四川省涼山州2023屆高三第一次診斷性檢測數(shù)學(xué)（理）試題（解析版）

涼山州2023屆高中畢業(yè)班第一次診斷性檢測

數(shù)學(xué)（理科）

本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.第I卷（選擇題），第∏卷（非選擇題），共4頁，滿分

150分，考試時間120分鐘.

注意事項：

1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、座位號、準(zhǔn)考證號用0?5毫米的黑色簽字筆填寫在答題

卡上，并檢查條形碼粘貼是否正確.

2.選擇題使用2B鉛筆涂在答題卡對應(yīng)題目標(biāo)號的位置上；非選擇題用0.5毫米黑色簽字筆書

寫在答題卡的對應(yīng)框內(nèi)，超出答題區(qū)域書寫的K答案X無效；在草稿紙、試題卷上答題無效.

3.考試結(jié)束后，將答題卡收回.

第I卷（選擇題，共60分）

一、選擇題（本大題共12小題，每題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.）

1.已知復(fù)數(shù)Z滿足Z,N是Z的共輾復(fù)數(shù)，則z+N等于（）

A.-2iB.-2C.-4iD.-I

K答案DB

K解析員

R祥解D化簡等式得到z,計算得到共規(guī)復(fù)數(shù)2,即可得到z+N的值.

K詳析2解：由題意

^l-3i,y

在----=]+[中，

Z

l-3i（l-3i）（l-i）3i2-4i+l4i+2、

Z=------=?----r?——r?=--------?—=---------=-l1-2ι

1+i（l+i）（l-i）l-i22

.,.z=-l+2i

z+z=-l-2i-l+2i=-2

故選：B.

2.從某中學(xué)甲、乙兩班各隨機抽取10名同學(xué)的數(shù)學(xué)成績，所得數(shù)據(jù)用莖葉圖表示如下.由此可估計甲，乙

兩班同學(xué)的數(shù)學(xué)成績情況，則下列結(jié)論正確的是（）

甲班乙班

1512

3206337

63372

218123

392

A.甲班數(shù)學(xué)成績的中位數(shù)比乙班大

B.甲班數(shù)學(xué)成績的平均值比乙班小

C.甲乙兩班數(shù)學(xué)成績的極差相等

D.甲班數(shù)學(xué)成績的方差比乙班大

K答案》A

R解析》

K祥解XA選項，根據(jù)中位數(shù)的定義計算出甲乙兩班的中位數(shù)，比較大小;

B選項，根據(jù)平均數(shù)的定義計算出甲乙兩班的平均數(shù)，比較出大小;

C選項，根據(jù)極差的定義計算出甲乙兩班的極差，兩者不相等;

D選項，由莖葉圖分析可得到甲班數(shù)學(xué)成績更集中在平均數(shù)的周圍，故方差小.

K詳析X甲班的數(shù)學(xué)成績中位數(shù)為必辿二73,乙班的數(shù)學(xué)成績中位數(shù)為包土衛(wèi)二69.5,甲班數(shù)學(xué)成

22

績的中位數(shù)比乙班大，A正確;

51+60+62+63+73+73+76+81+82+93

甲班的數(shù)學(xué)成績的平均數(shù)為=71.4,

10

51+52+63+63+67+72+81+82+83+92

乙班的數(shù)學(xué)成績的平均數(shù)為=70.6,

10

故甲班數(shù)學(xué)成績的平均值比乙班大，B錯誤;

甲班的數(shù)學(xué)成績的極差為93—51=42,乙班的數(shù)學(xué)成績的極差為92—51=41,

故甲乙兩班數(shù)學(xué)成績的極差不相等，C錯誤;

從莖葉圖中可以看出甲班的成績更加的集中在平均數(shù)71.4的附近，而乙班的成績更分散，沒有集中到平均

數(shù)70.6的附近，

故甲班數(shù)學(xué)成績的方差比乙班小，D錯誤.

