3年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)奧數(shù)講義 第05講 多重周期問(wèn)題（教師版）

第5講多重周期問(wèn)題

三年級(jí)秋季

知識(shí)點(diǎn)

一、多重周期問(wèn)題

1、多重周期解題思路：

(1)分別根據(jù)各自的周期計(jì)算結(jié)果，最后加以組合.

(2)找到公共周期，并歸納出公共周期內(nèi)的具體情況，再進(jìn)行計(jì)算.

2、由于公共周期必須同時(shí)是兩個(gè)規(guī)律甚至更多規(guī)律的周期，所以公共周期的長(zhǎng)度必須是這些周期長(zhǎng)度的

公倍數(shù).一般的，要找最小的那個(gè)，稱之為最小公倍數(shù).

3、對(duì)于報(bào)數(shù)問(wèn)題一般有兩種：

.第一種是兩次報(bào)數(shù)都是同向的.

第二種是第一.次報(bào)數(shù)是從左向右，第二次報(bào)數(shù)卻是從右到左，這時(shí)可以將反向的周期轉(zhuǎn)化為同向的周期

問(wèn)題.

"知識(shí)精講

在之前我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了兩講周期問(wèn)題，實(shí)際生活中還存在一類更加復(fù)雜的周期規(guī)律.我們已經(jīng)知道周

期現(xiàn)象無(wú)處不在，那么自然的，這些周期現(xiàn)象就很可能組合起來(lái)，產(chǎn)生更復(fù)雜的規(guī)律.多重周期在怎么復(fù)

雜也是由多個(gè)單一周期所組成的，所以我們可以有兩種解題思路.

叔2課堂例題

一、多重周期問(wèn)題

1、如圖所示，表格中每行的文字都是循環(huán)出現(xiàn)的：第一行是“大灰狼”3個(gè)漢字不斷重復(fù)，第二行是“壞人”2

個(gè)漢字不斷重復(fù).那么，第200列中從上到下是哪2個(gè)漢字？

大灰狼大灰狼大灰狼..

壞人壞人壞人壞人壞..

【答案】

灰人

【解析】

根據(jù)每行周期直接計(jì)算第200列的數(shù).第一行周期為3,200÷3=66......2,所以第200列第一行為灰.同

理，第二行周期為2,2∞÷2=100,所以第200列第二行為人.綜上，第200列中從上到下是灰人.

2、用“瘋、狂、原、始、人”5個(gè)字，在一張方格紙中自左上到右下的斜行里按順序循環(huán)填入.那么第84

行84列交叉處填入的字是.

瘋狂原始人???

狂原始人???

原始人???

始人???

人…

???

A.瘋

B.狂

C.原

D.始

E.人

【答案】

B

【解析】

84÷5=16......4,所以第84行的第一個(gè)字是始，第80行依次為“始、人、瘋、狂、原”循環(huán)出現(xiàn)，所以這

一行的第84個(gè)字是狂.所以第84行84列交叉處填入的字是狂，答案為B.

3、如圖所示，表格中每行的文字都是循環(huán)出現(xiàn)的：第一行是“胡蘿卜”3個(gè)漢字不斷重復(fù)，第二行是“兔子”2

個(gè)漢字不斷重復(fù)，那么第3次從上到下出現(xiàn)“胡子''這2個(gè)字是在第多少列？

胡蘿卜胡蘿卜胡蘿卜

兔子兔子兔子兔子兔....

【答案】

16

【解析】

第一行周期為3,第二行周期為2,所以公共周期為6.每個(gè)周期有1個(gè)“胡子”，在第四個(gè)，所以第3次

從上到下出現(xiàn)“胡子”這2個(gè)字是在第2x6+4=16列.

胡蘿卜胡蘿卜胡蘿卜..

兔子兔子兔子兔子兔..

