隨機振動講義全文

隨機振動講義全文(總49頁)

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目錄

第一章緒論.....................................錯誤!未指定書簽。

1.1隨機振動的基本概念和特征....................錯誤!未指定書簽。

1.2隨機振動研究的內(nèi)容和意義...................................3

第二章隨機振動的數(shù)學描述.........................錯誤!未指定書簽。

2.1隨機過程的基本概念和特征..................錯誤!未指定書簽。

2.2隨機過程的數(shù)學描述........................錯誤!未指定書簽。

2.2.1隨機變量定義.........................錯誤!未指定書簽。

2.2.2一維隨機變量的概率分布函數(shù)與概率密度函數(shù)錯誤！未指定書

簽。

2.2.3多維隨機變量.........................錯誤!未指定書簽。

2.2.4隨機變量的數(shù)字特征...................錯誤!未指定書簽。

2.2.5隨機變量的分布以及運算...............錯誤!未指定書簽。

2.3隨機過程的幅域描述........................錯誤!未指定書簽。

2.3.1隨機過程概率統(tǒng)計特征量...............錯誤!未指定書簽。

2.3.2平穩(wěn)隨機過程.........................錯誤!未指定書簽。

2.4隨機過程的時域描述........................錯誤!未指定書簽。

2.4.1各態(tài)歷經(jīng)隨機過程.....................錯誤!未指定書簽。

2.4.2平穩(wěn)隨機過程的自相關函數(shù).............錯誤!未指定書簽。

2.4.3互相關函數(shù)...........................錯誤!未指定書簽。

2.5隨機過程的頻域描述：.......................................17

2.5.1典型函數(shù)的傅里葉變換.................錯誤!未指定書簽。

2.5.2功率譜密度函數(shù).......................錯誤!未指定書簽。

2.5.3平穩(wěn)隨機過程的譜分類：...............錯誤!未指定書簽。

2.5.4隨機過程的分布.......................錯誤!未指定書簽。

2.6隨機過程的運算.............................錯誤!未指定書簽。

2.6.1微分運算.............................錯誤!未指定書簽。

2.6.2積分運算.............................錯誤!未指定書簽。

2.6.3隨機振動位移、速度和加速度的相關函數(shù)和譜密度函數(shù)關系.錯

誤!未指定書簽。

第三章SDOF系統(tǒng)的隨機響應......................錯誤!未指定書簽。

3.1系統(tǒng)的脈沖響應函數(shù)和頻率響應函數(shù)描述.....錯誤!未指定書簽。

3.2單自由度系統(tǒng)隨機響應分析.................錯誤!未指定書簽。

第四章多自由度系統(tǒng)的隨機響應分析..................錯誤!未指定書簽。

4.1多自由度系統(tǒng)的脈沖響應函數(shù)、頻率響應函數(shù)...錯誤!未指定書簽。

4.2單輸入問題的MDOF系統(tǒng)的隨機響應...........錯誤!未指定書簽。

4.3多輸入問題的MDOF系統(tǒng)的隨機響應...........錯誤!未指定書簽。

4.4MDOF系統(tǒng)隨機響應分析的模態(tài)方法...........錯誤!未指定書簽。

4.5隨機響應分析的虛擬激勵方法...............錯誤!未指定書簽。

第五章連續(xù)系統(tǒng)的隨機響應分析......................錯誤!未指定書簽。

參考文獻...........................................錯誤!未指定書簽。

第一章緒論

1.1隨機振動的基本概念和特征

前面研究的振動問題都屬于確定性振動(deterministicvibration),所謂

的確定性就是指振動是有一定規(guī)律的，或者可以用一個確定的函數(shù)來描述，或

者可以用若干離散的值來描述，而且這個規(guī)律是可以重復的，可以預先估計

的。例如，無阻尼自由振動問題：

inx+kx-O(1-1)

在確定的初始條件作用下，系統(tǒng)的振動響應規(guī)律為：

x?)=Asin(d+cr)(1-2)

其中，而，是由表征系統(tǒng)特性的物理參數(shù)確定的，A和a由初始條件確

定。只要已知初始時刻的振動值%,就可以預知之后任意時刻的振動值。

該系統(tǒng)在另外一次相同的初始激勵下，系統(tǒng)振動規(guī)律理論上會得到完全的重

復。再看一個有外激勵力作用的系統(tǒng)的振動規(guī)律：

nvc+kx=f(x)(1-3)

這個系統(tǒng)的振動規(guī)律為：

x(f)=/(1-4)

