高考數(shù)學(xué)壓軸題（新高考版）：專題21 平面解析幾何（選填壓軸題）（教師版）

專題21平面解析幾何（選填壓軸題）目錄TOC\o"1-1"\h\u①離心率問題 1②范圍（最值）問題 11③軌跡問題 21④相切問題 29⑤新定義新文化題 35①離心率問題1．（2023春·陜西西安·高二西安市鐵一中學(xué)校考期末）設(shè)橢圓的焦點(diǎn)為為橢圓上的任意一點(diǎn)，的最小值取值范圍為，其中，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由題意可知，，設(shè)，因?yàn)椋?，又，，所以，因?yàn)?，則，當(dāng)時(shí)，取得最小值，即，即，所以，即橢圓的離心率為.故選：D.2．（2023秋·天津北辰·高二?？计谀┤綦p曲線的一條漸近線被圓所截得的弦長(zhǎng)為，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】雙曲線的漸近線方程為，直線被圓所得截得的弦長(zhǎng)為，

則圓心到直線的距離為，由點(diǎn)到直線的距離公式可得，解得，則，因此，雙曲線的離心率為.故選：B.3．（2023春·內(nèi)蒙古赤峰·高二赤峰二中?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)的直線分別交雙曲線的左、右兩支于A，B兩點(diǎn)，且，若，則雙曲線離心率為（

）A． B． C． D．2【答案】A【詳解】令，則，

在中，，由余弦定理得，即，解得，于是，在中，令雙曲線半焦距為，由余弦定理得：，解得，所以雙曲線離心率.故選：A4．（2023·江西南昌·南昌市八一中學(xué)?？既＃┮阎p曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，若在上存在點(diǎn)不是頂點(diǎn)，使得，則的離心率的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】設(shè)與y軸交于Q點(diǎn)，連接，則，

因?yàn)?，故P點(diǎn)在雙曲線右支上，且，故，而，故，在中，，即，故，由，且三角形內(nèi)角和為，故，則，即，即，所以的離心率的取值范圍為，故選：A5．（2023·福建福州·福州四中?？寄M預(yù)測(cè)）已知雙曲線為左焦點(diǎn)，分別為左?左頂點(diǎn)，為右支上的點(diǎn)，且（為坐標(biāo)原點(diǎn)）.若直線與以線段為直徑的圓相交，則的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，則，則，

為右支上的點(diǎn)，取的中點(diǎn)為B，連接，則，設(shè)，則，則，在中，，即，又直線與以線段為直徑的圓相交，故，設(shè)，則，則需使，解得，即雙曲線離心率的范圍為，即的離心率的取值范圍為，故選：D6．（2023春·湖南長(zhǎng)沙·高二長(zhǎng)沙市明德中學(xué)?？茧A段練習(xí)）雙曲線和橢圓有共同的焦點(diǎn)，則橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】對(duì)于雙曲線，設(shè)右焦點(diǎn)為，所以，對(duì)于橢圓，設(shè)右焦點(diǎn)為，所以，因?yàn)橛泄餐慕裹c(diǎn)，所以，所以，所以橢圓的離心率是，故選：D.7．（2023秋·江蘇南通·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）過點(diǎn)能作雙曲線的兩條切線，則該雙曲線離心率的取值范圍為.【答案】【詳解】當(dāng)過點(diǎn)的直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，由可得，故直線與雙曲線相交，不合乎題意；當(dāng)過點(diǎn)的直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，即，聯(lián)立可得，因?yàn)檫^點(diǎn)能作雙曲線的兩條切線，則，可得，由題意可知，關(guān)于的二次方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，所以，，可得，又因?yàn)?，即，因此，關(guān)于的方程沒有的實(shí)根，所以，且，解得，即，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，綜上所述，該雙曲線的離心率的取值范圍是.故答案為：.8．（2023秋·湖北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知雙曲線C：的左右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)A為雙曲線C右支上一點(diǎn)，直線交雙曲線的左支于點(diǎn)B，若，且原點(diǎn)O到直線的距離為1，則C的離心率為.【答案】【詳解】點(diǎn)A為雙曲線C右支上一點(diǎn)，，又，，點(diǎn)B為雙曲線C左支上一點(diǎn)，即，過作直線的垂線，垂足分別為,

