江西省宜春市第九中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)（理）試卷

2020—2021學(xué)年度第一學(xué)期高二理科數(shù)學(xué)期中考試試卷一、選擇題（本大題共12小題，共60.0分）用一個平面去截一個幾何體，得到的截面是四邊形，這個幾何體可能是A.圓錐 B.圓柱 C.球 D.以上都有可能下列命題：經(jīng)過三點確定一個平面；梯形可以確定一個平面；兩兩相交的三條直線最多可以確定四個平面；如果兩個平面有三個公共點，則這兩個平面重合．其中正確命題的個數(shù)為

A.4 B.3 C.2 D.如圖所示為一個簡單幾何體的三視圖，則其對應(yīng)的實物是A.B.

C.D.

不論M為何實數(shù)，直線恒過定點

A. B. C. D.已知的平面直觀圖是邊長為1的正三角形，那么原的面積為A. B. C. D.已知空間三條直線l、m、若l與m異面，且l與n異面，則A.m與n異面 B.m與n相交

C.m與n平行 D.m與n異面、相交、平行均有可能已知直線與圓交于A，B兩點，則弦長的取值范圍是

A. B. C. D.已知，是橢圓C的兩個焦點，過且垂直x軸的直線交C于A，B兩點，且，則C的方程為A. B. C. D.已知向量，則向量在向量上的投影數(shù)量為A.1 B. C. D.命題“對任意實數(shù)，關(guān)于x的不等式恒成立”為真命題的一個必要不充分條件是

A. B. C. D.已知三棱錐中，底面ABC，，，且該三棱錐所有頂點都在球O的球面上，則球O的表面積為A. B. C. D.傾斜角為的直線經(jīng)過橢圓的右焦點F，與橢圓相交于A、B兩點，若，則橢圓的離心率為

A. B. C. D.二、填空題（本大題共4小題，共20.0分）已知m和n是兩條不同的直線，和是兩個不重合的平面，那么下面給出的條件中一定能推出的是_______．

，且；mn，且；

，且；，且．一條光線從點射出，經(jīng)x軸反射，其反射光線所在直線與圓相切，則反射光線所在的直線方程為

．命題“若，則”及其逆命題、否命題、逆否命題中正確的命題個數(shù)是______個．若點O和點F分別為橢圓的中心和左焦點，點P為橢圓上的任意一點，則的最大值為_________．三、解答題（本大題共6小題，共70.0分）設(shè)p：實數(shù)x滿足，其中；q：實數(shù)x滿足．若，且為真，求實數(shù)x的取值范圍；若p是q的必要不充分條件，求實數(shù)a的取值范圍．

已知空間向量，，．若，求；若，求的值．

已知平面內(nèi)兩點，．Ⅰ求AB的中垂線方程；Ⅱ求過點且與直線AB平行的直線l的方程；

如圖，在直三棱柱中，，，，，點D是AB的中點．

求證：；求證：平面；

已知圓C：及點，過點P的直線與圓交于A、B兩點．若弦長，求直線AB的斜率；求面積的最大值，及此時弦長．

設(shè)橢圓的左焦點為F，左頂點為A，上頂點為已知為原點．Ⅰ求橢圓的離心率；Ⅱ設(shè)經(jīng)過點F且斜率為的直線l與橢圓在x軸上方的交點為P，圓C同時與x軸和直線l相切，圓心C在直線上，且求橢圓的方程．

2020—2021學(xué)年度第一學(xué)期高二理科數(shù)學(xué)期中考試試卷答案和解析【答案】1.B 2.D 3.A 4.C 5.A 6.D 7.D

8.C 9.B 10.B 11.B 12.D 13.

