第三章 平穩(wěn)時間序列預測

本章結(jié)構(gòu)方法性工具1.ARMA模型2.平穩(wěn)序列建模3.序列預測4.

平穩(wěn)時間序列模型預測設平穩(wěn)時間序列是一個ARMA(p,q)過程，即本章將討論其預測問題，設當前時刻為t，已知時刻t和以前時刻的觀察值，我們將用已知的觀察值對時刻t后的觀察值進行預測，記為，稱為時間序列的第步預測值。2最小均方誤差預測考慮預測問題首先要確定衡量預測效果的標準，一個很自然的思想就是預測值與真值的均方誤差達到最小，即設預測值與真值的均方誤差我們的工作就是尋找，使上式達到最小。3序列預測線性預測函數(shù)預測方差最小原則序列分解預測誤差預測值條件無偏均方誤差最小預測

設隨機序列，滿足，則如果隨機變量使得

達到最小值，則如果隨機變量使得達到最小值，則7因為可以看作為當前樣本和歷史樣本的函數(shù)，根據(jù)上述結(jié)論，我們得到，當時，使得達到最小。對于ARMA模型，下列等式成立：8ARMA模型的預測方差和預測區(qū)間

如果ARMA模型滿足平穩(wěn)性和可逆性，則有所以，預測誤差為9由此，我們可以看到在預測方差最小的原則下，是當前樣本和歷史樣本已知條件下得到的條件最小方差預測值。其預測方差只與預測步長有關，而與預測起始點t無關。當預測步長的值越大時，預測值的方差也越大，因此為了預測精度，ARMA模型的預測步長不宜過大，也就是說使用ARMA模型進行時間序列分析只適合做短期預測。10進一步地，在正態(tài)分布假定下，有由此可以得到預測值的95%的置信區(qū)間為或者

11對AR模型的預測首先考慮AR(1)模型當時，即當前時刻為t的一步預測為當，當前時刻為t的步預測12對于AR(p)模型當時，當前時刻為t的一步預測為當，當前時刻為t的步預測13例1

設平穩(wěn)時間序列來自AR(2)模型已知，求和以及95%的置信區(qū)間。解：14可以計算模型的格林函數(shù)為所以的95%的置信區(qū)間為（－1.076，3.236）

的95%的置信區(qū)間為

（－2.296，3.952）15例2

已知某商場月銷售額來自AR(2)模型(單位：萬元/月)2006年第一季度該商場月銷售額分別為：101萬元，96萬元，97.2萬元。求該商場2006年第二季度的月銷售額的95%的置信區(qū)間。16求第二季度的四月、五月、六月的預測值分別為17計算模型的格林函數(shù)為四月、五月、六月的月銷售額的95%的置信區(qū)間分別為四月：（85.36，108.88）五月：（83.72，111.15）六月：（81.84，113.35）18預測方差的計算計算Green函數(shù):根據(jù)遞推公式方差置信區(qū)間步預測銷售額的95%置信區(qū)間為：

估計結(jié)果預測時期95％置信區(qū)間預測值四月份（85.36，108.88）97.12五月份（83.72，111.15）97.432六月份（81.84，113.35）97.5952MA模型的預測對于MA(q)模型我們有當預測步長，可以分解為當預測步長，可以分解為21MA(q)模型預測方差為22例3

已知某地區(qū)每年常住人口數(shù)量近似的服從MA(3)模型（單位：萬人）

2002年—2004年的常住人口數(shù)量及1步預測數(shù)量見表23年份人口數(shù)量預測人口數(shù)量200220032004104108105110100109例3.15解：隨機擾動項的計算例3.15解：估計值的計算例3.15解：預測方差的計算27預測年份95%的置信區(qū)間20052006200720082009（99，119）（83，109）（87，115）（86，114）（86，114）例3已知某地區(qū)每年常駐人口數(shù)量近似服從MA(3)模型（單位：萬人）：最近3年的常駐人口數(shù)量及一步預測數(shù)量如下：預測未來5年該地區(qū)常住人口的95％置信區(qū)間年份統(tǒng)計人數(shù)預測人數(shù)200210411020031081002004105109解:年份統(tǒng)計人數(shù)預測人數(shù)200210411020031081002004105109解：置信區(qū)間的計算預測年份95％置信區(qū)間預測人數(shù)

2005（99，119）109.22006（83，109）962007（87，115）100.82008（86，114）1002009（86，114）10095%置信區(qū)間的計算：估計結(jié)果：ARMA(p,q)序列預測ARMA(p,q)序列場合:預測例4已知ARMA(1,1)模型為：且x100=0.3,ε100=0.01，預測未來3期序列值的95％的置信區(qū)間。x100=0.3,ε100=0.01計算Green函數(shù)：預測方差：解:置信區(qū)間的計算時期95％置信區(qū)間預測值101（0.136，0.332）0.234102（0.087，0.287）0.1872103（－0.049，0.251）0.1497695%置信區(qū)間：估計結(jié)果：修正預測定義所謂的修正預測就是研究如何利用新的信息去獲得精度更高的預測值