則,又為的中點(diǎn)，可得，在直角三角形中，在直角三角形中,，,,平方可得，，，C的離心率為.故答案為：.9．（2023·全國(guó)·高二課堂例題）若橢圓上存在一點(diǎn)M，使得（，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)），則橢圓的離心率e的取值范圍為.【答案】【詳解】方法一：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)是，則.∵，，∴，.∵，∴，即.又點(diǎn)M在橢圓上，即，∴，即，∴，即，又，∴，故橢圓的離心率e的取值范圍是.方法二：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)是，由方法一可得消去，得，∵，∴，由②得，此式恒成立.由①得，即，∴，則.又，∴.綜上所述，橢圓的離心率e的取值范圍是.方法三：設(shè)橢圓的一個(gè)短軸端點(diǎn)為P，∵橢圓上存在一點(diǎn)M，使，∴，則，（最大時(shí)，M為短軸端點(diǎn)）∴，即，又，∴，故橢圓的離心率e的取值范圍為.故答案為：.10．（2023春·江蘇宿遷·高二?？茧A段練習(xí)）已知橢圓，是長(zhǎng)軸的左、右端點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，連接，交橢圓于點(diǎn)，且為常數(shù)，則橢圓離心率為.【答案】/【詳解】由題意設(shè)，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，得，因?yàn)?，所以，所以因?yàn)闉槌?shù)，所以，所以，得，所以，所以離心率，故答案為：

11．（2023·江西贛州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線C：，過其右焦點(diǎn)F作直線交雙曲線C的漸近線于A，B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A在第一象限，點(diǎn)B在第四象限.設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，若的面積為面積的2倍，且，則雙曲線C的離心率為.【答案】【詳解】雙曲線的焦點(diǎn)為，漸近線方程為，依題意可知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，由解得，即，同理可求得，由于的面積為面積的2倍，所以，，解得，此時(shí)，由于，所以①，由于，所以①可化為，兩邊除以得，即.故答案為：12．（2023·福建寧德·?？寄M預(yù)測(cè)）已知橢圓的右焦點(diǎn)是，直線交橢圓于兩點(diǎn)﹐直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，若，則橢圓的離心率為．【答案】/【詳解】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，連接，，，，

由直線交橢圓于兩點(diǎn)﹐及，結(jié)合橢圓的對(duì)稱性可得，所以，，均為直角三角形，所以四邊形為矩形，設(shè)，則，，，所以在直角中，即①，在直角中，即②，由②解得，將代入①得，即，所以，故答案為：②范圍（最值）問題1．（2023·江蘇徐州·?？寄M預(yù)測(cè)）已知橢圓：的右焦點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上的兩點(diǎn)，且，為中點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B．1 C． D．【答案】D【詳解】由橢圓可得，，

所以，即，所以右焦點(diǎn)；因?yàn)?，所以，?dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線的方程，代入橢圓的方程可得，解得，設(shè)，，則，解得，這時(shí)的中點(diǎn)在軸上，且的橫坐標(biāo)為，這時(shí)的最小值為；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，設(shè)，，，，則的中點(diǎn)，，聯(lián)立，整理可得：，△，即，且，，所以，，則，可得，符合△，可得的軌跡方程為，整理可得：，兩式平方相加可得：，即的軌跡方程為：，焦點(diǎn)在軸上的橢圓，所以，當(dāng)為該橢圓的右頂點(diǎn)時(shí)，取等號(hào)，綜上所述：的最小值為，故選：D．2．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)a，b為正數(shù)，若直線被圓截得弦長(zhǎng)為4，則的最小值為（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】D【詳解】由可得，故圓的直徑是4，所以直線過圓心，即，又，當(dāng)且僅當(dāng)，即，即時(shí)，等號(hào)成立.故選：D.3．（2023·山東·山東師范大學(xué)附中?？寄M預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，直線．設(shè)圓的半徑為1，圓心在l上．若圓C上存在點(diǎn)M，使，則圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】圓心C的橫坐標(biāo)為a，則圓心C的坐標(biāo)為，則圓的方程，設(shè)，由，可得，整理得，則圓與圓有公共點(diǎn)，則，即，解之得.故選：D4．（2023·北京·?？寄M預(yù)測(cè)）已知橢圓.過點(diǎn)作圓的切線交橢圓于兩點(diǎn).將表示為的函數(shù)，則的最大值是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【詳解】由題意知，，當(dāng)時(shí)，切線的方程為，點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，同理可得；當(dāng)時(shí)，設(shè)切線方程為，由得，設(shè)，兩點(diǎn)兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，則，，又由于圓相切，得，即，∴，由于當(dāng)時(shí)，，∴，，∵，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，∴的最大值為2．故選：B.5．（2023·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，離心率為2，焦點(diǎn)到漸近線的距離為.過作直線交雙曲線的右支于兩點(diǎn)，若分別為與的內(nèi)心，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由題意，在中，根據(jù)焦點(diǎn)到漸近線的距可得，離心率為2，∴，解得：，∴∴雙曲線的方程為.

