實(shí)際問題與一元二次方程完整版

實(shí)際(shíjì)問題與一元二次方程（一）第一頁，共四十九頁。增長(zhǎng)率問題(wèntí)第二頁，共四十九頁。

有一人患了流感,經(jīng)過兩輪傳染后共有121人患了流感,每輪傳染中平均一個(gè)(yīɡè)人傳染了幾個(gè)人?分析(fēnxī)

1第一輪傳染(chuánrǎn)后1+x第二輪傳染后1+x+x(1+x)解：設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了x個(gè)人.開始有一人患了流感,第一輪的傳染源就是這個(gè)人,他傳染了x個(gè)人,用代數(shù)式表示,第一輪后共有_____人患了流感;第二輪傳染中,這些人中的每個(gè)人又傳染了x個(gè)人,用代數(shù)式表示,第二輪后共有____________人患了流感.(x+1)1+x+x(1+x)1+x+x(1+x)=121解方程,得答:平均一個(gè)人傳染了________個(gè)人.10-12(不合題意,舍去)10通過對(duì)這個(gè)問題的探究,你對(duì)類似的傳播問題中的數(shù)量關(guān)系有新的認(rèn)識(shí)嗎?第三頁，共四十九頁。如果按照這樣(zhèyàng)的傳染速度,三輪傳染后有多少人患流感?121+121×10=1331人你能快速(kuàisù)寫出嗎?第四頁，共四十九頁。1.某種植物的主干(zhǔgàn)長(zhǎng)出若干數(shù)目的支干,每個(gè)支干又長(zhǎng)出同樣數(shù)目的小分支,主干,支干和小分支的總數(shù)是91,每個(gè)支干長(zhǎng)出多少小分支?主干(zhǔgàn)支干(zhīɡàn)支干……小分支小分支……小分支小分支…………xxx1解:設(shè)每個(gè)支干長(zhǎng)出x個(gè)小分支,則1+x+x●x=91即解得,x1=9,x2=－10(不合題意,舍去)答:每個(gè)支干長(zhǎng)出9個(gè)小分支.第五頁，共四十九頁。探究(tànjiū)2兩年前生產(chǎn)1噸甲種藥品的成本是5000元,生產(chǎn)1噸乙種藥品的成本是6000元,隨著生產(chǎn)技術(shù)的進(jìn)步,現(xiàn)在生產(chǎn)1噸甲種藥品的成本是3000元,生產(chǎn)1噸乙種藥品的成本是3600元，哪種藥品成本的年平均(píngjūn)下降率較大?

分析(fēnxī):甲種藥品成本的年平均下降額為

(5000-3000)÷2=1000(元)

乙種藥品成本的年平均下降額為

(6000-3600)÷2=1200(元)乙種藥品成本的年平均下降額較大.但是,年平均下降額(元)不等同于年平均下降率(百分?jǐn)?shù))第六頁，共四十九頁。解:設(shè)甲種藥品成本的年平均(píngjūn)下降率為x,則一年后甲種藥品成本為5000(1-x)元,兩年后甲種藥品成本為5000(1-x)2

元,依題意得解方程,得答:甲種藥品成本的年平均(píngjūn)下降率約為22.5%.算一算:乙種藥品成本的年平均下降(xiàjiàng)率是多少?比較:兩種藥品成本的年平均下降率22.5%(相同)第七頁，共四十九頁。經(jīng)過計(jì)算,你能得出什么結(jié)論?成本下降額較大的藥品(yàopǐn),它的成本下降率一定也較大嗎?應(yīng)怎樣全面地比較對(duì)象的變化狀況?

