陜西省寶雞市2024屆高三上學(xué)期高考模擬檢測（一）數(shù)學(xué)（文）試題（教師版）

寶雞市高考模擬檢測（一）數(shù)學(xué)（文科）試題本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，其中第II卷解答題又分必考題和選考題兩部分，選考題為二選一.考生作答時，將所有答案寫在答題卡上，在本試卷上答題無效.本試卷滿分150分，考試時間120分鐘.注意事項：1.答題前，務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡規(guī)定的位置上.2.選擇題答案使用2B鉛筆填涂，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號；非選擇題答案使用0.5毫米的黑色中性（簽字）筆或碳素筆書寫，書寫要工整、筆跡清楚，將答案書寫在答題卡規(guī)定的位置上.3.所有題目必須在答題卡上作答，在試卷上答題無效.第I卷（選擇題共60分）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，滿分60分.1.若集合中只有一個元素，則實數(shù)（）A.1 B.0 C.2 D.0或1【答案】D【解析】【分析】分類討論，確定方程有一解時滿足的條件求解.【詳解】當(dāng)時，由可得，滿足題意；當(dāng)時，由只有一個根需滿足，解得.綜上，實數(shù)的取值為0或1.故選：D2.已知復(fù)數(shù)，為z的共軛復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面表示的點在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】首先利用除法運算化簡復(fù)數(shù)，并求和，再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，即可求解.【詳解】，，，所以，對應(yīng)的點為，在第四象限.故選：D3.設(shè)向量，，若向量與共線，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由向量共線的坐標運算求出的值，再由向量線性運算的坐標表示求.【詳解】向量，，則，若向量與共線，有，解得，則，所以.故選：A.4.函數(shù)的部分圖像大致為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域即可排除求解.【詳解】由于函數(shù)的定義域為，故可排除ABD，故選：C5.第19屆亞運會于2023年9月23日至10月8日在中國杭州舉行，中國代表團共獲得201枚金牌，111枚銀牌，71枚銅牌，共383枚獎牌的歷史最好成績.某個項目的比賽的六個裁判為某運動員的打分分別為95，95，95，93，94，94，評分規(guī)則為去掉六個原始分的一個最高分和一個最低分，剩下四個有效分的平均分為該選手的最后得分，設(shè)這六個原始分的中位數(shù)為，方差為，四個有效分的中位數(shù)為，方差為，則下列結(jié)論正確的是（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】【分析】可求出六個原始分和四個有效分的中位數(shù)，再根據(jù)方差的定義判斷方差的大小．【詳解】容易求出這六個原始分95，95，95，93，94，94的中位數(shù)為，方差為；四個有效分95，95，94，94的中位數(shù)為，方差為；根據(jù)方差的定義知四個有效分的波動性變小，所以．故選：D．6.在空間中，下列說法正確的是（）A.若的兩邊分別與的兩邊平行，則B.若棱錐的側(cè)棱長與底面多邊形的邊長相等，則該棱錐可能是正六棱錐C.若直線平面，直線，則D.到四面體的四個頂點，，，距離均相等的平面有且僅有7個【答案】D【解析】【分析】A.若的兩邊分別與的兩邊平行，則或，B.若六棱錐的所有棱長都相等，則底面多邊形是正六邊形，若以正六邊形為底面，側(cè)棱長必然要大于底面邊長，C.可能在內(nèi)，D.分種情況討論即可.【詳解】A.若的兩邊分別與的兩邊平行，則或，故A錯誤；B.若六棱錐的所有棱長都相等，則底面多邊形是正六邊形，若以正六邊形為底面，側(cè)棱長必然要大于底面邊長，故B錯誤；C.若直線平面，直線，則，則可能在內(nèi)，故C錯誤；D.