記的內(nèi)切圓在邊，，上的切點(diǎn)分別為，則，橫坐標(biāo)相等，，，由，即，得，即，記的橫坐標(biāo)為，則，于是，得，同理內(nèi)心的橫坐標(biāo)也為，故軸.設(shè)直線的傾斜角為，則，（Q為坐標(biāo)原點(diǎn)），在中，，由于直線與的右支交于兩點(diǎn)，且的一條漸近線的斜率為，傾斜角為，∴，即，∴的范圍是.故選：D.6．（2023·云南昆明·昆明一中校考模擬預(yù)測(cè)）已知直線l是圓C：的切線，且l與橢圓E：交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|的最大值為（

）A．2 B． C． D．1【答案】B【詳解】∵直線l是圓C：的切線，∴圓心O到直線l的距離為1，設(shè)，①當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，②當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y=kx+m.由已知得．把y=kx+m代入橢圓方程，整理得，∴令原式當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立.綜上所述.故選：B.7．（2023·江蘇蘇州·校聯(lián)考三模）已知雙曲線，過其右焦點(diǎn)的直線與雙曲線交于、兩點(diǎn)，已知，若這樣的直線有條，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【詳解】記，若直線與軸重合，此時(shí)，；若直線軸時(shí)，將代入雙曲線方程可得，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，則，此時(shí)，；當(dāng)，可得，則，所以，雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)和通徑長(zhǎng)不可能同時(shí)為；當(dāng)直線與軸不重合時(shí)，記，則點(diǎn)，設(shè)直線的方程為，其中，設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立可得，由題意可得，可得，，由韋達(dá)定理可得，，所以，，即，所以，關(guān)于的方程由四個(gè)不等的實(shí)數(shù)解.當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，可得，可得，整理可得，因?yàn)椋獾?；?dāng)時(shí)，即當(dāng)，可得，可得，整理可得，可得.綜上所述，.故答案為：.8．（2023·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知圓的圓心在拋物線上運(yùn)動(dòng)，且圓過定點(diǎn)，圓被軸所截得的弦為，設(shè)，，則的取值范圍是．【答案】【詳解】設(shè)，則，故圓的方程，令有，故，解得，，故．設(shè)，因?yàn)椋?，又由余弦定理可得，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，原式有最大值，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，原式有最小值為，從而的取值范圍為．故答案為：9．（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考三模）古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯與歐幾里得、阿基米德齊名，他的著作《圓錐曲線論》是古代數(shù)學(xué)光輝的科學(xué)成果．他發(fā)現(xiàn)“平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)A，B的距離之比為定值（且）的點(diǎn)的軌跡是圓”，人們將這樣的圓稱為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱阿氏圓．在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，，Q為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q在直線上的射影為H，M為圓上的動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)P的軌跡是到A，B兩點(diǎn)的距離之比為的阿氏圓，則的最小值為．【答案】3【詳解】設(shè)，由題意，即，整理得，因?yàn)閳A可以看作把圓向左平移個(gè)單位得到的，那么點(diǎn)平移后變?yōu)?，點(diǎn)平移后變?yōu)?，所以根?jù)阿氏圓的定義有，所以，又由拋物線定義有，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，，，四點(diǎn)共線，且，在，之間時(shí)取等號(hào)，故的最小值為3．故答案為：3．10．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過且垂直于x軸的直線與該雙曲線的左支交于A，B兩點(diǎn)，，分別交y軸于P，Q兩點(diǎn)，若的周長(zhǎng)為16，則的最大值為.【答案】4【詳解】∵軸且過，則AB為雙曲線的通徑，由，代入雙曲線可得，故.為的中點(diǎn)，，則為的中位線，故，又的周長(zhǎng)為，則的周長(zhǎng)為①，∵②，故由①②可得，即，可得.故，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào).故答案為：411．（2023·四川綿陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知為拋物線：的焦點(diǎn)，過直線上任一點(diǎn)向拋物線引切線，切點(diǎn)分別為A，，若點(diǎn)在直線上的射影為，則的取值范圍為．【答案】．【詳解】設(shè)，，，不妨設(shè)在軸上方，時(shí)，，，所以切線的方程為，代入得，又，∴，得，同理可得．因此直線的方程為，直線過定點(diǎn)，，∴在以為直徑的圓上，該圓圓心，半徑為1，由已知，，∴的最大值為，最小值為，時(shí)，直線方程為，此時(shí)，與軸垂直，點(diǎn)與點(diǎn)重合，即，點(diǎn)不可能與點(diǎn)重合，最大值取不到．所以的范圍是．故答案為：．③軌跡問題1．（2023秋·廣東陽江·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知圓與圓交點(diǎn)的軌跡為，過平面內(nèi)的點(diǎn)作軌跡的兩條互相垂直的切線，則點(diǎn)的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】圓圓心，圓圓心，設(shè)兩圓交點(diǎn)為，則由題意知，，所以，又由于，所以由橢圓定義知，交點(diǎn)是以、為焦點(diǎn)的橢圓，且，，則，所以軌跡的方程為，

