高中數(shù)學(xué)北師大版必修1學(xué)案3-5-1對(duì)數(shù)函數(shù)的概念3-5-2對(duì)數(shù)函數(shù)y＝log2x的圖像和性質(zhì)

§5對(duì)數(shù)函數(shù)5．1對(duì)數(shù)函數(shù)的概念5．2對(duì)數(shù)函數(shù)y＝log2x的圖像和性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)一對(duì)數(shù)函數(shù)的有關(guān)概念[填一填](1)對(duì)數(shù)函數(shù)：我們把函數(shù)y＝logax(a>0，a≠1)叫作對(duì)數(shù)函數(shù)，a叫作對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)．(2)常用對(duì)數(shù)函數(shù)與自然對(duì)數(shù)函數(shù)：稱以10為底的對(duì)數(shù)函數(shù)y＝lgx為常用對(duì)數(shù)函數(shù)，以無理數(shù)e為底的對(duì)數(shù)函數(shù)y＝lnx為自然對(duì)數(shù)函數(shù)．[答一答]1．如何準(zhǔn)確理解對(duì)數(shù)函數(shù)的定義？提示：(1)同指數(shù)函數(shù)一樣，對(duì)數(shù)函數(shù)仍然采用形式定義，如y＝2log2x，y＝log2x2等都不是對(duì)數(shù)函數(shù)，只有y＝logax(a>0，a≠1，x>0)才是．(2)由于指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)的定義域是R，值域?yàn)?0，＋∞)，再根據(jù)對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化過程知道對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)的定義域?yàn)?0，＋∞)，值域?yàn)?－∞，＋∞)，它們的定義域和值域互換．知識(shí)點(diǎn)二反函數(shù)[填一填](1)指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，a≠1)與對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，a≠1)互為反函數(shù)，通常情況下，x表示自變量，y表示函數(shù)，指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，a≠1)是對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，a≠1)的反函數(shù)；同時(shí)，對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，a≠1)也是指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，a≠1)的反函數(shù)．互為反函數(shù)的圖像關(guān)于直線y＝x對(duì)稱．(2)y＝log2x的圖像和性質(zhì)對(duì)數(shù)函數(shù)y＝log2x的圖像過點(diǎn)(1,0)，函數(shù)圖像都在y軸右邊，表示了0和負(fù)數(shù)沒有對(duì)數(shù)；當(dāng)x>1時(shí)，y＝log2x的圖像位于x軸上方，當(dāng)0<x<1時(shí)，圖像位于x軸下方；函數(shù)y＝log2x在(0，＋∞)為增函數(shù)．[答一答]2．如何正確理解反函數(shù)？提示：當(dāng)一個(gè)函數(shù)是一一映射時(shí)，可以把這個(gè)函數(shù)的因變量作為一個(gè)新的函數(shù)的自變量，而把這個(gè)函數(shù)的自變量作為新的函數(shù)的因變量，我們稱這兩個(gè)函數(shù)互為反函數(shù)．深刻理解定義．(1)函數(shù)y＝f(x)的反函數(shù)常用y＝f－1(x)來表示．(2)函數(shù)y＝f(x)與y＝f－1(x)互為反函數(shù)．(3)對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax與指數(shù)函數(shù)y＝ax互為反函數(shù)，它們的圖像關(guān)于直線y＝x對(duì)稱．(a>0且a≠1)(4)反函數(shù)的定義域與值域正好是原來函數(shù)的值域與定義域．(5)對(duì)于任意一個(gè)函數(shù)y＝f(x)，不一定總有反函數(shù)，只有當(dāng)確定一個(gè)函數(shù)的映射是一一映射時(shí)，這個(gè)函數(shù)才有反函數(shù)．1．對(duì)數(shù)函數(shù)的形式特征(1)整體性：logax為一個(gè)整體，且前面系數(shù)為1.(2)獨(dú)立性：自變量x在真數(shù)的位置且為單個(gè)x.(3)限制性：底數(shù)a是滿足a>0且a≠1的常數(shù)．2．