經(jīng)過計(jì)算,成本(chéngběn)下降額較大的藥品,它的成本下降率不一定較大,應(yīng)比較降前及降后的價(jià)格.第八頁，共四十九頁。熱身1：二中小明學(xué)習(xí)非常認(rèn)真，學(xué)習(xí)成績(jī)直線上升(shàngshēng)，第一次月考數(shù)學(xué)成績(jī)是a分，第二次月考增長(zhǎng)了10%，第三次月考又增長(zhǎng)了10%，問他第三次數(shù)學(xué)成績(jī)是多少？分析(fēnxī)：第三次第二次第一次aaX10%a+aX10%=a（1+10%）X10%a(1+10%)+a(1+10%)X10%=a（1+10%）2a（1+10%）第九頁，共四十九頁。熱身2：某經(jīng)濟(jì)開發(fā)區(qū)今年一月份工業(yè)產(chǎn)值達(dá)50億元，三月份產(chǎn)值為72億元，問二月、三月平均(píngjūn)每月的增長(zhǎng)率是多少？解：設(shè)平均每月增長(zhǎng)的百分率為x，根據(jù)(gēnjù)題意得方程為50(1+x)2=72

可化為：解得：答：二月(èryuè)、三月平均每月的增長(zhǎng)率是20%第十頁，共四十九頁。小結(jié)(xiǎojié)

類似地這種增長(zhǎng)率的問題在實(shí)際生活普遍存在,有一定(yīdìng)的模式若平均(píngjūn)增長(zhǎng)(或降低)百分率為x,增長(zhǎng)(或降低)前的是a,增長(zhǎng)(或降低)n次后的量是b,則它們的數(shù)量關(guān)系可表示為其中增長(zhǎng)取+,降低?。谑豁?，共四十九頁。例1：平陽按“九五”國民經(jīng)濟(jì)發(fā)展規(guī)劃要求(yāoqiú)，2003年的社會(huì)總產(chǎn)值要比2001年增長(zhǎng)21%，求平均每年增長(zhǎng)的百分率．（提示：基數(shù)為2001年的社會(huì)總產(chǎn)值，可視為a）設(shè)每年(měinián)增長(zhǎng)率為x，2001年的總產(chǎn)值為a，則2001年a2002年a（1+x)2003年a(1+x)2增長(zhǎng)21%aa+21%aa(1+x)2=a+21%a分析(fēnxī)：第十二頁，共四十九頁。a(1+x)2=1.21a(1+x)2=1.21

解:設(shè)每年(měinián)增長(zhǎng)率為x，2001年的總產(chǎn)值為a，則a(1+x)2=a+21%a答:平均(píngjūn)每年增長(zhǎng)的百分率為10%

．第十三頁，共四十九頁。練習(xí)1：某藥品(yàopǐn)經(jīng)兩次降價(jià)，零售價(jià)降為原來的一半.已知兩次降價(jià)的百分率一樣，求每次降價(jià)的百分率.（精確到0.1%）

解：設(shè)原價(jià)為1個(gè)單位，每次降價(jià)(jiànɡjià)的百分率為x.根據(jù)題意，得

解這個(gè)(zhège)方程，得

答：每次降價(jià)的百分率為29.3%.

第十四頁，共四十九頁。練習(xí)2:某藥品兩次升價(jià)，零售價(jià)升為原來(yuánlái)的1.2倍，已知兩次升價(jià)的百分率一樣，求每次升價(jià)的百分率（精確到0.1%）解，設(shè)原價(jià)為元，每次升價(jià)的百分率為，根據(jù)(gēnjù)題意，得

解這個(gè)(zhège)方程，得

由于升價(jià)的百分率不可能是負(fù)數(shù)，所以不合題意，舍去答：每次升價(jià)的百分率為9.5%.

第十五頁，共四十九頁。典型(diǎnxíng)練習(xí)題1、一件商品原價(jià)200元經(jīng)過(jīngguò)兩次降價(jià)后162元，求：平均降價(jià)的百分比2、某班同學(xué)在圣誕節(jié)期間互贈(zèng)禮物182件，求：這個(gè)班級(jí)的人數(shù)3、某校進(jìn)行乒乓球單循環(huán)比賽，共比賽55場(chǎng)，問：共有多少名同學(xué)參加第十六頁，共四十九頁。實(shí)際(shíjì)問題與一元二次方程（二）面積(miànjī)、體積問題第十七頁，共四十九頁。復(fù)習(xí)：列方程解應(yīng)用題有哪些步驟

對(duì)于這些步驟，應(yīng)通過解各種類型的問題，才能深刻體會(huì)與真正掌握列方程解應(yīng)用題.

