第04講 數(shù)列求和（原卷版）

第04講數(shù)列求和目錄TOC\o"1-1"\h\u題型一：重點(diǎn)考查倒序相加法 1題型二：重點(diǎn)考查分組求和（形如） 3題型三：重點(diǎn)考查分組求和（形如） 5題型四：重點(diǎn)考查裂項(xiàng)相消法（等差型） 7題型五：重點(diǎn)考查裂項(xiàng)相消法（無(wú)理型：形如） 9題型六：重點(diǎn)考查裂項(xiàng)相消法（指數(shù)型：形如） 11題型七：重點(diǎn)考查數(shù)列求和之錯(cuò)位相減法 13題型八：重點(diǎn)考查數(shù)列求和之通項(xiàng)含絕對(duì)值求和 15題型九：重點(diǎn)考查其他方法求和 17題型一：重點(diǎn)考查倒序相加法典型例題例題1．（2024·四川成都·成都七中校考模擬預(yù)測(cè)）已知，則（

）A．-8088 B．-8090 C．-8092 D．-8094例題2．（2024·全國(guó)·高二假期作業(yè)）德國(guó)大數(shù)學(xué)家高斯年少成名，被譽(yù)為數(shù)學(xué)界的王子，19歲的高斯得到了一個(gè)數(shù)學(xué)史上非常重要的結(jié)論，就是《正十七邊形尺規(guī)作圖之理論與方法》．在其年幼時(shí)，對(duì)的求和運(yùn)算中，提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數(shù)據(jù)前后對(duì)應(yīng)項(xiàng)的和呈現(xiàn)一定的規(guī)律生成，因此，此方法也稱之為高斯算法，現(xiàn)有函數(shù)，設(shè)數(shù)列滿足（），則．例題3．（2024·全國(guó)·高二假期作業(yè)）已知函數(shù)為奇函數(shù)，且，若，則數(shù)列的前2022項(xiàng)和為.精練核心考點(diǎn)1．（2024·全國(guó)·高二假期作業(yè)）設(shè)，若，試求：（1）；（2）．2．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）“數(shù)學(xué)王子”高斯是近代數(shù)學(xué)奠基者之一，他的數(shù)學(xué)研究幾乎遍及所有領(lǐng)域，并且高斯研究出很多數(shù)學(xué)理論，比如高斯函數(shù)?倒序相加法?最小二乘法?每一個(gè)階代數(shù)方程必有個(gè)復(fù)數(shù)解等.若函數(shù)，設(shè)，則.3．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，利用課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的方法，求得的值為.題型二：重點(diǎn)考查分組求和（形如）典型例題例題1．（2024上·上海浦東新·高二?？计谀┘褐炔顢?shù)列中，，公差；等比數(shù)列中，，是和的等差中項(xiàng)，是和的等差中項(xiàng)．(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和.例題2．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知公比為3的等比數(shù)列與首項(xiàng)為1的等差數(shù)列，滿足．(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列，數(shù)列的前和為，求．例題3．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，（）.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列，滿足，，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.精練核心考點(diǎn)1．（2024·四川攀枝花·統(tǒng)考二模）已知數(shù)列滿足．(1)證明：是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．2．（2024上·甘肅酒泉·高三校考期末）已知數(shù)列是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，且，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列滿足，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.3．（2024上·廣東廣州·高二廣州市第八十九中學(xué)?？计谀┮阎堑炔顢?shù)列，其前項(xiàng)和為．若．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求．題型三：重點(diǎn)考查分組求和（形如）典型例題例題1．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知是單調(diào)遞增的等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為.是公比為的等比數(shù)列..(1)求和的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.例題2．（2024上·遼寧·高三校聯(lián)考期末）已知數(shù)列滿足，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求的前項(xiàng)和.例題3．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，其公比，，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)已知，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．精練核心考點(diǎn)1．（2024·陜西銅川·統(tǒng)考一模）從①，，成等差數(shù)列；②，，成等比數(shù)列；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并解答下列問(wèn)題.已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，，，且________.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記，求數(shù)列的前項(xiàng)和.注：若選擇多個(gè)條件分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.2．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，，求數(shù)列的前項(xiàng)和．3．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)是首項(xiàng)為1，公差不為0的等差數(shù)列，且，，成等比數(shù)列.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)令，求數(shù)列的前項(xiàng)和.題型四：重點(diǎn)考查裂項(xiàng)相消法（等差型）典型例題例題1．（2024上·廣東廣州·高二統(tǒng)考期末）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列為等比數(shù)列，，，.(1)求，的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.例題2．（2024上·全國(guó)·高二期末）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，為數(shù)列的前項(xiàng)和，試問(wèn)：是否存在正整數(shù)，，使得？若存在，求出滿足條件的所有，的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．例題3．（2024上·山東泰安·高三?？计谀┮阎炔顢?shù)列滿足，，公比不為的等比數(shù)列滿足，．(1)求與通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求的前項(xiàng)和．精練核心考點(diǎn)1．（2024上·廣東深圳·高二校考期末）已知數(shù)列滿足，數(shù)列為等差數(shù)列，且，.(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.2．（2024上·重慶·高二校聯(lián)考期末）已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：．3．（2024上·四川宜賓·高二統(tǒng)考期末）等差數(shù)列的前項(xiàng)和為.已知且.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.題型五：重點(diǎn)考查裂項(xiàng)相消法（無(wú)理型：形如）典型例題例題1．（2024上·廣東深圳·高三統(tǒng)考期末）已知數(shù)列滿足.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.例題2．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足.(1)求的值：(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式：(3)證明：對(duì)一切正整數(shù)，有.精練核心考點(diǎn)1．（2024上·天津·高二耀華中學(xué)?？计谀?duì)于實(shí)數(shù)，表示不超過(guò)的最大整數(shù).已知數(shù)列的通項(xiàng)公式，前項(xiàng)和為，則（

