河南省大聯(lián)考2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期階段性測試(三)數(shù)學(xué)試題

天一大聯(lián)考2022—2023學(xué)年高二年級階段性測試（三）數(shù)學(xué)考生注意：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號填寫在試卷和答題卡上，并將考生號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.與向量共線的單位向量可以為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】計算出，從而得到與向量共線的單位向量.【詳解】因為，所以與向量共線的單位向量可以是或.故選：D2.下列導(dǎo)數(shù)計算錯誤的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】A選項，利用冪函數(shù)的求導(dǎo)法則計算即可；B選項，簡單復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則計算即可；CD選項，利用求導(dǎo)乘法和除法法則計算即可.【詳解】A選項，，A正確；B選項，，B正確；C選項，，C正確；D選項，，D錯誤.故選：D3.若數(shù)列是等差數(shù)列，且，則（）A.1 B.1 C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得到，從而代入求值即可.【詳解】因為是等差數(shù)列，所以，故，解得，故.故選：A4.已知函數(shù)滿足（為的導(dǎo)函數(shù)），則（）A. B. C.1 D.【答案】D【解析】【分析】求導(dǎo)，代入求出，從而得到的解析式，求出答案.【詳解】，當(dāng)時，，解得，故，所以.故選：D5.若直線與圓相切，則（）A. B. C.或 D.或【答案】C【解析】【分析】由直線和圓相切可知，圓心到直線的距離等于半徑，即可求得結(jié)果.【詳解】由圓方程改寫成可得圓心為，半徑，所以圓心到直線的距離，解得或.故選：C6.曲線在處的切線方程為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解.【詳解】依題意，設(shè)切線方程的斜率為，因為，所以，，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，，又，所以切線方程為，即.故選：A.7.函數(shù)，的最大值是（）A. B. C.0 D.1【答案】B【解析】【分析】求導(dǎo)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，再求出最值.【詳解】，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，故當(dāng)時，取得極大值，也是最大值，故故選：B.8.定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在的圖象如圖所示，則函數(shù)在的極大值點個數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】由導(dǎo)數(shù)與極大值之間的關(guān)系求解．【詳解】函數(shù)在極大值點左增右減，即導(dǎo)數(shù)在極大值點左正右負(fù)，觀察導(dǎo)函數(shù)圖象，在上有兩個有兩個零點滿足．故選：B.【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)與極值的關(guān)系．屬于基礎(chǔ)題．9.已知雙曲線的左、右焦點分別為、，離心率為，點在雙曲線的右支上，且，則的面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用離心率公式可求得的值，利用雙曲線的定義以及勾股定理求出的值，再利用三角形的面積公式可求得結(jié)果.【詳解】因為雙曲線的離心率為，所以，，因為點在雙曲線的右支上，由雙曲線的定義可得，因為，由勾股定理可得，所以，，所以，，因此，.故選：D.10.若函數(shù)的圖象經(jīng)過四個象限，則實數(shù)a的取值范圍是（）A. B.C D.【答案】C【解析】【分析】求導(dǎo)，分，與三種情況，結(jié)合函數(shù)極值及函數(shù)圖象的走勢，得到不等式，求出實數(shù)a的取值范圍.【詳解】當(dāng)時，不經(jīng)過三四象限，不合題意，舍去，

當(dāng)時，由得，若，則當(dāng)或時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，故在處取得極大值，且極大值為，故經(jīng)過第二象限，在處取得極小值，且極小值為，函數(shù)一定過第三和第一象限，要想經(jīng)過第四象限，只需，解得，若，則當(dāng)或時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，故在處取得極小值，且極小值為，在處取得極大值，且極大值為，故經(jīng)過第一象限，函數(shù)一定過第二和第四象限，要想經(jīng)過第三象限，只需，解得，綜上，實數(shù)a的取值范圍是.故選：C11.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)滿足：對任意的都有，若，則實數(shù)k的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由構(gòu)造，得到其單調(diào)性，對不等式變形后得到，從而由單調(diào)性解不等式，求出答案.【詳解】設(shè)，則在R上恒成立，所以在R上單調(diào)遞增，可變形為，即，由的單調(diào)性可知，解得，實數(shù)k的取值范圍是.故選：A12.已知直線l：經(jīng)過拋物線的焦點F，且與拋物線交于A，B兩點，點C為線段AB的中點，點D在拋物線的準(zhǔn)線上，若，且，則（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意求出拋物線方程，設(shè)，，聯(lián)立直線l方程，易知，利用韋達(dá)定理和兩點表示斜率公式、弦長公式可得、，由列出方程，解之即可求解.【詳解】由題意知，，因直線l過，所以，解得，故拋物線的方程為，則準(zhǔn)線方程為，，消去x，得，，設(shè)，AB的中點，則，所以，代入直線l，得，得.設(shè)，由，得，若，則，得，又，，由，得，解得.若，直線l方程為，此時AB的中點為F，，不符合題意.綜上，.故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.在等比數(shù)列中，，，則______．【答案】2【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列通項公式得，化簡得關(guān)于的方程，解出的值，而，代入即可.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，首項為，顯然由題知，，，，化為,解得或（舍去），，故答案為：2.14.