其中，/為任意的外激勵，〃為系統(tǒng)的脈沖響應函數(shù)。這個杜哈梅積分如果可

以精確積分，振動規(guī)律可以表示成一個確定的函數(shù)表達式，如果不能，需要利

用數(shù)值積分，得到的振動規(guī)律是一組給定的離散時刻的確定的數(shù)值。同樣，在

下一次相同的外激勵作用下，振動規(guī)律還可以得到完全的重復。

在自然界和工程實際中還存在另外一種截然不同的現(xiàn)象，其變化是高度

不規(guī)則，無規(guī)律的，不可預估也不可重復，物理現(xiàn)象的這種變化規(guī)律稱為隨機

的。例如，海浪，地震，陣風(湍流)，火箭的噴氣噪聲以及不平路面。在隨

機現(xiàn)象作用下，系統(tǒng)產(chǎn)生的振動規(guī)律也同樣有隨機的特征，振動過程是不確定

的，這樣振動稱為隨機振動。工程中有很多這樣的實際例子：

在海浪作用下，海洋平臺結構、水面艦船、出入水的導彈的振動

在湍流作用下，飛行器結構的振動

在陣風作用下，高聳建筑物、橋梁的振動

在地震作用下，所有地面建筑結構的振動

在發(fā)動機噴氣噪聲以及大氣氣動噪聲的作用下，火箭、導彈等飛行器結構

的振動

在不平路面的作用下，各種車輛的振動。

這些振動都是確定的工程結構在隨機的外激勵力或運動激勵作用下產(chǎn)生

的，都是隨機振動。上述例子共同的特征是：

激勵和響應都不能用時間的確定函數(shù)來描述；

對于某一特定時刻取值不確定；

對于單個試驗記錄，從當前時刻的值無法預估之后時刻的值；

兩次相同條件的試驗結果不可能重復，但多次的試驗結果放在一起卻可以

發(fā)現(xiàn)現(xiàn)象的某些統(tǒng)計規(guī)律。

就是說振動運動是隨機的，所以在任一給定時刻f=時X的精確值不可能

精確預計，我們最多只能求出在時刻"，X取值于某一區(qū)間的可能性或概率，

給出在某一時刻的統(tǒng)計規(guī)律，而且統(tǒng)計規(guī)律也可能是隨時間變化的。

1.2隨機振動研究的內(nèi)容和意義

隨機問題，主要分為兩大類：

I）系統(tǒng)是確定性的，激勵是隨機的

前面所列舉的例子都屬于這一類。確定性的系統(tǒng)在隨機的激勵作用下，系

統(tǒng)的響應也是隨機的。在這類問題中，主要研究激勵以及由其引起的隨機振動

響應的統(tǒng)計規(guī)律，研究這些規(guī)律與系統(tǒng)特性之間的關系。通常的隨機振動研究

主要屬于這一類。

2）系統(tǒng)是隨機的，激勵或確定，或隨機

自然界和工程中也有這樣的問題，例如，雨天，輸電線的振動問題，這

里，輸電線的質(zhì)量是隨機變化的，也就是系統(tǒng)的特性是隨機的。這類問題，同

樣也是研究隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律以及它們之間的相互關系。

當然，隨機振動也有其它的分類，

按系統(tǒng)自由度可分為：單自由度隨機振動；多自由度隨機振動；無限多

自由度隨機振動。

按振動微分方程的特點可分為：線性隨機振動；非線性隨機振動。

按隨機振動頻帶寬窄可分為：寬帶隨機振動，窄帶隨機振動。

按振動的特性隨時間變化情況可分為：平穩(wěn)隨機振動；非平穩(wěn)隨機振

動。

我們主要研究線性單、多自由度、連續(xù)體系統(tǒng)在單個和多個平穩(wěn)隨機激勵作用

下的響應分析。

實際工程中，隨機振動現(xiàn)象是十分普遍的，嚴格地說，一切實際系統(tǒng)的

振動都是隨機的，只不過有些振動隨機的成分很小，可以忽略，當作確定性系

統(tǒng)來研究。但是對于象湍流引起的飛機、火箭的振動、海浪導致出入水的導彈

的振動，以及前面介紹的其它例子，都必須考慮振動的隨機性，用隨機振動的

研究方法進行研究，才能得出更符合實際情況的結論。

第二章隨機振動的數(shù)學描述

由于確定性的結構系統(tǒng)在隨機變化的激勵力作用下，系統(tǒng)的振動響應也

是隨機變化的，所以隨機振動主要研究激勵以及由其引起的隨機振動響應的統(tǒng)

計規(guī)律，以及這些規(guī)律與系統(tǒng)特性之間的關系。對這些規(guī)律我們可以利用概率

論的知識對他們進行定量或定性的研究，所以，首先我們要對隨機激勵或者隨

機響應進行賦值，也就是用一個變量來表示，也就是要對隨機振動的各個量進

行數(shù)學描述。

2.1隨機過程的基本概念和特征

隨機過程是對在空間和時間上高度不規(guī)則，事先無法預估，其變化也無

法重復，其統(tǒng)計規(guī)律隨時間演化的物理現(xiàn)象的一種數(shù)學描述。工程中存在著很

多這種物理現(xiàn)象，如在第一章所舉的例子，這些物理現(xiàn)象無法用確定性的理論

來描述，但可以用隨機過程來描述。隨機振動的數(shù)學抽象即為隨機過程。

隨機過程的每一次測量所得結果可看作一次實現(xiàn)，或叫樣本函數(shù)。所有

可能的樣本函數(shù)的集合構成一個隨機過程。因此，隨機過程是由時間上無限

長、樣本的無限多個的樣本函數(shù)構成的，可以寫為：

X（D/GT,j=l,2,...}（2-1）

圖2-1:隨機過程示意圖

隨機過程的每次實現(xiàn)是一個確定的非隨機函數(shù)，但各個實現(xiàn)各不相同，

因此為了得到隨機過程的統(tǒng)計特性也必須做大量的獨立測量。例如在同一條件

的海域內(nèi)，布置n個同一類型的波高儀，可同時測得n個記錄，得到n個實

現(xiàn)，不（。,9（。,?，演?）。在某一固定時刻4可得各樣本瞬時波面高度

占⑥,％^）,…,怎,），它們構成了通常的隨機變量x（4），在另一時刻弓又構成

另一個隨機變量無&）。因此隨機過程也可以是樣本空間上的隨機變量x（f）的集

合。下文就將X(r)表示為隨機過程。隨機過程是隨機變量進一步發(fā)展得到的，

是隨機變量隨時間的變化，是隨機變量的推廣。

可以看出隨機過程是對隨機現(xiàn)象的完全描述，嚴格的隨機過程應包含隨機現(xiàn)

