擬合在實(shí)際問題中的應(yīng)用

擬合在實(shí)際問題中的應(yīng)用摘要本文考慮的是18位35歲—44歲經(jīng)理的年平均收入與風(fēng)險(xiǎn)偏好度和人壽保險(xiǎn)金額之間關(guān)系的問題。首先用散點(diǎn)圖和題目條件預(yù)測(cè)出收入與人壽保險(xiǎn)金額成二次關(guān)系，風(fēng)險(xiǎn)偏好度與人壽保險(xiǎn)金額成線性關(guān)系。利用matlab統(tǒng)計(jì)工具箱中的命令regress，在置信水平為的條件下，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合觀察回歸變量對(duì)因變量的影響是否顯著，然后分別對(duì)風(fēng)險(xiǎn)偏好度和人壽保險(xiǎn)額就是否存二次效應(yīng)以及兩個(gè)自變量是否對(duì)人壽保險(xiǎn)額有交互效應(yīng)進(jìn)行擬合，最終得到與和之間的關(guān)系為：關(guān)鍵字：散點(diǎn)圖曲線擬合一、問題重述下表列出了某城市18位35歲—44歲經(jīng)理的年平均收入千元，風(fēng)險(xiǎn)偏好度和人壽保險(xiǎn)金額千元的數(shù)據(jù)，其中風(fēng)險(xiǎn)偏好度是根據(jù)發(fā)給每個(gè)經(jīng)理的問卷調(diào)查表綜合評(píng)估得到的，它的數(shù)值越大，就越偏愛高風(fēng)險(xiǎn)。研究人員想研究此年齡段中的經(jīng)理所投保的人壽保險(xiǎn)額與年均收入及風(fēng)險(xiǎn)偏好度之間的關(guān)系。研究者預(yù)計(jì)，經(jīng)理的年均收入和人壽保險(xiǎn)額之間存在著二次關(guān)系，并有把握地認(rèn)為風(fēng)險(xiǎn)偏好度對(duì)人壽保險(xiǎn)額有線性效應(yīng)。但對(duì)風(fēng)險(xiǎn)偏好度對(duì)人壽保險(xiǎn)額是否有二次效應(yīng)以及兩個(gè)自變量是否對(duì)人壽保險(xiǎn)額有交互效應(yīng)，心中沒底。請(qǐng)你通過表中的數(shù)據(jù)來建立一個(gè)適宜的回歸模型，驗(yàn)證上面的看法，并給出進(jìn)一步的分析。序號(hào)序號(hào)119666.2907104937.408526340.96451110554.3762325272.99610129846.186748445.0106137746.1304512657.2044141430.366361426.8525155639.060574938.12241624579.380184935.84061713352.7668926675.79691813355.9166二、問題分析本文是一個(gè)求數(shù)據(jù)間相互關(guān)系的問題。首先我們利用最常用的觀測(cè)數(shù)據(jù)之間關(guān)系的散點(diǎn)圖出發(fā)，畫出收入—人壽保險(xiǎn)額和風(fēng)險(xiǎn)偏好度——人壽保險(xiǎn)額的散點(diǎn)圖如下〔程序見附錄〕：〔圖1〕〔圖2〕其次我們利用matlab工具箱中的程序?qū)?shù)據(jù)進(jìn)行擬合，觀察回歸變量對(duì)因變量的影響是否顯著。三、模型假設(shè)與約定假設(shè)該問卷調(diào)查表的數(shù)據(jù)全部真是可靠，且這18位經(jīng)理具有隨機(jī)性。四、符號(hào)說明：經(jīng)理的年均收入：風(fēng)險(xiǎn)偏好度：人壽保險(xiǎn)額五、模型建立與求解利用題目中給出的條件和散點(diǎn)圖可以發(fā)現(xiàn)，隨著的增加，有向上彎曲增長(zhǎng)的趨勢(shì)，圖中的曲線可用二次函數(shù)模型〔1〕擬合〔其中是隨機(jī)誤差〕。而對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)偏好度和人壽保險(xiǎn)額的圖像可以看出，隨著的增加，的值有比擬明顯的線性增長(zhǎng)趨勢(shì)。圖中的‘*’可用線性模型〔2〕擬合。綜合上面的分析，結(jié)合模型〔1〕和〔2〕建立如下的回歸模型〔3〕在matlab中輸入如下程序：>>x1=[66.2940.96472.99645.0157.20426.85238.12235.8475.79637.40854.37646.18646.1330.36639.0679.3852.76655.916];>>y=[19663252841261449492664910598771456245133133];>>x2=[7510645469527435186];>>x=[ones(18,1)x1'(x1.^2)'x2'];>>[b,bint,r,rint,stats]=regress(y',x)得到模型〔3〕的回歸系數(shù)估計(jì)值及置信區(qū)間〔置信水平〕、檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，，的結(jié)果如下表。