設(shè)點(diǎn)，當(dāng)切線斜率存在且不為時(shí)，設(shè)切線方程為：，聯(lián)立，消得，則，即，由于，則由根與系數(shù)關(guān)系知，即．

當(dāng)切線斜率不存在或?yàn)闀r(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，，滿足方程，故所求軌跡方程為．故選：A．2．（2023·貴州黔西·?？家荒＃┰谡襟w中，點(diǎn)為平面內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)，是點(diǎn)到平面的距離，是點(diǎn)到直線的距離，且（為常數(shù)），則點(diǎn)的軌跡不可能是（

）A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線【答案】A【詳解】由條件作出正方體，并以為原點(diǎn)，直線、和分別為、和軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為（），點(diǎn)，所以得，，由，得，所以，即①（），當(dāng)時(shí)，①式化得：，此時(shí)，點(diǎn)的軌跡是拋物線；當(dāng)時(shí)，①式化得：，即，②，當(dāng)時(shí)，，則②式，是雙曲線的方程，即點(diǎn)的軌跡為雙曲線；當(dāng)時(shí)，，則②式，是橢圓的方程，即點(diǎn)的軌跡為橢圓；故選：A.3．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知?jiǎng)狱c(diǎn)滿足（為大于零的常數(shù)）﹐則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是（

）A．線段 B．圓 C．橢圓 D．直線【答案】C【詳解】的幾何意義為點(diǎn)與點(diǎn)間的距離，同理的幾何意義為點(diǎn)與點(diǎn)間的距離，且又由為大于零的常數(shù)，可知，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等，故，即動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)與到點(diǎn)的距離之和為定值，且大于，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡為橢圓，故選：C.4．（2023春·江蘇南京·高二南京航空航天大學(xué)附屬高級(jí)中學(xué)?？计谥校┮阎獔A的圓心為，過點(diǎn)的直線交圓于、兩點(diǎn)，過點(diǎn)作的平行線，交直線于點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡為（