故選：A

3.設(shè)集合A=J-l,2°,e∣n2,-^-卜8=Jl,2,lne3,彳卜則AcB子集個數(shù)為（）

A.2B.4C.8D.16

K答案》C

K解析』

K祥解』首先根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)化簡集合，從而得到A6=再求子集個數(shù)即可.

K詳析DA=j-l,20,eln2,^j=,B=jl,2,lne?^j=∣l,2,3,^j,

所以A8={1,2,當(dāng)},ACB的子集個數(shù)為23=8.

故選：C

4.設(shè)XeR,向量α=(x,l),b=(1,-1),且&匕，則,-W=()

A.1B.√2C.√3D.2

K答案，D

K解析2

R祥解H由向量垂直的坐標(biāo)表示求X,再由向量減法的坐標(biāo)表示和模的坐標(biāo)表示求k一。|.

K詳析11因為α=(χ,i),8=(L-I),且。工人，

所以X-I=0，所以X=1,則α-b=(0,2),可得∣α-1∣=J()2+22=2?

故選：D.

5.已知尸為拋物線7?y2=2*(p>0)焦點，過尸作垂直X軸的直線交拋物線于M、N兩點，以MN

為直徑的圓交y軸于c,D兩點，若ICq=26,則T的方程為()

A.y2=2xB.y2=4xC.y2=2√3xD.y2=6%

K答案，B

K解析H

R祥解》由題意可知圓是以焦點為圓心，。為半徑的圓，根據(jù)弦長公式即得.

R詳析》由題可知由X=曰，可得V=“2,

所以IMNI=2p,所以以MN為直徑的圓的半徑是〃，圓心為尸

解得，=2,

所以拋物線方程V=4x.

故選：B.

x1÷x9=-b

6.一兀二次方程J?+6x+C=0的兩根芯,工2滿足，-,這個結(jié)論我們可以推廣到一元三次方程

X1X2=C

中.設(shè)玉,%2，%3為函數(shù)〃%)=三一6￡+1a-6的三個零點，則下列結(jié)論正確的是()

A.X1+X2+X3=-6B.X1X2+X1X3+X2X3=-11C.X1X2X3=-6D.

11111

--1---1--=—

x1x2X36

K答案》D

K解析X

K祥解D設(shè)加+"2+cχ+d=o(α≠0且dwθ)的三個實根分別為和X2,X3，依題意可得

O(X-X)(X-X2)(X-W)=O,再根據(jù)整式的乘法展開，再根據(jù)系數(shù)相等即可判斷.

R詳析Il設(shè)辦3+ZυP+cχ+d=o。。且4。0)的三個實根分別為玉,々，天，

pγl?α(x-xl)(x-x2)(x-?)=O,

所以ɑ[d_(x)+χ2)χ+χlχ2](χ-χi)=O,

2

所以O(shè)r3-a{xx÷x2+X3)X+6f(x1x2+x2x3+x1x3)x-axxx2x3=O,

所以-4(X1+%2+X3)=6，。(芭X2+々X3+%X3)=C，-OX1X2X3=d,

πι,bcd

RIJX]+x,+%3=——，ΛX+XX+X↑X=—,xx^x=——

a1a2233aλ3

C

所以Illll二工2七+工”3+3工2a_c

y~~~d

JC2中2尤3

a

所以函數(shù)〃力=八64]1>6中％+%+X3=T=6,出+中3+儀

11,

11111

—÷—+—=—

X1X2X3=--=6,

ax1x2x36

故選：D

7.我國古代數(shù)學(xué)家劉徽在其撰寫的《海島算經(jīng)》中給出了著名的望海島問題：今有望海島，立兩表，齊高

三丈，前后相去千步，今前表與后表三相直.從前表卻行一百二十三步，人目著地取望島峰，與表末三合.從

后表卻行一百二十七步，亦與表末三合.問島高及去表各幾何.這一方法領(lǐng)先印度500多年，領(lǐng)先歐洲1300

多年.其大意為：測量望海島AB的高度及海島離海岸的距離，在海岸邊立兩等高標(biāo)桿DE,FG(AB，

DE，F(xiàn)G共面，均垂直于地面)，使目測點〃與8,0共線，目測點C與8,尸共線，測出石”，GC,

EG,即可求出島高AB和AE的距離(如圖).若DE=FG=3,EH=J,HC=T2,GC=9,則海

島的高AB=()

D.21

K答案，A

K解析》

DEEHFGGC

"羊解H由題可得一=——，——=七，結(jié)合條件即得.