方法在新的信息量比較大時——把新信息加入到舊的信息中，重新擬合模型；

在新的信息量很小時——不重新擬合模型，只是將新的信息加入以修正預測值，提高預測精度。修正預測原理舊信息基礎上的序列分解假設新獲得一個觀察值Xt+1，則序列重新分解為修正預測原理在舊信息的基礎上，Xt+l的預測值為假設新獲得一個觀察值Xt+1，則Xt+l的修正預測值為其中是Xt+1的一步預測誤差。修正預測誤差為修正預測原理預測方差為

即一期修正后第步預測方差就等于修正前第步預測方差。它比修正前的同期預測方差減少了，提高了預測精度。一般情況假設獲得k個新的觀察值，則的修正預測值為修正預測誤差為預測方差為例2續(xù)已知某超市月銷售額近似服從AR(2)模型(單位：萬元/每月)今年第一季度該超市月銷售額分別為：101，96，97.2萬元。（1）請確定該超市第二季度每月銷售額的95％的置信區(qū)間。（2）假如一個月后知道4月份的真實銷售額為100萬元，求第二季度后兩個月銷售額的修正預測值。預測時期95％置信區(qū)間預測值四月份（85.36，108.88）97.12100五月份（83.72，111.15）97.432六月份（81.84，113.35）97.5952例2續(xù)：假如四月份的真實銷售額為100萬元，求二季度后兩個月銷售額的修正預測值計算四月份的一步預測誤差計算修正預測值月份預測值新獲得觀察值修正預測值497.12100597.432697.5952例2續(xù):計算修正方差：步預測銷售額的95%置信區(qū)間為：修正預測預測時期修正前置信區(qū)間修正后置信區(qū)間四月份（85.36，108.88）五月份（83.72，111.15）（87.40，110.92）六月份（81.84，113.35）（85.79，113.21）ARMA模型的預測關于ARMA模型有

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例4

已知ARMA(1,1)模型為且，預測未來3期序列值的95%的置信區(qū)間。47首先計算未來3期預測值計算模型的格林函數(shù)為48計算預測方差計算得到未來3期序列值的95%的置信區(qū)間49預測時期95%的置信區(qū)間101102103（0.136，0.332）（0.087，0.287）（-0.049，0.251）預測值的適時修正

對于平穩(wěn)時間序列的預測，實際就是利用已有的當前信息和歷史信息對于序列未來某個時期進行預測。預測的步長值越大，預測精度越差。隨著時間的向前推移，在原有時間序列觀測值的基礎上，我們會不斷獲得新的觀測值。顯然，如果把新的觀測值加入歷史數(shù)據(jù)，就能夠提高對的預測精度。所謂預測值的修正就是研究如何利用新的信息去獲得精度更高的預測值。50例2續(xù)

假設一個月后已知四月份的真實銷售額為100萬元，求第二季度后兩個月銷售額的修正預測值及95%的置信區(qū)間。因為根據(jù)上述公式可以計算五月、六月的修正預測值如下：51修正預測方差為步預測銷售額的95%的置信區(qū)間52預測時期修正前95%的置信區(qū)間修正后95%的置信區(qū)間四月五月六月（85.36，108.88）（83.72，111.15）（81.84，113.35）（87.40，110.92）（85.79，113.21）序列分解預測誤差預測值序列預測線性預測函數(shù)預測方差最小原則誤差分析估計誤差期望方差AR(p)序列的預測預測值預測方差95％置信區(qū)間AR(p)序列的預測一.基于AR模型的預測以平穩(wěn)的AR(2)過程為例：其中為零均值白噪音過程

……58ARMA模型的預測在t時刻，預測的值：

=在t時刻，預測的值：

同理：…結(jié)論59例3.14已知某超市月銷售額近似服從AR(2)模型（單位：萬元/每月）今年第一季度該超市月銷售額分別為：101，96，97.2萬元請確定該超市第二季度每月銷售額的95％的置信區(qū)間例3.14解：預測值計算四月份五月份六月份例3.14解：預測方差的計算GREEN函數(shù)方差例3.14解：置信區(qū)間公式估計結(jié)果預測時期95％置信區(qū)間四月份（85.36，108.88）

五月份（83.72，111.15）

六月份（81.84，113.35）

例2.5:北京市城鄉(xiāng)居民定期儲蓄比例序列擬合與預測圖

MA(q)序列的預測預測值預測方差例3.15已知某地區(qū)每年常駐人口數(shù)量近似服從MA(3)模型（單位：萬）：最近3年的常駐人口數(shù)量及一步預測數(shù)量如下：預測未來5年該地區(qū)常住人口的95％置信區(qū)間年份統(tǒng)計人數(shù)預測人數(shù)200210411020031081002004105109例3.15解：隨機擾動項的計算例3.15解：估計值的計算例3.15解：預測方差的計算例3.15解：置信區(qū)間的計算預測年份95％置信區(qū)間2005（99，119）

2006（83，109）

2007（87，115）

2008（86，114）

2009（86，114）

ARMA(p,q)序列預測預測值預測方差例3.16已知模型為：且

預測未來3期序列值的95％的置信區(qū)間。例3.16解：估計值的計算例3.16解：預測方差的計算Green函數(shù)方差例3.16解