數(shù)列典型例題(有詳解)

數(shù)列復(fù)習(xí)題2015/1/161．等差數(shù)列的公差，它的前項(xiàng)和為，假設(shè)，且，，成等比數(shù)列．〔1〕求數(shù)列的通項(xiàng)公式；〔2〕設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：．2在數(shù)列中,,且對(duì)任意的,都有.(1)求證:數(shù)列是等差數(shù)列；(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,求證:對(duì)任意的,都有.3．〔本小題總分值14分〕數(shù)列中，，，其前項(xiàng)和滿足，令．〔1〕求數(shù)列的通項(xiàng)公式；〔2〕假設(shè)，求證：〔〕．4.數(shù)列{an}、{bn}滿足a1=2，，，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn．(1)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)Tn=S2n-Sn，求證：Tn+1>Tn：(3)求證：對(duì)任意的n∈N*有成立．5．設(shè)曲線：上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離的最小值為,假設(shè),,〔Ⅰ〕求數(shù)列的通項(xiàng)公式；〔Ⅱ〕求證:；〔Ⅲ〕是否存在常數(shù),使得對(duì),都有不等式:成立?請(qǐng)說明理由.6.數(shù)列中，，，且．〔1〕設(shè)，是否存在實(shí)數(shù)，使數(shù)列為等比數(shù)列．假設(shè)存在，求出的值，假設(shè)不存在，請(qǐng)說明理由；〔2〕求數(shù)列的前項(xiàng)和．7．a(chǎn)2、a5是方程的兩根，數(shù)列{an}是遞增的等差數(shù)列，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，且(1)求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；(2)記Cn=an·bn，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn．1．等差數(shù)列的公差，它的前項(xiàng)和為，假設(shè)，且，，成等比數(shù)列．〔1〕求數(shù)列的通項(xiàng)公式；〔2〕設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：．1．〔1〕解：因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，所以，．……1分依題意，有即………3分解得，．……………………5分所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為〔〕．………………6分〔2〕證明：由〔1〕可得．…………………7分所以．…………………8分所以……………9分．………10分因?yàn)?，所以．……………?1分因?yàn)?，所以?shù)列是遞增數(shù)列．………………12分所以．………………………13分所以．………………………14分2.在數(shù)列中,,且對(duì)任意的,都有.(1)求證:數(shù)列是等差數(shù)列；(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,求證:對(duì)任意的,都有.解：(1)∵,∴.∴數(shù)列是以為首項(xiàng),為公差的等差數(shù)列.…5分(2)由(1)知,∴.…7∴.………………u……①.…………………∴由②－①可得.…10分∴,故結(jié)論成立.…13分3．?dāng)?shù)列中，，，其前項(xiàng)和滿足，令．〔1〕求數(shù)列的通項(xiàng)公式；〔2〕假設(shè)，求證：〔〕．3.解：〔1〕由題意知即-------2分∴-------3分---檢驗(yàn)知、時(shí)，結(jié)論也成立，故．-------7分〔2〕由于故2分．---------14分4.數(shù)列{an}、{bn}滿足a1=2，，，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn．(1)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)Tn=S2n-Sn，求證：Tn+1>Tn：(3)求證：對(duì)任意的n∈N*有成立．4.解：(1)由得an=bn+1代入an-1=an(an+1-1)得bn=〔bn+1〕bn+1整理得…………1分∵bn≠0否那么an=1，與a1=2矛盾從而得……3分∵b1=a1-1=1∴數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，即……4分(2)………6分證法1：……8分證法2：∵2n+1<2n+2∴Tn+1>Tn.…………8分(3)用數(shù)學(xué)歸納法證明：①當(dāng)n=1時(shí)，，不等式成立；………9分②假設(shè)當(dāng)n=k〔k≥1，k∈N*〕時(shí)，不等式成立，即，那么當(dāng)n=k+1時(shí)……12分∴當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式成立由①②知對(duì)任意的n∈N*,不等式成立.…14分5．設(shè)曲線：上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離的最小值為,假設(shè),,〔Ⅰ〕求數(shù)列的通項(xiàng)公式；〔Ⅱ〕求證:；〔Ⅲ〕是否存在常數(shù),使得對(duì),都有不等式:成立?請(qǐng)說明理由.5．解析：〔Ⅰ〕設(shè)點(diǎn),那么,∴,∵,∴當(dāng)時(shí),取得最小值,且,……………①又,∴,將代入①得：兩邊平方得：,又,故數(shù)列是首項(xiàng),公差為的等差數(shù)列,∴,∵,∴.………6分〔2〕∵,∴∴,∴∴,∴以上個(gè)不等式相加得.…10〔3〕因?yàn)?當(dāng)時(shí),,∵,∴∴,∴故存在常數(shù),對(duì),都有不等式:成立.6.數(shù)列中，，，且．〔1〕設(shè)，是否存在實(shí)數(shù)，使數(shù)列為等比數(shù)列．假設(shè)存在，求出的值，假設(shè)不存在，請(qǐng)說明理由；〔2〕求數(shù)列的前項(xiàng)和．6．〔1〕方法1：假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使數(shù)列為等比數(shù)列，那么有．①…1分由，，且，得，．所以，，，………2所以，解得或．………3分當(dāng)時(shí)，，，且，有．……………4分當(dāng)時(shí)，，，且，有．………5分所以存在實(shí)數(shù)，使數(shù)列為等比數(shù)列．當(dāng)時(shí)，數(shù)列為首項(xiàng)是、公比是的等比數(shù)列；當(dāng)時(shí)，數(shù)列為首項(xiàng)是、公比是的等比數(shù)列．……6分〔2〕解法1：由〔1〕知，…7分當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，……………8分………9分．…………………10分當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，……………11分……12分．……………13分故數(shù)列的前項(xiàng)和………14分7．a(chǎn)2、a5是方程的兩根，數(shù)列{an}是遞增的等差數(shù)列，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，且(1)求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；(2)記Cn=an·bn，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn．7．解：(1)解x2-12x+27=0得x1=3,x2=9，