象的無窮多個獨立測量樣本，而且每個樣本應該在時間上是無限長。實際分析

中，我們只能用樣本長度有限，樣本數(shù)目有限的樣本集合來代替隨機過程。所

得結果僅是隨機現(xiàn)象統(tǒng)計特征的一個估計，一個近似。

2.2隨機過程的數(shù)學描述

隨機過程的概念一方面定義為無窮多個樣本函數(shù)的集合，另一方面可以

看作無窮多個隨機變量的集合

X&),i=l,2,...8(2-2)

其中X&)是由隨機過程X在乙時刻所有可能的取值為?)構成的隨機變量，j

是樣本函數(shù)的編號，j=l,2,...ooo正因為它可以認為是由無窮多個隨機變量構

成的，所以我們首先從隨機變量的概率描述角度，來對隨機過程進行描述。

2.2.1隨機變量定義

對所研究的隨機現(xiàn)象賦值便得到了一個隨機變量，例如，哈爾濱地區(qū)每

年冬天的最低氣溫。在同一海域內(nèi)布置n個同一類型的波高儀，在某一時刻所

測得的n個波高值，就構成一個描述波高可能取值的隨機變量。在相同隨機激

勵的多次作用下，結構系統(tǒng)在某一固定時刻振動響應可能的取值，都屬于隨機

變量。

許多隨機現(xiàn)象的試驗結果表現(xiàn)為數(shù)量，用來表示隨機試驗各種結果的變

量叫做隨機變量。隨機試驗的一種結果也就是隨機變量的一個可能取值，這些

所有可能的取值的集合就是一個隨機變量，用集合符號表示就是：

X={xj,/=1,2,3,...〃(2-3)

式中看為隨機變量X的一種可能取值?！ㄈ∮邢拗稻褪请x散隨機變量，〃取無

窮大就是連續(xù)隨機變量。

研究一個隨機變量，不但要知道它在每次試驗時的取值，更重要的是要

知道它取這個數(shù)值的概率。綜上所述隨機變量的基本特征，用數(shù)學的語言來描

述給出的定義為：定義于某樣本空間C上的實變量如果對于每一

個實數(shù)X,X(〃)〈x的概率Prob{X(〃)《x}都存在，那么就稱x(〃)為隨機變

量。通常主要考慮隨機變量X(〃)的值取在整個實數(shù)軸(70,”)上的問題。以下

為行文方便X(〃)簡寫為X。

對一個隨機變量作完整的概率描述就是給出它的概率分布，也就是給出X取

值小于每一個xe(-oo,8)的概率，就是給出函數(shù)：

F(x)=Prob{X<x,x&(-00,00)}=P(X<x)(2-4)

F(x)稱為X的概率分布函數(shù)。概率分布函數(shù)的性質(zhì)：

1)F(+oo)=1(2-5)

由定義可知實變量X取值小于+8的概率是100%,或說X〈”是肯定的

2)F(-oo)=0(2-6)

X取值小于-8的概率是0,或說X<-oo是不可能的

3)/(x)是單調(diào)增函數(shù)

由定義可知,若巧>X”則尸小)〉尸(%)

4)尸(%)NO,恒非負

5)對任意元素有X取值在區(qū)間(巧,々)內(nèi)的概率為：

F(x2)-F(Xj)=Prob{x]<x<x2)(2-7)

6)Pro儀X>x)=1-/⑺(2-8)

注意：對連續(xù)型隨機變量，取值為一個特定值的概率為零，

ProZ?(X=x)=0o

當F(x)連續(xù)可導時，可以得到其導數(shù)函數(shù)

/、dF(x)F(x+dx)-F(x)

〃(x)--------lim--------------(2-8)

dxdiodx

其意義可解釋為隨機變量X取值在x附近的單位區(qū)間的概率大小，因為：

因此，p(x)大表示網(wǎng)光)在該點的變化較大，也就是在這個區(qū)間概率分布密度也

大，所以也稱p(x)為概率分布密度函數(shù)，簡稱概率密度函數(shù)。概率密度函數(shù)表

示X取值在x點附近的單位區(qū)間內(nèi)的概率大小。

概率密度函數(shù)的性質(zhì)：

1)jp(u)du=F(x)(2-9)

—00

oc

2)jp(u)du—F(-i-oo)-F(-oo)=F(+oo)=1(2-10)

—00

x2x2

3)jp(u)du-dF(u)-F(x2)-F(xt)(2-11)

w再

4)p(x)NO(2-12)

單調(diào)增函數(shù)的導函數(shù)恒非負。

5)〃(+8)="(-oc)=0(2-13)

