隨機(jī)過程.........................錯(cuò)誤!未指定書簽。

2.4隨機(jī)過程的時(shí)域描述........................錯(cuò)誤!未指定書簽。

2.4.1各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)過程.....................錯(cuò)誤!未指定書簽。

2.4.2平穩(wěn)隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù).............錯(cuò)誤!未指定書簽。

2.4.3互相關(guān)函數(shù)...........................錯(cuò)誤!未指定書簽。

2.5隨機(jī)過程的頻域描述：.......................................17

2.5.1典型函數(shù)的傅里葉變換.................錯(cuò)誤!未指定書簽。

2.5.2功率譜密度函數(shù).......................錯(cuò)誤!未指定書簽。

2.5.3平穩(wěn)隨機(jī)過程的譜分類：...............錯(cuò)誤!未指定書簽。

2.5.4隨機(jī)過程的分布.......................錯(cuò)誤!未指定書簽。

2.6隨機(jī)過程的運(yùn)算.............................錯(cuò)誤!未指定書簽。

2.6.1微分運(yùn)算.............................錯(cuò)誤!未指定書簽。

2.6.2積分運(yùn)算.............................錯(cuò)誤!未指定書簽。

2.6.3隨機(jī)振動(dòng)位移、速度和加速度的相關(guān)函數(shù)和譜密度函數(shù)關(guān)系.錯(cuò)

誤!未指定書簽。

第三章SDOF系統(tǒng)的隨機(jī)響應(yīng)......................錯(cuò)誤!未指定書簽。

3.1系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)和頻率響應(yīng)函數(shù)描述.....錯(cuò)誤!未指定書簽。

3.2單自由度系統(tǒng)隨機(jī)響應(yīng)分析.................錯(cuò)誤!未指定書簽。

第四章多自由度系統(tǒng)的隨機(jī)響應(yīng)分析..................錯(cuò)誤!未指定書簽。

4.1多自由度系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)、頻率響應(yīng)函數(shù)...錯(cuò)誤!未指定書簽。

4.2單輸入問題的MDOF系統(tǒng)的隨機(jī)響應(yīng)...........錯(cuò)誤!未指定書簽。

4.3多輸入問題的MDOF系統(tǒng)的隨機(jī)響應(yīng)...........錯(cuò)誤!未指定書簽。

4.4MDOF系統(tǒng)隨機(jī)響應(yīng)分析的模態(tài)方法...........錯(cuò)誤!未指定書簽。

4.5隨機(jī)響應(yīng)分析的虛擬激勵(lì)方法...............錯(cuò)誤!未指定書簽。

第五章連續(xù)系統(tǒng)的隨機(jī)響應(yīng)分析......................錯(cuò)誤!未指定書簽。

參考文獻(xiàn)...........................................錯(cuò)誤!未指定書簽。

第一章緒論

1.1隨機(jī)振動(dòng)的基本概念和特征

前面研究的振動(dòng)問題都屬于確定性振動(dòng)(deterministicvibration),所謂

的確定性就是指振動(dòng)是有一定規(guī)律的，或者可以用一個(gè)確定的函數(shù)來描述，或

者可以用若干離散的值來描述，而且這個(gè)規(guī)律是可以重復(fù)的，可以預(yù)先估計(jì)

的。例如，無阻尼自由振動(dòng)問題：

inx+kx-O(1-1)

在確定的初始條件作用下，系統(tǒng)的振動(dòng)響應(yīng)規(guī)律為：

x?)=Asin(d+cr)(1-2)

其中，而，是由表征系統(tǒng)特性的物理參數(shù)確定的，A和a由初始條件確

定。只要已知初始時(shí)刻的振動(dòng)值%,就可以預(yù)知之后任意時(shí)刻的振動(dòng)值。

該系統(tǒng)在另外一次相同的初始激勵(lì)下，系統(tǒng)振動(dòng)規(guī)律理論上會(huì)得到完全的重

復(fù)。再看一個(gè)有外激勵(lì)力作用的系統(tǒng)的振動(dòng)規(guī)律：

nvc+kx=f(x)(1-3)

這個(gè)系統(tǒng)的振動(dòng)規(guī)律為：

x(f)=/(1-4)

其中，/為任意的外激勵(lì)，〃為系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)。這個(gè)杜哈梅積分如果可

以精確積分，振動(dòng)規(guī)律可以表示成一個(gè)確定的函數(shù)表達(dá)式，如果不能，需要利

用數(shù)值積分，得到的振動(dòng)規(guī)律是一組給定的離散時(shí)刻的確定的數(shù)值。同樣，在

下一次相同的外激勵(lì)作用下，振動(dòng)規(guī)律還可以得到完全的重復(fù)。

在自然界和工程實(shí)際中還存在另外一種截然不同的現(xiàn)象，其變化是高度

不規(guī)則，無規(guī)律的，不可預(yù)估也不可重復(fù)，物理現(xiàn)象的這種變化規(guī)律稱為隨機(jī)

的。例如，海浪，地震，陣風(fēng)(湍流)，火箭的噴氣噪聲以及不平路面。在隨

機(jī)現(xiàn)象作用下，系統(tǒng)產(chǎn)生的振動(dòng)規(guī)律也同樣有隨機(jī)的特征，振動(dòng)過程是不確定

的，這樣振動(dòng)稱為隨機(jī)振動(dòng)。工程中有很多這樣的實(shí)際例子：

在海浪作用下，海洋平臺(tái)結(jié)構(gòu)、水面艦船、出入水的導(dǎo)彈的振動(dòng)

在湍流作用下，飛行器結(jié)構(gòu)的振動(dòng)

在陣風(fēng)作用下，高聳建筑物、橋梁的振動(dòng)

在地震作用下，所有地面建筑結(jié)構(gòu)的振動(dòng)

在發(fā)動(dòng)機(jī)噴氣噪聲以及大氣氣動(dòng)噪聲的作用下，火箭、導(dǎo)彈等飛行器結(jié)構(gòu)

的振動(dòng)

