追與及相遇問(wèn)題知識(shí)詳解與典型例題

./追及與相遇問(wèn)題知識(shí)詳解及典型例題〔精品知識(shí)要點(diǎn)

追及和相遇問(wèn)題主要涉及在同一直線上運(yùn)動(dòng)的兩個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)關(guān)系,所應(yīng)用的規(guī)律是勻變速直線運(yùn)動(dòng)的相關(guān)規(guī)律。追及、相遇問(wèn)題常常涉及到臨界問(wèn)題,分析臨界狀態(tài),找出臨界條件是解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵。速度相等是物體恰能追上或恰不相碰、或間距最大或最小的臨界條件。在兩物體沿同一直線上的追及、相遇或避免碰撞問(wèn)題中關(guān)鍵的條件是：兩物體能否同時(shí)到達(dá)空間某位置。因此應(yīng)分別對(duì)兩物體研究,列出位移方程,然后利用時(shí)間關(guān)系、速度關(guān)系、位移關(guān)系解出。解答追及、相遇問(wèn)題時(shí)要特別注意明確兩物體的位移關(guān)系、時(shí)間關(guān)系、速度關(guān)系,這些關(guān)系是我們根據(jù)相關(guān)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式列方程的依據(jù)。1.追及追和被追的兩者的速度相等常是能追上、追不上、二者距離有極值的臨界條件。如勻減速運(yùn)動(dòng)的物體追從不同地點(diǎn)出發(fā)同向的勻速運(yùn)動(dòng)的物體時(shí),若二者速度相等了,還沒(méi)有追上,則永遠(yuǎn)追不上,此時(shí)二者間有最小距離。若二者相遇時(shí)〔追上了,追者速度等于被追者的速度,則恰能追上,也是二者避免碰撞的臨界條件；若二者相遇時(shí)追者速度仍大于被追者的速度,則被追者還有一次追上追者的機(jī)會(huì),其間速度相等時(shí)二者的距離有一個(gè)較大值。再如初速度為零的勻加速運(yùn)動(dòng)的物體追從同一地點(diǎn)出發(fā)同向勻速運(yùn)動(dòng)的物體時(shí),當(dāng)二者速度相等時(shí)二者有最大距離,位移相等即追上。"追上"的主要條件是兩個(gè)物體在追趕過(guò)程中處在同一位置,常見(jiàn)的情形有三種：一是初速度為零的勻加速運(yùn)動(dòng)的物體甲追趕同方向的勻速運(yùn)動(dòng)的物體乙時(shí),一定能追上,在追上之前兩者有最大距離的條件是兩物體速度相等,即v甲=v乙；二是勻速運(yùn)動(dòng)的物體甲追趕同方向做勻加速運(yùn)動(dòng)的物體乙時(shí),存在一個(gè)恰好追上或恰好追不上的臨界條件：兩物體速度相等,即v甲＞v乙,此臨界條件給出了一個(gè)判斷此種追趕情形能否追上的方法,即可通過(guò)比較兩物體處在同一位置時(shí)的速度大小來(lái)分析,具體方法是：假定在追趕過(guò)程中兩者能處在同一位置,比較此時(shí)的速度大小,若v甲＞v乙,則能追上去,若v甲＜v乙,則追不上,如果始終追不上,當(dāng)兩物體速度相等時(shí),兩物體的間距最?。蝗莿驕p速運(yùn)動(dòng)的物體追趕同方向的勻速運(yùn)動(dòng)的物體時(shí),情形跟第二種相類似。兩物體恰能"相遇"的臨界條件：兩物體處在同一位置時(shí),兩物體的速度恰好相同。2.相遇