ABAHABAC

K詳析H由題可知r>E∕∕AB,FGHAB,

?、、DEEHFGGC

所以——=----,——=——又DE=FG=3,EH=7,HC=I2,GC=9,

ABAHABAC

所以—=------,——-----------

ABAE+7ABAE+7+12

解得A￡=35,AB=I8.

故選：A.

8.如圖，在棱長為6的正方體ABCD-ABC。中，。是底面正方形ABCO的中心，點M在。A上，點

N在A#上，若QVJ.AM,則DW=()

A.1B.2C.4D.3

K答案，D

R解析H

K祥解』以點。為坐標(biāo)原點，D4、DC、OR所在直線分別為X、y、Z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點

N(6,%6),Λ∕(0,0,m),其中0≤加≤6,()≤"≤6,由ON?AM=O求出加的值，即可得解.

K詳析D以點。為坐標(biāo)原點，D4、DC、OA所在直線分別為x、，、Z軸建立如下圖所示的空間直角

坐標(biāo)系，

則A(6,0,0)?。(3,3,0),設(shè)點N(6,",6),M(0,0,m),其中0≤∕x≤6,0<n<6,

AM=(-6,0,m),ON=(3,"-3,6),

因為ON_LAM,則QV?AM=3χ(-6)+6W=0,解得加=3,故DΛ∕=3.

故選：D.

ab,,a,8

9.定義CQ=αd—歷，己知數(shù)列｛4｝為等比數(shù)列，且%=2,?α=0,則牝=()

CΛg

A2√2B.±2血C.4D.±4

K答案》C

K解析』

"羊解Il根據(jù)新定義及等比數(shù)列的性質(zhì)運算即得.

8

K詳析11因為。=0,

8?

所以4%-64=0,即齒=64,又｛α,,｝為等比數(shù)列，％=2,

所以%，%，%同號，%=8，又a；=%%，

所以為=4.

故選：C.

10.小明去參加法制知識答題比賽，比賽共有A,B,。三道題且每個問題的回答結(jié)果相互獨立.已知三

道題的分值和小明答對每道題的概率如表：

A題分值：3分8題分值：3分C題分值：4分

答對的概率0.60.50.4

P(X=3)

記小明所得總分為X(分)，則八\=()

產(chǎn)(X=10)

K答案XA

K解析工

K祥解》由概率乘法公式分別求出p(X=3),P(X=IO),由此可得結(jié)論.

K詳析D由已知P(X=3)=0.6χ0?5χ0.6+0.4χ0.5χ0.6=0.3,

P(X=Io)=O.6X0.5X0.4=0.12,

P(X=3)=5

所以

P(X=IO)-2

故選：A.

π'23π

11.已知函數(shù)/(x)=Sin?ωx——-cosCDXH---(--。-〉0),關(guān)于函數(shù)/(χ)有如下四個命題:

2j2

①/(x)的最小正周期是%

②若/(x)在X=］處取得極值，則/=1；

③把/(χ)的圖象向右平行移動嘉個單位長度，所得的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點對稱;

④/(χ)在區(qū)間o,?上單調(diào)遞減，則一的最小值為

_Q」aω2

其中真命題的個數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

K答案，c

K解析H

K祥解》由題可得/(x)=CoS(25),根據(jù)余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可判斷①②，根據(jù)圖象變換規(guī)律及三角