上一節(jié)，我們學(xué)習(xí)了解決“平均增長(zhǎng)(zēngzhǎng)(下降)率問題”，現(xiàn)在，我們要學(xué)習(xí)解決“面積、體積問題.面積、體積(tǐjī)問題第十八頁，共四十九頁。復(fù)習(xí)(fùxí)引入1．直角三角形的面積公式是什么？一般三角形的面積公式是什么呢？

2．正方形的面積公式是什么呢？長(zhǎng)方形的面積公式又是什么？

3．梯形(tīxíng)的面積公式是什么？

4．菱形的面積公式是什么？

5．平行四邊形的面積公式是什么？

6．圓的面積公式是什么？第十九頁，共四十九頁。如圖，要設(shè)計(jì)一本書的封面，封面長(zhǎng)27cm，寬21cm，正中央是一個(gè)與整個(gè)封面長(zhǎng)寬比例相同的矩形．如果要使四周的彩色邊襯所占面積是封面面積的四分之一，上、下邊襯等寬，左、右邊襯等寬，應(yīng)如何設(shè)計(jì)四周邊襯的寬度(kuāndù)（精確到0.1cm）？探究1分析：封面(fēngmiàn)的長(zhǎng)寬之比為

，中央矩形的長(zhǎng)寬之比也應(yīng)是

，由此判斷上下邊襯與左右邊襯的寬度之比也是

.設(shè)上、下邊襯的寬均為9xcm，左、右邊襯的寬均為7xcm，則中央矩形的長(zhǎng)為

cm，寬為_____________cm．27：21＝9：79：79：7（21－14x）（27－18x）第二十頁，共四十九頁。分析:這本書的長(zhǎng)寬之比是9:7,正中央的矩形兩邊之比也為9:7,由此判斷(pànduàn)上下邊襯與左右邊襯的寬度之比也為9:7解法(jiěfǎ)一:設(shè)上下邊襯的寬為9xcm，左右邊襯寬為7xcm

依題意得合作(hézuò)探究達(dá)成目標(biāo)第二十一頁，共四十九頁。解方程，得上、下邊(xiàbian)襯的寬均為___________cm，左、右邊襯的寬均為___________cm.方程(fāngchéng)的哪個(gè)根合乎實(shí)際意義？為什么？約為1.809約為1.407x2更合乎實(shí)際意義，如果取x1約等于2.799，那么(nàme)上邊寬為9×2.799＝25.191.第二十二頁，共四十九頁。分析(fēnxī):這本書的長(zhǎng)寬之比是9:7,依題知正中央的矩形兩邊之比也為9:7解法二:設(shè)正中央的矩形兩邊分別(fēnbié)為9xcm，7xcm依題意得解得故上下邊襯的寬度(kuāndù)為:左右邊襯的寬度為:合作探究達(dá)成目標(biāo)第二十三頁，共四十九頁。例1、用22cm長(zhǎng)的鐵絲，折成一個(gè)面積(miànjī)為30cm2的矩形。求這個(gè)矩形的長(zhǎng)與寬.整理后，得x2-11x+30=0解這個(gè)(zhège)方程，得x1=5,x2=6(與題設(shè)不符(bùfú)，舍去)答：這個(gè)矩形的長(zhǎng)是6cm，寬是5cm。由x1=5得由x2=6，得解：設(shè)這個(gè)矩形的長(zhǎng)為xcm，則寬為（cm）.根據(jù)題意，得第二十四頁，共四十九頁。例2、在寬為20米、長(zhǎng)為32米的矩形(jǔxíng)地面上，修筑同樣寬的兩條互相垂直的道路，余下部分作為耕地，要使耕地面積為540米2，道路的寬應(yīng)為多少？32m20m第二十五頁，共四十九頁。則橫向的路面(lùmiàn)面積為

，32m20mx米分析：此題的相等關(guān)系是矩形(jǔxíng)面積減去道路面積等于540米2。解法(jiěfǎ)一、如圖，設(shè)道路的寬為x米，32x米2縱向的路面面積為

