2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)冪函數(shù)8種常見考法歸類（解析版）

6.1幕函數(shù)8種常見考法歸類

解題策略

1.幕函數(shù)的概念

我們把形如丁=y的函數(shù)稱為募函數(shù)，其中x是自變量，a是常數(shù).

2.幕函數(shù)的圖象和性質(zhì)

(1)幕函數(shù)的圖象

1

在同一平面直角坐標(biāo)系中，嘉函數(shù)y=龍，y=j?,丁=步】的圖象如圖所示:

y二43

(2)事函數(shù)的性質(zhì)

1

2y=x3l

尸Xy=x_2y=x~

y—x

定義域RRR[0,+°°)(一8,0)U(0,+°0)

值域R[0,+°°)R[0,+°°)(一8,0)U(0,+°0)

奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)非奇非偶函數(shù)奇函數(shù)

在(一8,0］

在(-8,+在(-8,十在(-8,0)上是減函

上是減函數(shù)，在［0,+8)

單調(diào)性8)上是增函8)上是增函數(shù)，在(0,+8)上是

在［0,+8)上是增函數(shù)

數(shù)數(shù)減函數(shù)

上是增函數(shù)

定點(diǎn)(1,1)，(0,0)(1,1)，(0,0)(1,1)，(0,0)(1,1)，(0,0)(1,1)

注：(1)當(dāng)a>0時(shí)，募函數(shù)丁=靖具有如下性質(zhì)：

①函數(shù)的圖象過點(diǎn)(0,0),(1,1).

②在第一象限內(nèi)，函數(shù)的圖象隨x的增大而上升，即函數(shù)在區(qū)間［0,+8)上是增函數(shù).

⑵當(dāng)a<0時(shí)，募函數(shù)y=產(chǎn)具有的性質(zhì)為：

①函數(shù)的圖象都過點(diǎn)(1,1).

②在第一象限內(nèi)，函數(shù)的圖象隨x的增大而下降，函數(shù)在區(qū)間(0,+8)上是減函數(shù).

n

3.對(duì)于形如/(%)=尤"(其中機(jī)GN*,"GZ,機(jī)與W互質(zhì))的幕函數(shù)

(1)當(dāng)W為偶數(shù)時(shí)，/(X)為偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；

(2)當(dāng)m,w都為奇數(shù)時(shí)，犬x)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；

(3)當(dāng)初為偶數(shù)時(shí)，%>0(或xNO),/(x)是非奇非偶函數(shù)，圖象只在第一象限(或第一象限及原點(diǎn)

處)

4.露函數(shù)的概念

判斷一個(gè)函數(shù)是否為賽函數(shù)的依據(jù)是該函數(shù)是否為y=%?(a為常數(shù))的形式，需滿足：①指數(shù)

為常數(shù)，②底數(shù)為自變量，③;1a系數(shù)為1.形如y=(3x)。，、=2產(chǎn)，、=尸+5…形式的函數(shù)都不

是露函數(shù).反過來，若一個(gè)函數(shù)為幕函數(shù)，則該函數(shù)也必具有這一形式.

注：求嘉函數(shù)解析式時(shí)常用待定系數(shù)法，即設(shè)解析式為人%)=產(chǎn)，根據(jù)條件求出a.

5.作基函數(shù)圖象的步驟如下：

(1)先作出第一象限內(nèi)的圖象；

(2)若塞函數(shù)的定義域?yàn)?0,+oo)或［0,+co),作圖已完成；

若在(-8,0)或(-00,0］上也有意義，則應(yīng)先判斷函數(shù)的奇偶性

如果為偶函數(shù)，則根據(jù)y軸對(duì)稱作出第二象限的圖象；

如果為奇函數(shù)，則根據(jù)原點(diǎn)對(duì)稱作出第三象限的圖象.

6.解決賽函數(shù)圖象問題應(yīng)把握的兩個(gè)原則

(1)依據(jù)圖象高低判斷賽的指數(shù)大小，相關(guān)結(jié)論為：

①在(0,1)上，森的指數(shù)越大，賽函數(shù)圖象越靠近x軸(簡(jiǎn)記為指大圖低)；②在(1,+8)上，

幕的指數(shù)越大，賽函數(shù)圖象越遠(yuǎn)離x軸(簡(jiǎn)記為指大圖高).

(2)依據(jù)圖象確定賽的指數(shù)a與0,1的大小關(guān)系，即根據(jù)露函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象(類似于y

1

=x~l或或y=%3)來判斷.

7.比較幕值大小的兩種基本方法

(

兩當(dāng)森的指數(shù)相同時(shí)，可直接利用系函數(shù)的單

調(diào)性來比較

|#獷|

法當(dāng)屬的指數(shù)不相同時(shí)，可以先轉(zhuǎn)化為相同賽

〕指數(shù)，再運(yùn)用單調(diào)性比較大小

8.賽函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用

賽函數(shù)y=x?中只有一個(gè)參數(shù)a,幕函數(shù)的所有性質(zhì)都與a的取值有關(guān)，故可由a確定賽函數(shù)

的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性，也可由這些性質(zhì)去限制a的取值.

第二署

高頻考點(diǎn)

考點(diǎn)一事函數(shù)的概念考點(diǎn)五由募函數(shù)單調(diào)性比較大小

考點(diǎn)二基函數(shù)定義域和值域問題考點(diǎn)六利用暴函數(shù)單調(diào)性解不等式

考點(diǎn)三募函數(shù)的圖象及應(yīng)用考點(diǎn)七利用事函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)

考點(diǎn)四塞函數(shù)過定點(diǎn)問題考點(diǎn)八暴函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用

考點(diǎn)一篇函數(shù)的概念

1.【多選】（2023上?四川廣安?高一校考期中）下列選項(xiàng)中哪些是累函數(shù)（）.