函數(shù)的性質(zhì)可判斷③，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可得色《工，然后根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)可判斷④.

a2

K詳析D因為/(x)=Sin—T)-COS=COS%x-sin%x=cos(2(υx),

所以/(x)的最小正周期是至=工，故①正確；

2ωω

若/(x)在X=處取得極值，則(υπ=E,AeZ,即<υ=NkGZ,又。>0,故<y=k"∈N*,故②錯

誤；

把/(x)的圖象向右平行移動;個單位長度,可得y=cos2<υ[x-f~)=cosf2ωx-j=sin(2<υ%),

因為sin(—25)=—Sin(2&x),故函數(shù)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于坐標(biāo)原點對稱，故③正確;

πCC2①冗/、兀

由x∈0,一可得2GX∈0,---,--又“X)在區(qū)間0,-上單調(diào)遞減,

aa

則駟≤τr,即0<?^≤!,根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)可知」+o'=g+^≥*,故④正確；

aa2aωωa2

所以真命題的個數(shù)為3.

故選：C.

2x2

12.已知/(x)=e'-0x有兩個零點Xl,%2&<%2)，(%)=—■——-x+l)則()

A."eB.g(χ)+g(%)>0

C.g(χ)?g(x2)>OD?2g(x∣)?g(Λ2)+g(x2)<O

R答案2B

K解析1

K祥解Ii對于選項A,通過令/(χ)=o,構(gòu)建新函數(shù)MX)=《，求導(dǎo)解出MX)=《的單調(diào)性，再結(jié)合

XX

有兩個不同零點即可得出。與e的大小關(guān)系；

對于選項C,通過對g(x)求導(dǎo)得出單調(diào)性，再由對稱定義得出g(x)關(guān)于(1,0)對稱，得出g(?η)<O,且

g(?)>0,即可判斷；

對于選項D,通過對/(X)零點的分析結(jié)合選項A中的證明，得出0<χ<l<9,結(jié)合選項C中的證明利用

單調(diào)性得出g(%)>g(O)=-萬即可判斷；

對于選項B,結(jié)合選項C,D中的證明，構(gòu)造新函數(shù)i(x)=〃(x)—〃(2—X),求導(dǎo)再構(gòu)造得出i(x)的單調(diào)

性即可由0<玉<1<々于單調(diào)性得出斗+々>2，即可證明巧比不離x=l遠(yuǎn)，再結(jié)合對稱性得出

Ig(X2)|>|g(%)|，即可判斷.

K詳析D對于選項A：

令/(x)=e*-tzx=0,

則ex=ax<即α=上，

令MX)

eAx-ev_e'(x-l)

則/?’(X)=

則當(dāng)x>l時”(x)>O,當(dāng)x<l時〃'(x)<O,

則〃(X)=《在x>l時單調(diào)遞增，在x<l時單調(diào)遞減,

則∕z(x)A(l)=—=e,

則當(dāng)/(x)=e'-"有兩個不同零點時，a>e,

故選項A錯誤；

對于選項B：

g(χ)=5-彳-%+1，

則g<x)=2v^'ln2+2∣rIn2-1=In2甲+2I^Λ)-1,

由基本不等式可得2χ-'+2l~x≥2，

則如2(2下】+2-*)22如2>1,

則g'(x)>O,則g(x)再定義域上單調(diào)遞增,

2x+122"A+I2

g(Λ+l)+?(-Λ+l)=-----x-l+l++%—1+1=O，

2^Λ+'

則g(x)關(guān)于(1,0)對稱，

令/(x)=e'-αr=0,則e*=0χ,

，>0，且由選項A得知α>e,

，當(dāng)/(x)=e*-辦=O時，解得的x>0,即玉、x2>0,

v

由選項A中可知MX)=Je在χ>l時單調(diào)遞增，在x<l時單調(diào)遞減,

當(dāng)/(X)=ɑ`-公有兩個零點玉,￡(玉<工2)時>

則O<%V1<馬，

則g(3)<0,且g(w)>O,

令i(x)=∕z(X)一W2-尤),且0<χ<l,

則z"(x)=(X-I)—

(2-

令/(X)=二(0<x<l),

則廣⑴「'(「〈o'