14.或

15.2

16.6

17.解：當(dāng)時，解不等式得，

即，

解不等式得，

即，

為真，

．

解不等式得，記，

由，記，

是q的必要不充分條件，

是A的真子集，

，解得，

即實數(shù)a的取值范圍為．

18.解：，，解得：，，故．，，解得：，，，，．19.解：線段AB的中點為，即，

，

線段AB的中垂線的斜率，

的中垂線方程為，化為；

過點且與直線AB平行的直線l的斜率為，

其方程為：，化為．

20.解：直三棱柱，底面三邊長，，，且在平面ABC內(nèi)的射影為BC，．

設(shè)與的交點為E，連結(jié)DE，

是AB的中點，E是的中點，，平面，平面，平面

21.解：當(dāng)直線AB垂直于x軸時，不合題意；

當(dāng)直線AB斜率存在時，設(shè)直線方程為，即．

圓心到直線的距離，

則，即或；

當(dāng)直線AB垂直于x軸時，直線方程為，

與圓C：聯(lián)立，可得，；

當(dāng)直線AB斜率存在時，

．

令，

則．

當(dāng)且僅當(dāng)，即，即或．

因為，

所以面積的最大值為，此時弦長．

22.解：Ⅰ，即為，

可得；Ⅱ，，

即，，

可得橢圓方程為，

設(shè)直線FP的方程為，

代入橢圓方程可得，

解得或，

代入直線PF方程可得或舍去，

可得，

圓心C在直線上，且，可設(shè)，

可得，解得，

即有，可得圓的半徑為2，

由直線FP和圓C相切的條件為，

可得，解得，

可得，，

可得橢圓方程為．

【解析】1.【分析】本題考查的知識點是圓錐的幾何特征，圓柱的幾何特征，球的幾何特征，其中熟練掌握相關(guān)旋轉(zhuǎn)體的幾何特征，培養(yǎng)良好的空間想像能力，是解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)圓錐、圓柱、球的幾何特征，分別分析出用一個平面去截該幾何體時，可能得到的截面的形狀，逐一比照后，即可得到答案．

【解答】解：用一個平面去截一個圓錐，得到的圖形可能是圓、橢圓、拋物線、雙曲線的一支、三角形，不可能是四邊形，故A不滿足要求；

用一個平面去截一個圓柱，得到的圖形可能是圓、橢圓、四邊形，故B滿足要求；

用一個平面去截一個球體，得到的圖形只能是圓，故C不滿足要求．

故選B．2.【解析】中若三點在一條直線上，則不能確定一個平面；梯形可以確定一個平面；兩兩相交的三條直線最多可以確定三個平面；中這三個公共點可以在這兩個平面的交線上．故錯誤的是，正確的是正確命題的個數(shù)為故選D．3.【分析】

本題主要考查空間幾何體的三視圖，屬基礎(chǔ)題．

由三視圖可知，該幾何體是一個長方體截去一個角，則結(jié)論易得．

【解答】

解：由三視圖可知，該幾何體是一個長方體截去一個角，

根據(jù)三視圖可知，該幾何體如圖所示，

故選A．

4.【分析】

本題考查了直線恒過定點的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．

把直線l的方程化為，令，即可求得直線l恒過的定點．

【解答】

解：直線l的方程可化為，

令，解得

直線l恒過定點．

故選：C．5.解：如圖所示，

在直觀圖中分別作軸、軸交軸于點、

交軸于點．

在中，由正弦定理得，可得，．

在原直角坐標(biāo)系中，，，

．

．

故選：A．

利用斜二測畫法的規(guī)則即可求出原圖中的邊AB及其邊上的高，進而即可求出面積．

熟練掌握斜二測畫法的規(guī)則是解題的關(guān)鍵．6.【分析】

本題考查平面的基本性質(zhì)，著重考查學(xué)生的理解與轉(zhuǎn)化能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題．

可根據(jù)題目中的信息作圖判斷即可．

【解答】

解：空間三條直線l、m、若l與m異面，且l與n異面，

與n可能異面如圖，也可能平行圖，也可能相交圖，

故選D．7.【分析】

本題考查直線系方程的應(yīng)用，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查平面幾何知識的運用，考查計算能力，屬于中檔題．

通過直線l轉(zhuǎn)化為直線系，求出直線恒過的定點，說明直線l被圓C截得的弦長最小時，圓心與定點連線與直線l垂直，由勾股定理即可得到最短弦長．

【解答】

解：由直線l：得：，

故l恒過定點．

因為，

則點D在圓C的內(nèi)部，直線l與圓C相交．

圓心，半徑為5，，

當(dāng)截得的弦長最小時，，最短的弦長是．

再由l經(jīng)過圓心時弦長最長為，則．

故選：D．8.【分析】

本題考查橢圓的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，橢圓方程的求法，考查計算能力．

求出a，得到b，即可求解橢圓方程．

【解答】解：，是橢圓C的兩個焦點，可得，

過且垂直x軸的直線交C于A，B兩點，且，

令橢圓方程中，得，

可得，

化簡得，

解得，則，

所求的橢圓方程為：．

故選：C．9.【分析】

本題考查了向量投影公式，屬于基礎(chǔ)題．

利用向量在向量上的投影數(shù)量即可求解．

【解答】

解：向量在向量上的投影數(shù)量，

向量在向量上的投影數(shù)量為．

故選B．10.【分析】本題主要考查充分條件和必要條件的應(yīng)用，求出不等式恒成立的等價條件是解決本題的關(guān)鍵．求出不等式恒成立的等價條件，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進行判斷即可．