A.y=xeB.y=(2x)2

cy=l

,J2D.y--x2

X

【答案】AC

【分析】由事函數(shù)的定義依次判斷各項(xiàng)即可.

【詳解】因?yàn)槟缓瘮?shù)定義：一般地，函數(shù)y=叫做事函數(shù)，其中x是自變量，。是常數(shù),

又y=3=1

,所以A項(xiàng)、c項(xiàng)正確.

故選：AC.

2.【多選】(2023上?陜西咸陽?高一統(tǒng)考期中)下列函數(shù)為幕函數(shù)的是()

A.y=2x，B.y=x3C.y=(x+l)2D.y=x-1

【答案】BD

【分析】根據(jù)幕函數(shù)定義求解.

【詳解】根據(jù)幕函數(shù)的定義知，y=x1y=/是幕函數(shù)，y=2x；y=(x+l)2不是事函數(shù).

故選：BD

3.(2023?全國(guó)?高一專題練習(xí))判斷下列函數(shù)是不是基函數(shù)？

⑴y=/；

⑵y=2x2；

(3)1；

(4)y=尸;

(5)y=x3+x2；

(6)y=(x+1)2.

【答案】⑴是

⑵不是

(3)不是

⑷是

(5)不是

(6)不是

【分析】根據(jù)幕函數(shù)的定義判斷.

【詳解】(1)y=/是塞函數(shù)，

(2)>=2/不是幕函數(shù)，

(3)y=3”不是塞函數(shù)；

(4)>是塞函數(shù)，

(5)y=/+無2不是塞函數(shù)，

(6)y=(x+l>不是塞函數(shù)，

4.(2023上?四川成者B?高一四川省成都列五中學(xué)?？计谥?已知幕函數(shù)y=/(x)的圖象過點(diǎn),則/(3)

的值為（）

A.9B.3C.V3D.-

【答案】A

【分析】設(shè)y=/（x）=x",根據(jù)/=g求出a,即可求出函數(shù)解析式，再代入計(jì)算可得.

【詳解】設(shè)＞=/（力=y，則/[￥[=[=g，所以&=2，

貝Ij/（x）=x2,所以"3）=32=9.

故選：A

5.（2023上?河南?高一校聯(lián)考期中）若幕函數(shù)/（x）=/的圖象過點(diǎn)（2,0）,則實(shí)數(shù)加=（）

A.2B.3C.-1D.1

【答案】D

【分析】將點(diǎn)的坐標(biāo)代入求解即可.

【詳解】幕函數(shù)/的圖象過點(diǎn)（2,夜），

所以42）=2小=應(yīng)，故小=，

故選：D

6.（2023上?新疆克孜勒蘇?高三統(tǒng)考期中）已知幕函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)口，則/⑻的值等于.

【答案】1/0.125

O

【分析】設(shè)基函數(shù)〃X）=x〃，代入點(diǎn)計(jì)算。=-1,計(jì)算得到答案.

【詳解】設(shè)幕函數(shù)/（"=/，則”5）=5。=4,故a=-l,即/⑺=/，/（8）=1,

58

故答案為：:

o

7.（2023上?重慶?高一重慶市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考期中）已知事函數(shù)/（?=/,且〃2）=8/。），則實(shí)數(shù)/（-2）=

（）

A.-8B.-9C.8D.9

【答案】A

【分析】首先代入求出。的值，即可得到函數(shù)解析式，再代入求值即可.

【詳解】因?yàn)?■（x）=x",且"2）=8/⑴，即20=8x1“，解得a=3,

所以/（x）=d則〃_2）=（-2）3=_8.

故選：A

8.（2023上?河北邢臺(tái)?某中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）若幕函數(shù)〃到="3卜"的圖象過點(diǎn)（6

貝l]a=.

【答案】2

【分析】根據(jù)幕函數(shù)的解析式和性質(zhì)，求的解析式進(jìn)而可得函數(shù)值

【詳解】由題意得—3=1,貝卜=4,由3）=（也）°=；=2,得a=2.

故答案為：2.

9.（2023上?河南南陽?高一統(tǒng)考期中）基函數(shù)〃x）=,2-2a+2）f（a>0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（2,4）,則a+6=

【答案】3

【分析】根據(jù)幕函數(shù)的定義可求出。的值，再由/（2）=4可求出6的值，由此可得出a+b的值.

【詳解】因?yàn)槟缓瘮?shù)〃%）=（/-2“+2產(chǎn)（4>0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（2,4）,

則2a+2=l,即（a—1）~=0,可得a=l,則〃x）=x",

又因?yàn)椤?）=2〃=4,解得6=2,因此a+b=3.

故答案為：3.

10.（2023上廣東湛江?高一統(tǒng)考期中）已知塞函數(shù)/@）=（〃一1々+￡|產(chǎn)的圖象經(jīng)過第三象限,則&=

【答案】3

【分析】根據(jù)幕函數(shù)的定義及常見累函數(shù)的圖象求解即可.

751

【詳解】由題意，^a2--?+<=l,解得a=彳或&=3.

222

1?

當(dāng)[=5時(shí)，/（同=丁=石的圖象不經(jīng)過第三象限，不符合題意.