同向運(yùn)動(dòng)的兩物體追及即相遇,分析同1。

相向運(yùn)動(dòng)的物體,當(dāng)各自發(fā)生的位移的絕對(duì)值的和等于開(kāi)始時(shí)兩物體間的距離時(shí)即相遇。三.解題方法指導(dǎo)：1.解"追及""相遇"問(wèn)題的思路：解決"追及"和"相遇"問(wèn)題大致分為兩種方法,即數(shù)學(xué)方法和物理方法求解過(guò)程中可以有不同的思路,例如考慮圖象法等等。解題的基本思路是：①根據(jù)對(duì)兩物體運(yùn)動(dòng)過(guò)程的分析,畫(huà)出物體的運(yùn)動(dòng)示意圖；②根據(jù)兩物體的運(yùn)動(dòng)性質(zhì),分別列出兩個(gè)物體的位移方程。注意要將兩物體運(yùn)動(dòng)時(shí)間的關(guān)系反映在方程中。③由運(yùn)動(dòng)示意圖找出兩物體位移間關(guān)聯(lián)方程。④聯(lián)立方程求解。運(yùn)動(dòng)物體的追趕、相遇問(wèn)題,一般解法較多：解析法、圖象法、極值法等。應(yīng)適當(dāng)?shù)刈鲂┮活}多解的練習(xí),以開(kāi)啟思路,培養(yǎng)發(fā)散思維的能力。但平時(shí)訓(xùn)練仍應(yīng)以物理意義突出的解析法為主。通過(guò)適當(dāng)?shù)木毩?xí)后,總結(jié)一下追趕、相遇、避碰問(wèn)題的特點(diǎn)、分析方法,特別是對(duì)其中所涉及的"相距最遠(yuǎn)"、"相距最近"、"恰好不相碰"等臨界問(wèn)題,應(yīng)在思考的基礎(chǔ)上總結(jié)出臨界狀態(tài)的特點(diǎn),找出臨界條件。2.分析"追及""相遇"問(wèn)題應(yīng)注意：①分析"追及""相遇"問(wèn)題時(shí),一定要抓住一個(gè)條件,兩個(gè)關(guān)系：一個(gè)條件是兩物體的速度滿足的臨界條件,如"兩物體距離最大、最小,恰好追上或恰好追不上等"。兩個(gè)關(guān)系是時(shí)間關(guān)系和位移關(guān)系。其中通過(guò)畫(huà)草圖找到兩物體位移之間的數(shù)量關(guān)系,是解題的突破口,也是解題常用方法。因此,在學(xué)習(xí)中一定要養(yǎng)成畫(huà)草圖分析問(wèn)題的良好習(xí)慣,對(duì)幫助我們理解題意,啟迪思維大有裨益。養(yǎng)成根據(jù)題意畫(huà)出物體運(yùn)動(dòng)示意圖的習(xí)慣。特別對(duì)較復(fù)雜的運(yùn)動(dòng),畫(huà)出草圖可使運(yùn)動(dòng)過(guò)程直觀,物理圖景清晰,便于分析研究。②分析研究對(duì)象的運(yùn)動(dòng)過(guò)程,搞清整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程按運(yùn)動(dòng)性質(zhì)的轉(zhuǎn)換可分為哪幾個(gè)運(yùn)動(dòng)階段,各個(gè)階段遵循什么規(guī)律,各個(gè)階段間存在什么聯(lián)系。特別是,若被追趕的物體做勻減速運(yùn)動(dòng),一定要注意追上前該物體是否停止運(yùn)動(dòng)。③仔細(xì)審題,注意抓住題目中的關(guān)鍵字眼,充分挖掘題目中的隱合條件,如"剛好"、"恰巧"、"最多"、"至少"等。往往對(duì)應(yīng)一個(gè)臨界狀態(tài),由此找出滿足相應(yīng)的臨界條件。還要注意：由于公式較多,且公式間有相互聯(lián)系,因此,題目?？梢活}多解。解題時(shí)要思路開(kāi)闊,聯(lián)想比較,篩選最簡(jiǎn)捷的解題方案。解題時(shí)除采用常規(guī)的公式解析法外,圖象法、比例法、極值法、逆向轉(zhuǎn)換法〔如將一勻減速直線運(yùn)動(dòng)視為反向的勻加速直線運(yùn)動(dòng)等也是解題中常用的方法。[典型例題][例1]火車以速度v1向前行駛。司機(jī)忽然發(fā)現(xiàn),在前方同一軌道上距車為s處有另一輛火車,它沿相同的方向以較小的速度v2作勻速運(yùn)動(dòng),于是他立即使車作勻減速運(yùn)動(dòng),加速度大小為a,要使兩車不致相撞,則a應(yīng)滿足的關(guān)系式為_(kāi)____________________。分析：司機(jī)使火車作勻減速運(yùn)動(dòng),當(dāng)后面的火車與前方火車時(shí)的速度相等時(shí),兩車再也不能接近了,也就是后面的火車與前面火車的速度相等時(shí),后面火車的位移與前面火車的位移之差要小于s時(shí),兩車才不致相撞,本題解法中有四種。解法一：當(dāng)兩車速度相等時(shí),兩車沒(méi)有相撞,以后再也不會(huì)相撞,前車減速的時(shí)間為t,則解法二：以前車為參照系,后車的速度為,當(dāng)后車的速度減為零時(shí),其位移小于s,兩車不會(huì)相撞,即解法三：作出兩車運(yùn)動(dòng)的速度—時(shí)間圖像如圖所示,由圖像可知：在兩圖像相交前與時(shí)間軸所圍面積之差〔即圖中陰影部分小于s時(shí),兩車不會(huì)相撞。即解法四：后車的位移為,前車的位移為,要使兩車不相撞,即說(shuō)明此二次函數(shù)無(wú)解,即以上四種解法中,以第二種解法最簡(jiǎn)捷。[例2]甲、乙兩車相距s,同時(shí)同向運(yùn)動(dòng),乙在前面做加速度為a1、初速度為零的勻加速運(yùn)動(dòng),甲在后面做加速度為a2、初速度為v0的勻加速運(yùn)動(dòng),試討論兩車在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中相遇次數(shù)與加速度的關(guān)系。解析：由于兩車同時(shí)同向運(yùn)動(dòng),故有v甲=v0+a2t,v乙=a1t