在不平路面的作用下，各種車輛的振動(dòng)。

這些振動(dòng)都是確定的工程結(jié)構(gòu)在隨機(jī)的外激勵(lì)力或運(yùn)動(dòng)激勵(lì)作用下產(chǎn)生

的，都是隨機(jī)振動(dòng)。上述例子共同的特征是：

激勵(lì)和響應(yīng)都不能用時(shí)間的確定函數(shù)來描述；

對(duì)于某一特定時(shí)刻取值不確定；

對(duì)于單個(gè)試驗(yàn)記錄，從當(dāng)前時(shí)刻的值無法預(yù)估之后時(shí)刻的值；

兩次相同條件的試驗(yàn)結(jié)果不可能重復(fù)，但多次的試驗(yàn)結(jié)果放在一起卻可以

發(fā)現(xiàn)現(xiàn)象的某些統(tǒng)計(jì)規(guī)律。

就是說振動(dòng)運(yùn)動(dòng)是隨機(jī)的，所以在任一給定時(shí)刻f=時(shí)X的精確值不可能

精確預(yù)計(jì)，我們最多只能求出在時(shí)刻"，X取值于某一區(qū)間的可能性或概率，

給出在某一時(shí)刻的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，而且統(tǒng)計(jì)規(guī)律也可能是隨時(shí)間變化的。

1.2隨機(jī)振動(dòng)研究的內(nèi)容和意義

隨機(jī)問題，主要分為兩大類：

I）系統(tǒng)是確定性的，激勵(lì)是隨機(jī)的

前面所列舉的例子都屬于這一類。確定性的系統(tǒng)在隨機(jī)的激勵(lì)作用下，系

統(tǒng)的響應(yīng)也是隨機(jī)的。在這類問題中，主要研究激勵(lì)以及由其引起的隨機(jī)振動(dòng)

響應(yīng)的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，研究這些規(guī)律與系統(tǒng)特性之間的關(guān)系。通常的隨機(jī)振動(dòng)研究

主要屬于這一類。

2）系統(tǒng)是隨機(jī)的，激勵(lì)或確定，或隨機(jī)

自然界和工程中也有這樣的問題，例如，雨天，輸電線的振動(dòng)問題，這

里，輸電線的質(zhì)量是隨機(jī)變化的，也就是系統(tǒng)的特性是隨機(jī)的。這類問題，同

樣也是研究隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律以及它們之間的相互關(guān)系。

當(dāng)然，隨機(jī)振動(dòng)也有其它的分類，

按系統(tǒng)自由度可分為：?jiǎn)巫杂啥入S機(jī)振動(dòng)；多自由度隨機(jī)振動(dòng)；無限多

自由度隨機(jī)振動(dòng)。

按振動(dòng)微分方程的特點(diǎn)可分為：線性隨機(jī)振動(dòng)；非線性隨機(jī)振動(dòng)。

按隨機(jī)振動(dòng)頻帶寬窄可分為：寬帶隨機(jī)振動(dòng)，窄帶隨機(jī)振動(dòng)。

按振動(dòng)的特性隨時(shí)間變化情況可分為：平穩(wěn)隨機(jī)振動(dòng)；非平穩(wěn)隨機(jī)振

動(dòng)。

我們主要研究線性單、多自由度、連續(xù)體系統(tǒng)在單個(gè)和多個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)作用

下的響應(yīng)分析。

實(shí)際工程中，隨機(jī)振動(dòng)現(xiàn)象是十分普遍的，嚴(yán)格地說，一切實(shí)際系統(tǒng)的

振動(dòng)都是隨機(jī)的，只不過有些振動(dòng)隨機(jī)的成分很小，可以忽略，當(dāng)作確定性系

統(tǒng)來研究。但是對(duì)于象湍流引起的飛機(jī)、火箭的振動(dòng)、海浪導(dǎo)致出入水的導(dǎo)彈

的振動(dòng)，以及前面介紹的其它例子，都必須考慮振動(dòng)的隨機(jī)性，用隨機(jī)振動(dòng)的

研究方法進(jìn)行研究，才能得出更符合實(shí)際情況的結(jié)論。

第二章隨機(jī)振動(dòng)的數(shù)學(xué)描述

由于確定性的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)在隨機(jī)變化的激勵(lì)力作用下，系統(tǒng)的振動(dòng)響應(yīng)也

是隨機(jī)變化的，所以隨機(jī)振動(dòng)主要研究激勵(lì)以及由其引起的隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)的統(tǒng)

計(jì)規(guī)律，以及這些規(guī)律與系統(tǒng)特性之間的關(guān)系。對(duì)這些規(guī)律我們可以利用概率

論的知識(shí)對(duì)他們進(jìn)行定量或定性的研究，所以，首先我們要對(duì)隨機(jī)激勵(lì)或者隨

機(jī)響應(yīng)進(jìn)行賦值，也就是用一個(gè)變量來表示，也就是要對(duì)隨機(jī)振動(dòng)的各個(gè)量進(jìn)

行數(shù)學(xué)描述。

2.1隨機(jī)過程的基本概念和特征

隨機(jī)過程是對(duì)在空間和時(shí)間上高度不規(guī)則，事先無法預(yù)估，其變化也無

法重復(fù)，其統(tǒng)計(jì)規(guī)律隨時(shí)間演化的物理現(xiàn)象的一種數(shù)學(xué)描述。工程中存在著很

多這種物理現(xiàn)象，如在第一章所舉的例子，這些物理現(xiàn)象無法用確定性的理論

來描述，但可以用隨機(jī)過程來描述。隨機(jī)振動(dòng)的數(shù)學(xué)抽象即為隨機(jī)過程。

隨機(jī)過程的每一次測(cè)量所得結(jié)果可看作一次實(shí)現(xiàn)，或叫樣本函數(shù)。所有

可能的樣本函數(shù)的集合構(gòu)成一個(gè)隨機(jī)過程。因此，隨機(jī)過程是由時(shí)間上無限

長、樣本的無限多個(gè)的樣本函數(shù)構(gòu)成的，可以寫為：

X（D/GT,j=l,2,...}（2-1）

圖2-1:隨機(jī)過程示意圖

隨機(jī)過程的每次實(shí)現(xiàn)是一個(gè)確定的非隨機(jī)函數(shù)，但各個(gè)實(shí)現(xiàn)各不相同，

因此為了得到隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特性也必須做大量的獨(dú)立測(cè)量。例如在同一條件