當(dāng)a=3時(shí)，/（x）=Y經(jīng)過第三象限，符合題意.

故答案為：3.

考點(diǎn)二篇函數(shù)定義域和值域問題

11.（2023上?江蘇南京?高一南京師大附中?？计谥校┮阎潞瘮?shù)/（無）=x"+2，”的定義域?yàn)镽,且加eZ,

則加的值為（）

A.-1B.0C.1D.2

【答案】C

【分析】根據(jù)募函數(shù)定義域得到不等式，結(jié)合meZ求出機(jī)=1,檢驗(yàn)后得到答案.

【詳解】因?yàn)槔酆瘮?shù)的定義域?yàn)镽,故-加+2〃?>o,

解得0<〃z<2,

又〃zeZ,所以m=1,

檢驗(yàn)，zn=l時(shí)，-用+29=1,即/（x）=x,滿足題意.

故選：C

1

12.（2023上?湖南益陽?高一統(tǒng)考期末）函數(shù)/（%）=丁1+/的定義域?yàn)椋ǎ?/p>

A.（-oo,+oo）B.（-a?,0）U（0,+oo）

C.[。,+8）D.（0,+<x>）

【答案】D

【分析】化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，根據(jù)函數(shù)解析式有意義可得出關(guān)于犬的不等式組，由此可解得原函數(shù)的定義域.

,li/—fxwO

【詳解】因?yàn)?（切=獷1+二=：+&,貝Mx>0，可得尤>0，

故函數(shù)〃尤）的定義域?yàn)椋?,+"）.

故選：D.

13.（2023上?廣東廣州?高一廣州市第二中學(xué)校考期中）塞函數(shù)/⑴圖象過點(diǎn)[2,亭]，則y=f（x）+/（2-附

的定義域?yàn)椋ǎ?/p>

A.（0,2）B.（0,2]C.[0,2]D.（-2,2）

【答案】A

fx>0

【分析】設(shè)出幕函數(shù)，代入點(diǎn)坐標(biāo)得到函數(shù)解析式，確定函數(shù)定義域，得到。??八，解得答案.

[2-|x|>0

【詳解】設(shè)塞函數(shù)為f（x）=x"，貝1"2）=2"=亨，故。=4,〃尤）=/，

則的定義域?yàn)椋∣,+8）,

?[x>0

故y"(無)+/(z2-國(guó))滿足12Tx>0,解得0<x<2.

故選：A

14.（2023上?黑龍江綏化?高一校聯(lián)考期末）函數(shù)/（x）=（尤-ly+J」一的定義域?yàn)椋?/p>

)

Vx+2

A.(1,+8)B.(—2,+oo)C.(-+8)D.R

【答案】B

【分析】求使函數(shù)有意義的光的取值范圍可得答案.

【詳解】由已知」>0解得無>-2,所以八x）的定義域?yàn)椋?2,+8）.

故選：B.

3

15.（2023上?上海靜安?高三上海市市西中學(xué)校考期中）函數(shù)y=（3x-2）W的定義域?yàn)?

【答案】（]”）

【分析】定義域即使得式子有意義，列出不等式即可.

【詳解】由y=（3尤-2）73,使得式子有意義，貝lj3x-2>0,則定義域?yàn)椋ㄓ?口）.

2

故答案為：（->+°°）

._____________1

16.（2023上?北京?高三北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）函數(shù)/（%）=J-/+2工+3+『3的定義域

是.

【答案】[T0）（0,3]

【分析】利用具體函數(shù)定義域求法可令根號(hào)下的式子大于等于0,且分母不為0,解不等式即可求出定義域.

【詳解】易知"X）=J4+2X+3+方-/+2x+320

,要使式子有意義則需滿足

五w0

-l<x<3

解得

x。0

所以函數(shù)“X）的定義域?yàn)椋?,3].

故答案為：卜1,。）（0,3].

1

17.(2023下?山東日照?高二校考期末)已知幕函數(shù)y=〃力的圖象過點(diǎn)(4,2),則G*定義域?yàn)?/p>

【答案】(-8,；)

【分析】首先求幕函數(shù)的解析式，再求函數(shù)的定義域，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的形式，求函數(shù)的定義域.

【詳解】???y=/(x)=xQ'的圖象過點(diǎn)(4,2),=〃1_2x)=Ji'x；X應(yīng)該滿足：1一2》＞。,

即..?舟詞的定義域?yàn)椤鸽p

故答案為：鞏萬]

m2+4zn+3

18.(2023上?上海青浦?高一上海市青浦高級(jí)中學(xué)?？计谥?若幕函數(shù)丫=+的定義域?yàn)镽,

求實(shí)數(shù)加的值.

【答案】1

【分析】由幕函數(shù)的概念建立方程，再驗(yàn)證定義域是否為R.

m2+4m+3

【詳解】因?yàn)椋?("/+根.1)”^^是事函數(shù)，

所以蘇+根-1=1,解得m=1,或根=-2.

當(dāng)機(jī)=1時(shí)，y=爹，即尸而，定義域?yàn)镽,滿足題意；

當(dāng)機(jī)=-2時(shí)，＞=＞,即"R，定義域?yàn)?-8,o)(o，+8),故不滿足題意.

綜上所述，實(shí)數(shù)加的值為L(zhǎng)

4

19.(2023?全國(guó)?高一課堂例題)(1)函數(shù)丫_必的定義域是,值域是

(2)函數(shù)y=xq的定義域是，值域是；

3

(3)函數(shù)y=R的定義域是，值域是；

3

(4)函數(shù)y=的定義域是,值域是.