①當(dāng)a1<a2時(shí),a1t<a2t,可得兩車在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終有v甲>v乙,由于原來(lái)甲在后,乙在前,所以甲、乙兩車的距離在不斷縮短,經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后甲車必然超過(guò)乙車,且甲超過(guò)乙后相距越來(lái)越大,因此甲、乙兩車只能相遇一次；②當(dāng)a1=a2時(shí),alt=a2t,可得v甲>v乙,因此甲、乙兩車也只能相遇一次：③當(dāng)a1>a2時(shí),a1t>a2t,v甲和v乙的大小關(guān)系會(huì)隨著運(yùn)動(dòng)時(shí)間的增加而發(fā)生變化,剛開(kāi)始,a1t和a2t相差不大且甲有初速v0,所以,v甲>v乙,隨著時(shí)間的推移,a1t和a2t相差越來(lái)越大；當(dāng)alt—a2t=v0時(shí),v甲=v乙,接下來(lái)a1t—a2t>v0,則有v甲<v乙,若在v甲=v乙之前,甲車還沒(méi)有超過(guò)乙車,隨后由于v甲<v乙,甲車就沒(méi)有機(jī)會(huì)超過(guò)乙車,即兩車不相遇；若在v甲=v乙時(shí),兩車剛好相遇,隨后v甲=v乙,甲車又要落后乙車,這樣兩車只能相遇一次；若在v甲=v乙前甲車己超過(guò)乙車,即已相遇過(guò)一次,隨后由于v甲<v乙,甲、乙距離又縮短,直到乙車反超甲車時(shí),再相遇一次,別兩車能相遇兩次。解法一：由于x甲=v0t+a2t2,x乙=a1t2,相遇時(shí)有x甲—x乙=x,則：v0t+a2t2－a1t2=x,〔a1—a2t2—v0t+x=0所以t=