有些問題需要考慮兩個或兩個以上的隨機現(xiàn)象同時發(fā)生的概率，例如打靶，

就需要考慮在劉y兩個方向同時射中區(qū)間的概率，這就是

二維聯(lián)合概率問題，還有更多維，僅以二維為例。

對于二維的隨機變量Z=[X,Y],它的聯(lián)合概率分布函數(shù)定義為：

F(x,y)=Prob(X<x,Y<y)=P(X<x,Y<y)(2-14)

即F(x,y)為隨機變量X取小于x同時丫小于y的概率，性質(zhì)：

1)F(x,y)>0,x,y&R(2-15)

2)F(-oo,y)-F(x,-oo)=F(-oo,-oo)=0(2-16)

3)尸(g”)=l(2-17)

4)F(x,+oo)=Proh{X<x,Y<+oo)=F(x)-Prob(X<x)(2-18)

5)F(+oo,y)-Prob(X<+oo,y<y)-F(y)-Prob(X<y)(2-19)

6)F(x,y)單獨對是單調(diào)增函數(shù)

x2

:

7)F(x2,+oo)-F(x,,+oo)=Prob(x]<X<x2,Y<-H?)=F(X2)-/'(X1)=jp(x)dx(2-20)

當尸(x,y)有二階偏導數(shù)時，有

夕尸(x,y)

p(x,y)=(2-21)

dxdy

這個二階偏導函數(shù)定義了二維聯(lián)合概率密度函數(shù)。由定義及F(x,y)的性質(zhì)可

知，

xy

尸(x,y)=JJp&Mdn(2-22)

-O0-00

二維聯(lián)合概率密度函數(shù)性質(zhì)：

1)p(x,y)>0(2-23)

-KC+sC

2)JJp(x9y)dxdy=1(2-24)

―30—00

X+00X400x

3)尸(x,”)=jj4d77=J(Jp(4,〃W"W&=F(x)=]p記)

-00-CO-00-00-00

所以有

+50

Jp(x,yWy=p(x)(2-25)

—00

同理，由于

有

-KC

Jp(x,y)dx=p(y)(2-26)

-oc

這就給出了二維聯(lián)合概率密度函數(shù)與一維的關系。

對于二維隨機變量，還定義有條件概率密度函數(shù)為：

<、p(x,y)/、p(x,y)

p(x:y)='~,p(y:x)='-,

P(y)，(x)

其中p(x:y)表示在y條件下，x發(fā)生的概率，且有

p(x,y)=p(x:y)-p(y)=p(y:x)?p(x)(2-27)

若X,丫統(tǒng)計獨立，則

p(x:y)=p(x),p(y:x)=p(y)(2-28)

且有

p(x,y)=p(x)-p(y)(2-29)

隨機變量的統(tǒng)計特征可以用概率分布函數(shù)，或概率密度函數(shù)作完整描述，

但要確定這些函數(shù)一般不大容易，通常也不是總有這個必要，實際問題是只需

主要的統(tǒng)計特征即可，這些主要的數(shù)字特征稱為隨機變量的矩。

原點矩：實隨機變量X的n階矩定義為X"的集合平均，也稱n階原點矩，

即有

8

￡[%"]=Jx"p(x)dx(2-30)

—00

其中最常用的是一階原點矩和二階原點矩。

一階原點矩定義為

00

E[X]=Jxp(x)dx(2-31)

—oo

也就是隨機變量的均值，也稱數(shù)學期望，常記為從。(對離散隨機變量有

〃,=仇幻=才王〃(刈，如果隨機試驗得到一系列獨立的觀測值演

/=1

(7=1,2,3…〃)，那么其樣本均值為：

n,=i

一階原點矩性質(zhì)：

l.E(a)=a”是常數(shù)(2-31)

2.E[aX]^aE[X](2-32)

3.E[a+X]^a+E[X](2-33)

4.E[X+Y]=E[X]+E[Y],或者典(2-33)

證明：

E[X+Y]^[f(x+y)dxdy=[fxp(x,y)dxdy+[fyp(x,y)dxdy

J-00J—ooJ-OOJ-00J-00J-a>

p+<?p-Hx>/?+00「+00

=1x\p(x,y)dy-dx+yp(x,y)dxdy

J-COJ-COJ-COJ—00

廣+8,+00

=J-coxp(x)dxJ+-x>yp(yWy

=E[X]+E[y]

5.若二者相互統(tǒng)計獨立

E[xr]=E[xiE[r]或者E[nx』=naxj(2-34)

ii

證明：

二階原點矩定義為：

E[X2]=x2p(x)-dx(2-35)

J-00

也稱為隨機變量的均方值，常記為上;，通常表示隨機變量的能量水平。

上面討論的都是隨機變量相對于坐標原點的矩，也稱為原點矩，還有一種常

見的矩，是相對于均值的，稱為中心矩?！A中心矩定義為：

EKX-4力=公(2-36)

一階中心矩為：

+CO

<?+□0廣廣+oo

I(x-jLix)p(x)dx=Ixp(^x)dx-/Lt\p{x}dx=)nx-/nx=0(2-37)

二階中心矩為：

22

E[(X-E[X])]=r(X-AV)P(X)^=D[x](2-38)

J-oo

也稱為X的方差，常記為b；,其平方根4稱為標準差。

對離散隨機變量有

2

D[X]=戊=￡[(X-//.V)]=之(七—4)2p(x,)(2-39)

i=l

樣本方差(Samplevariance)