【答案】R[0,+oo)(-oo,0)u(0,+oo)(0,+ao)[0,+oo)[0,+oo)(0,+(?)

(O,+＜?)

【分析】(1)(2)(3)(4)將分?jǐn)?shù)指數(shù)幕化成根式形式，依據(jù)根式有意義求定義域.

4

【詳解】(1)y=/=濘的定義域?yàn)镽,

因?yàn)闊o420,所以療20，所以值域?yàn)椋?,+8).

21

⑵y=

由在W0,得xwO,所以定義域?yàn)?-8,0)U(0,+s),

由正＞0，得彳g＞。，所以值域?yàn)?。,+8).

3__

(3)y=x^=V?

由爐20,得XNO,所以定義域?yàn)椋?,+8),

因?yàn)閐20，所以正20，所以值域?yàn)椋邸?+°°).

41

(4)y=x4=-r=,

由_?>0,得x>0,所以定義域?yàn)?0,+“)，

因?yàn)?>0,所以正>0，則/r>°，所以值域?yàn)?°，+°°)-

故答案為：R,[0,+℃>),(―oo,0)U(0,+co),(0,+8),[0,+oo),[0,+℃),(0,+??),(0,+動(dòng)

20.(2023?上海?高一專題練習(xí))研究下列函數(shù)的定義域、值域、對(duì)稱性，并作出其大致圖象.

⑴y=H；

5

⑵y=xE；

i

(^3)丫=/；

3

(4)y=x2.

【答案】(1)答案見解析；

(2)答案見解析；

(3)答案見解析；

(4)答案見解析.

【分析】將嘉函數(shù)化為根式的形式，分析其定義域和值域，由奇偶性的定義判斷其奇偶性，由指數(shù)的正負(fù)

結(jié)合幕函數(shù)的性質(zhì)先判斷出函數(shù)在第一象限內(nèi)的單調(diào)性，再根據(jù)奇偶性得出單調(diào)區(qū)間，作出其大致圖象.

【詳解】(1)、=婚，設(shè)/⑺=/=二，定義域：(_^o)U(O,+?);

因?yàn)間＞0,所以值域?yàn)椋?,+8）,顯然/（x）=f（T）,"X）為偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱;

在＞=無，中，-2＜0,/（X）為偶函數(shù)，所以在（-8,0）上單調(diào)遞增，在（0,+8）上單調(diào)遞減.

由6f。，所以值域：（F,0）U（0,4w）；

由g（x）=-g（-x），所以g（x）為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；

在”一中，3＜。，g（x）為奇函數(shù)，所以在（-8,0）上單調(diào)遞減，在（。,+巧上單調(diào)遞減.

11

（3）y=W，設(shè)//（＞）=/=g，定義域：R，值域：R;

由h（x）=-h（-x）,所以//（可為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；

在y=）中，J＞。，MX）為奇函數(shù)，所以在（口,口）上單調(diào)遞增.

33__

（4））=妙，設(shè)夕（尤）=?=1/，由無3NO得定義域：［0,+8）,值域：［0,+8）；

因?yàn)槎x域：［。,+e）,所以夕（天）非奇非偶函數(shù)，圖象不具備對(duì)稱性；

3

在y=/中，（3>0,定義域?yàn)椋踥,+8）,所以°（x）在［0,+司上單調(diào)遞增.

/2

21.（2023上?湖北襄陽?高一統(tǒng)考期末）下列函數(shù)中，值域?yàn)椋?,+8）的是（）

A./（x）=VxB.尤）=尤+,0>0）

C./（x）=jJ［D.y（尤）=1—：（尤>1）

【答案】C

【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域、幕函數(shù)的性質(zhì)、以及基本不等式可直接求得選項(xiàng)中各函數(shù)的值域進(jìn)行判斷即

可.

【詳解】由已知=?值域?yàn)椋?,+8），故A錯(cuò)誤；

x>0,f（x）=：x+—>2.XX--2,x=1時(shí)，等號(hào)成立，所以〃x）=x+乂尤>0）的值域是［2,+8）,B錯(cuò)誤;

XVxx

'"）=WzT因?yàn)槎x域?yàn)闊o?一1'+8）'Vx+T>o,函數(shù)值域?yàn)椋ā?+8）,故c正確；

/（x）=1—（x>1）,—€（0,1）,￡（一1,。），所以/（%）￡（?！梗?故D錯(cuò)誤.

九XX

故選：C.

21

22.（2023?高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)y=Q+2/+4,其中苫…-8,則其值域?yàn)?

【答案】［3,+s）/@W3）

【分析】用J用換元法將函數(shù)化為>=產(chǎn)+2/+4=。+1）2+3,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出結(jié)果.

【詳解】設(shè)一），則y=產(chǎn)+2f+4=?+l）2+3.因?yàn)闊o…-8,所以心..-2.當(dāng)t=T時(shí)，/。=3.所以函數(shù)的值

域?yàn)椋?,+8）.

故答案為：［3,+8）

23.（2023下?上海嘉定?高三上海市嘉定區(qū)第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)干若函數(shù)一⑺的

［尤，尤>a

值域?yàn)镽,則實(shí)數(shù)。的取值范圍為.

【答案】［0』

【分析】判斷y=孤單調(diào)遞增，討論“<0或根據(jù)分段函數(shù)的值域可得。20且/總媯，解不等式即

可求解.