①①當(dāng)a1<a2時(shí),①式t只有一個(gè)正解,別相遇一次。②當(dāng)a1=a2時(shí),x甲—x乙=v0t十a(chǎn)2t2—a1t2=v0t=x,所以t=,t只有一個(gè)解,則相遇一次。③當(dāng)a1＞a2時(shí),若<2〔a1—a2x,①式無(wú)解,即不相遇,若=2〔a1—a2x,①式t只有一個(gè)解,即相遇一次。若＞2〔a1—a2x,①式t有兩個(gè)正解,即相遇兩次。解法二：利用v—t圖象求解,①當(dāng)a1<a2時(shí),甲、乙兩車的運(yùn)動(dòng)圖線分別為如右上圖中：的I和Ⅱ,其中劃斜線部分的面積表示t時(shí)間內(nèi)甲車比乙車多發(fā)生的位移,若此面積為S,則t時(shí)刻甲車追上乙車而相遇,以后在相等時(shí)間內(nèi)甲車發(fā)生的位移都比乙車多,所以只能相遇一次。②當(dāng)a1<a2時(shí),甲、乙兩車的運(yùn)動(dòng)圖線分別為如上左圖中的I和Ⅱ,討論方法同①,所以兩車也只能相遇一次。③當(dāng)a1=a2時(shí),甲、乙兩車的運(yùn)動(dòng)圖線分別為如上右圖中的I和Ⅱ,其中劃實(shí)斜線部分的面積表示甲車比乙車多發(fā)生的位移。若劃實(shí)斜線部分面積小于S,則不能相遇；若劃實(shí)斜線部分面積等于S,說(shuō)明甲車剛追上乙車又被反超,則相遇一次；若劃實(shí)斜線部分的面積大于s,如圖中0─t1內(nèi)劃實(shí)斜線部分的面積為S,說(shuō)明t1時(shí)刻甲車追上乙車,以后在t1—t時(shí)間內(nèi),甲車超前乙車的位移為t1─t時(shí)間內(nèi)劃實(shí)斜線部分的面積,隨后在t─t2時(shí)間內(nèi),乙車比甲車多發(fā)生劃虛線部分的面積,如果兩者相等,則t2時(shí)刻乙車反超甲車,故兩車先后相遇兩次。[模擬試題]1.甲、乙兩物體由同一位置出發(fā)沿同一直線運(yùn)動(dòng),其速度圖象由圖所示,下列說(shuō)法正確的是〔

A.甲做勻速直線運(yùn)動(dòng),乙做勻變速直線運(yùn)動(dòng)B.兩物體兩次相遇的時(shí)刻分別為2s末和6s末C.乙在前4s內(nèi)的平均速度等于甲的速度D.2s后甲、乙兩物體的速度方向相反2.在足夠長(zhǎng)的平直公路上,一輛汽車以加速度a啟動(dòng)時(shí),有一輛勻速前進(jìn)的自行車以速度v0從旁邊經(jīng)過(guò),則以下說(shuō)法正確的是〔

A.汽車追不上自行車,因?yàn)槠噯?dòng)時(shí)速度小B.以汽車為參考系,自行車時(shí)向前勻速運(yùn)動(dòng)的C.汽車與自行車之間的距離開(kāi)始是不斷增加的,直到兩車速度相等,然后距離減小,直到兩車相遇D.汽車追上自行車的時(shí)間是3.甲乙丙三輛汽車以相同的速度同時(shí)經(jīng)過(guò)某一個(gè)路標(biāo),從此開(kāi)始甲車一直勻速運(yùn)動(dòng),乙車先加速后減速,丙車先減速后加速,它們經(jīng)過(guò)下一個(gè)路標(biāo)時(shí)速度又相等,則〔

A.甲車先通過(guò)下一個(gè)路標(biāo)

B.乙車先通過(guò)下一個(gè)路標(biāo)C.丙車先通過(guò)下一個(gè)路標(biāo)