參數(shù)參數(shù)估計(jì)值參數(shù)置信區(qū)間-62.3489[-73.5027-51.1952]0.8396[0.39511.2840]0.0371[0.03300.0412]5.6846[5.26046.1089]=1.0e+004*0.0001=1.0e+004*1.1070=1.0e+004*0表中顯示，=1.0e+004*0.00011指應(yīng)變量的大約100%可由模型確定，值遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過檢驗(yàn)的臨界值，遠(yuǎn)小于，因而模型〔3〕從整體來看是可用的。回歸系數(shù)的參數(shù)置信區(qū)間均不包含零點(diǎn)，說明回歸變量對(duì)的影響均是顯著的。將回歸系數(shù)的估計(jì)值代入模型〔3〕，可得到模型〔3〕的預(yù)測(cè)方程〔4〕六、進(jìn)一步討論〔一〕、假設(shè)風(fēng)險(xiǎn)偏好度對(duì)人壽保險(xiǎn)額具有二次效應(yīng)對(duì)模型〔3〕增加人壽保險(xiǎn)額的二次效應(yīng)，可得模型為：〔5〕在matlab中輸入如下程序：>>x=[ones(18,1)x1'(x1.^2)'x2'(x2.^2)']>>[b,bint,r,rint,stats]=regress(y',x)參數(shù)參數(shù)估計(jì)值參數(shù)置信區(qū)間-60.9104[-72.6072-49.2135]0.9303[0.43891.4218]0.0359[0.03100.0408]4.4529[1.69107.2147]0.1159[-0.14080.3727]=1.0e+003*0.0010=1.0e+003*8.2740=1.0e+003*0利用模型〔3〕的判別方法，模型〔5〕從整體來看是可用的。在檢驗(yàn)回歸系數(shù)的參數(shù)置信區(qū)間發(fā)現(xiàn)，的置信區(qū)間包含零點(diǎn)，說明回歸變量對(duì)應(yīng)變量的影響不是太顯著。所以模型〔5〕沒有模型〔3〕更符合實(shí)際?！捕场⒓僭O(shè)年均收入和風(fēng)險(xiǎn)偏好度對(duì)人壽保險(xiǎn)額據(jù)有交互效應(yīng)對(duì)模型〔3〕增加年均收入和風(fēng)險(xiǎn)偏好度對(duì)人壽保險(xiǎn)額據(jù)有交互效應(yīng)，可得模型為：〔6〕在matlab中輸入如下程序：>>x=[ones(18,1)x1'(x1.^2)'x2'(x1.*x2)']>>[b,bint,r,rint,stats]=regress(y',x)參數(shù)參數(shù)估計(jì)值參數(shù)置信區(qū)間-65.9461[-79.6004-52.2917]0.8731[0.41971.3265]0.0374[0.03320.0415]6.6005[4.57868.6223]-0.0138[-0.04360.0160]=1.0e+003*0.0010=1.0e+003*8.3044=1.0e+003*0與模型〔5〕相同，的置信區(qū)間包含零點(diǎn)，所以模型〔6〕沒有模型〔3〕更符合實(shí)際。七、模型優(yōu)缺點(diǎn)該模型首先利用散點(diǎn)圖描繪數(shù)據(jù)之間的關(guān)系，然后大膽的對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行了假設(shè)，后利用了matlab的擬合函數(shù)進(jìn)行擬合，整體來說該模型的處理過程是科學(xué)的，可是由于題目中給出的數(shù)據(jù)較少，在擬合的過程中難免會(huì)有較大的誤差，并且，假設(shè)數(shù)據(jù)之間的關(guān)系時(shí)只是假設(shè)為簡(jiǎn)單的初等函數(shù)，雖然擬合程度較好，可是還是缺乏科學(xué)依據(jù)。八、參考文獻(xiàn)及參考書籍和網(wǎng)站[1]姜啟源謝金星葉俊.數(shù)學(xué)模型〔第三版〕.高等教育出版社[2]孫祥徐流美吳清.MATLAB7.0根底教程。清華大學(xué)出版社[3]中國(guó)知識(shí)資料總庫(kù).九、附錄畫圖〔1〕>>x1=[66.2940.96472.99645.0157.20426.85238.12235.8475.79637.40854.37646.18646.1330.36639.0679.3852.76655.916];>>y=[19663252841261449492664910598771456245133133];>>a=polyfit(x1,y,2);>>z=polyval(a,x1);>>plot(x1,y,'k+',x1,z,'r*')其中擬合的曲線為：y=0.0302+1.7886x1-60.5239x1.^2畫圖〔2〕>>x2=[7510645469527435