即/(x)在((U)上單調(diào)遞減,

x∈(0,l),

.?.x<2-x,

X2-X

.-A---~~7>0,

尤2(2r)2

則i'(x)<0,

即i(x)在((U)上單調(diào)遞減,

.?.z(x)>z(l)=0,

即M%)>∕z(2-%),

O<x1<1,

/.Λ(x1)>Λ(2-x1),

∕Z(X1)=A(X2),

.?.∕z(x2)>A(2-x1),

x2>1f2-xl>1,∕z(x)在(l,+oo)上單調(diào)遞增，

.?.x2>2-X1,即玉+々>2,

則才2比*1離X=I遠(yuǎn)，

則∣g(%)∣>∣g(%)∣,

則g(%)+g(w)>0,

故選項B正確：

對于選項C：

由選項B中可知g(x∣)<0,月一g(x2)>0,

則g(%)?g(w)<O

故選項C錯誤；

對于選項D:

2g(Dg(X2)+g(9)=g(X2)12g(xJ+l]

由選項B中可知g(x)再定義域上單調(diào)遞增，且g(w)>0,O<X,<1,

則g(x∣)>g(0)=-g，

則2g(3)+l>0,

則2g(x,),g(x2)+g(x2)>。

故選項D錯誤；

故選：B

Rr點石成金D導(dǎo)函數(shù)中常見的解題轉(zhuǎn)化方法：

(1)利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，常轉(zhuǎn)化不等式恒成立問題，需要注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)

用：

（2）函數(shù)零點、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極值問題處理.

難題通常需要多段求導(dǎo)或構(gòu)造函數(shù)，這時需多注意函數(shù)前后聯(lián)系.

第∏卷（非選擇題，共90分）

二、填空題（共4小題，每小題5分，共20分）

x+γ-2≤0

13.設(shè)變量X,y滿足約束條件＜x-y+2≥0,則目標(biāo)函數(shù)z=χ+y的最小值為.

x+2y—2≥0

2

K答案】I

R解析D

K祥解》畫出約束條件所表示的平面區(qū)域，結(jié)合直線在y軸上的截距，確定目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解，代入即可

求解.

x+y-2≤0

K詳析D畫出約束條件，x-y+2≥0所表示的平面區(qū)域，如圖所示，

x+2y-2≥0

目標(biāo)函數(shù)z=χ+y,可化為直線y=-χ+z,

當(dāng)直線y=-χ+z過點C時在y上的截距最小，此時目標(biāo)函數(shù)取得最小值，

24

3,3

242

所以目標(biāo)函數(shù)z=*+y的最小值為z,—I—=—

333

故R答案Il為:

（用數(shù)字作答）.

K答案，5

R解析』

K祥解D由二項式展開式的通項公式求解即可.

K詳析』因為(x+l)6的展開式通項為(+I=CF6-，，

1i

所以7；=C江3,T3=CbX.

故展開式中V的系數(shù)為C：一C；=20-15=5.

故K答案》為：5.

15.把正整數(shù)按如下規(guī)律排列：1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,……，構(gòu)成數(shù)列{4},則%=

K答案，13

K解析D

K樣解H根據(jù)正整數(shù)排列規(guī)律結(jié)合等差數(shù)列求和公式即得.

K詳析D由題可知正整數(shù)按1個1,2個2,3個3,……，進行排列，

LdMA+1).C-k(k+l)

因為1+2++女=」——當(dāng)左1=13時，△——^=91，

22

所以“91=13.

故K答案H為：13.