D.條件不足,無(wú)法判斷4.兩輛完全相同的汽車,沿水平直路一前一后勻速行駛,速度均為v0,若前車突然以恒定的加速度剎車,在它剛停住時(shí),后車以前車剎車的加速度開(kāi)始剎車。已知前車在剎車過(guò)程中所行駛的距離為s,若要保證兩輛車在上述情況中不相撞,則兩車在勻速行駛時(shí)保持的距離至少應(yīng)為〔

A.1s

B.2s

C.3s

D.4s5.汽車A在紅綠燈前停住,綠燈亮起時(shí)起動(dòng),以0.4m/s2的加速度做勻加速運(yùn)動(dòng),經(jīng)過(guò)30s后以該時(shí)刻的速度做勻速直線運(yùn)動(dòng).設(shè)在綠燈亮的同時(shí),汽車B以8m/s的速度從A車旁邊駛過(guò),且一直以相同的速度做勻速直線運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)方向與A車相同,則從綠燈亮?xí)r開(kāi)始〔

A.A車在加速過(guò)程中與B車相遇B.A、B相遇時(shí)速度相同C.相遇時(shí)A車做勻速運(yùn)動(dòng)D.兩車不可能再次相遇6.同一直線上的A、B兩質(zhì)點(diǎn),相距s,它們向同一方向沿直線運(yùn)動(dòng)〔相遇時(shí)互不影響各自的運(yùn)動(dòng),A做速度為v的勻速直線運(yùn)動(dòng),B從此時(shí)刻起做加速度為a、初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)。若A在B前,兩者可相遇______次,若B在A前,兩者最多可相遇______次。7.從相距30km的甲、乙兩站每隔15min同時(shí)以30km/h的速率向?qū)Ψ介_(kāi)出一輛汽車。若首班車為早晨5時(shí)發(fā)車,則6時(shí)從甲站開(kāi)出的汽車在途中會(huì)遇到輛從乙站開(kāi)出的汽車。8.一礦井深125m,在井口每隔一段時(shí)間落下一個(gè)小球,當(dāng)?shù)?1個(gè)小球剛從井口開(kāi)始下落時(shí),第1個(gè)小球恰好到達(dá)井底,則：〔1相鄰兩個(gè)小球下落的時(shí)間間隔是s；

〔2這時(shí)第3個(gè)小球與第5個(gè)小球相距〔g取10m／s29.如圖,某時(shí)刻A、B兩物體相距7m,A以4m／s的速度向右做勻速直線運(yùn)動(dòng),此時(shí)B的速度為10m／s,方向向右,在摩擦力作用下以2m/s2的加速度做勻減速運(yùn)動(dòng)。從該時(shí)刻經(jīng)多長(zhǎng)時(shí)間A追上B？10.一輛巡邏車最快能在10s內(nèi)由靜止加速到最大速度50m／s,并能保持這個(gè)速度勻速行駛,問(wèn)該巡邏車在平直的高速公路上由靜止追上前方2000m處正以35m／s的速度勻速行駛的汽車,至少需要多長(zhǎng)時(shí)間？11.A球自距地面高h(yuǎn)處開(kāi)始自由下落,同時(shí)B球以初速度v0正對(duì)A球豎直上拋,空氣阻力不計(jì)。問(wèn)：〔1要使兩球在B球上升過(guò)程中相遇,則v0應(yīng)滿足什么條件？〔2要使兩球在B球下降過(guò)程中相遇,則v0應(yīng)滿足什么條件？12.已知自行車速度為6m/s作直線運(yùn)動(dòng),汽車從同時(shí)同地以初速10m/s,加速度a=－0.5m/s2直線運(yùn)行,試求自行車追上汽車前,兩車的最大距離。13.摩托車以速度v1沿平直公路行駛,突然駕駛員發(fā)現(xiàn)正前方s處,有一輛汽車正以v2<v1的速度開(kāi)始減速,加速度大小為α2。為了避免發(fā)生碰撞,摩托車也同時(shí)減速。求其加速度至少需要多少？14.在某市區(qū)內(nèi),一輛汽車在平直的公路上以速度v向東勻速行駛,一位觀光游客正由南向北從斑馬線上橫過(guò)馬路,汽車司機(jī)發(fā)現(xiàn)前方有危險(xiǎn)〔游客正在D處向北走,經(jīng)0.7s作出反應(yīng),從A點(diǎn)開(kāi)始緊急剎車,但仍將正步行至B處的游客撞傷,該車最終在C處停下。為了清晰了解事故現(xiàn)場(chǎng),現(xiàn)以圖示之：為了判斷汽車司機(jī)是否超速行駛,并測(cè)出肇事汽車的速度v,警方派一車胎磨損情況與肇事汽車相當(dāng)?shù)能囈苑ǘㄗ罡咚俣葀m＝14.0m／s行駛在同一馬路的同一地段,在肇事汽車的出事點(diǎn)B急剎車,恰好也在C點(diǎn)停下來(lái),在事故現(xiàn)場(chǎng)測(cè)得AB＝17.5m、BC＝14.0m、BD=2.6m。問(wèn)：〔1該肇事汽車的初速度vA是多大?〔2游客橫過(guò)馬路的速度是多大?