對(duì)反函數(shù)的三點(diǎn)說明(1)只有一一映射確定的函數(shù)才有反函數(shù)，如一次函數(shù)y＝kx＋b(k≠0)，反比例函數(shù)y＝eq\f(k,x)(k≠0)，指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0且a≠1)，對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0且a≠1)，它們都是一一映射的函數(shù)，都有相應(yīng)的反函數(shù)，而二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，在整個(gè)定義域上沒有反函數(shù)，因?yàn)樗诙x域上不是一一映射的函數(shù)．(2)反函數(shù)也是函數(shù)，它具有函數(shù)的一切特征；反函數(shù)是相對(duì)于原函數(shù)而言的，函數(shù)與它的反函數(shù)互為反函數(shù)．(3)互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的定義域和值域互換，即原函數(shù)的定義域和值域分別是反函數(shù)的值域和定義域.類型一對(duì)數(shù)函數(shù)的判斷【例1】下列函數(shù)是對(duì)數(shù)函數(shù)的是________．(1)y＝4x；(2)y＝logx2；(3)y＝－log3x；(4)y＝log0.4eq\r(x)；(5)y＝log(2a－1)x(a>eq\f(1,2)且a≠1，x是自變量)；(6)y＝log2(x＋1)．【思路探究】在對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax中，logax的系數(shù)必須是1，對(duì)數(shù)的底數(shù)a是一個(gè)大于0而不等于1的常數(shù)，對(duì)數(shù)的真數(shù)僅有自變量x.【解析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義，只有嚴(yán)格符合y＝logax(a>0，a≠1，x>0)形式的函數(shù)才是對(duì)數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，a是常數(shù)．易知，(1)式是指數(shù)函數(shù)；(2)式中的自變量在對(duì)數(shù)的底數(shù)的位置，不是對(duì)數(shù)函數(shù)；(3)式中y＝－log3x，系數(shù)不為1，所以不是對(duì)數(shù)函數(shù)；(4)式中y＝log0.4eq\r(x)，自變量x的次數(shù)不為1，所以不是對(duì)數(shù)函數(shù)；(5)式中對(duì)數(shù)的底數(shù)2a－1是一個(gè)大于0且不等于1的常數(shù)，符合對(duì)數(shù)函數(shù)的定義；(6)式中函數(shù)在對(duì)數(shù)的真數(shù)處不只有自變量x，而是關(guān)于x的表達(dá)式x＋1，故不是對(duì)數(shù)函數(shù)．由此可知只有(5)是對(duì)數(shù)函數(shù)．【答案】(5)規(guī)律方法判斷一個(gè)函數(shù)是否為對(duì)數(shù)函數(shù)時(shí)，要緊扣對(duì)數(shù)函數(shù)解析式的三個(gè)特征，三者缺一不可．指出下列函數(shù)哪些是對(duì)數(shù)函數(shù)．(1)y＝loga(x＋7)；(2)y＝4log3x；(3)y＝2logax＋1；(4)y＝log0.2x.解：根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義進(jìn)行判斷．(1)(2)(3)均不是對(duì)數(shù)函數(shù)，它們都是由對(duì)數(shù)函數(shù)經(jīng)過某種變換而得到的．只有(4)是對(duì)數(shù)函數(shù)．類型二求對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域【例2】求下列函數(shù)的定義域：(1)y＝loga(9－x2)(a>0，a≠1)；【思路探究】函數(shù)的定義域是使函數(shù)有意義的自變量的取值范圍，使函數(shù)有意義的條件可能有多個(gè)，對(duì)每一個(gè)條件都不能漏掉．【解】(1)由9－x2>0，得－3<x<3，∴函數(shù)y＝loga(9－x2)(a>0，a≠1)的定義域是{x|－3<x<3}．(3)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(16－4x>0，,x＋1>0，,x＋1≠1))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x<2，,x>－1，,x≠0.))∴－1<x<0或0<x<2.∴函數(shù)y＝log(x＋1)(16－4x)的定義域是{x|－1<x<0或0<x<2}．規(guī)律方法(1)與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的定義域問題，首先要考慮真數(shù)大于0，底數(shù)大于0且不等于1；其次若有偶次根號(hào)，則根號(hào)下的式子要大于或等于0；若有分母，則分母不能為0.(2)與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的值域問題，要先考慮定義域?qū)χ涤虻挠绊?