D[X]=a-=-X(^-^)2(2-40)

方差表明隨機變量偏離均值的程度。方差性質(zhì)：

LO[a]=0,a是常數(shù)(2-41)

2.D[aX]=a2D[X](2-42)

3.D[a+X]^D[X](2-43)

4.D[aX+bY]=a2D[X]+b2D[Y],若x,y統(tǒng)計獨立(2-44)

證明:

均值，均方值(均方根值)，方差4(標準差)是隨機變量最重要的三個數(shù)字

特征量，它們之間有如下關系:

22

<r；=E[(x-4力=E[X-2X^X+^]=E[X]-2^XE[X]+^=/一4(2-45)

聯(lián)合矩：多個隨機變量的矩的關系是聯(lián)合矩，以兩個隨機變量X,Y為例，其

(九,加)階的聯(lián)合原點矩定義為:

E[X'P"]=「'「"x"y'np(x,y)dxdy(2-46)

J-00J—co

〃=m=1時有

E[XY]=rrxyp(x,y)dxdy,也稱為相關矩(2-47)

J-ocJ-00

當X,Y統(tǒng)計獨立時有，E[XY]=E[X]E[Y]0

同理有(〃,加)階的聯(lián)合中心矩定義為：

E[(X————渥y(2-48)

〃="=1時有

仇(X-4V)]=J：J：(%_〃,.)(y_〃v)p(x,y)dxdy

=「JI(孫一切"一)%+N*、)P(x,y)dxdy(2-49)

^E[XY]-E[X]E[Y]

也稱為隨機變量X,Y的協(xié)方差(Covariance)，兩個隨機變量之間的協(xié)方差表征

了它們之間的相關性，通常用J,=Cov[X,y]表示，即

J,=Cov[X,Y]=E[(X-〃,)(y-〃v)]=E[XY]-E[X][Y](2-50)

當兩個隨機變量相互統(tǒng)計獨立則有

E[XW=E[X][W,q.=0(2-51)

當c?,不等于o時，說明x,y之間具有相關性，但是相關程度的大小，通常用

。燈的無量綱化的系數(shù)來表征

內(nèi)晤卜1(2-52)

稱為相關系數(shù)。其絕對值小于一，為了證明這一點，利用如下著名的Schwarz

不等式

2

E[|xy|]<(E[X2]E[Y2]y(2-53)

特別地，當y=i時,有印印<(比閂)；

當q=°，即x,y統(tǒng)計獨立時有%=o,所以

0<|A?.|<l,-l<Ay<l,(2-54)

當|Q』=I時，稱為隨機變量X,Y完全相關。

2.2.5隨機變量的分布以及運算

隨機變量的特定概率密度函數(shù)對應著特定的取值分布，常見的分布有均勻

分布，高斯分布(正態(tài)分布)等。

均勻分布的概率密度函數(shù)為

'1,

----,a<x<b

p(x)={b—a(2-55)

.0,其它

高斯分布的概率密度函數(shù)為

[(A"*)2

=--e2。；(2-56)

2和1

隨機變量的初等函數(shù)仍然是隨機變量，后者的分布由前者確定，且若已知

x的p(x),y=g(x),則有

E[Y]=ryp(y)dy=「'p(x)?gMdx(2-57)

J-30J-00

2.3隨機過程的幅域描述

2.3.1隨機過程概率統(tǒng)計特征量

上述對隨機變量的成熟的概率描述手段，可以直接用于描述隨機過程，只不

過為了表示隨機過程是一個動態(tài)的，隨時間變化的過程，需要加一個時間變

量，如p(x，4)表示隨機過程在小寸刻的隨機變量x&)的概率密度函數(shù)，一維概

率分布函數(shù)定義為：

F(x,r)=Prob[X(/)<x,x€/?,rGT]=fp(x,t)cbc(2-58)

J-00

對應的數(shù)字統(tǒng)計特征為：

4(f)=E[X⑺]=匚xp(x,t}dx(2-59)

/⑺=E[X2(t)]=匚x2p(x,t)dx(2-60)

b；(/)=E[(X⑺-4⑺力=村⑺-%⑺(2-61)

表明隨機過程在每一時間截口的分布中心，能量水平和偏離分布中心的程度。

這些一維的概率分布只能描述各個獨立時刻單個隨機變量的概率特性，無法揭

示隨機過程不同時刻之間的相互關系，為此必須使用二維以上的概率分布描

述。隨機過程的二維概率分布函數(shù)定義為：

/(x”fI,%2,)=Pr帥[X(G<玉，X?2)<%2]=/J：P(x"，尤2，f2al公2Q-62)

其性質(zhì)也和前述二維概率分布函數(shù)和二維概率密度函數(shù)性質(zhì)類似?；貞浨笆雒?/p>

述不同隨機變量之間相關程度的數(shù)學特征量是協(xié)方差，對隨機過程不同時刻之

間的相關性也可以用該量來描述，同樣定義：

CovtX(Q,X&)]=￡[(X&)-4&))(X?2)—〃M))](2-63)

為隨機變量的自協(xié)方差，通常用6(44)表示。

4小幻=CoWXQJ.XG)]=a(X6)—4(G)(X?2)—〃&))]

(2-64)