【解答】解：若“對任意實數(shù)，關(guān)于x的不等式恒成立”，

則等價為恒成立，

，

，

即，

即命題“對任意實數(shù)，關(guān)于x的不等式恒成立”為真命題的等價條件為，

則的一個必要不充分條件可以是，

故選B．11.【分析】

由題意，將三棱錐擴充為長方體，長方體的對角線PC為外接球的直徑，，由此可求球O的表面積．

本題考查球O的表面積，考查學(xué)生的計算能力，比較基礎(chǔ)．

【解答】

解：由題意，將三棱錐擴充為長方體，長方體的對角線PC為外接球的直徑，，半徑為，

球O的表面積為，

故選B．12.【分析】

先設(shè)直線方程為，設(shè)，與橢圓方程聯(lián)立化為由，可得，再利用根與系數(shù)的關(guān)系、離心率計算公式即可得出．

本題考查了直線的傾斜角與斜率、橢圓與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、向量坐標(biāo)運算，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．

【解答】

解：設(shè)直線方程為，，

聯(lián)立，化簡為．

，．

，

，，

聯(lián)立化為：，

設(shè)，化為，

化為，

解得．

橢圓的離心率．

故選D．13.【分析】

本題主要考查了線面平行的平行的判定定理，面面垂直的性質(zhì)，線面垂直的判定，屬于中檔題．

【解答】

解：，且或，或m與相交，故不成立；

，且，故成立；

，且，或或m與相交，故不成立；

，且，知不成立，不成立．

故答案為．14.解：點關(guān)于x軸的對稱點坐標(biāo)為點，

當(dāng)反射光線所在的直線斜率不存在時，符合條件的方程為．

設(shè)反射光線的斜率為k，

可得出反射光線為，即，

反射光線與圓相切，

圓心到反射光線的距離，即，

整理得：，

解得：．

此時，反射光線所在的直線方程為：．

綜上所述，反射光線所在的直線方程為：或．

故答案是：或．

找出點關(guān)于x軸的對稱點，此點在反射光線上，設(shè)出反射光線的斜率為k，表示反射光線的方程，由反射光線與已知圓相切，可得出圓心到反射線的距離等于圓的半徑，利用點到直線的距離公式列出關(guān)于k的方程，求出方程的解得到k的值，即可確定出反射線的方程．

此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，涉及的知識有：直線的一般式方程，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及點到直線的距離公式，當(dāng)直線與圓相切時，圓心到切線的距離等于圓的半徑，熟練掌握此性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．15.解：若，則，

則原命題為真命題，則逆否命題為真命題，

逆命題：若，則，為假命題，由，則或，

即逆命題為假命題，則否命題為假命題，

則四種命題中證明題的個數(shù)為2個．

故答案為：2

根據(jù)逆否命題的等價性，四種命題之間的關(guān)系進行判斷即可．

根據(jù)四種命題之間的關(guān)系，結(jié)合逆否命題的等價性進行判斷即可．16.【分析】

本題主要考查了平面向量的數(shù)量積運算，橢圓的性質(zhì)，屬于中檔題．

設(shè)點，則有，可得，又，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．

【解答】

解：由題意，，

設(shè)點，

則有，

解得，

因為

所以，

此二次函數(shù)對應(yīng)的拋物線的對稱軸為，

因為，

所以當(dāng)時，取得最大值，

故答案為6．17.本題考查復(fù)合命題的真假判定及必要不充分條件的判斷，也考查了不等式的求解及集合思想的運用，屬基礎(chǔ)題．

當(dāng)時，解不等式得，解不等式得，由為真，即可得解；

解不等式得，由p是q的必要不充分條件，借用集合中真子集的思想，建立關(guān)于實數(shù)a的不等式組，解出即可得到結(jié)論．18.本題考查空間向量的線性運算，考查空間向量的坐標(biāo)運算，考查求空間向量的模長及數(shù)量積，是基礎(chǔ)題．

由得，解出x，從而求得的坐標(biāo)，根據(jù)模長公式求解即可；

由得，解出x，從而求得的坐標(biāo)，再計算，的坐標(biāo)，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運算公式計算即可．19.本題考查了相互平行與垂直的直線斜率之間的關(guān)系、中點坐標(biāo)公式、斜率計算公式及直線的點斜式方程，考查了學(xué)生的計算能力，培養(yǎng)了學(xué)生分析問題與解決問題的能力．

利用中點坐標(biāo)公式可得：線段AB的中點為，利用斜率計算公式可得，可得線段AB的中垂線的斜率，利用點斜式即可得出結(jié)果；

過點且與直線AB平行的直線l的斜率為，利用直線的點斜式方程即可得出結(jié)果．20.本題考查了線面平行的判定，線面垂直的性質(zhì)，屬于中檔題．

利用射影定理即可證明．

設(shè)與的交點為E，連結(jié)DE，利用中位線的性質(zhì)證出平面21.本題考查直線與圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，考查計算能力，是中檔題．

當(dāng)直線AB垂直于x軸時，不合題意；當(dāng)直線AB斜率存在時，設(shè)直線方程為，即利