，再由單調(diào)性求解．(1)函數(shù)f(x)＝eq\f(1,\r(x－1))＋lg(10－x)的定義域?yàn)?D)A．R B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．[1,10] D．(1,10)解析：由題意可得eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1>0，10－x>0，))解得1<x<10，故定義域?yàn)閧x|1<x<10}．(2)已知函數(shù)f(x)＝lg(ax2＋2x＋1)，若函數(shù)的定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解：因?yàn)閒(x)的定義域?yàn)镽，所以關(guān)于x的不等式ax2＋2x＋1>0的解集為R，結(jié)合二次函數(shù)的圖像可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,22－4·a·1<0，))解得a>1.類型三對(duì)數(shù)函數(shù)的值域與最值【例3】(1)求函數(shù)y＝log2(x2－2x－3)的值域；(2)設(shè)x≥0，y≥0且x＋2y＝eq\f(1,2)，求式子log2(8xy＋4y2＋1)的最大值和最小值．【思路探究】(1)本題是復(fù)合函數(shù)，先求函數(shù)的定義域以及真數(shù)的范圍，再求函數(shù)的值域；(2)欲求函數(shù)的最值，先求真數(shù)的最值，將真數(shù)的x，y統(tǒng)一，并注意自變量的取值范圍．【解】(1)定義域：x2－2x－3>0，即x>3或x<－1，∴y＝log2(x2－2x－3)的定義域?yàn)?－∞，－1)∪(3，＋∞)．令u＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，∴u>0，∴y＝log2u的值域?yàn)镽.(2)∵x＋2y＝eq\f(1,2)，∴2y＝eq\f(1,2)－x.設(shè)P＝8xy＋4y2＋1＝4x(eq\f(1,2)－x)＋(eq\f(1,2)－x)2＋1＝－3x2＋x＋eq\f(5,4)＝－3(x－eq\f(1,6))2＋eq\f(4,3).又∵x≥0，y≥0，x＋2y＝eq\f(1,2)，∴eq\f(1,2)－x＝2y≥0，即x≤eq\f(1,2)，∴0≤x≤eq\f(1,2)，在此范圍內(nèi)，P的最大值為eq\f(4,3)，此時(shí)x＝eq\f(1,6).P的最小值為1，此時(shí)x＝eq\f(1,2).又∵y＝log2x是增函數(shù)，因此式子log2(8xy＋4y2＋1)的最小值是0，最大值是log2eq\f(4,3).規(guī)律方法(1)考查復(fù)合函數(shù)值域的求法，先求定義域，再確定真數(shù)的范圍，最后根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算求出值域．(2)關(guān)鍵是真數(shù)的范圍，特別注意的是隱含的自變量的取值范圍．求下列函數(shù)的值域：(1)y＝log2(x＋3)；(2)y＝log2(3－x2)；(3)y＝loga(x2－4x＋7)(a>0且a≠1)．解：(1)令t＝x＋3，則y＝log2t.∵t>0，∴y∈R，∴此函數(shù)的值域?yàn)镽.(2)令t＝3－x2，則0<t≤3，∴y≤log23，∴此函數(shù)的值域?yàn)?－∞，log23]．(3)令t＝x2－4x＋7＝(x－2)2＋3≥3.當(dāng)a>1時(shí)，y≥loga3，∴此函數(shù)的值域?yàn)閇loga3，＋∞)；當(dāng)0<a<1時(shí)，y≤loga3，∴此函數(shù)的值域?yàn)?－∞，loga3]．類型四求反函數(shù)【例4】求下列函數(shù)的反函數(shù)．【思路探究】根據(jù)指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，a≠1)與對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，a≠1)互為反函數(shù)進(jìn)行求解．【解】(1)對(duì)數(shù)函數(shù)y＝log4x，它的底數(shù)是4，它的反函數(shù)是指數(shù)函數(shù)y＝4x.規(guī)律方法要尋求函數(shù)y＝f(x)的反函數(shù)，可以先把x和y換位，寫成x＝f(y)，再把y解出來寫成y＝g(x)的形式，如果這種表達(dá)式是唯一確定的，就得到了f(x)的反函數(shù)g(x)．求下列函數(shù)的反函數(shù)：(1)y＝log2x；(2)y＝(eq\f(1,3))x；(3)y＝5x＋1.解：(1)由y＝log2x，得y∈R，x＝2y，所以f－1(x)＝2x，x∈R.類型五互為反函數(shù)圖像間的關(guān)系【例5】若點(diǎn)A(1,2)既在函數(shù)f(x)＝eq\r(ax＋b)的圖像上，又在f(x)的反函數(shù)的圖像上，求a，b的值．【思路探究】可由A關(guān)于y＝x的對(duì)稱點(diǎn)A′(2,1)也在f(x)上，建立a，b的方程組求解．