=E[(X(GX?2

上式右側第一項是X(G，X?2)的相關矩，一階聯(lián)合原點矩也稱隨機過程X")的

自相關函數(shù)，通常記為：

&.((I,弓)=E[X&)X(t2)]=II玉々P(X1，4，々，，2)的公2(2-65)

上述(2-64)公式表明若隨機過程的均值4⑺=0,那么有

。?為)=R?4)(2-66)

R,(小功也就表示了隨機過程不同時刻的隨機變量之間相關程度。由于多數(shù)隨機

過程，例如，海浪符合這個條件，所以，將二者統(tǒng)稱為相關函數(shù)。用凡代替

Cto很顯然有

-=E[X(t)X(t)]=^(t)(2-67)

Cxg)=￡[(X(Z)-4⑺力=戊⑺(2-68)

以上考慮的是單一隨機過程的概率描述。對不同的隨機過程X⑺,丫⑺可分別派

生出兩族隨機變量x(G，y&)(i#=i,2,3...)。因而，有是需要考慮它們之間的聯(lián)

合概率分布或聯(lián)合矩。此時聯(lián)合概率密度函數(shù)可以寫為PG/,%,%)。他們之

間的二階聯(lián)合原點矩和中心矩分別為

r

(i,t2)=E[X(zt)r(r2)]=xyp(xt,ti，y2,t2)dxdy(2-69)

q,(22)=E[(x&)—〃M))(y?2)—〃>?2))]=仆(22)-〃?)巴,伉)(2-70)

Rn.,C.分別是稱為互相關函數(shù)和互協(xié)方差函數(shù)，表示他們是來自于不同的隨

機過程，對應的來自于同一隨機過程都冠以“自”。

均方差，方差，自相關，協(xié)方差，統(tǒng)稱為二階矩。

若E[X2(r)]<oo,則均方差存在，由Schwarz不等式：

可以推知自相關函數(shù)必定存在。即可認為隨機過程的二階矩函數(shù)存在，X(f)表

示二階矩過程。

與相關系數(shù)對應規(guī)范化的互協(xié)方差函數(shù)為:

,.(?],t)

2(2-71)

2.3.2平穩(wěn)隨機過程

在實際中經(jīng)常遇到這樣一類隨機過程，他們隨時間變化是在一平均值周圍連

續(xù)地隨機波動，其統(tǒng)計特征都基本上不隨時間變化，稱該過程為平穩(wěn)隨機過程

(Stationaryrandomprocess)。

平穩(wěn)隨機過程一般定義:若一個隨機過程的概率特征量在時間參數(shù)做任意平

移時保持不變，則稱此過程是平穩(wěn)的。

嚴格平穩(wěn)隨機過程定義:若隨機過程的〃維聯(lián)合概率密度函數(shù)對任意實數(shù)7

都有

p{xx,t\,X2,t2,--Xn,tn)=p{Xx,t{+T,X2,t2+T,Xn,tn+T)(2-71)

則稱此過程是〃階平穩(wěn)的，且低于〃的各階也都是平穩(wěn)的，如

這個定義是嚴格平穩(wěn)的條件。嚴格平穩(wěn)的條件工程上很難滿足。因此引入了廣

義平穩(wěn)(弱平穩(wěn)或者寬平穩(wěn))的概念：若一個隨機過程均值和自相關函數(shù)或者

協(xié)方差不隨時間變化，即滿足

1.4(4)=4=const(2-72)

2.QCr,+r)=CV(/2,Z2+r)=...=Cx(r)-const(2-73)

兩個條件，即均值不隨時間變化，協(xié)方差也不與計時起點或時間原點有關，只

與時差7有關。這樣的隨機過程稱為廣義平穩(wěn)隨機過程。工程中的平穩(wěn)的含義

通常是指廣義平穩(wěn)。平穩(wěn)隨機過程的協(xié)方差

協(xié)方差的一個重要性質(zhì)是:在隨機過程上增加一個確定性函數(shù)并不改變協(xié)方差函

數(shù)。例如：x（f）的均值為從⑺和協(xié)方差GG/）,〃⑺是一個確定函數(shù)，則

yQ）=x（t）+〃⑺的協(xié)方差不變。

顯然：當〃⑺=-〃,“）時有，y（t）=x（f）-z（f）,且丫⑺的均值為零，

。,、（4,，2）=Cr（，l12）0

所以對協(xié)方差的要求就和對自相關函數(shù)的要求一樣。此外，對平穩(wěn)隨機過

程而言，有時為了簡化運算而假設平穩(wěn)隨機過程均值為零，工程中有許多過程

為零。

注意：由上述平穩(wěn)隨機過程定義可知，滿足這個定義的隨機過程的樣本函

數(shù)無限長，而且在整個（0,+00）上統(tǒng)計特性對時間參數(shù)原點的選取有一定的均勻

性，即與參數(shù)f的初始時刻選取無關，而實際的隨機過程通常很難滿足這個條

件，因此在實際工程問題處理中，只要一個隨機過程在一個較長的區(qū)間上呈現(xiàn)