【詳解】由函數(shù)y=正單調(diào)遞增，

①當(dāng)a<0時(shí)，若有電cS也<0,

而尤220,此時(shí)函數(shù)/（X）的值域不是R；

②當(dāng)a20時(shí)，若有也4媯，而

若函數(shù)Ax）的值域?yàn)镽,必有a2M板,可得OVaVl.

則實(shí)數(shù)。的取值范圍為［0,1］

故答案為：［0』

2

24.（2023?高一課時(shí)練習(xí)）（1）使用五點(diǎn)作圖法，在圖中畫出了（x）=#的圖象，并注明定義域.

42

(2)求函數(shù)〃(尤)=/—2x3一3的值域.

【答案】(1)作圖見解析，定義域?yàn)镽；(2)［Y,y).

【分析】(1)根據(jù)函數(shù)解析式，求出圖象上的五個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)，描點(diǎn)即可畫出圖象，觀察解析式即可得出定義

域；

(2)設(shè)點(diǎn)SO,從而有M*)=根⑺=〃—2r—3=(…l)2—4NT,即可得出無(x)的值域.

2,_

【詳解】解：(1)由于〃*)=聲=浮，

則"0)=0，/(-1)=/(1)=1,〃_8)=〃8)=存=4,

2

所以〃力=必過點(diǎn)(0,0),(-1,1),(1,1),(-8,4),(8,4),

2

故7(x)=#的圖象，如圖所示，函數(shù)的定義域?yàn)镽；

42

(2)由題可知力(%)=元§—2/—3，

27

設(shè)戶=.>0,則/z(x)==/-2，-3=(/—1)—4>—4,

當(dāng)，=1時(shí)取等號(hào)，故M%)的值域?yàn)椋踭e).

考點(diǎn)三指函數(shù)的圖象及應(yīng)用

25.(2023上?上海嘉定?高一?？计谥?圖中C］、C”G為三個(gè)暴函數(shù)V=在第一象限內(nèi)的圖象，則解析

式中指數(shù)a的值依次可以是（)

【分析】利用特值驗(yàn)證即可區(qū)分出三個(gè)基函數(shù)圖象分別對(duì)應(yīng)的指數(shù)a的值.

【詳解】在題給坐標(biāo)系中，作直線x=g,分別交曲線C3，g，G于A、B、C三點(diǎn)

則以＜力＜/，又（口=；＜￥=gj＜2=gj

則點(diǎn)A在暴函數(shù)y=V圖像上，點(diǎn)B在褰函數(shù)＞=X：圖像上，

點(diǎn)C在累函數(shù)＞=廠|圖像上，

則曲線C1C，G對(duì)應(yīng)的指數(shù)分別為T,g,3

26.（2023上?廣東廣州?高一廣州空港實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┫聢D給出4個(gè)事函數(shù)的圖象，則圖象與函數(shù)大致

對(duì)應(yīng)的是（）

B.①y=V,②y=*,③>=婷，@y=xi

C.①y=②y=③y=/，④)=彳5

-1

D.①y=V,@y=xi,④y=x2,?y=x

【答案】A

【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式判斷圖像性質(zhì)，即可判斷圖像.

【詳解】嘉函數(shù)y=%3的定義域?yàn)镽,且為奇函數(shù)，在（0,+8）上單調(diào)遞增，對(duì)應(yīng)圖像①;

累函數(shù)y=r的定義域?yàn)镽,且為偶函數(shù)，在（0,+8）上單調(diào)遞增，對(duì)應(yīng)圖像②；

暴函數(shù)y=%的定義域?yàn)椋?,+0，為非奇非偶函數(shù)，在（0,+8）上單調(diào)遞增，對(duì)應(yīng)圖像③；

幕函數(shù)y=x-的定義域?yàn)椋═,0）U（0,+W）,且為奇函數(shù)，在（0,+8）上單調(diào)遞減，對(duì)應(yīng)圖像④；

故選：A.

27.（2023上?四川成都?高一校考期中）若幕函數(shù)AM的圖像經(jīng)過點(diǎn)［2,則Ax）的圖像可能是（）

【答案】D

【分析】函數(shù)/（無）=尤0,代入圖像經(jīng)過的點(diǎn)，求得a的值，分析函數(shù)性質(zhì)，選擇函數(shù)圖像.

【詳解】設(shè)備函數(shù)〃x）=x",因?yàn)閳D像經(jīng)過點(diǎn)（2,：）,

所以2。=：,解得￡=-2,則此募函數(shù)的表達(dá)式為〃x）=F.

募函數(shù)/（x）=x-2=5，函數(shù)定義域?yàn)椋═,O）U（O,E）,在（。,+s）上單調(diào)遞減，

/（-x）=Vr=g="x）,函數(shù)為偶函數(shù)，圖像關(guān)于了軸對(duì)稱，

（t）》

只有D選項(xiàng)符合.

故選：D

]

28.（2023上?浙江?高一校聯(lián)考期中）塞函數(shù)〃"=戶麗工eN*）的大致圖像是（）

【答案】B

【分析】由幕函數(shù)的定義域和單調(diào)性判斷圖像形狀.

]

【詳解】?."wN*時(shí)，〃（〃+1）為偶數(shù)且大于0,，/（*=苫而的定義域?yàn)閇°，+8），且在定義域上單調(diào)遞

只有B選項(xiàng)符合條件.

答案:B.

29.（2023上?上海青浦?高一統(tǒng)考期末）幕函數(shù)y=x-2的大致圖象是（）

【分析】首先求出函數(shù)的定義域，即可判斷函數(shù)的奇偶性，再判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可得解.