若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實數(shù)m的取值范圍為______．【答案】【解析】【分析】由題意得到在上恒成立，參變分離，只需，求出，從而得到答案.【詳解】，由題意得在上恒成立，因為，所以在上恒成立，即在上恒成立，只需，其中，所以.故答案為：15.在棱長為1的正方體中，E為棱的中點，則點D到平面的距離為______．【答案】1【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用點到平面的空間向量公式求解答案.【詳解】如圖所示，以D為坐標(biāo)原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，故，點D到平面的距離為.故答案為：116.已知直線與曲線相切，則的最小值是______．【答案】【解析】【分析】設(shè)出切點，得到方程組，得到，故，構(gòu)造，利用導(dǎo)函數(shù)求出最小值，得到答案.【詳解】直線與曲線相切，設(shè)切點為，則，所以，因為，所以，即，又，，故，將代入得，，解得，故，令，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，故在處取得極小值，也時最小值，故，故的最小值為1.故答案為：1【點睛】當(dāng)已知切點坐標(biāo)為時，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的幾何意義可得到切線的斜率，再利用求出切線方程；當(dāng)不知道切點坐標(biāo)時，要設(shè)出切點坐標(biāo)，結(jié)合切點既在函數(shù)圖象上，又在切線方程上，列出等式，進(jìn)行求解.三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17.已知函數(shù)在處有極值36．（1）求實數(shù)a，b的值；（2）當(dāng)時，求的單調(diào)遞增區(qū)間．【答案】（1）或（2），【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，利用及，列出方程組，求出，檢驗后得到答案；（2）在（1）的基礎(chǔ)上，由導(dǎo)函數(shù)大于0，解不等式，求出單調(diào)遞增區(qū)間.【小問1詳解】由題意知．∵，，∴或，經(jīng)檢驗都符合題意．小問2詳解】當(dāng)時，由（1）得，∴，由，即，解得或，∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，．18.已知數(shù)列的前n項和為．（1）求的通項公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前n項和為，證明：．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）利用，可得答案；（2）由（1）結(jié)合裂項求和法可得答案.【小問1詳解】當(dāng)時，，當(dāng)時，，也滿足該式，所以．【小問2詳解】由（1）知，所以．因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即．19.如圖，在三棱柱中，，點D為棱AC的中點，且，側(cè)面為菱形，且．（1）求證：平面ABC；（2）若，求平面與平面夾角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）通過證明，可得平面ABC；（2）由（1），以D為坐標(biāo)原點，分別以DB，DC，所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz．后由向量法可得答案.【小問1詳解】因為，點D為棱AC的中點，所以．又，，平面，平面，所以平面．又平面，所以．如圖，連接．因為側(cè)面為菱形，且，所以為等邊三角形，所以．又，平面ABC，平面ABC．所以平面ABC．【小問2詳解】由（1）的過程可知，可以點D為坐標(biāo)原點，分別以DB，DC，所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz．不妨設(shè)，由題可知，，，，．由，可得．設(shè)平面的法向量為，而，，則有取，得．設(shè)平面的法向量為，而，，則有，取，得．設(shè)平面與平面夾角為，則，即平面與平面夾角的余弦值為．20.已知，分別為橢圓C：的左、右焦點，離心率，點E在橢圓C上，的面積的最大值為．（1）求C的方程；（2）設(shè)C的上、下頂點分別為A，B，點M是C上異于A，B的任意一點，直線MA，MB分別與x軸交于P，Q兩點，O為坐標(biāo)原點，證明：為定值．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題意列式求解，即可得結(jié)果；（2）設(shè)，根據(jù)題意求P，Q兩點的坐標(biāo)，進(jìn)而可求，結(jié)合運算整理即可得結(jié)果.【小問1詳解】設(shè)C的半焦距為，由題意可得，解得，所以C的方程為．【小問2詳解】由（1）可得，，設(shè)橢圓上任意一點，所以直線AM的方程為，令，得，即同理可得，所以，∵在橢圓上，則，整理得，∴（為定值）.21.已知函數(shù)，．（1）當(dāng)時，證明：在上恒成立；（2）若有2個零點，求a的取值范圍．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）設(shè)，對函數(shù)求導(dǎo)得，根據(jù)指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的性質(zhì)知函數(shù)在上單調(diào)遞增且，結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性求出即可；（2）函數(shù)有2個零點等價于函數(shù)與的圖象有2個交點，利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合圖形即可求解.【小問1詳解】當(dāng)時，設(shè)，則，設(shè)，由函數(shù)和在上單調(diào)遞增，知函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，所以當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞增，所以即在上恒成立；【小問2詳解】由，得，令，則有2個零點，等價于函數(shù)與的圖象有2個交點，令，得，當(dāng)時，當(dāng)時，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，且當(dāng)時，，當(dāng)趨向于正無窮時，趨向于正無窮的速率遠(yuǎn)遠(yuǎn)比大，故趨向于0，作出函數(shù)的大致圖象如下：結(jié)合圖象可知，當(dāng)時，與的圖象有2個交點，故a的取值范圍是．22.已知函數(shù)，．（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時，證明．【答案】（1）答案見