上述均勻性，就可以近似看作平穩(wěn)隨機過程。例如，火車在啟動和停止階段，

就不滿足均勻性的假設，但在中間較長一段時間內(nèi)是基本勻速行駛的，因此可

看作廣義平穩(wěn)過程。

2.4隨機過程的時域描述

隨機振動的時域描述主要指時差域描述，用隨機過程不同時刻之間的相關

情況來描述隨機振動。這里主要指平穩(wěn)隨機過程，而且通常還假設均值為零。

2.4.1各態(tài)歷經(jīng)隨機過程

平穩(wěn)隨機過程的均值和方差不依賴于時間，均值可由任意時刻的多個樣本

的集合平均求得，協(xié)方差也僅取決于作相關的時差「，但仍需對隨機過程進行

大量觀測，取得足夠多的樣本函數(shù)，盡管樣本函數(shù)可能不需要很長，但工作量

仍然是很大的。因此就猜想能否用僅用一個足夠長的樣本來代替大量樣本構成

的總體，用該樣本的時間平均特性代替樣本空間的集合平均特性呢？為此引入

樣本函數(shù)時間平均概念。

設平穩(wěn)隨機過程X⑺任一樣本函數(shù)為不⑺，下文為書寫簡便用X⑺代替任一

無限長樣本函數(shù)，其時間均值定義為：

T

4=/〈X（f）\）=..1C，90（2-74）

時間平均意義下的自相關函數(shù)定義為:

1y

??A.(r)=(X(Z)X(r+r))=lim—￡x(r)x(r+r)dt(2-75)

時間平均意義下的均方值當r=0時有，

"(0)=(X?)X(f?=M=limi[，⑺力(2-76)

時間平均意義下的方差定義為

瓏—4)2"㈣"：(x⑺—〃,.)2山(2-77)

各態(tài)歷經(jīng)隨機過程：對一個平穩(wěn)隨機過程，若有

E[X(/)]=(X(f))=4(2-78)

則稱該平穩(wěn)隨機過程關于均值遍歷。若有

(X(f)X(f+7))=E[X(r)X(r+r)]=/?v(r)(2-79)

則稱過程關于相關函數(shù)具有遍歷性。具有一定遍歷性的隨機過程稱為遍歷過

程，或稱各態(tài)歷經(jīng)隨機過程。也可以寫成如下形式：

(Xj(/?=￡[X(。)](均值遍歷)(2-80)

(X?)X,C+T))=E[X(O)X/+T)](相關函數(shù)遍歷)(2-81)

其中，，為樣本函數(shù)編號，/為時間采樣點編號。

平穩(wěn)隨機過程遍歷的基本含義就是樣本函數(shù)的總體統(tǒng)計特征等于單個樣本在

較長時間段內(nèi)的時間統(tǒng)計特征。

2.4.2平穩(wěn)隨機過程的自相關函數(shù)

根據(jù)前述的集合平均意義以及時間平均意義上的自相關函數(shù)定義，可以得

到其性質(zhì)如下：

1T

1.R、(0)=&Hx(r)M)?力=際20(2-82)

2.|/?v(r)|</?v(0)(2-83)

證明：

由于

所以

由此有

說明隨機變量與自身的相關性最好。

3.&(7)=&(-T)(2-84)

證明：&(r)=limyJ；x(t)x(t+T)dt

令，t—+di'

所以有

由平穩(wěn)性定義也可以直接得到&(T)是偶函數(shù)這個性質(zhì)。

4.lim/?v(r)=O(2-85)

r—>oo

通常實際的物理系統(tǒng)總是有一點耗散的，隨著時差的增大，一般來說隨機

過程的相關性有所減弱，而且當「到8時有，尺(7)趨向于0。

2.4.3互相關函數(shù)

在隨機振動分析中，通常要用到來自兩個不同隨機過程的相關，例如隨機激

勵力與隨機振動響應的相關情況，還有兩個以上不同的隨機激勵力作用在同一

結構上等情況。對各態(tài)歷經(jīng)的隨機過程XQ),y(r),互相關函數(shù)定義為：

=lim—1[T+(2-86)

,X->00TJ。

性質(zhì)：

一般不對稱(2-87)

2.勺⑺=5”(—7)(2-88)

f

證明：7?vv(r)=limy￡x(f)y{t+r)dt

令t+T=t',dt=df,t=t'-r

例2-1：%(。與馬⑺為兩個平穩(wěn)隨機過程，求=。內(nèi)”)+”2工2⑺自相關函數(shù)

解：

對均值為零的平穩(wěn)隨機過程，若相互獨立則有q,,(7)=0,即&V(T)=0

2.5隨機過程的頻域描述：

2.5.1典型函數(shù)的傅里葉變換

x(f)的連續(xù)傅里葉定義為：

X(0)=「％(/)??.出(2-89)

J-00J-O0

x(t)=——「'X⑼?e^dco(2-90)

2萬卜

線性性質(zhì)：

以⑺+by(t)=aX(m+Z?Y(co)(2-91)

對稱性質(zhì)：

xQ)0X(co)

(2-92)

x(-t)。X(一⑼

平移性質(zhì)：

必±幻0乂(0)".