的海域內(nèi)，布置n個(gè)同一類型的波高儀，可同時(shí)測(cè)得n個(gè)記錄，得到n個(gè)實(shí)

現(xiàn)，不（。,9（。,?，演?）。在某一固定時(shí)刻4可得各樣本瞬時(shí)波面高度

占⑥,％^）,…,怎,），它們構(gòu)成了通常的隨機(jī)變量x（4），在另一時(shí)刻弓又構(gòu)成

另一個(gè)隨機(jī)變量無&）。因此隨機(jī)過程也可以是樣本空間上的隨機(jī)變量x（f）的集

合。下文就將X(r)表示為隨機(jī)過程。隨機(jī)過程是隨機(jī)變量進(jìn)一步發(fā)展得到的，

是隨機(jī)變量隨時(shí)間的變化，是隨機(jī)變量的推廣。

可以看出隨機(jī)過程是對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的完全描述，嚴(yán)格的隨機(jī)過程應(yīng)包含隨機(jī)現(xiàn)

象的無窮多個(gè)獨(dú)立測(cè)量樣本，而且每個(gè)樣本應(yīng)該在時(shí)間上是無限長。實(shí)際分析

中，我們只能用樣本長度有限，樣本數(shù)目有限的樣本集合來代替隨機(jī)過程。所

得結(jié)果僅是隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)特征的一個(gè)估計(jì)，一個(gè)近似。

2.2隨機(jī)過程的數(shù)學(xué)描述

隨機(jī)過程的概念一方面定義為無窮多個(gè)樣本函數(shù)的集合，另一方面可以

看作無窮多個(gè)隨機(jī)變量的集合

X&),i=l,2,...8(2-2)

其中X&)是由隨機(jī)過程X在乙時(shí)刻所有可能的取值為?)構(gòu)成的隨機(jī)變量，j

是樣本函數(shù)的編號(hào)，j=l,2,...ooo正因?yàn)樗梢哉J(rèn)為是由無窮多個(gè)隨機(jī)變量構(gòu)

成的，所以我們首先從隨機(jī)變量的概率描述角度，來對(duì)隨機(jī)過程進(jìn)行描述。

2.2.1隨機(jī)變量定義

對(duì)所研究的隨機(jī)現(xiàn)象賦值便得到了一個(gè)隨機(jī)變量，例如，哈爾濱地區(qū)每

年冬天的最低氣溫。在同一海域內(nèi)布置n個(gè)同一類型的波高儀，在某一時(shí)刻所

測(cè)得的n個(gè)波高值，就構(gòu)成一個(gè)描述波高可能取值的隨機(jī)變量。在相同隨機(jī)激

勵(lì)的多次作用下，結(jié)構(gòu)系統(tǒng)在某一固定時(shí)刻振動(dòng)響應(yīng)可能的取值，都屬于隨機(jī)

變量。

許多隨機(jī)現(xiàn)象的試驗(yàn)結(jié)果表現(xiàn)為數(shù)量，用來表示隨機(jī)試驗(yàn)各種結(jié)果的變

量叫做隨機(jī)變量。隨機(jī)試驗(yàn)的一種結(jié)果也就是隨機(jī)變量的一個(gè)可能取值，這些

所有可能的取值的集合就是一個(gè)隨機(jī)變量，用集合符號(hào)表示就是：

X={xj,/=1,2,3,...〃(2-3)

式中看為隨機(jī)變量X的一種可能取值?！ㄈ∮邢拗稻褪请x散隨機(jī)變量，〃取無

窮大就是連續(xù)隨機(jī)變量。

研究一個(gè)隨機(jī)變量，不但要知道它在每次試驗(yàn)時(shí)的取值，更重要的是要

知道它取這個(gè)數(shù)值的概率。綜上所述隨機(jī)變量的基本特征，用數(shù)學(xué)的語言來描

述給出的定義為：定義于某樣本空間C上的實(shí)變量如果對(duì)于每一

個(gè)實(shí)數(shù)X,X(〃)〈x的概率Prob{X(〃)《x}都存在，那么就稱x(〃)為隨機(jī)變

量。通常主要考慮隨機(jī)變量X(〃)的值取在整個(gè)實(shí)數(shù)軸(70,”)上的問題。以下

為行文方便X(〃)簡(jiǎn)寫為X。

對(duì)一個(gè)隨機(jī)變量作完整的概率描述就是給出它的概率分布，也就是給出X取

值小于每一個(gè)xe(-oo,8)的概率，就是給出函數(shù)：

F(x)=Prob{X<x,x&(-00,00)}=P(X<x)(2-4)

F(x)稱為X的概率分布函數(shù)。概率分布函數(shù)的性質(zhì)：

1)F(+oo)=1(2-5)

由定義可知實(shí)變量X取值小于+8的概率是100%,或說X〈”是肯定的

2)F(-oo)=0(2-6)

X取值小于-8的概率是0,或說X<-oo是不可能的

3)/(x)是單調(diào)增函數(shù)

由定義可知,若巧>X”則尸小)〉尸(%)

4)尸(%)NO,恒非負(fù)

5)對(duì)任意元素有X取值在區(qū)間(巧,々)內(nèi)的概率為：

F(x2)-F(Xj)=Prob{x]<x<x2)(2-7)

6)Pro儀X>x)=1-/⑺(2-8)

注意：對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量，取值為一個(gè)特定值的概率為零，

ProZ?(X=x)=0o

當(dāng)F(x)連續(xù)可導(dǎo)時(shí)，可以得到其導(dǎo)數(shù)函數(shù)

/、dF(x)F(x+dx)-F(x)

〃(x)--------lim--------------(2-8)

dxdiodx

其意義可解釋為隨機(jī)變量X取值在x附近的單位區(qū)間的概率大小，因?yàn)椋?/p>

因此，p(x)大表示網(wǎng)光)在該點(diǎn)的變化較大，也就是在這個(gè)區(qū)間概率分布密度也

大，所以也稱p(x)為概率分布密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱概率密度函數(shù)。概率密度函數(shù)表