。20x米2注意：這兩個(gè)面積的重疊部分是x2

米2所列的方程是不是？圖中的道路面積不是米2第二十六頁，共四十九頁。而是從其中減去重疊部分，即應(yīng)是米2所以正確的方程是：化簡(jiǎn)得，其中的x=50超出了原矩形(jǔxíng)的長(zhǎng)和寬，應(yīng)舍去.取x=2時(shí)，道路總面積為：=100(米2)耕地面積==540（米2）答：所求道路(dàolù)的寬為2米。第二十七頁，共四十九頁。解法二：我們利用“圖形經(jīng)過平移(pínɡyí)，它的面積大小不會(huì)改變”的道理，把縱、橫兩條路平移一下，使列方程容易些（目的是求出路面的寬，至于實(shí)際施工，仍可按原圖的位置修路）第二十八頁，共四十九頁。32m20mxmxm耕地(gēng〃dì)矩形的長(zhǎng)（橫向）為

，耕地矩形(jǔxíng)的寬（縱向）為

。相等關(guān)系(guānxì)是：耕地長(zhǎng)×耕地寬=540米2(20-x)米（32-x)米即化簡(jiǎn)得：再往下的計(jì)算、格式書寫與解法1相同。（32-x)m(20-x)m第二十九頁，共四十九頁。練習(xí)1：用一根長(zhǎng)22厘米的鐵絲，能否折成一個(gè)面積是30厘米的矩形？能否折成一個(gè)面積為32厘米的矩形？說明(shuōmíng)理由。2：在一塊長(zhǎng)80米，寬60米的運(yùn)動(dòng)場(chǎng)外圍修筑了一條(yītiáo)寬度相等的跑道，這條跑道的面積是1500平方米，求這條跑道的寬度。第三十頁，共四十九頁。3.如圖，在長(zhǎng)為40米，寬為22米的矩形地面上，修筑兩條同樣寬的互相垂直的道路，余下(yúxià)的鋪上草坪，要使草坪的面積為760平方米，道路的寬應(yīng)為多少？40米22米第三十一頁，共四十九頁。4、如圖，在寬為20m，長(zhǎng)為32m的矩形耕地上，修筑(xiūzhù)同樣寬的三條道路，（兩條縱向，一條橫向，橫向與縱向相互垂直），把耕地分成大小相等的六塊試驗(yàn)地，要使試驗(yàn)地面積為570m2，問道路的寬為多少？第三十二頁，共四十九頁。例3、求截去的正方形的邊長(zhǎng)用一塊長(zhǎng)28cm、寬20cm的長(zhǎng)方形紙片，要在它的四角截去四個(gè)相等的小正方形，折成一個(gè)無蓋的長(zhǎng)方體盒子，使它的底面積為180cm２，為了有效(yǒuxiào)地利用材料，求截去的小正方形的邊長(zhǎng)是多少cm？第三十三頁，共四十九頁。求截去的正方形的邊長(zhǎng)分析設(shè)截去的正方形的邊長(zhǎng)為xcm之后(zhīhòu)，關(guān)鍵在于列出底面（圖中陰影部分）長(zhǎng)和寬的代數(shù)式．結(jié)合圖示和原有長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬，不難得出這一代數(shù)式．20-2x28-2x２８cm20cm第三十四頁，共四十九頁。求截去的正方形邊長(zhǎng)解：設(shè)截去的正方形的邊長(zhǎng)為xcm，根據(jù)(gēnjù)題意，得

(28-2x)(20-2x)=180x2-24x+95=0解這個(gè)(zhège)方程，得：x1=5,x2=19經(jīng)檢驗(yàn)：x2＝19不合題意(tíyì)，舍去．所以截去的正方形邊長(zhǎng)為５cm.第三十五頁，共四十九頁。例4:建造一個(gè)池底為正方形,深度為2.5m的長(zhǎng)方體無蓋蓄水池,建造池壁的單價(jià)(dānjià)是120元/m2,建造池底的單價(jià)是240元/m2,總造價(jià)是8640元,求池底的邊長(zhǎng).分析(fēnxī):池底的造價(jià)+池壁的造價(jià)=總造價(jià)解:設(shè)池底的邊長(zhǎng)是xm.根據(jù)(gēnjù)題意得:解方程得:∵池底的邊長(zhǎng)不能為負(fù)數(shù),∴取x=4答:池底的邊長(zhǎng)是4m.第三十六頁，共四十九頁。5、