(2-93)

X(<y±?y0)<=>尤(f)e'

變標尺性

八、1一一CD、

x(kt)<=>—X(—)

kk(2-94)

X(kty)o：x(()

共輾性

X*(o)=X(-0)(2-95)

微分特性

北。)=icoX(CO)

.(2-96)

無⑺o-"X(0)

乘積與卷積特性

%⑺?W⑺。X|(⑼*x2(<y)

%(①)?X2(0)oXj⑺*x2(t)

典型函數(shù)的傅里葉變換

1.脈沖函數(shù)

定義：

若有「'b?).左=1,稱為單位脈沖函數(shù)，其性質(zhì)為

J-00

傅里葉變換為

/⑼=?[?(/)]=r必)?e-jMdt=「'8(t-0)-eiMdt=e"°=1(2-98)

J-30J-CO

J(r)=Fl[<y(?)]=—f，Z3(co)-eiMd(o=eiMd(o(2-99)

2兀-

可以得出如下結論：

+00

JeiMd(o=1n8(t}(2-100)

-00

2.正余弦函數(shù)sin69(j,cosG(J的傅里葉變換

j(i(v

F[cosa)Qt]=gF[e^+e~]=g[2而儂-0)+2砌-例)一①)]=乃[3?+跳)+3(①-①0)](2-101)

1.1

+J(l)bt

F[sin(Dot]=—:F[e-—；[2?(g-幻)一2乃5(一/一⑼]

2j2/(2-102)

=-5(°-跳)一53+%)]=%膽(。+%)*3一⑻]

j

3.單位指數(shù)函數(shù)—"〃⑺?>0

F[e-a,u(t)]=「"e-a'u(t)-e-iMdt=fe"e"dr=f"叱如你=―-—(2-103)

J-()oa+jco

4.矩形脈沖函數(shù)

X(<y)=「"加)9的力=/a-e-j,0,dt=^-(e-jaT-ejaT)=-^(-2;sin(oT)=—sin(oT(2-104)

JFJ-R(0(00)

若TfO,則矩形函數(shù)相應于矩形脈沖，則有

X(a))=—coT=2aT=a-2T,為矩形脈沖T的面積。

co

252功率譜密度函數(shù)

相關函數(shù)的傅里葉變換稱為功率譜密度函數(shù)(Powerspectraldensity

function),自相關函數(shù)的傅里葉變換稱為自功率譜密度函數(shù)，互相關函數(shù)的傅

里葉變換稱為互功率譜密度函數(shù)。分別敘述：

自功率譜密度函數(shù)

定義1：自相關函數(shù)的傅里葉變換

S、.(3)=[Rv⑺6-師公或(2-105)

(2-106)

也可以說自相關函數(shù)是自功率譜密度函數(shù)的逆傅里葉變換，即

&e)=(1'S,kco)ei<aTd(o或

(2-107)

R,(r)=J：S,(/iW(2-108)

由于6(0)表示均方值，因此上式當7=0時有

6(0)=/=J：S")4(2-109)

所以S,(7)在整個頻帶上的積分等于它的均方值，可以說，S,(7)表示x⑺在單

位帶寬內(nèi)具有的能量，具有能量(或功率)的密度的概念，所以稱為功率譜密

度。

所以也有如下的定義：

1

92

Sv(/)=lim-|x(/)|,(2-110)

r->8]11

可以證明這兩個定義是等價的。

證明：

同時有

由于對任意的隨機函數(shù)X"),上兩式均成立，因此有：

自功率譜性質(zhì)：

表示振動功率按頻率的分布

1.5,3)20(2-111)

2.4(0)=⑼4(2-112)

所以S,表示單位頻帶上信號的能量

3.自功率譜是偶函數(shù)

f+OO

=SK(a>)=2￡7?v(r)cos<yrJr(2-113)

互功率譜密度函數(shù)：

對應的互功率譜也有兩個等價定義

1.，(⑼=匚RqW4或Sxy(f)=匚R,,(7)e-J2"r.八(2-114)

2.S")=lim"/W)(2-115)

rT-X?/

互功率譜密度函數(shù)性質(zhì)：

互功率譜密度函數(shù)一般是復數(shù)，不對稱，且有

"3—)=黑3)(2-116)

證明：

對于實際的信號，一般沒有負頻率的概念，前述的意義是在(F,”)上，這僅

僅是理論上的定義，因此工程上便于應用，把負頻率的譜密度折算到正的頻率

上去，由S,(⑼是偶函數(shù)，所以定義:

2S(co')0<?<+00

(2-117)

八［0(y<0

移為單邊自譜密度函數(shù)，對應S*⑼稱雙邊自譜密度函數(shù)。

廣8

GV(69)=2SA.(69)=4￡Rx(T)coscordr(co>0)(2-118)

單邊自譜下的面積同樣等于均方值，因為：

+

=——jSx(a))dco=——￡2Sx{co)dco=——jGx(co)dco(2-119)

類似的定義單邊上的互譜密函數(shù)：

2S,,(⑼69>0

Gy3)=<(2-120)

0CO<0

對應的稱為雙邊互譜密度函數(shù)。

相干函數(shù)：

在時域內(nèi)用相關系數(shù)表示兩個隨機變量的相關程度，同樣在頻域內(nèi)也定義一個

類似的無量綱數(shù)來表示隨機函數(shù)的相關程度。

2,、1%(叫

(2-121)

S、.(0)Sv(。)

可以證明:

片，3)wi(2-122)

相干函數(shù)可以用來檢查系統(tǒng)是否有隨機干擾和非線性干擾，即如果片接近于

1,表示所經(jīng)過的系統(tǒng)非線性程度很小，噪聲干擾也很小，反之干擾比較大，得

到的譜密度函數(shù)不可信，因為輸出y不完全是由輸入x引起的。一