4、如圖所示，表格中每行的文字都是循環(huán)出現(xiàn)的：第一行是“高興”2個(gè)漢字不斷重復(fù)，第二行是“要堅(jiān)強(qiáng)”3

個(gè)漢字不斷重復(fù)，第三行是“做事情要果斷“6個(gè)漢字不斷重復(fù).那么，第IOO列中從上到下是哪三個(gè)字？

高興高興高興高興高興???

要堅(jiān)強(qiáng)要堅(jiān)強(qiáng)要堅(jiān)強(qiáng)要???

做事情要果斷做事情要???

【答案】

興要要

【解析】

根據(jù)每行周期直接計(jì)算第100列的數(shù).第一行周期為2,100+2=50,所以第100列第一行為興.同理，

第二行周期為3,100+3=33......1,所以第100列第二行為要.第三行周期為6,100÷6=16......4,所以

第100列第三行為要.綜上，第100列中從上到下是興要要.

5、如圖，觀察圖中圖形的規(guī)律：

(1)第200個(gè)圖形應(yīng)該是下面A、B、C、。四個(gè)圖形中的哪一個(gè)？

(2)這200個(gè)圖形中出現(xiàn)了多少個(gè)A圖形？

【答案】

⑴42)81

【解析】

(1)從圖形形狀上分析，5個(gè)一周期，200÷5=40,所以形狀為五角星.從圖形顏色分析，3個(gè)一周期，白，

黑，黑.200+3=66……2,所以顏色為黑.那么，第200個(gè)圖形應(yīng)該是下面4圖所示圖形.

(2)從圖形形狀上分析，5個(gè)一周期，從圖形顏色分析，3個(gè)一周期，所以公共周期為15,每周期有6個(gè)A

圖形，200÷15=13.....5,余下的不完整周期中有3個(gè)A圖形，所以共有13x6+3=81個(gè).

二、報(bào)數(shù)問(wèn)題

6、1201名士兵排成一橫排，第一次從左到右1至3循環(huán)報(bào)數(shù)，第二次從左到右1至4循環(huán)報(bào)數(shù).那么兩

次都報(bào)1的士兵有多少名？

【答案】

IOl

【解析】

把士兵兩次報(bào)數(shù)寫出來(lái)，找到周期.第一行周期為3,第二行周期為4,公共周期為12,每周期有I名兩

次都報(bào)1的士兵，且為每周期的第1個(gè).1201÷12=100……1,所以兩次都報(bào)1的士兵有100+1=101個(gè).

1231231231231.........

]■"■■?????∣—

1234123412341.........

7、303名士兵排成一排，第一次從左到右1至3循環(huán)報(bào)數(shù)，第二次從右到左1至2循環(huán)報(bào)數(shù).請(qǐng)問(wèn)：有多

少名士兵兩次所報(bào)數(shù)相同？

【答案】

102

【解析】

第二行從右向左1至2循環(huán)報(bào)數(shù)，303÷2=151......1,所以最左邊的人報(bào)1.把士兵兩次報(bào)數(shù)寫出來(lái)，找到

周期.第一行周期為3,第二行周期為2,公共周期為6,每周期有2名士兵所報(bào)數(shù)相同，是每周期的第一、

第二個(gè)?303÷6=50……3,剩余的不完整周期里有2個(gè)士兵報(bào)數(shù)相同，所以兩次報(bào)數(shù)相同的士兵有

50x2+2=102個(gè).

123I231231231

I21212121212I

8、.有六十多人站成一行，從左到右由1開(kāi)始按1~4依次循環(huán)報(bào)數(shù)，然后從右到左由1開(kāi)始按1~3依次循

環(huán)報(bào)數(shù)，最后發(fā)現(xiàn)剛好有12個(gè)人既報(bào)了I又報(bào)了2.請(qǐng)問(wèn)：這一行最少有多少人？最多有多少人？

【答案】

最少62人；最多69

【解析】

(1)①根據(jù)題意，假設(shè)這一行最少有61人，給這61人編為1號(hào)、2號(hào)……61號(hào).第二次報(bào)數(shù)時(shí)，61人從