示X取值在x點(diǎn)附近的單位區(qū)間內(nèi)的概率大小。

概率密度函數(shù)的性質(zhì)：

1)jp(u)du=F(x)(2-9)

—00

oc

2)jp(u)du—F(-i-oo)-F(-oo)=F(+oo)=1(2-10)

—00

x2x2

3)jp(u)du-dF(u)-F(x2)-F(xt)(2-11)

w再

4)p(x)NO(2-12)

單調(diào)增函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)恒非負(fù)。

5)〃(+8)="(-oc)=0(2-13)

有些問題需要考慮兩個(gè)或兩個(gè)以上的隨機(jī)現(xiàn)象同時(shí)發(fā)生的概率，例如打靶，

就需要考慮在劉y兩個(gè)方向同時(shí)射中區(qū)間的概率，這就是

二維聯(lián)合概率問題，還有更多維，僅以二維為例。

對(duì)于二維的隨機(jī)變量Z=[X,Y],它的聯(lián)合概率分布函數(shù)定義為：

F(x,y)=Prob(X<x,Y<y)=P(X<x,Y<y)(2-14)

即F(x,y)為隨機(jī)變量X取小于x同時(shí)丫小于y的概率，性質(zhì)：

1)F(x,y)>0,x,y&R(2-15)

2)F(-oo,y)-F(x,-oo)=F(-oo,-oo)=0(2-16)

3)尸(g”)=l(2-17)

4)F(x,+oo)=Proh{X<x,Y<+oo)=F(x)-Prob(X<x)(2-18)

5)F(+oo,y)-Prob(X<+oo,y<y)-F(y)-Prob(X<y)(2-19)

6)F(x,y)單獨(dú)對(duì)是單調(diào)增函數(shù)

x2

:

7)F(x2,+oo)-F(x,,+oo)=Prob(x]<X<x2,Y<-H?)=F(X2)-/'(X1)=jp(x)dx(2-20)

當(dāng)尸(x,y)有二階偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，有

夕尸(x,y)

p(x,y)=(2-21)

dxdy

這個(gè)二階偏導(dǎo)函數(shù)定義了二維聯(lián)合概率密度函數(shù)。由定義及F(x,y)的性質(zhì)可

知，

xy

尸(x,y)=JJp&Mdn(2-22)

-O0-00

二維聯(lián)合概率密度函數(shù)性質(zhì)：

1)p(x,y)>0(2-23)

-KC+sC

2)JJp(x9y)dxdy=1(2-24)

―30—00

X+00X400x

3)尸(x,”)=jj4d77=J(Jp(4,〃W"W&=F(x)=]p記)

-00-CO-00-00-00

所以有

+50

Jp(x,yWy=p(x)(2-25)

—00

同理，由于

有

-KC

Jp(x,y)dx=p(y)(2-26)

-oc

這就給出了二維聯(lián)合概率密度函數(shù)與一維的關(guān)系。

對(duì)于二維隨機(jī)變量，還定義有條件概率密度函數(shù)為：

<、p(x,y)/、p(x,y)

p(x:y)='~,p(y:x)='-,

P(y)，(x)

其中p(x:y)表示在y條件下，x發(fā)生的概率，且有

p(x,y)=p(x:y)-p(y)=p(y:x)?p(x)(2-27)

若X,丫統(tǒng)計(jì)獨(dú)立，則

p(x:y)=p(x),p(y:x)=p(y)(2-28)

且有

p(x,y)=p(x)-p(y)(2-29)

隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)特征可以用概率分布函數(shù)，或概率密度函數(shù)作完整描述，

但要確定這些函數(shù)一般不大容易，通常也不是總有這個(gè)必要，實(shí)際問題是只需

主要的統(tǒng)計(jì)特征即可，這些主要的數(shù)字特征稱為隨機(jī)變量的矩。

原點(diǎn)矩：實(shí)隨機(jī)變量X的n階矩定義為X"的集合平均，也稱n階原點(diǎn)矩，

即有

8

￡[%"]=Jx"p(x)dx(2-30)

—00

其中最常用的是一階原點(diǎn)矩和二階原點(diǎn)矩。

一階原點(diǎn)矩定義為

00

E[X]=Jxp(x)dx(2-31)

—oo

也就是隨機(jī)變量的均值，也稱數(shù)學(xué)期望，常記為從。(對(duì)離散隨機(jī)變量有

〃,=仇幻=才王〃(刈，如果隨機(jī)試驗(yàn)得到一系列獨(dú)立的觀測(cè)值演

/=1

(7=1,2,3…〃)，那么其樣本均值為：

n,=i

一階原點(diǎn)矩性質(zhì)：

l.E(a)=a”是常數(shù)(2-31)

2.E[aX]^aE[X](2-32)

3.E[a+X]^a+E[X](2-33)

4.E[X+Y]=E[X]+E[Y],或者典(2-33)

證明：

E[X+Y]^[f(x+y)dxdy=[fxp(x,y)dxdy+[fyp(x,y)dxdy

J-00J—ooJ-OOJ-00J-00J-a>

p+<?p-Hx>/?+00「+00

=1x\p(x,y)dy-dx+yp(x,y)dxdy

J-COJ-COJ-COJ—00

廣+8,+00

=J-coxp(x)dxJ+-x>yp(yWy

=E[X]+E[y]

5.若二者相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立

E[xr]=E[xiE[r]或者E[nx』=naxj(2-34)

ii

證明：

二階原點(diǎn)矩定義為：

E[X2]=x2p(x)-dx(2-35)

J-00

也稱為隨機(jī)變量的均方值，常記為上;，通常表示隨機(jī)變量的能量水平。

上面討論的都是隨機(jī)變量相對(duì)于坐標(biāo)原點(diǎn)的矩，也稱為原點(diǎn)矩，還有一種常

見的矩，是相對(duì)于均值的，稱為中心矩?！A中心矩定義為：

EKX-4力=公(2-36)

一階中心矩為：

+CO

<?+□0廣廣+oo

I(x-jLix)p(x)dx=Ixp(^x)dx-/Lt\p{x}dx=)nx-/nx=0(2-37)

二階中心矩為：

22

E[(X-E[X])]=r(X-AV)P(X)^=D[x](2-38)