22

16.如圖，已知橢圓G:―y+?！?1,=t(a>b>0,0<t<l).若由橢圓Cl長軸一端點P和短

軸一端點。分別向橢圓C2引切線PR和QT,若兩切線斜率之積等于-；，則橢圓C2的離心率e=

K解析H

K祥解D設(shè)切線PR:y=K(x+a),QT:y=k2x+b,聯(lián)立橢圓方程根據(jù)判別式為零結(jié)合條件可得與=4,

a2

然后根據(jù)離心率公式即得.

K詳析。由題可知P(-α,O),β(0,?),

設(shè)切線FR>=K(x+a),QT?.y=k2x+b,

y=kt(%+?)

由“尤2y2,可得(6/+〃卜2+2號^》+^^一口匯=0,

22

所以△=(2后d『—4Wa2+h2乂女"4-tab)=0,

1

.2tb

整理可得跖=7~TW，

(1-f)Q

y-k2x-?-b

由<Yy2,可得(記々2+〃2b2+2女2々2笈+々2〃2一療》2=0,

”+廣

所以△=(2慎2“一4(抬/+b1^a2b2-ta1b2)=0,

。一"

整理可得好

又兩切線斜率之積等于-L,

2

??tb1上恒」，即今

所以公?公?

2

-(l-f)α2ta4a22

2tc-cτ—b~b"1∕?

所rr以hie~=—z^=----?—=1—∑^=一,又τ7e￡(。n,11),

ta2a2a22''

所以e=42.

2

故R答案H為：交.

2

三、解答題.(解答過程應(yīng)寫出必要的文字說明，解答步驟.共70分)

17.2022年卡塔爾世界杯(英語：FIFAWorldCupQatar2022)是第二十二屆世界杯足球賽，是歷史上首次在

卡塔爾和中東國家境內(nèi)舉行,也是繼2002年韓日世界杯之后時隔二十年第二次在亞洲舉行的世界杯足球賽,

除此之外，卡塔爾世界杯還是首次在北半球冬季舉行，第二次世界大戰(zhàn)后首次由從未進過世界杯的國家舉

辦的世界杯足球賽.為了解某校學(xué)生對足球運動的興趣，隨機從該校學(xué)生中抽取了IOO人進行調(diào)查，其中

女生中對足球運動沒興趣的占女生人數(shù)的L,男生有5人表示對足球運動沒有興趣.

4

（1）完成2x2列聯(lián)表，并回答能否有97.5%的把握認(rèn)為“該校學(xué)生對足球是否有興趣與性別有關(guān)”?

有興趣沒興趣合計

男60

女

合計

（2）從樣本中對足球沒有興趣的學(xué)生按性別分層抽樣的方法抽出6名學(xué)生，記從這6人中隨機抽取3人,

抽到的男生人數(shù)為X,求X的分布列和期望

P(K2≥%)0.1()0.050.0250.010

k。2.7063.8415.0246.635

n(ad-be)，

n-a+b+c+d

(α+θ)(c+d)(α+c)(λ>+d)

R答案II（I）填表見K解析*有97.5%的把握認(rèn)為“該校學(xué)生對足球是否有興趣與性別有關(guān)”

（2）分布列見K解析X期望為1

K解析H

K祥解》（1）根據(jù)題中數(shù)據(jù)完成列聯(lián)表，再結(jié)合公式求K2,分析理解；

（2）根據(jù)分層求得抽取男生2人，女生4人，結(jié)合超幾何分布求分布列和期望.

K小問1詳析）

根據(jù)所給數(shù)據(jù)完成列聯(lián)表:

有興趣沒興趣合計

男55560

女301040

合計8515100

K?=]00X(55X*5X30)2=800”5,229〉5^24

85×15×40×60153

所以有97.5%的把握認(rèn)為“該校學(xué)生對足球是否有興趣與性別有關(guān)''.

R小問2詳析D

按照分層抽樣的方法，抽取男生2人，女生4人,

隨機變量X的所有可能取值為0，1，2,則有：

P(X=O)=詈，1P(X=D=罟喘=1,P(x=2)=詈噌1

X的分布列為:

XO12

?3

P

555

I3i

故￡(*)=0乂1+1＞＜二+2＞二=1,即X的期望為1.