15.如圖所示,長(zhǎng)L=75cm的靜止直筒中有一不計(jì)大小的小球,筒與球的總質(zhì)量為4kg現(xiàn)對(duì)筒施加一豎直向下,大小為21N的恒力,使筒豎直向下運(yùn)動(dòng),經(jīng)t=0.5s時(shí)間,小球恰好躍出筒口。求：小球的質(zhì)量?！瞘=10m/s216.如圖所示,升降機(jī)以勻加速度a上升,當(dāng)上升速度為v時(shí),有一螺帽自升降機(jī)天花板上松落,已知天花板距升降機(jī)底面為hm,求落至底面的時(shí)間。17.雜技演員把三只球依次豎直向上拋出,形成連續(xù)的循環(huán),在循環(huán)中,他每拋出一球后,再過(guò)一段與剛拋出的球在手中停留時(shí)間相等的時(shí)間,又接到下一個(gè)球,這樣,在總的循環(huán)過(guò)程中,便形成有時(shí)空中有3個(gè)球,有時(shí)空中有兩個(gè)球,而演員手中則有一半時(shí)間內(nèi)有球,有一半時(shí)間內(nèi)沒(méi)有球。設(shè)每個(gè)球上升的高度為1.25m,取,求每個(gè)球每次在手中停留的時(shí)間是多少？18.某升降機(jī)以1.6m/s的速度勻速上升,機(jī)內(nèi)一人自離升降機(jī)地板6.5m高處將一小球釋放,球與底板間的碰撞無(wú)任何損失,則第一次反彈的最高點(diǎn)比釋放點(diǎn)高〔或低了多少？19.將兩小石塊A、B同時(shí)豎直上拋,A上升的最大高度比B的高出35m,返回地面的時(shí)間比B遲2s。問(wèn)：〔1A、B的初速度分別為多少？〔2A、B分別達(dá)到的高度最大值各為多少？〔20.甲、乙、丙三輛車行駛在平直公路上,車速分別為6m/s、8m/s、9m/s。當(dāng)甲、乙、丙三車依次相距5m時(shí),乙駕駛員發(fā)現(xiàn)甲車開(kāi)始以1m/s2的加速度做減速運(yùn)動(dòng),于是乙也立即做減速運(yùn)動(dòng),丙車亦同樣處理。如圖所示。直到三車都停下來(lái)時(shí)均未發(fā)生撞車事故。求丙車減速運(yùn)動(dòng)的加速度至少應(yīng)為多大？[試題答案]1.B

2.C

3.B

4.B

5.C

6.1；2

7.7輛

8.0.5；35m

9.8s

10.150s11.〔1v0＞

〔2＜v0＜解析：兩球相遇時(shí)位移之和等于h。即：gt2+〔v0t－gt2=h所以：t=而B(niǎo)球上升的時(shí)間：t1=,B球在空中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間：t2=〔1欲使兩球在B球上升過(guò)程中相遇,則有t＜t1,即＜,所以v0＞〔2欲使兩球在B球下降過(guò)程中相遇,則有：t1＜t＜t2即＜＜