J-oo

也稱為X的方差，常記為b；,其平方根4稱為標(biāo)準(zhǔn)差。

對(duì)離散隨機(jī)變量有

2

D[X]=戊=￡[(X-//.V)]=之(七—4)2p(x,)(2-39)

i=l

樣本方差(Samplevariance)

D[X]=a-=-X(^-^)2(2-40)

方差表明隨機(jī)變量偏離均值的程度。方差性質(zhì)：

LO[a]=0,a是常數(shù)(2-41)

2.D[aX]=a2D[X](2-42)

3.D[a+X]^D[X](2-43)

4.D[aX+bY]=a2D[X]+b2D[Y],若x,y統(tǒng)計(jì)獨(dú)立(2-44)

證明:

均值，均方值(均方根值)，方差4(標(biāo)準(zhǔn)差)是隨機(jī)變量最重要的三個(gè)數(shù)字

特征量，它們之間有如下關(guān)系:

22

<r；=E[(x-4力=E[X-2X^X+^]=E[X]-2^XE[X]+^=/一4(2-45)

聯(lián)合矩：多個(gè)隨機(jī)變量的矩的關(guān)系是聯(lián)合矩，以兩個(gè)隨機(jī)變量X,Y為例，其

(九,加)階的聯(lián)合原點(diǎn)矩定義為:

E[X'P"]=「'「"x"y'np(x,y)dxdy(2-46)

J-00J—co

〃=m=1時(shí)有

E[XY]=rrxyp(x,y)dxdy,也稱為相關(guān)矩(2-47)

J-ocJ-00

當(dāng)X,Y統(tǒng)計(jì)獨(dú)立時(shí)有，E[XY]=E[X]E[Y]0

同理有(〃,加)階的聯(lián)合中心矩定義為：

E[(X————渥y(2-48)

〃="=1時(shí)有

仇(X-4V)]=J：J：(%_〃,.)(y_〃v)p(x,y)dxdy

=「JI(孫一切"一)%+N*、)P(x,y)dxdy(2-49)

^E[XY]-E[X]E[Y]

也稱為隨機(jī)變量X,Y的協(xié)方差(Covariance)，兩個(gè)隨機(jī)變量之間的協(xié)方差表征

了它們之間的相關(guān)性，通常用J,=Cov[X,y]表示，即

J,=Cov[X,Y]=E[(X-〃,)(y-〃v)]=E[XY]-E[X][Y](2-50)

當(dāng)兩個(gè)隨機(jī)變量相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立則有

E[XW=E[X][W,q.=0(2-51)

當(dāng)c?,不等于o時(shí)，說明x,y之間具有相關(guān)性，但是相關(guān)程度的大小，通常用

。燈的無量綱化的系數(shù)來表征

內(nèi)晤卜1(2-52)

稱為相關(guān)系數(shù)。其絕對(duì)值小于一，為了證明這一點(diǎn)，利用如下著名的Schwarz

不等式

2

E[|xy|]<(E[X2]E[Y2]y(2-53)

特別地，當(dāng)y=i時(shí),有印印<(比閂)；

當(dāng)q=°，即x,y統(tǒng)計(jì)獨(dú)立時(shí)有%=o,所以

0<|A?.|<l,-l<Ay<l,(2-54)

當(dāng)|Q』=I時(shí)，稱為隨機(jī)變量X,Y完全相關(guān)。

2.2.5隨機(jī)變量的分布以及運(yùn)算

隨機(jī)變量的特定概率密度函數(shù)對(duì)應(yīng)著特定的取值分布，常見的分布有均勻

分布，高斯分布(正態(tài)分布)等。

均勻分布的概率密度函數(shù)為

'1,

----,a<x<b

p(x)={b—a(2-55)

.0,其它

高斯分布的概率密度函數(shù)為

[(A"*)2

=--e2。；(2-56)

2和1

隨機(jī)變量的初等函數(shù)仍然是隨機(jī)變量，后者的分布由前者確定，且若已知

x的p(x),y=g(x),則有

E[Y]=ryp(y)dy=「'p(x)?gMdx(2-57)

J-30J-00

2.3隨機(jī)過程的幅域描述

2.3.1隨機(jī)過程概率統(tǒng)計(jì)特征量

上述對(duì)隨機(jī)變量的成熟的概率描述手段，可以直接用于描述隨機(jī)過程，只不

過為了表示隨機(jī)過程是一個(gè)動(dòng)態(tài)的，隨時(shí)間變化的過程，需要加一個(gè)時(shí)間變

量，如p(x，4)表示隨機(jī)過程在小寸刻的隨機(jī)變量x&)的概率密度函數(shù)，一維概

率分布函數(shù)定義為：

F(x,r)=Prob[X(/)<x,x€/?,rGT]=fp(x,t)cbc(2-58)

J-00

對(duì)應(yīng)的數(shù)字統(tǒng)計(jì)特征為：

4(f)=E[X⑺]=匚xp(x,t}dx(2-59)

/⑺=E[X2(t)]=匚x2p(x,t)dx(2-60)

b；(/)=E[(X⑺-4⑺力=村⑺-%⑺(2-61)

表明隨機(jī)過程在每一時(shí)間截口的分布中心，能量水平和偏離分布中心的程度。

這些一維的概率分布只能描述各個(gè)獨(dú)立時(shí)刻單個(gè)隨機(jī)變量的概率特性，無法揭

示隨機(jī)過程不同時(shí)刻之間的相互關(guān)系，為此必須使用二維以上的概率分布描

述。隨機(jī)過程的二維概率分布函數(shù)定義為：

/(x”fI,%2,)=Pr帥[X(G<玉，X?2)<%2]=/J：P(x"，尤2，f2al公2Q-62)

其性質(zhì)也和前述二維概率分布函數(shù)和二維概率密度函數(shù)性質(zhì)類似?；貞浨笆雒?/p>

述不同隨機(jī)變量之間相關(guān)程度的數(shù)學(xué)特征量是協(xié)方差，對(duì)隨機(jī)過程不同時(shí)刻之

間的相關(guān)性也可以用該量來描述，同樣定義：

CovtX(Q,X&)]=￡[(X&)-4&))(X?2)—〃M))](2-63)