18.如圖，在直三棱柱ABC-44G中，AB=CG=3，BC=4,AC=5,AE=AAA,,。為BC的

中點.

(1)當(dāng)力=；時，求證：AZ)〃平面BC∣E;

(2)若也，G。與平面BGE所成的角為夕，求Sine的取值范圍.

44

K答案D(1)證明見K解析》

^2√393√2^

(2)-------,——

3913

K解析H

K祥解II(I)首先取Bq中點。，連接。。，OE,。為BC的中點，易證四邊形AOoE為平行四邊形,

從而得到AD//OE,再利用線面平行的判定即可證明AD〃平面BaE.

(2)以8為原點，5。,氏4,64分別為工,％2軸建立空間直角坐標(biāo)系，再利用空間向量法求解即可.

R小問1詳析］

取BG中點。，連接O。，0E,。為Be的中點，如圖所示：

B

因為O,力分別為BC1和BC的中點，

所以O(shè)o〃gcc∣且0。=gCG，

又當(dāng)；I=；時，E為AA的中點，

所以AE〃gcG，且AE=gcC∣,

所以O(shè)D〃AE,且。D=A￡,

所以四邊形ADoE為平行四邊形，所以A。〃0七，

因為Ao(Z平面8C∣E,OEU平面BGE,所以AD〃平面BQE.

K小問2詳析)

因為AB=3,BC=A,AC=5,所以AB2+BC2=AC2,即ABlBC.

又因為三棱柱ABC-44CI為直三棱柱，

所以以B為原點，8C,8A,84分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示:

所以B(0,0,0),C1(4,0,3),D(2,0,0),E(0,3,3%),―≤Λ≤

4

BC1=(4,0,3),BE=(0,3,34),

設(shè)平面BClE的一個法向量"=(x,y,z),

所以〈,,令x=3,得〃=(3,44-4).

n?BE=y+λz=O

又DG=(2,0,3),

DG6

2；

所以sm"∣zj∣∣DC1√B√16λ+25

'又乂人在,所以Sinee［嚕,吟］,

44L3913

所以Sine的取值范圍為笆9,野.

19.在銳角LABC中，角A，B,C所對的邊分別為α,AcS-CsinA=αcosC.

(1)求A；

(2)若b=2,求ABC面積的取值范圍.

K答案H(1)A=-

4

⑵(1,2)

K解析H

R祥解Il(I)由正弦定理化邊為角后，由誘導(dǎo)公式及兩角和的正弦公式變形，然后結(jié)合同角關(guān)系可得A角；

(2)由(1)及已知得B角范圍，利用正弦定理把C表示為8的三角函數(shù)，從而得出C的范圍，再由三角形

面積公式得面積范圍.

R小問1詳析H

因為Z7-CSinA=αcosC,

由正弦定理得sinβ-sinCsinA=SinAcosC，

即Sin(A+C)-SinAcosC=SinCsinA,

所以CosAsinC=SinCsinA,

因為SinCH0,所以tanA=l,由AeO,］得A=；.

K小問2詳析》

因為b=2,

由正弦定理得2sinC2叫4力2(sinτcosB-cosτsinB)夜

c=---=-------=----------------=---F√2

sinBsinBsinBtanB

3TTTTTT

由——上可得8>!,

424

所以Be二,二貝IJtanB∈(l,+oo),故CW(夜,2夜卜

[42)

所以一A6C的面積S=工匕CSinA=―—c∈(1,2).

22v,

即一ABC面積的取值范圍為(1,2).

20.已知A,8分別是橢圓。：與+"=1(。＞。〉0)的上下頂點，|陰=2,點1,在橢圓。上，。

為坐標(biāo)原點.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)直線/與橢圓C交于X軸上方兩點M,N.若戕.嵐=-ι,試判斷直線/是否過定點？若是，求出定

點坐標(biāo)；若否，說明理由.