在長(zhǎng)方形鋼片上沖去一個(gè)長(zhǎng)方形，制成一個(gè)四周寬相等的長(zhǎng)方形框。已知長(zhǎng)方形鋼片的長(zhǎng)為30cm，寬為20cm,要使制成的長(zhǎng)方形框的面積(miànjī)為400cm2，求這個(gè)長(zhǎng)方形框的框邊寬。

XX30cm20cm解:設(shè)長(zhǎng)方形框的邊寬為xcm,依題意(tíyì),得30×20–(30–2x)(20–2x)=400整理(zhěnglǐ)得x2–25x+100=0得x1=20,x2=5當(dāng)x=20時(shí),20-2x=-20(舍去);當(dāng)x=5時(shí),20-2x=10答:這個(gè)長(zhǎng)方形框的框邊寬為5cm第三十七頁，共四十九頁。列一元二次方程解應(yīng)題6、放鉛筆的V形槽如圖，每往上一層可以(kěyǐ)多放一支鉛筆．現(xiàn)有190支鉛筆，則要放幾層?解:要放x層,則每一層放(1+x)

支鉛筆(qiānbǐ).得x(1+x)=190×2

X＋X－380＝0解得X1＝19，

X2＝－20(不合題意)答:要放19層.2第三十八頁，共四十九頁。有關(guān)面積(miànjī)問題：常見(chánɡjiàn)的圖形有下列幾種：第三十九頁，共四十九頁。實(shí)際(shíjì)問題與一元二次方程（三）動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)(yùndòng)問題第四十頁，共四十九頁。有關(guān)(yǒuguān)“動(dòng)點(diǎn)”的運(yùn)動(dòng)問題”1)關(guān)鍵——以靜代動(dòng)把動(dòng)的點(diǎn)進(jìn)行(jìnxíng)轉(zhuǎn)換,變?yōu)榫€段的長(zhǎng)度,2)方法(fāngfǎ)——

時(shí)間變路程求“動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間”可以轉(zhuǎn)化為求“動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路程”，也是求線段的長(zhǎng)度;由此,學(xué)會(huì)把動(dòng)點(diǎn)的問題轉(zhuǎn)化為靜點(diǎn)的問題,是解這類問題的關(guān)鍵.3）常找的數(shù)量關(guān)系——

面積，勾股定理等；第四十一頁，共四十九頁。例1在矩形(jǔxíng)ABCD中,AB=6cm,BC=12cm,點(diǎn)P從點(diǎn)A開始以1cm/s的速度沿AB邊向點(diǎn)B移動(dòng),點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始以2cm/s的速度沿BC邊向點(diǎn)C移動(dòng),如果P、Q分別從A、B同時(shí)出發(fā)，幾秒后⊿PBQ的面積等于8cm2？解：設(shè)x秒后⊿PBQ的面積等于8cm2根據(jù)題意，得整理，得解這個(gè)方程，得所以2秒或4秒后⊿PBQ的面積等于8cm2第四十二頁，共四十九頁。例2：等腰直角⊿

ABC中,AB=BC=8cm,動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā),沿AB向B移動(dòng),通過點(diǎn)P引平行于BC,AC的直線與AC,BC分別交于R、Q.當(dāng)AP等于多少厘米(límǐ)時(shí),平行四邊形PQCR的面積等于16cm2?第四十三頁，共四十九頁。例3：⊿ABC中,AB=3,∠BAC=45°,CD⊥AB,垂足為D,CD=2,P是AB上的一動(dòng)點(diǎn)(不與A,B重合),且AP=x,過點(diǎn)P作直線l與AB垂直(chuízhí).i)設(shè)⊿ABC位于直線l左側(cè)部分的面積為S,寫出S與x之間的函數(shù)關(guān)系式;ii)當(dāng)x為何值時(shí),直線l平分⊿ABC的面積?第四十四頁，共四十九頁。例4：客輪沿折線(zhéxiàn)A-B-C從A出發(fā)經(jīng)B再到C勻速航行,貨輪從AC的中點(diǎn)D出發(fā)沿某一方向勻速直線航行,將一批物品送達(dá)客輪,兩船若同時(shí)起航