尸=*定義域?yàn)閧x|xw0},目.〃T)=［斤=B=〃x),

【詳解】幕函數(shù)y=/（x）

所以y=/（X）="2為偶函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,

又當(dāng)xe（0,y）時(shí)y=〃尤）=尤-2單調(diào)遞減，則y=/（X）=X-2在（-8,0）上單調(diào)遞增,

故符合題意的只有c.

故選：c

1

30.（2023上?浙江?高一校聯(lián)考期中）函數(shù)〃力=|尤|3的圖象大致為（）

【答案】C

【分析】判斷出/（x）=|x?的奇偶性，結(jié)合幕函數(shù)的圖象得到答案.

【詳解】/（X）=國(guó)5的定義域?yàn)镽,又/（—x）=卜#=國(guó)5=/（尤），

故〃尤）=|中為偶函數(shù)，

當(dāng)x>0時(shí)，/（彳）=#，結(jié)合塞函數(shù)的圖象可知，C正確.

故選：C

31.【多選】（2023上?重慶沙坪壩?高一重慶南開中學(xué)?？计谥校┰谕蛔鴺?biāo)系下，函數(shù)y=x"與、="+1在

其定義域內(nèi)的圖像可能是（）

【答案】AB

【分析】根據(jù)幕函數(shù)以及一次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

【詳解】若。<0,則直線、=依+1和函數(shù)y=x。均為（0,+8）上的單調(diào)遞減函數(shù)，故可排除CD；

當(dāng)a=—2,此時(shí)y=-7,>=-2尤+1滿足圖象B,

X"

若。>0,則直線、=分+1和函數(shù)y=x"均為（。,+8）上的單調(diào)遞增函數(shù)，比如a=2時(shí)，此時(shí)A選項(xiàng)中的圖

象滿足，

故選：AB

32.（2023上?山東青島?高一?？茧A段練習(xí)）函數(shù)〃力=依2+2》+1與g（x）=x〃在同一直角坐標(biāo)系中的圖象

不可能為（）

【分析】利用二次函數(shù)的圖象得出。的正負(fù)，結(jié)合幕函數(shù)特點(diǎn)可得答案.

【詳解】對(duì)于A,二次函數(shù)開口向下，所以“<0,此時(shí)g(x)=x"與圖中符合；

對(duì)于B,二次函數(shù)開口向上，所以。>0,此時(shí)g(x)=/在(0,+動(dòng)為增函數(shù)，不符合；

對(duì)于C,二次函數(shù)開口向上，所以a>0,此時(shí)g(x)=x"在(0,+。)為增函數(shù)，符合；

對(duì)于D,二次函數(shù)開口向上，所以。>0,此時(shí)g(x)=x"在(0,+8)為增函數(shù)，符合；

故選：B.

33.(2023上?江西南昌?高一南昌大學(xué)附屬中學(xué)?？计谥?已知幕函數(shù)〃x)=(蘇+〃-1卜"'的圖像與坐標(biāo)軸

沒有公共點(diǎn)，則/(2)=()

A.JB.&C.—D.2^2

【答案】C

【分析】由幕函數(shù)的定義得出加的值，結(jié)合“元)的圖像與坐標(biāo)軸沒有公共點(diǎn)，確定義龍)，代值計(jì)算即可得

出答案.

【詳解】因?yàn)?*)為幕函數(shù)，

所以加2+根—1=1,即m2+m-2=(m+2)(m-l)=0,解得加=-2或根=1,

則/(%)=%一2或/(九)=%,

又因?yàn)榈膱D像與坐標(biāo)軸沒有公共點(diǎn),

所以7(x)=x-2,則“2)=2-2=1，

4

故選：C.

34.(2023上?上海黃浦?高一格致中學(xué)?？计谥?已知函數(shù)丫=("-加-1)--2小是累函數(shù)，且函數(shù)圖象不

經(jīng)過第二象限，則實(shí)數(shù)用的值為.

【答案】2

【分析】根據(jù)函數(shù)為幕函數(shù)，可列式加一機(jī)_i=i,計(jì)算得"2的值，驗(yàn)證后即得答案.

【詳解】由題意函數(shù)y=(蘇-〃7-1)是幕函數(shù)，

故病一加一1二1,即加2—根一2=0,

解得m=2或相=-1,

當(dāng)機(jī)=2時(shí)，>=/為反比例函數(shù)，函數(shù)圖象不經(jīng)過第二象限，符合題意；

當(dāng)相=-1時(shí)，y=x2,其圖象經(jīng)過第二象限，不符合題意；

故機(jī)=2,

故答案為：2

35.(2023上?上海?高一上海市第二中學(xué)?？计谥?塞函數(shù)y=/T乂加eZ)的圖象關(guān)于y軸成軸對(duì)稱，且與

無軸、y軸均無交點(diǎn)，求機(jī)的值.

【答案】0或2或4.

【分析】由幕函數(shù)與x軸、y軸均無交點(diǎn)得療-4加40,再根據(jù)meZ求出用的值，結(jié)合幕函數(shù)的圖象和性

質(zhì)分類驗(yàn)證是否滿足題意即可.

【詳解】由事函數(shù)y=/一.(“EZ)的圖像與X軸、y軸均無交點(diǎn)，

得加2_4根40，解得XmeZ,

所以m=0,1,2,3,4.