所以：＜v0＜12.解析：畫(huà)出兩車v—t圖象如圖所示,可知,在自行車追上汽車前,二者速度相同時(shí),相距最大,為陰影三角形面積。且由圖可知,t=16s時(shí),自行車追上汽車。13.解：〔1如圖〔甲所示,其相對(duì)位移為

即

<甲>〔2如圖〔乙所示,當(dāng)兩車間距較小,即時(shí),兩車不發(fā)生碰撞的條件是,其相對(duì)速度為0,即二者有共同速度。因?yàn)?所以,由此可得摩托車的加速度為〔3如圖〔丙所示,兩車間距較大,即,汽車經(jīng)過(guò)時(shí)間先停下,摩托車經(jīng)時(shí)間后停下,這種情況下兩車不發(fā)生碰撞的條件為。有這時(shí)摩托車的加速度為14.〔12lm／s〔21.53m／s15.解：筒受到豎直向下的力作用后做豎直向下的勻加速運(yùn)動(dòng),且加速度大于重力加速度；而小球則是在筒內(nèi)做自由落體運(yùn)動(dòng),小球躍出筒口時(shí),筒的位移比小球的位移多一個(gè)筒的長(zhǎng)度。設(shè)筒與小球的總質(zhì)量為M,小球的質(zhì)量為m,筒在重力及恒力的共同作用下豎直向下做初速為零的勻加速運(yùn)動(dòng),設(shè)加速度為a；小球做自由落體運(yùn)動(dòng)設(shè)在時(shí)間t內(nèi),筒與小球的位移分別為h1、h2〔球可視為質(zhì)點(diǎn),如圖所示。由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得又有：,代入數(shù)據(jù)解得又因?yàn)橥彩艿街亓Α睲－mg和向下作用力F,據(jù)牛頓第二定律得16.解：選升降機(jī)為參考系,螺帽受重力作用,相對(duì)加速度大小為g+a,豎直向下,相對(duì)運(yùn)動(dòng)可視為以g+a為加速度的自由落體,有所以為所求。17.解：設(shè)一個(gè)球每次在手中停留的時(shí)間為,則手中連續(xù)拋出兩球之間的時(shí)間間隔為,而對(duì)于同一個(gè)球,它連續(xù)兩次自手中拋出的時(shí)間間隔則為。在這段時(shí)間內(nèi),此球有的時(shí)間停留在手中,則有的時(shí)間停留在空中,根據(jù)豎直上拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律得：代入數(shù)值得：∴球一次豎直上拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間,則它每次在手中停留時(shí)間為0.2S。18.解：設(shè)從放球到球與底板相碰需要時(shí)間t,放球時(shí),球與底板的距離為h,升降機(jī)速度為,在此期間球下降距離,升降機(jī)上升距離為,如圖所示,因此有代入數(shù)據(jù)得解之得〔負(fù)根舍去這時(shí)球相對(duì)于地面的速度為而球相對(duì)于底板的速度由題意知,球與底板碰撞前后速度大小不變,即球被彈回時(shí),球相對(duì)于底板的速度應(yīng)為11.4m/s。由于升降機(jī)質(zhì)量較小球大得多,所以碰撞對(duì)升降機(jī)速度不影響,仍為向上,所以碰撞后小球相對(duì)于地面向上的速度由此可知球第一次上升的高度為因而第一次回跳的最高點(diǎn)比釋放點(diǎn)高出的距離為19.解析：設(shè)A、B初速度分別為、,二者上升的最大高度分別為、,A、B上升到最高點(diǎn)所經(jīng)歷的時(shí)間依次為、。在最高點(diǎn),有將兩式代入得,由題意知所以20.解：先研究?jī)绍囆旭傊械囊环N特殊臨界狀態(tài),兩車同時(shí)停下且剛好接觸在一起。則〔1若,要使其同時(shí)停下則必然相碰。即是說(shuō)仍要增大,按DC線所示規(guī)律變化,在D處時(shí)二者相距最近,如圖所示。由題意知,有