K答案H(1)—+/=1；

2'

(2)是，直線/過定點

K解析，

分析7(1)由題可得b=l,然后把點L代入橢圓方程可得/=2,即得;

(2)設(shè)直線y=履+f,聯(lián)立橢圓方程，利用韋達定理法結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)表示可得/="，進而即得.

3

K小問1詳析』

因為∣A3∣=2,所以人=1，

又點1,在圖像。上,

所以—+5戶=1>所以a?=2'

2

所以橢圓C的方程為三+y2=1；

2

R小問2詳析H

由題可設(shè)直線/：y=kx+t,M(X],兇)、N(X2,%)，(yl>0,γ2>0),

y=kx+t

得(公依一

?'√2?,2+1)/+4+2/2=0,

.萬

則A=8(2^+1一產(chǎn))>o,

4kt

M+%=-

22?2+l

2t2-2

玉工2ΞF+1

UULUUUU.

又QATCW=-I,即XlX2+X%=-1，

2

所以玉W+(依+t)(kx2+/)=-1,即(K+1)X1Λ2+kt(^xl+x2)+r=-1,

4kt

儼+。?分+小+∕2=-l,

2?2+l

19/

解得產(chǎn)=一，又一>0,即r>0,

32k+1

r?r∣?/?.?/?

所以ht=—,y=kxH-----?

33

所以直線/過定點

21.已知函數(shù)/(x)=Jχ2-(X+1)In(X+l)+x+f.

(1)g(x)是/(X)的導(dǎo)函數(shù),求g(x)的最小值；

(2)已知〃eN*,證明：l+,+'+L+^>ln("+l);

(3)若X*-xlnx+(2-α)x-l≥O恒成立，求。的取值范圍.

K答案》(1)O(2)證明見K解析》

(3)(-∞,2]

K解析，

K祥解》⑴求出g(χ)的表達式，求導(dǎo)，通過討論g(χ)的單調(diào)性，即可求出g(χ)的最小值;

(2)通過⑴中g(shù)(x)的取值范圍得出x≥ln(x+l),即可證明不等式；

(3)分離參數(shù),構(gòu)造函數(shù)MX)=LΞ?≡=L,通過⑴中的結(jié)論XNIn(X+1),可得出MX)的

取值范圍，即可求得。的取值范圍.

K小問1詳析』

由題意，在/(x)=gf-(x+l)ln(x+l)+x+f中，

所以，g(x)=/'(X)=X-In(X+1)—l+l=x-ln(x+l),

在g(x)=x-ln(X+1)中，χ>-l,

1x

g,(χ)=J

x+lx+l

令/(x)=0,解得X=O,

又xe(-l,())時，g'(x)<O,x∈(0,+∞)時，g'(x)>(),

.?.g(x)≥g(O)=(),即g(x)的最小值為0.

R小問2詳析］

在g(x)=x—】n(x+l)中，g(x)=x-ln(x+l)≥0,

可知x≥ln（x+l）,當(dāng)且僅當(dāng)X=O時等號成立,

1.1(1八ππ1,n+?

???n∈N*時,一≥In—F1f即一≥In-----

n?n)nn9

23

Λl÷i÷l÷÷i>ln^÷1∏2÷+in^=ln=In(TI+1).

23n12n12

???不等式成立.

K小問3詳析』

由題意及(1)(2)得，Λ≥ln(x+1).

當(dāng)x>0時，ΛA-XlnX+（2—4）x—12O怛成立,

...不等式X士InX+2上!Nα恒成立,

X

XA-xlnx+2x-l

令MX）二

X

則命題等價于X∈(0,+∞),MX)min≥a

Vx≥ln(x÷l),.?.ev≥x÷l.

./Xeγhu-xlnx÷2x-lxlnx+l-xlnx+2x-lC業(yè)[八,2而幼旦

.?.hf(x)=----------------------≥-------------------