當(dāng)機(jī)=0或4時(shí)，y=巴定義域?yàn)?一8,0)(0,+oo),

即函數(shù)y=i(xwo),其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，滿足題意；

當(dāng)根=1或3時(shí)，y=x”,即丁=4，

設(shè)〃x)=1,由/(1)=1,/(—1)=一1>/(1),

故其圖象不關(guān)于y軸對(duì)稱，不滿足題意;

當(dāng)〃z=2時(shí)，片婷，即y=\,定義域?yàn)椋▂,0）（0,+?）,

X

設(shè)g（X）=F，則g（T）=（_x）4=7=g（X），

故/a）是偶函數(shù)，則圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，滿足題意.

綜上所述，機(jī)=0或2或4.

考點(diǎn)四賽函數(shù)過定點(diǎn)問題

36.（2023下?山西朔州?高一?？茧A段練習(xí)）幕函數(shù)y=（a是常數(shù)）的圖象一定經(jīng)過點(diǎn)（）

A.（0,0）B.（1,1）C.（-1,1）D.（1,-1）

【答案】B

【分析】根據(jù)幕函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可確定答案.

【詳解】由題意可知當(dāng)x=l時(shí)，＞=1,此時(shí)函數(shù)值與a取何值無關(guān)，

故幕函數(shù)y=x°（。是常數(shù)）的圖象一定經(jīng)過點(diǎn)（L1）,

故選：B

37.（2023上廣東東莞?高一?？计谥校┖瘮?shù)尸X—2g為常數(shù)）的圖象過定點(diǎn).

【答案】（1,-1）

【分析】利用1。=1求得正確答案.

【詳解】當(dāng)x=l時(shí)，y=la-2=-l,

所以定點(diǎn)為（1,-1）.

故答案為：（1,-1）

38.（2023上?上海靜安?高一上海市市西中學(xué)?？计谥校┎徽搶?shí)數(shù)。取何值，函數(shù)y=（x-l）"+2恒過的定點(diǎn)

坐標(biāo)是.

【答案】（2,3）

【分析】根據(jù)1"=1，即可知y=（x-l）"+2恒過定點(diǎn)（2,3）.

【詳解】因?yàn)?"=1，故當(dāng)x—1=1,即x=2時(shí)，y=3,

即函數(shù)丫=（》-1）0+2恒過定點(diǎn)（2,3）.

故答案為：（2,3）.

39.(2023上?福建莆田?高一?？计谥?已知函數(shù)y=的圖象恒過定點(diǎn)A,若點(diǎn)A在一次函數(shù)V=〃a+〃的

圖象上，其中加>0,n>0,則'+'的最小值為.

mn

【答案】4

【分析】求出函數(shù)>=》。的圖象恒過定點(diǎn)AQ1),得到根+〃=1,使用基本不等式求工+工的最小值.

mn

【詳解】函數(shù)y=%a的圖象恒過定點(diǎn)41,1),所以根+〃=1,

因?yàn)楦?〃〉0,所以一+—=(一+一)(m+〃)=2+—+—=2+2J—X—=4,

mnmnnm\幾m

當(dāng)加=〃=1時(shí)，,+」的最小值為4.

2mn

故答案為：4

考點(diǎn)五由賽函數(shù)單調(diào)性比較大小

40.(2023上?北京?高一北京十四中?？计谥?設(shè)?"ceR,且Q>〃，則()

A.ac2>be2B.—<C.a2>b2D.a3>b3

ab

【答案】D

【分析】根據(jù)不等式的基本性質(zhì)，以及函數(shù)y=d的單調(diào)性，逐項(xiàng)判定，即可求解.

【詳解】對(duì)于A中，當(dāng)。=0時(shí)，可得比2=兒;2,所以A不正確；

對(duì)于B中，由=因?yàn)椤?gt;6,則a<0,但而符號(hào)不確定，所以B錯(cuò)誤；

對(duì)于C中，例如。=11=-2,可得/<凡所以c錯(cuò)誤；

對(duì)于D中，由函數(shù)y=d為單調(diào)遞增函數(shù)，所以/>/,所以D正確.

故選：D.

41.(2023?全國(guó)?高一課堂例題)比較下列各組中兩個(gè)數(shù)的大?。?/p>

(1)1531.6%

(2)1,5。4,1.604；

(3)1.5-5,16”.

【答案】(1)154<164

(2)1.5。4<1.6。-4

(3)1.5一“>16”

【分析】利用募函數(shù)的單調(diào)性，比較函數(shù)值的大小.

【詳解】（1）15”,16"可看作募函數(shù)y=/的兩個(gè)函數(shù)值.該函數(shù)在［0,+向上遞增，由于底數(shù)1.5<1.6,

所以1.5「4<1.6工

（2）1.5°4,1.6°”可看作幕函數(shù)y=x°4的兩個(gè)函數(shù)值.該函數(shù)在［0,+8）上遞增，由于底數(shù)1.5<1.6,所以

1.504<1,60-4.

（3）1.5一巴1.6*可看作幕函數(shù)y=的兩個(gè)函數(shù)值.該函數(shù)在（0,+8）上遞減，由于底數(shù)1.5<1.6,所以

1.5-1-5.

422

42.（2023上?重慶?高一西南大學(xué)附中?？计谥校┮阎猀=2§/=43C=3§，則（）

A.a<b<cB.c<b<aC.b<c<aD.c<a<b

【答案】c

【分析】利用募函數(shù)的單調(diào)性判定即可.

2

【詳解】由y=W（x>（））單調(diào)遞增，

242

則可知c=3§<4=2=43，

由y=%i"x〉0）單調(diào)遞增，

（2、15（2

63221510522

又加5=45=4=（4）=64,C==3=（3）=243,可得b<c

所以.