為隨機(jī)變量的自協(xié)方差，通常用6(44)表示。

4小幻=CoWXQJ.XG)]=a(X6)—4(G)(X?2)—〃&))]

(2-64)

=E[(X(GX?2

上式右側(cè)第一項(xiàng)是X(G，X?2)的相關(guān)矩，一階聯(lián)合原點(diǎn)矩也稱隨機(jī)過程X")的

自相關(guān)函數(shù)，通常記為：

&.((I,弓)=E[X&)X(t2)]=II玉々P(X1，4，々，，2)的公2(2-65)

上述(2-64)公式表明若隨機(jī)過程的均值4⑺=0,那么有

。?為)=R?4)(2-66)

R,(小功也就表示了隨機(jī)過程不同時(shí)刻的隨機(jī)變量之間相關(guān)程度。由于多數(shù)隨機(jī)

過程，例如，海浪符合這個(gè)條件，所以，將二者統(tǒng)稱為相關(guān)函數(shù)。用凡代替

Cto很顯然有

-=E[X(t)X(t)]=^(t)(2-67)

Cxg)=￡[(X(Z)-4⑺力=戊⑺(2-68)

以上考慮的是單一隨機(jī)過程的概率描述。對(duì)不同的隨機(jī)過程X⑺,丫⑺可分別派

生出兩族隨機(jī)變量x(G，y&)(i#=i,2,3...)。因而，有是需要考慮它們之間的聯(lián)

合概率分布或聯(lián)合矩。此時(shí)聯(lián)合概率密度函數(shù)可以寫為PG/,%,%)。他們之

間的二階聯(lián)合原點(diǎn)矩和中心矩分別為

r

(i,t2)=E[X(zt)r(r2)]=xyp(xt,ti，y2,t2)dxdy(2-69)

q,(22)=E[(x&)—〃M))(y?2)—〃>?2))]=仆(22)-〃?)巴,伉)(2-70)

Rn.,C.分別是稱為互相關(guān)函數(shù)和互協(xié)方差函數(shù)，表示他們是來自于不同的隨

機(jī)過程，對(duì)應(yīng)的來自于同一隨機(jī)過程都冠以“自”。

均方差，方差，自相關(guān)，協(xié)方差，統(tǒng)稱為二階矩。

若E[X2(r)]<oo,則均方差存在，由Schwarz不等式：

可以推知自相關(guān)函數(shù)必定存在。即可認(rèn)為隨機(jī)過程的二階矩函數(shù)存在，X(f)表

示二階矩過程。

與相關(guān)系數(shù)對(duì)應(yīng)規(guī)范化的互協(xié)方差函數(shù)為:

,.(?],t)

2(2-71)

2.3.2平穩(wěn)隨機(jī)過程

在實(shí)際中經(jīng)常遇到這樣一類隨機(jī)過程，他們隨時(shí)間變化是在一平均值周圍連

續(xù)地隨機(jī)波動(dòng)，其統(tǒng)計(jì)特征都基本上不隨時(shí)間變化，稱該過程為平穩(wěn)隨機(jī)過程

(Stationaryrandomprocess)。

平穩(wěn)隨機(jī)過程一般定義:若一個(gè)隨機(jī)過程的概率特征量在時(shí)間參數(shù)做任意平

移時(shí)保持不變，則稱此過程是平穩(wěn)的。

嚴(yán)格平穩(wěn)隨機(jī)過程定義:若隨機(jī)過程的〃維聯(lián)合概率密度函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)7

都有

p{xx,t\,X2,t2,--Xn,tn)=p{Xx,t{+T,X2,t2+T,Xn,tn+T)(2-71)

則稱此過程是〃階平穩(wěn)的，且低于〃的各階也都是平穩(wěn)的，如

這個(gè)定義是嚴(yán)格平穩(wěn)的條件。嚴(yán)格平穩(wěn)的條件工程上很難滿足。因此引入了廣

義平穩(wěn)(弱平穩(wěn)或者寬平穩(wěn))的概念：若一個(gè)隨機(jī)過程均值和自相關(guān)函數(shù)或者

協(xié)方差不隨時(shí)間變化，即滿足

1.4(4)=4=const(2-72)

2.QCr,+r)=CV(/2,Z2+r)=...=Cx(r)-const(2-73)

兩個(gè)條件，即均值不隨時(shí)間變化，協(xié)方差也不與計(jì)時(shí)起點(diǎn)或時(shí)間原點(diǎn)有關(guān)，只

與時(shí)差7有關(guān)。這樣的隨機(jī)過程稱為廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程。工程中的平穩(wěn)的含義

通常是指廣義平穩(wěn)。平穩(wěn)隨機(jī)過程的協(xié)方差

協(xié)方差的一個(gè)重要性質(zhì)是:在隨機(jī)過程上增加一個(gè)確定性函數(shù)并不改變協(xié)方差函

數(shù)。例如：x（f）的均值為從⑺和協(xié)方差GG/）,〃⑺是一個(gè)確定函數(shù)，則

yQ）=x（t）+〃⑺的協(xié)方差不變。

顯然：當(dāng)〃⑺=-〃,“）時(shí)有，y（t）=x（f）-z（f）,且丫⑺的均值為零，

。,、（4,，2）=Cr（，l12）0

所以對(duì)協(xié)方差的要求就和對(duì)自相關(guān)函數(shù)的要求一樣。此外，對(duì)平穩(wěn)隨機(jī)過

程而言，有時(shí)為了簡(jiǎn)化運(yùn)算而假設(shè)平穩(wěn)隨機(jī)過程均值為零，工程中有許多過程

為零。

注意：由上述平穩(wěn)隨機(jī)過程定義可知，滿足這個(gè)定義的隨機(jī)過程的樣本函

數(shù)無限長，而且在整個(gè)（0,+00）上統(tǒng)計(jì)特性對(duì)時(shí)間參數(shù)原點(diǎn)的選取有一定的均勻

性，即與參數(shù)f的初始時(shí)刻選取無關(guān)，而實(shí)際的隨機(jī)過程通常很難滿足這個(gè)條

件，因此在實(shí)際工程問題處理中，只要一個(gè)隨機(jī)過程在一個(gè)較長的區(qū)間上呈現(xiàn)