【解析】依題意可得f(1)＝2，f－1(1)＝2，即f(2)＝1，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝4，,2a＋b＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－3，,b＝7.))即a＝－3，b＝7.規(guī)律方法1.互為反函數(shù)的圖像關(guān)于直線y＝x對(duì)稱是反函數(shù)的重要性質(zhì)，由此可得互為反函數(shù)圖像上任一成對(duì)的相應(yīng)點(diǎn)也關(guān)于y＝x對(duì)稱，所以若點(diǎn)(a，b)在函數(shù)y＝f－1(x)圖像上，則點(diǎn)(b，a)必在其反函數(shù)y＝f(x)圖像上．2．根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)圖像的關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想可較為簡(jiǎn)便地解決有關(guān)方程解的個(gè)數(shù)問題．(1)已知函數(shù)y＝ax＋b的圖像過點(diǎn)(1,4)，其反函數(shù)的圖像過點(diǎn)(2,0)，則a＝3，b＝1；解析：由函數(shù)y＝ax＋b的圖像過點(diǎn)(1,4)，得a＋b＝4；由反函數(shù)的圖像過點(diǎn)(2,0)知原函數(shù)的圖像必過點(diǎn)(0,2)，得a0＋b＝2.因此a＝3，b＝1.(2)已知f(x)＝eq\f(1－3x,1＋3x)，則f－1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))＝－2.解析：本題的一般解法是先求f－1(x)，再把eq\f(4,5)代入求值．事實(shí)上，根據(jù)函數(shù)y＝f(x)與y＝f－1(x)之間的關(guān)系，求y＝f－1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))的值，就是求f(x)＝eq\f(4,5)時(shí)x的值．解eq\f(1－3x,1＋3x)＝eq\f(4,5)，得3x＝eq\f(1,9)，即x＝－2，因此f－1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))＝－2.——易錯(cuò)誤區(qū)——忽略指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的關(guān)系而致錯(cuò)【例6】設(shè)方程2x＋x－3＝0的根為a，方程log2x＋x－3＝0的根為b，則a＋b＝________.【錯(cuò)解】0或6【正解】3將方程整理得2x＝－x＋3，log2x＝－x＋3.如圖可知，a是指數(shù)函數(shù)y＝2x的圖像與直線y＝－x＋3交點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，b是對(duì)數(shù)函數(shù)y＝log2x的圖像與直線y＝－x＋3交點(diǎn)B的橫坐標(biāo)．由于函數(shù)y＝2x與y＝log2x互為反函數(shù)，所以它們的圖像關(guān)于直線y＝x對(duì)稱，由題意可得出A、B兩點(diǎn)也關(guān)于直線y＝x對(duì)稱，于是A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)為A(a，b)，B(b，a)．則A、B都在直線y＝－x＋3上，∴b＝－a＋3(A點(diǎn)坐標(biāo)代入)，或a＝－b＋3(B點(diǎn)坐標(biāo)代入)，故a＋b＝3.【錯(cuò)因分析】利用數(shù)形結(jié)合思想得出A與B關(guān)于直線y＝x對(duì)稱，而誤認(rèn)為a＋b＝0或a＋b＝6.【防范措施】1.數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用意識(shí)解題時(shí)，數(shù)形結(jié)合思想是常用的數(shù)學(xué)思想方法，用數(shù)形結(jié)合分析問題，往往能起到事半功倍的效果，如本例，借助于數(shù)形結(jié)合分析，很容易得到A，B兩點(diǎn)的對(duì)稱關(guān)系．2．定義的理解與靈活應(yīng)用解題時(shí)，對(duì)一些定義、關(guān)系的理解與靈活應(yīng)用至關(guān)重要．如本例，正確理解指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)，兩者互為反函數(shù)的關(guān)系是靈活解題的關(guān)鍵所在．方程2x＋x＝2，log2x＋x＝2,2x＝log2(－x)的根分別為a，b，c，則a，b，c的大小關(guān)系為b>a>c.解析：在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出y＝2x，y＝log2x，y＝2－x，y＝log2(－x)的圖像．所以b>a>c.一、選擇題1．設(shè)集合A＝{x|－3≤2x－1≤3}，集合B為函數(shù)y＝lg(x－1)的定義域，則A∩B＝(D)A．(1,2) B．[1,2]C．[1,2) D．(1,2]解析：本題考查了不等式解法，函數(shù)定義域求法，集合中的交集運(yùn)算．由－3≤2x－1