故選：C.

221

43.（2023上?廣東佛山?高一佛山市南海區(qū)第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若〃=&『，TOc=U'則"、

b、c的大小關(guān)系是（）

A.a<b<cB.c<a<bC.b<c<aD.b<a<c

【答案】D

【分析】利用幕函數(shù)y=涓在第一象限內(nèi)是增函數(shù)，即可判斷。，瓦C的大小.

2212

【詳解】因?yàn)閍=,『，b=cjqm

2112

又丁=/在第一象限內(nèi)是增函數(shù)，-<-<->

222

所以<]!)3,gp/?<6Z<c>

故選：D.

i

44.（2023上?云南昆明?高一云南師大附中校考期中）已知幕函數(shù)了（%）=#，且Ov，＜〃vl,則下列選項(xiàng)中正

確的是（）

A）（叫■⑹胃小心"什/（叫

B.

c./（叫“⑺M門oD.小卜，（叫＜弓H⑺

【答案】C

【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性及二＞:＞1＞62＞片＞0,比較出大小關(guān)系.

ab

【詳解】因?yàn)間＞o,所以“X）在（0,+8）上單調(diào)遞增，

又因?yàn)镺vav^vl,

所以>-y>1>b2>a2>0,

ab

所以《"6》/伊)>小).

故選：C.

考點(diǎn)六利用賽函數(shù)單調(diào)性解不等式

45.（2023上?新疆?高一新疆實(shí)驗(yàn)?？计谥校┮阎缓瘮?shù)/（x）=xa（tzeR）的圖象經(jīng)過點(diǎn)［g,4）且

。（。+1）＜/（3）,則〃的取值范圍為（）

A.[72,+OO)B.(-4,2)LJ(2,+co)C.(-4,2)D.(f,Y)u(2,E)

【答案】D

【分析】先將點(diǎn)代入/（幻=嚴(yán)，解得。=-2,再利用事函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

【詳解】由題意可知，/（1）=（1r=4,解得，?=-2,

故/（尤）=/，其定義域?yàn)椋═,0）U（0,y）,

所以/（x）=—在（0,+s）上單調(diào)遞減,

因?yàn)椤?x)=(-x)-2==[=—=/(x),

所以為偶函數(shù)，

所以/(x)=/(|x|)，

所以由⑶,得?a+l|)</(3),

所以|a+l|>3,所以。+1<—3或。+1>3,解得，。<-4或々>2.

故〃的取值范圍為(-°°,-4)u(2,+oo).

故選：D.

46.(2023上?陜西西安?高一陜西師大附中?？计谥?已知函數(shù)〃x)=^+x+l,若“1-9)+"2〃2)>2,

則加的取值范圍是()

A.(-l,+oo)B.(l,+oo)C.(-oo,-l)D.(-oo,l)

【答案】A

【分析】由題意構(gòu)造函數(shù)g(x)=F(x)-l=^+x,首先得出g(x)的單調(diào)性與奇偶性，然后將條件表達(dá)式等

價(jià)轉(zhuǎn)換即可得解.

【詳解】令g(x)=〃x)-l=V^+x，因?yàn)間(x)的定義域?yàn)镽關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且

g(-X)=+(-x)="Vx-x=-g(x),

所以g(x)是R上的奇函數(shù)，

注意到幕函數(shù)y=五,y=x都是R上的增函數(shù)，

所以g(x)是R上的增函數(shù)，

而/(1-/?)+/(2/7?)>2/(1-771)-1>一0g(1-m)>-g(2/n)=g(-2m),

所以1-加>-2m，解得機(jī)>-l,

綜上所述，加的取值范圍是(-L+s).

故選：A.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性與奇偶性解不等式.

47.(2023?上海?高一專題練習(xí))己知嘉函數(shù)〃力=/，若〃8-2a),則a的取值范圍是.

【答案】(3,4)

【分析】根據(jù)幕函數(shù)的單調(diào)性和定義域求參數(shù)取值范圍

_11

【詳解】解：幕函數(shù)尤）=尤2=下，所以/（X）定義域?yàn)椋?,+8）且在定義域上單調(diào)遞減，

y/X

所以需滿足”-l>8-2a>0,解得3<。<4,

故答案為：（3,4）.

48.（2023上?重慶沙坪壩?高一重慶八中校考期中）若嘉函數(shù)/（x）過點(diǎn)（-4,2）,則滿足不等式

/（2-a）>/（2a-l）的實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

【答案】（-M）

【分析】根據(jù)事函數(shù)所過點(diǎn)得到/（X）為偶函數(shù)，在第一象限過（4,2）,從而求出解析式，根據(jù)幕函數(shù)單調(diào)性

得到不等式，求出實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【詳解】幕函數(shù)〃尤）的圖象過點(diǎn)（-4,2）,

為偶函數(shù)，在第一象限過（4,2）；

當(dāng)xWO,設(shè)〃司=—?jiǎng)t4。=2,解得1=（;

一、，2

??累函數(shù)/（%）=/（XER）,

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由于彳>。，故f（x）=J（xeR）在xe[a+°°）上單調(diào)遞增，

不等式〃2-4）>/（24-1）0川2-附>/（3-力0|2-4>&-1|,

平方得4—4。+/>4儲(chǔ)一4。+1,解得一1<1<1；

所以實(shí)數(shù)〃的取值范圍是（-1,1）.

故答案為：（-1,1）

49.（2023