右到左1~3循環(huán)報(bào)數(shù)，他們報(bào)的數(shù)以3為周期.61÷3=201,那么1號(hào)人在第二次報(bào)數(shù)時(shí)報(bào)的是1,

而2號(hào)人第二次報(bào)的是3?寫到第13號(hào)人時(shí)，發(fā)現(xiàn)他與1號(hào)人報(bào)的一樣，第一次報(bào)1,第二次報(bào)L類似

地，14號(hào)人與2號(hào)人兩次報(bào)的數(shù)也一樣，那么綜合考慮這些人兩次報(bào)的數(shù)，發(fā)現(xiàn)是以12為周期的.其中

每個(gè)周期既報(bào)了1又報(bào)了2的有2人.61÷12=51,在5個(gè)完整的周期里既報(bào)1又報(bào)2的有5x2=10

人，余1人兩次都報(bào)1,所以61人中既報(bào)了1又報(bào)了2有10人，不合題意，舍去.

編號(hào):234567891011121314

第一次:234234?2342

第二次:32321321323

②根據(jù)題意，假設(shè)這一行最少有62人,同理，得62÷3=202,那么1號(hào)人在第二次報(bào)數(shù)時(shí)報(bào)的是2,

而2號(hào)人第二次報(bào)的是1.同樣發(fā)現(xiàn)是以12人為一周期,其中每個(gè)周期既報(bào)了1又報(bào)了2的有2

人.62÷12=52,在5個(gè)完整的周期里既報(bào)1又報(bào)2的有5x2=10人,余2人都既報(bào)1又報(bào)2,所以

62人中既報(bào)了1又報(bào)了2有10+2=12人,符合題意，所以最少有62人.

編號(hào)：1234567891011121314

第一次：Q2342342342

第二次：\232323232

(2)根據(jù)題意，假設(shè)這一行最多有69人，同理，得69÷3=23,那么1號(hào)人在第二次報(bào)數(shù)時(shí)報(bào)的是3,而2

號(hào)人,第二次報(bào)的是2.同樣發(fā)現(xiàn)是以12人為一周期，其中每個(gè)周期既報(bào)了1又報(bào)了2的有2

人.69÷12=59,在5個(gè)完整的周期里既報(bào)1又報(bào)2的有5x2=10人，余9人中有2人既報(bào)1又報(bào)2,

所以69人中既報(bào)了1又報(bào)了2有10+2=12人，符合題意,所以最多有69人.

編號(hào):234567891011121314

第一次：1234342342

第二次：323≡J323232

9、66名士兵排成一列橫隊(duì),第一次從左到右1至5循環(huán)報(bào)數(shù),第二次從左到右1至2循環(huán)報(bào)數(shù)，那么,

兩次都報(bào)2的有多少名？既報(bào)1又報(bào)2的士兵有多少名？

【答案】

7,13

【解析】

把士兵兩次報(bào)數(shù)寫出來(lái)，找到周期.第一行周期為5,第二行周期為2,公共周期為10,每周期有1名兩

次都報(bào)2的士兵，在第二個(gè).66÷10=6......6,所以兩次都報(bào)2的有6χl+l=7名.每周期既報(bào)1又報(bào)2

的士兵有2名，在第六、第七個(gè)，所以既報(bào)1又報(bào)2的士兵有6x2+1=13個(gè).

1234512345123

1212121212123

隨堂練習(xí)

fe,表格中每行的文字都是循環(huán)出現(xiàn)的：第一行是“小雞燉蘑菇”5個(gè)漢字不斷重復(fù)，第二行是“宮

保雞丁”4個(gè)漢字不斷重復(fù)，第三行則是“回鍋肉”3個(gè)漢字不斷重復(fù).那么，第121列中從上到下依次是哪

3個(gè)字?

小雞燉蘑菇小雞燉蘑???