）A．拋物線 B．雙曲線 C．橢圓 D．雙曲線一支【答案】B【詳解】，即圓，故，，因?yàn)槠叫信c，，所以，故，故點(diǎn)的軌跡為雙曲線.故選：B5．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知，，動(dòng)點(diǎn)P滿足（a為常數(shù)），則下列說法中錯(cuò)誤的是（

）A．時(shí)，點(diǎn)P的軌跡是y軸 B．時(shí)，點(diǎn)P的軌跡是一條直線C．或時(shí)，點(diǎn)P的軌跡不存在 D．時(shí)，點(diǎn)P的軌跡是雙曲線【答案】B【詳解】對(duì)選項(xiàng)A：時(shí)，，點(diǎn)P的軌跡是y軸，正確；對(duì)選項(xiàng)B：時(shí)，，點(diǎn)P的軌跡是兩條射線，錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)C：當(dāng)時(shí)，不成立；當(dāng)時(shí)，不成立，點(diǎn)P的軌跡不存在，正確；對(duì)選項(xiàng)D：時(shí)，根據(jù)雙曲線定義知，點(diǎn)P的軌跡是雙曲線，正確.故選：B6．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知圓的方程為，直線為圓的切線，記兩點(diǎn)到直線的距離分別為，動(dòng)點(diǎn)滿足，，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】如圖，分別過點(diǎn)做直線的垂線，垂足分別為，則，，切點(diǎn)為因?yàn)?，所以是的中點(diǎn)，,所以是梯形的中位線，所以，又因?yàn)閳A的方程為，，所以，所以，即，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓，設(shè)橢圓的方程為，則，所以，，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為.故選：B7．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）在中，已知，若，且滿足，則頂點(diǎn)的軌跡方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】解：在中，因?yàn)椋?，又，則，所以，即，由于，所以點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓的左半部分，由，所以頂點(diǎn)的軌跡方程是.故選：A.8．（2023·全國(guó)·高二課堂例題）如圖所示，已知定圓：，定圓：，動(dòng)圓M與定圓，都外切，則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為.

【答案】【詳解】圓：，圓心，半徑，圓：，圓心，半徑.設(shè)動(dòng)圓M的半徑為R，則有，，∴，∴點(diǎn)M的軌跡是以，為焦點(diǎn)的雙曲線的左支，且，，于是.故動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為.故答案為：.9．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）已知?jiǎng)訄AP過點(diǎn)，且與圓外切，則動(dòng)圓P圓心的軌跡方程為.【答案】，【詳解】定圓的圓心為，與關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，設(shè)動(dòng)圓的半徑為，則有，因?yàn)榕c圓外切，所以，即，所以點(diǎn)的軌跡是以M，N為焦點(diǎn)的雙曲線的左支，則，，，所以軌跡方程為，，即，.故答案為：，10．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知平面上一定點(diǎn)和直線l：x=8，P為該平面上一動(dòng)點(diǎn)，作PQ⊥l，垂足為Q，且·=0．則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為；【答案】【詳解】設(shè)，則，由·=0，得，即，化簡(jiǎn)得，所以點(diǎn)P在橢圓上，即動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為．故答案為：11．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知的周長(zhǎng)是18，，是軸上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，若，動(dòng)點(diǎn)滿足.則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為；【答案】【詳解】由，知點(diǎn)G是的重心，取點(diǎn)，，不妨設(shè)，，則，，且，所以點(diǎn)是以，為焦點(diǎn)的橢圓（除去長(zhǎng)軸端點(diǎn)），設(shè)橢圓的方程是，則，，于是，即，從而，點(diǎn)的軌跡方程為：.故答案為：12．（2023春·寧夏銀川·高二銀川唐徠回民中學(xué)校考期中）一個(gè)動(dòng)圓與圓外切，與圓內(nèi)切，則這個(gè)動(dòng)圓圓心的軌跡方程為．【答案】【詳解】設(shè)動(dòng)圓圓心為，半徑為，根據(jù)題意知：，，所以，所以圓心的軌跡為橢圓.其中，，故，因?yàn)榻裹c(diǎn)在軸上，故圓心軌跡方程為：.故答案為：.13．（2023·全國(guó)·高二課堂例題）已知點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡方程為.【答案】【詳解】設(shè),因?yàn)?故即.故的軌跡是以為焦點(diǎn),的雙曲線的下支.此時(shí).故.故.故答案為：14．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知?jiǎng)訄A與直線相切，且與定圓外切，則動(dòng)圓圓心的軌跡方程為.【答案】【詳解】設(shè)動(dòng)圓半徑為，則到直線的距離為，，故到的距離等于到的距離，故軌跡為拋物線，即.故答案為：.④相切問題1．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）已知實(shí)數(shù)x，y滿足：，則的最大值為（