上述均勻性，就可以近似看作平穩(wěn)隨機(jī)過程。例如，火車在啟動(dòng)和停止階段，

就不滿足均勻性的假設(shè)，但在中間較長一段時(shí)間內(nèi)是基本勻速行駛的，因此可

看作廣義平穩(wěn)過程。

2.4隨機(jī)過程的時(shí)域描述

隨機(jī)振動(dòng)的時(shí)域描述主要指時(shí)差域描述，用隨機(jī)過程不同時(shí)刻之間的相關(guān)

情況來描述隨機(jī)振動(dòng)。這里主要指平穩(wěn)隨機(jī)過程，而且通常還假設(shè)均值為零。

2.4.1各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)過程

平穩(wěn)隨機(jī)過程的均值和方差不依賴于時(shí)間，均值可由任意時(shí)刻的多個(gè)樣本

的集合平均求得，協(xié)方差也僅取決于作相關(guān)的時(shí)差「，但仍需對(duì)隨機(jī)過程進(jìn)行

大量觀測(cè)，取得足夠多的樣本函數(shù)，盡管樣本函數(shù)可能不需要很長，但工作量

仍然是很大的。因此就猜想能否用僅用一個(gè)足夠長的樣本來代替大量樣本構(gòu)成

的總體，用該樣本的時(shí)間平均特性代替樣本空間的集合平均特性呢？為此引入

樣本函數(shù)時(shí)間平均概念。

設(shè)平穩(wěn)隨機(jī)過程X⑺任一樣本函數(shù)為不⑺，下文為書寫簡(jiǎn)便用X⑺代替任一

無限長樣本函數(shù)，其時(shí)間均值定義為：

T

4=/〈X（f）\）=..1C，90（2-74）

時(shí)間平均意義下的自相關(guān)函數(shù)定義為:

1y

??A.(r)=(X(Z)X(r+r))=lim—￡x(r)x(r+r)dt(2-75)

時(shí)間平均意義下的均方值當(dāng)r=0時(shí)有，

"(0)=(X?)X(f?=M=limi[，⑺力(2-76)

時(shí)間平均意義下的方差定義為

瓏—4)2"㈣"：(x⑺—〃,.)2山(2-77)

各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)過程：對(duì)一個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)過程，若有

E[X(/)]=(X(f))=4(2-78)

則稱該平穩(wěn)隨機(jī)過程關(guān)于均值遍歷。若有

(X(f)X(f+7))=E[X(r)X(r+r)]=/?v(r)(2-79)

則稱過程關(guān)于相關(guān)函數(shù)具有遍歷性。具有一定遍歷性的隨機(jī)過程稱為遍歷過

程，或稱各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)過程。也可以寫成如下形式：

(Xj(/?=￡[X(。)](均值遍歷)(2-80)

(X?)X,C+T))=E[X(O)X/+T)](相關(guān)函數(shù)遍歷)(2-81)

其中，，為樣本函數(shù)編號(hào)，/為時(shí)間采樣點(diǎn)編號(hào)。

平穩(wěn)隨機(jī)過程遍歷的基本含義就是樣本函數(shù)的總體統(tǒng)計(jì)特征等于單個(gè)樣本在

較長時(shí)間段內(nèi)的時(shí)間統(tǒng)計(jì)特征。

2.4.2平穩(wěn)隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù)

根據(jù)前述的集合平均意義以及時(shí)間平均意義上的自相關(guān)函數(shù)定義，可以得

到其性質(zhì)如下：

1T

1.R、(0)=&Hx(r)M)?力=際20(2-82)

2.|/?v(r)|</?v(0)(2-83)

證明：

由于

所以

由此有

說明隨機(jī)變量與自身的相關(guān)性最好。

3.&(7)=&(-T)(2-84)

證明：&(r)=limyJ；x(t)x(t+T)dt

令，t—+di'

所以有

由平穩(wěn)性定義也可以直接得到&(T)是偶函數(shù)這個(gè)性質(zhì)。

4.lim/?v(r)=O(2-85)

r—>oo

通常實(shí)際的物理系統(tǒng)總是有一點(diǎn)耗散的，隨著時(shí)差的增大，一般來說隨機(jī)

過程的相關(guān)性有所減弱，而且當(dāng)「到8時(shí)有，尺(7)趨向于0。

2.4.3互相關(guān)函數(shù)

在隨機(jī)振動(dòng)分析中，通常要用到來自兩個(gè)不同隨機(jī)過程的相關(guān)，例如隨機(jī)激

勵(lì)力與隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)的相關(guān)情況，還有兩個(gè)以上不同的隨機(jī)激勵(lì)力作用在同一

結(jié)構(gòu)上等情況。對(duì)各態(tài)歷經(jīng)的隨機(jī)過程XQ),y(r),互相關(guān)函數(shù)定義為：

=lim—1[T+(2-86)

,X->00TJ。

性質(zhì)：

一般不對(duì)稱(2-87)

2.勺⑺=5”(—7)(2-88)

f

證明：7?vv(r)=limy￡x(f)y{t+r)dt

令t+T=t',dt=df,t=t'-r

例2-1：%(。與馬⑺為兩個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)過程，求=。內(nèi)”)+”2工2⑺自相關(guān)函數(shù)

解：

對(duì)均值為零的平穩(wěn)隨機(jī)過程，若相互獨(dú)立則有q,,(7)=0,即&V(T)=0

2.5隨機(jī)過程的頻域描述：

2.5.1典型函數(shù)的傅里葉變換

x(f)的連續(xù)傅里葉定義為：

X(0)=「％(/)??.出(2-89)

J-00J-O0

x(t)=——「'X⑼?e^dco(2-90)

2萬卜

線性性質(zhì)：

以⑺+by(t)=aX(m+Z?Y(co)(2-91)

對(duì)稱性質(zhì)：

xQ)0X(co)

(2-92)

x(-t)。X(一⑼

平移性質(zhì)：

必±幻0乂(0)".