保.

宮保雞T宮雞T宮???

回鍋肉回鍋肉回鍋肉???

【答案】

小宮回

【解析】

根據(jù)每行周期直接計(jì)算第200列的數(shù).第一行周期為5,121÷5=24……1,所以第121列第一行為小.同

理，第二行周期為4,121+4=30......1,所以第121列第二行為宮.第三行周期為3,121÷3=40......1,

所以第121列第三行為回.綜上，第121列中從上到下是小宮回.

2、如圖，用“原、始、人”3個(gè)字，在一張方格紙中自左上到右下的斜行里按順序循環(huán)填入.那么第88行

18列交叉處填入的字是什么？

?

始人

k

【答案】

人

【解析】

要想找第88行第18列的字是什么，可以先確定第88行第1列的數(shù)是什么?88÷3=29......1,所以第88

行第1列是原，這一行是：原始人，原始人…….18÷3=6,所以第88行18列交叉處填入的字是人.

3、2010名學(xué)生排成一隊(duì)，先從排頭向排尾1至2報(bào)數(shù)，再?gòu)呐盼蚕蚺蓬^1至5報(bào)數(shù).兩次分別報(bào)了1和

4的同學(xué)有多少人？

【答案】

201

【解析】

把學(xué)生兩次報(bào)數(shù)寫出來(lái)，找到周期.第一行周期為2,第二行周期為5,公共周期為10,每周期有1名兩

次分別報(bào)了1和4的同學(xué).2010÷IO=201,所以兩次分別報(bào)了1和4的同學(xué)有201個(gè).

1212121212121

1234512345123

4、100名士.兵排成一橫排，第一次從左到右1至3循環(huán)報(bào)數(shù)，第二次從右到左1至4循環(huán)報(bào)數(shù).請(qǐng)問(wèn)：既

報(bào)2又報(bào)3的士兵有多少名？

【答案】

18

【解析】

第二行從右向左1至4循環(huán)報(bào)數(shù)，100÷4=25,所以最左邊的人報(bào)4.把士兵兩次報(bào)數(shù)寫出來(lái)，找到周期.第

一行周期為3,第二行周期為4,公共周期為12,每周期有2名士兵既報(bào)2又報(bào)3,是每周期的第二、第

三個(gè).100÷12=8......4,剩余的不完整周期里有2個(gè)士兵報(bào)數(shù)相同,所以兩次報(bào)數(shù)相同的士兵有8x2+2=18

個(gè).

1231231231231

4321432143214

課后作業(yè)

,第一行是“1、2、3”三個(gè)數(shù)字不斷重復(fù)，第二行是“4、5”兩個(gè)數(shù)字不斷重復(fù)，那么第27列從

上到下的兩個(gè)數(shù)字之和是.

123123123......

454545454......

【答案】

7

【解析】

根據(jù)每行周期直接計(jì)算第27列的數(shù).第一行周期為3,27÷3=9,所以第27列第一行為3.同理，第二

行周期為2,27÷2=13……1,所以第27列第二行為4.綜上,第27列中.從上到下的兩個(gè)數(shù)字之和是3+4=7.

2、在下表中，第一行是“1、2、3”三個(gè)數(shù)字不斷重復(fù)，第二行是“4、5”兩個(gè)數(shù)字不斷重復(fù)，那么第IOO列

從上到下的兩個(gè)數(shù)字之差是.

123123123......

454545454......

【答案】

4

【解析】

根據(jù)每行周期直接計(jì)算第100列的數(shù).第一行周期為3,100÷3=33......I,所以第100列第一行為L(zhǎng)同

理，第二行周期為2,100÷2=50,所以第100列第二行為5.綜上，第100列中從上到下的兩個(gè)數(shù)字之

差是5-1=4.