〔1〔2如果,則還可再小些,二者不同時(shí)停下,停止時(shí)相對(duì)位移為,如圖中線那樣變化。有三式聯(lián)立得〔2將題中數(shù)據(jù)代入可得由〔1式得乙、丙兩車間距由〔2式得一道"追及和相遇問(wèn)題"試題的思考和引申A、B兩列火車在同一軌道上同向行駛,A在前,速度為vA＝10m/s,B在后,速度為vB＝30m/s,因大霧能見(jiàn)度低,B車在距A車500m時(shí),才發(fā)現(xiàn)前方有A車,這時(shí)B車立即剎車,但要經(jīng)過(guò)1800mB車才能停下,問(wèn)：<1>車若要仍按原速前進(jìn),兩車是否相撞？試說(shuō)明理由。<2>B在剎車的同時(shí)發(fā)出信號(hào),A車司機(jī)在收到信號(hào)1.5s后加速前進(jìn),A車加速度為多大時(shí),才能避免事故發(fā)生？〔不計(jì)信號(hào)從A傳到B的時(shí)間第一問(wèn)的解法如下：lsAsBs0解：先求B車從剎車到停下來(lái)所需時(shí)間tlsAsBs0由sB=vB·tB得BAA’B’tB==2×s=120s再求在相同的時(shí)間內(nèi)A車通過(guò)的位移sAsA=vA·tB=10×120m=1200m最后比較sA+s0和sB的大小關(guān)系即可判斷結(jié)果由于sA+s0=<1200+500>m=1700m故sA+s0＜sB由位置關(guān)系圖可知兩車會(huì)相撞。提問(wèn)1：通過(guò)上面的計(jì)算我們知道兩車能相撞,試問(wèn)它們何時(shí)相撞？解：設(shè)B車剎車后經(jīng)過(guò)時(shí)間t兩車相遇,依題意有sA+s0=sB而sA=vA·t,sB=vB·t+at2〔其中a為B車剎車過(guò)程中的加速度,根據(jù)已知條件很易求出a＝-0.25m/s2,將sA、sB的表達(dá)式代入上式解得t1=31s,t2=129s提問(wèn)2：為什么有兩個(gè)解？t2是否有意義？答：A、B兩車相撞兩次,第一次是B車追上A車,第二次是A車追上B車。兩車只能相撞一次,故t2沒(méi)有意義。提問(wèn)3：B車追上A車時(shí),哪車的速度大？答：B車的速度大,因?yàn)锽車從減速到和A車的速度相等所需的時(shí)間為：t’==s=80s,因?yàn)閠’＞t1,故B車的速度大。提問(wèn)4：若A、B兩車相遇但不會(huì)相撞,A車又追上B車時(shí),B車的速度是多大？從B車開(kāi)始減速到兩車第二次相遇共需多少時(shí)間？答：由于B車剎車后經(jīng)過(guò)120s后就停下來(lái),故129s時(shí)它的速度仍為零。由于B車停止后不能往后倒,故第二次相遇所需時(shí)間為：t2’==s=130s。這是一個(gè)實(shí)際問(wèn)題,要注意解的合理性。提問(wèn)5：若開(kāi)始兩車相距700m,試問(wèn)兩車是否會(huì)相撞？答：由于sA+s0=1200+700m=1900m,而sB=1800m,即sA+s0＞sB,故兩車不會(huì)相撞。提問(wèn)6：若用第二種方法,即設(shè)B剎車后經(jīng)過(guò)時(shí)間t兩車相撞,方程是否有解呢？答：由sA+s0=sB得vA·t+s0=vB·t+at2即10t+700=30t-0.125t2移項(xiàng)并整理得t2-160t+5600