(2-93)

X(<y±?y0)<=>尤(f)e'

變標(biāo)尺性

八、1一一CD、

x(kt)<=>—X(—)

kk(2-94)

X(kty)o：x(()

共輾性

X*(o)=X(-0)(2-95)

微分特性

北。)=icoX(CO)

.(2-96)

無⑺o-"X(0)

乘積與卷積特性

%⑺?W⑺。X|(⑼*x2(<y)

%(①)?X2(0)oXj⑺*x2(t)

典型函數(shù)的傅里葉變換

1.脈沖函數(shù)

定義：

若有「'b?).左=1,稱為單位脈沖函數(shù)，其性質(zhì)為

J-00

傅里葉變換為

/⑼=?[?(/)]=r必)?e-jMdt=「'8(t-0)-eiMdt=e"°=1(2-98)

J-30J-CO

J(r)=Fl[<y(?)]=—f，Z3(co)-eiMd(o=eiMd(o(2-99)

2兀-

可以得出如下結(jié)論：

+00

JeiMd(o=1n8(t}(2-100)

-00

2.正余弦函數(shù)sin69(j,cosG(J的傅里葉變換

j(i(v

F[cosa)Qt]=gF[e^+e~]=g[2而儂-0)+2砌-例)一①)]=乃[3?+跳)+3(①-①0)](2-101)

1.1

+J(l)bt

F[sin(Dot]=—:F[e-—；[2?(g-幻)一2乃5(一/一⑼]

2j2/(2-102)

=-5(°-跳)一53+%)]=%膽(。+%)*3一⑻]

j

3.單位指數(shù)函數(shù)—"〃⑺?>0

F[e-a,u(t)]=「"e-a'u(t)-e-iMdt=fe"e"dr=f"叱如你=―-—(2-103)

J-()oa+jco

4.矩形脈沖函數(shù)

X(<y)=「"加)9的力=/a-e-j,0,dt=^-(e-jaT-ejaT)=-^(-2;sin(oT)=—sin(oT(2-104)

JFJ-R(0(00)

若TfO,則矩形函數(shù)相應(yīng)于矩形脈沖，則有

X(a))=—coT=2aT=a-2T,為矩形脈沖T的面積。

co

252功率譜密度函數(shù)

相關(guān)函數(shù)的傅里葉變換稱為功率譜密度函數(shù)(Powerspectraldensity

function),自相關(guān)函數(shù)的傅里葉變換稱為自功率譜密度函數(shù)，互相關(guān)函數(shù)的傅

里葉變換稱為互功率譜密度函數(shù)。分別敘述：

自功率譜密度函數(shù)

定義1：自相關(guān)函數(shù)的傅里葉變換

S、.(3)=[Rv⑺6-師公或(2-105)

(2-106)

也可以說自相關(guān)函數(shù)是自功率譜密度函數(shù)的逆傅里葉變換，即

&e)=(1'S,kco)ei<aTd(o或

(2-107)

R,(r)=J：S,(/iW(2-108)

由于6(0)表示均方值，因此上式當(dāng)7=0時(shí)有

6(0)=/=J：S")4(2-109)

所以S,(7)在整個(gè)頻帶上的積分等于它的均方值，可以說，S,(7)表示x⑺在單

位帶寬內(nèi)具有的能量，具有能量(或功率)的密度的概念，所以稱為功率譜密

度。

所以也有如下的定義：

1

92

Sv(/)=lim-|x(/)|,(2-110)

r->8]11

可以證明這兩個(gè)定義是等價(jià)的。

證明：

同時(shí)有

由于對(duì)任意的隨機(jī)函數(shù)X"),上兩式均成立，因此有：

自功率譜性質(zhì)：

表示振動(dòng)功率按頻率的分布

1.5,3)20(2-111)

2.4(0)=⑼4(2-112)

所以S,表示單位頻帶上信號(hào)的能量

3.自功率譜是偶函數(shù)

f+OO

=SK(a>)=2￡7?v(r)cos<yrJr(2-113)

互功率譜密度函數(shù)：

對(duì)應(yīng)的互功率譜也有兩個(gè)等價(jià)定義

1.，(⑼=匚RqW4或Sxy(f)=匚R,,(7)e-J2"r.八(2-114)

2.S")=lim"/W)(2-115)

rT-X?/

互功率譜密度函數(shù)性質(zhì)：

互功率譜密度函數(shù)一般是復(fù)數(shù)，不對(duì)稱，且有

"3—)=黑3)(2-116)

證明：

對(duì)于實(shí)際的信號(hào)，一般沒有負(fù)頻率的概念，前述的意義是在(F,”)上，這僅

僅是理論上的定義，因此工程上便于應(yīng)用，把負(fù)頻率的譜密度折算到正的頻率

上去，由S,(⑼是偶函數(shù)，所以定義:

2S(co')0<?<+00

(2-117)

八［0(y<0

移為單邊自譜密度函數(shù)，對(duì)應(yīng)S*⑼稱雙邊自譜密度函數(shù)。

廣8

GV(69)=2SA.(69)=4￡Rx(T)coscordr(co>0)(2-118)

單邊自譜下的面積同樣等于均方值，因?yàn)椋?/p>

+

=——jSx(a))dco=——￡2Sx{co)dco=——jGx(co)dco(2-119)

類似的定義單邊上的互譜密函數(shù)：

2S,,(⑼69>0

Gy3)=<(2-120)

0CO<0

對(duì)應(yīng)的稱為雙邊互譜密度函數(shù)。

相干函數(shù)：

在時(shí)域內(nèi)用相關(guān)系數(shù)表示兩個(gè)隨機(jī)變量的相關(guān)程度，同樣在頻域內(nèi)也定義一個(gè)

類似的無量綱數(shù)來表示隨機(jī)函數(shù)的相關(guān)程度。

2,、1%(叫

(2-121)

S、.(0)Sv(。)

可以證明:

片，3)wi(2-122)

相干函數(shù)可以用來檢查系統(tǒng)是否有隨機(jī)干擾和非線性干擾，即如果片接近于

1,表示所經(jīng)過的系統(tǒng)非線性程度很小，噪聲干擾也很小，反之干擾比較大，得

到的譜密度函數(shù)不可信，因?yàn)檩敵鰕不完全是由輸入x引起的。一