）A． B．2 C． D．5【答案】B【詳解】令，則直線與有交點(diǎn)情況下，直線在x軸上截距最大，假設(shè)直線與橢圓相切，則，即，所以，可得，即，要使在x軸上截距最大，即.故選：B.2．（2023秋·江西宜春·高二江西省宜豐中學(xué)?？计谀┪覈?guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微”.事實(shí)上，有很多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決.如：與相關(guān)的代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)與點(diǎn)之間距離的幾何問題.結(jié)合上述觀點(diǎn)，若實(shí)數(shù)滿足，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)?，可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到點(diǎn)和點(diǎn)的距離之和為，故點(diǎn)在橢圓上.表示點(diǎn)與橢圓上一點(diǎn)所連直線的斜率，設(shè)該直線的方程為，由圖可知，當(dāng)直線與橢圓相切時(shí)，取得最值.聯(lián)立方程組整理得，，解得或，故的取值范圍是故選：C.3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)為函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)，點(diǎn)為圓上任意一點(diǎn)，則線段長(zhǎng)度的最小值為（

）A． B．1 C． D．【答案】A【詳解】由圓的對(duì)稱性可得只需考慮圓心到函數(shù)圖象上一點(diǎn)的距離的最小值．設(shè)圖象上一點(diǎn)，令圖象上一點(diǎn)的切線為由的導(dǎo)數(shù)為，即切線的斜率為，當(dāng)時(shí)，圓心到函數(shù)圖象上一點(diǎn)的距離最小，此時(shí)，即有，由，可得，遞增，又，所以，，所以點(diǎn)到點(diǎn)的距離最小，且為，則線段的長(zhǎng)度的最小值為，故選：A．4．（2022·寧夏銀川·銀川一中?？级＃┮阎獙?shí)數(shù)x，y滿足，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)閷?shí)數(shù)，滿足，所以當(dāng)時(shí)，，其圖象是位于第一象限，焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的一部分（含點(diǎn)），當(dāng)時(shí)，其圖象是位于第四象限，焦點(diǎn)在軸上的橢圓的一部分，當(dāng)時(shí)，其圖象不存在，當(dāng)時(shí)，其圖象是位于第三象限，焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的一部分，作出橢圓和雙曲線的圖象，其中圖象如下：任意一點(diǎn)到直線的距離所以，結(jié)合圖象可得的范圍就是圖象上一點(diǎn)到直線距離范圍的2倍，雙曲線，其中一條漸近線與直線平行，通過圖形可得當(dāng)曲線上一點(diǎn)位于時(shí)，取得最小值，無最大值，小于兩平行線與之間的距離的倍，設(shè)與其圖像在第一象限相切于點(diǎn)，由因?yàn)榛颍ㄉ崛ィ┧灾本€與直線的距離為此時(shí)，所以的取值范圍是．故選：B．5．（2023·江西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知實(shí)數(shù)滿足，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】當(dāng)，時(shí)，方程為，是雙曲線在第一象限的部分；當(dāng)，時(shí)，方程為，不能表示任何曲線；當(dāng)，時(shí)，方程為，是雙曲線在第三象限的部分；當(dāng)，時(shí)，方程為，是圓在第四象限的部分；其圖象大致如圖所示：令，則直線與曲線有公共點(diǎn)，表示的曲線如圖，則當(dāng)表示部分雙曲線時(shí)，該曲線的漸近線斜率，和直線平行，；把直線往下移，直到如圖與第四象限的圓相切，此時(shí)圓心到直線的距離等于半徑，，解得：，又是與第四象限圓相切，；若直線繼續(xù)下移，則無交點(diǎn)，不合題意；綜上所述：，即的取值范圍為.故選：C.6．（2023·河南·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）若直線l：與曲線C：有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】當(dāng)時(shí)，曲線C的方程為，軌跡為橢圓的右半部分；當(dāng)時(shí)，曲線C的方程為，軌跡為雙曲線的左半部分，其漸近線為，作出圖象如下圖，直線l（圖中虛線）是與直線平行的直線，平行移動(dòng)直線，可得直線l，如圖可知，當(dāng)直線l介于直線和（與l平行且與橢圓相切，切點(diǎn)在第一象限）之間時(shí)，直線l與曲線C有兩個(gè)公共點(diǎn)．