）.A．65 B．67 C．74 D．82（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，若，則數(shù)列的前n項(xiàng)和.題型六：重點(diǎn)考查裂項(xiàng)相消法（指數(shù)型：形如）典型例題例題1．（2024上·湖南長(zhǎng)沙·高三湖南師大附中?？茧A段練習(xí)）記為正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和，且，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.例題2．（2024上·上?！じ叨虾Ｄ蠀R中學(xué)?？计谀┮阎獢?shù)列的前項(xiàng)和為，且對(duì)任意正整數(shù)，都有.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足，，求數(shù)列的最大項(xiàng)；(3)若數(shù)列滿足，且對(duì)任意的正整數(shù)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.例題3．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)是等比數(shù)列的公比大于，其前項(xiàng)和為，是等差數(shù)列，已知，，，.(1)求，的通項(xiàng)公式(2)設(shè)，求；(3)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.精練核心考點(diǎn)1．（2024上·河北邢臺(tái)·高三統(tǒng)考期末）在正項(xiàng)數(shù)列中，，且．(1)求證：數(shù)列是常數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：．2．（2024·全國(guó)·高二假期作業(yè)）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且對(duì)于任意正整數(shù)，都有．(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：．3．（2024上·河北廊坊·高三河北省文安縣第一中學(xué)校聯(lián)考期末）已知數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.題型七：重點(diǎn)考查數(shù)列求和之錯(cuò)位相減法典型例題例題1．（2024上·山東德州·高三統(tǒng)考期末）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，數(shù)列的前項(xiàng)和滿足關(guān)系式．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．例題2．（2024上·內(nèi)蒙古呼和浩特·高三統(tǒng)考期末）已知正項(xiàng)數(shù)列滿足：.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.例題3．（2024上·寧夏銀川·高二?？计谀┮阎獢?shù)列，其前項(xiàng)和為.數(shù)列滿足，.(1)求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列前項(xiàng)和.精練核心考點(diǎn)1．（2024上·湖北·高二期末）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和2．（2024上·四川瀘州·高二瀘縣五中校考期末）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.3．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在公差不為零的等差數(shù)列中，前五項(xiàng)和，且依次成等比數(shù)列，數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，(1)求及；(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.題型八：重點(diǎn)考查數(shù)列求和之通項(xiàng)含絕對(duì)值求和典型例題例題1．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列，記為的前項(xiàng)和，從下面①②③中再選取一個(gè)作為條件，解決下面問(wèn)題．①；②；③．(1)求的最小值；(2)設(shè)的前項(xiàng)和為，求．例題2．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知正項(xiàng)等比數(shù)列滿足是與的等差中項(xiàng)．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．例題3．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列的公差為整數(shù)，，設(shè)其前n項(xiàng)和為，且是公差為的等差數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.精練核心考點(diǎn)1．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）記等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求．2．（2024上·內(nèi)蒙古呼和浩特·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．3．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．題型九：重點(diǎn)考查其他方法求和典型例題例題1．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列為等差數(shù)列，數(shù)列為等比數(shù)列，且，若．(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)由，的公共項(xiàng)構(gòu)成的新數(shù)列記為，求數(shù)列的前5項(xiàng)之和．例題2．（2023下·河北保定·高二河北省唐縣第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）從條件①；②；③中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并給出解答.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，_____________.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)表示不超過(guò)的最大整數(shù)，記，求的前項(xiàng)和.例題3．（2023·山東·山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考一模）已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，．(1)求；(2)在數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)、之間依次插入、、、，得到數(shù)列、、、、、、、、、、，求的前項(xiàng)和．精練核心考點(diǎn)1．（2023·河