3、如圖所示，表格中每行的文字都是循環(huán)出現(xiàn)的：第一行是“中國(guó)”兩個(gè)漢字不斷重復(fù)，第二行是“大家庭”

三個(gè)漢字不斷重復(fù)，那么這70列從上到下出現(xiàn)“國(guó)家”這兩個(gè)字有次.

中國(guó)中國(guó)中國(guó)中國(guó)中......

大家庭大家庭大家庭......

【答案】

12

【解析】

第一行周期為2,第二行周期為3,公共周期為6,每周期會(huì)出現(xiàn)一次“國(guó)家”，在第2個(gè).70÷6=ll......4,

所以這70列從上到下出現(xiàn)“國(guó)家”這兩個(gè)字有11xl+1=12次.

4、如圖所示，表格中每行的文字都是循環(huán)出現(xiàn)的：第一行是“魚(yú)頭兩吃”四個(gè)漢字不斷重復(fù)，第二行是“小

炒肉，，三個(gè)漢字不斷重復(fù)，那么第5次從上到下出現(xiàn)“魚(yú)肉”這兩個(gè)字是在第列.

魚(yú)頭兩吃魚(yú)頭兩吃魚(yú)......

小炒肉小炒肉小炒肉......

【答案】

57

【解析】

第一行周期為4,第二行周期為3,公共周期為12,每周期會(huì)出現(xiàn)一次“魚(yú)肉”，在第9個(gè).所以第5次從

上到下出現(xiàn)“魚(yú)肉”這兩個(gè)字是在第12x4+9=57列.

5、108名學(xué)生排成一橫排，第一次從左到右1至2循環(huán)報(bào)數(shù)，第二次從左到右1至5循環(huán)報(bào)數(shù).那么，第

一次報(bào)1而第二次報(bào)5的學(xué)生有名.

【答案】

11

【解析】

把學(xué)生兩次報(bào)數(shù)寫出來(lái)，找到周期.第一行周期為2,第二行周期為5,公共周期為10,每周期有1名第

一次報(bào)1而第二次報(bào)5的學(xué)生.108÷10=10........8,所以第一次報(bào)1而第二次報(bào)5的學(xué)生有10x1+1=11個(gè).

121212?212121

1234512345123

6、152名士兵排成一列橫隊(duì)，第一次從左到右1至5循環(huán)報(bào)數(shù)，第二次從左到右1至3循環(huán)報(bào)數(shù).那么,

兩次均報(bào)1的士兵的有名.

【答案】

11

【解析】

把士兵兩次報(bào)數(shù)寫出來(lái)，找到周期.第一行周期為5,第二行周期為3,公共周期為15,每周期有1名兩

次均報(bào)1的士兵，在第一個(gè).152÷15=10.......2,所以兩次均報(bào)1的士兵有10x1+1=11個(gè).

1234512345123451

■II>>■?■■■!!?■

1231231231231231

7、在下面2行60列的方格.表中，第一行從左至右依次填“A”、"B”、"A”、“8”........第二行從右至左依次填

“1"、“2"、“3"、“1"、“2"、"3"........那么在方格表中，有列同時(shí)寫有“A”和“1”.

....

ABAB............

............321321

—

【答案】

10

【解析】

第二行從右至左依次填1、2、3,60÷3=20,所以最左邊為3.第一行周期為2,第二行周期為3,公共周

期為6,每周期有1列同時(shí)寫有和“1”.60÷6=10,所以在方格表中，有10列同時(shí)寫有和“1”.

ABABABABBAB

32132132......321

8、IOO名學(xué)生排成一橫排，第一次從左到右1至3循環(huán)報(bào)數(shù)，第二次從右到左1至2循環(huán)報(bào)數(shù).那么，第

一次報(bào)3而第二次報(bào)1的學(xué)生有名.

【答案】

16

【解析】

第二次從右到左1至2循環(huán)報(bào)數(shù)，100+2=50,所以最左邊的學(xué)生報(bào)2.第一次周期為3,第二次周期為2,

所以公共周期為6,每周期有1名