設(shè)的方程為，，則有，聯(lián)立，消去x并整理得，由，解得或（舍），故m的取值范圍為．故選：B．7．（2022·高二單元測(cè)試）橢圓上的點(diǎn)到直線的最大距離是【答案】【詳解】設(shè)直線與橢圓相切．由消去x整理得.由得.當(dāng)時(shí)符合題意(舍去)．即x+2y+=0與橢圓相切,橢圓上的點(diǎn)到直線的最大距離即為兩條平行線之間的距離:⑤新定義新文化題1．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）阿基米德是古希臘著名的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率π等于橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)的乘積，已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：（a＞b＞0）的面積為，兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A． B．C． D．【答案】A【詳解】由題意得，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.故選：A．2．（2023春·云南紅河·高二開遠(yuǎn)市第一中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）公元前世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯結(jié)合前人的研究成果，寫出了經(jīng)典之作《圓錐曲線論》，在此著作第七卷《平面軌跡》中，有眾多關(guān)于平面軌跡的問題，例如:平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比等于定值（不為1）的動(dòng)點(diǎn)軌跡為圓.后來該軌跡被人們稱為阿波羅尼斯圓.已知平面內(nèi)有兩點(diǎn)和，且該平面內(nèi)的點(diǎn)P滿足，若點(diǎn)P的軌跡關(guān)于直線對(duì)稱，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)?，則，即，所以點(diǎn)的軌跡方程為，因?yàn)辄c(diǎn)的軌跡關(guān)于直線對(duì)稱，所以圓心在此直線上，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值是.故選：B.3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）閔氏距離（）是衡量數(shù)值點(diǎn)之間距離的一種非常常見的方法，設(shè)點(diǎn)、坐標(biāo)分別為，，則閔氏距離.若點(diǎn)、分別在和的圖像上，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由題意得，設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)A、B分別在函數(shù)和的圖象上，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.設(shè)，，則，令，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，即，所以，即，所以的最小值為.故選：A.4．（多選）（2023春·廣東廣州·高二統(tǒng)考期末）費(fèi)馬原理是幾何光學(xué)中的一條重要原理，可以推導(dǎo)出雙曲線具有如下光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)雙曲線反射后，反射光線的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn).由此可得，過雙曲線上任意一點(diǎn)的切線平分該點(diǎn)與兩焦點(diǎn)連線的夾角.已知、分別是以為漸近線且過點(diǎn)的雙曲線C的左、右焦點(diǎn)，在雙曲線C右支上一點(diǎn)處的切線l交x軸于點(diǎn)Q，則（

）A．雙曲線C的離心率為 B．雙曲線C的方程為C．過點(diǎn)作，垂足為K，則 D．點(diǎn)Q的坐標(biāo)為【答案】BD【詳解】因?yàn)殡p曲線的漸近線為，設(shè)雙曲線方程為，代入點(diǎn)，可得，所以雙曲線方程為，可得，所以離心率為，故A錯(cuò)誤，B正確；因?yàn)椋O(shè)，因?yàn)?，且為的角平分線，所以，且，故C錯(cuò)誤；因?yàn)?，?dāng)時(shí)，整理得，則，可得，即切點(diǎn)