對于四個頂點，平面的劃分有兩種情況，1+3型和2+2型，1+3型，就是一個點在一側(cè)，另三個點在另一旁，這三個頂點張成一個平面，見下圖，很顯然，點和面中間的平面構(gòu)成一個解，四個頂點輪換，所以這種情況共有4個解，2+2型，這個的解是兩組異面直線的中間那個平面，見下圖，每一個頂點拉出了三條線，這條線的對側(cè)構(gòu)成另外一條線。所以這種劃分有3種解，故總共有7個解，不會有0+4型，因為平面一側(cè)到一個面上距離相等的點，必然都在一個平面上。而正四面體的四個頂點構(gòu)成立體空間，不在一個平面上，故D選項正確.故選：D.7.已知直線和圓交于A，B兩點，O為坐標原點，則“”是“的面積為”的（）A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】先求出的面積，得到面積為的等價條件，再根據(jù)充分條件和必要條件的定義即可判斷.【詳解】圓的圓心為，半徑，則圓心到直線的距離為，弦長，所以，若，則或.所以，“”是“的面積為”的充分不必要條件，故選：B8.已知，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，求得，結(jié)合正弦的倍角公式和三角函數(shù)的基本關(guān)系式，化為“齊次式”，代入即可求解.【詳解】由題意知，可得，可得，又由.故選：C.9.三棱錐中，平面，為等邊三角形，且，，則該三棱錐外接球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先作圖構(gòu)造外接球的球心，再根據(jù)幾何關(guān)系求外接球的半徑，最后代入三棱錐外接球的表面積公式.【詳解】如圖，點為外接圓的圓心，過點作平面的垂線，點為的中點，過點作線段的垂線，所作兩條垂線交于點，則點為三棱錐外接球的球心，因為平面，且為等邊三角形，，所以四邊形為矩形，，，所以，即三棱錐外接球的半徑，則該三棱錐外接球的表面積為.故選：B10.過拋物線的焦點F作傾斜角為的直線交拋物線于A，B兩點，點A在第一象限，則（）A.2 B.3 C.4 D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)出A、B坐標，利用拋物線焦半徑公式求出，結(jié)合拋物線的性質(zhì)，求出A、B的坐標，然后求比值即可．【詳解】拋物線y2=2px(p>0)的焦點坐標為，∵直線傾斜角為，∴直線的方程為：.設(shè)直線與拋物線交點為，∴,，聯(lián)立方程組,消去y并整理,得解得,，∴，故選:B．【點睛】本題主要考查了直線與拋物線的位置關(guān)系，拋物線的簡單性質(zhì)，特別是焦點弦問題，解題時要善于運用拋物線的定義解決問題.11.已知函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱，且關(guān)于點對稱，則的值可能是（）A.5 B.9 C.13 D.15【答案】B【解析】【分析】根據(jù)正弦型函數(shù)的對稱軸和對稱中心求出的表達式，然后結(jié)合選項判斷.【詳解】函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱，且關(guān)于點對稱，則有且，解得且，選項中只有符合條件.故選：B12.設(shè)，是橢圓與雙曲線（，）的公共焦點，P為它們的一個交點，，分別為，的離心率，若，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)橢圓以及雙曲線的定義，結(jié)合余弦定理可得，進而利用換元法，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】不妨設(shè)點是，在第一象限內(nèi)的交點，則，，所以，，在中，由余弦定理可得：，即，故令，則，所以，故,故選：A第II卷（非選擇題共90分）二、填空題：本題共4小題，每小題5分，滿分20分.13.命題“任意，”為假命題，則實數(shù)a的取值范圍是__________．【答案】【解析】【分析】首先求命題為真命題時的取值范圍，再求其補集，即可求解.【詳解】若命題“任意，”為真命題，則，設(shè)，，，當(dāng)時，等號成立，由對勾函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)單調(diào)遞增，，，所以，即，所以命題“任意，”為假命題，則的取值范圍為.故答案為：14.設(shè)，滿足約束條件，則的最小值為__________．【答案】【解析】【分析】先根據(jù)約束條件作出可行域；再化目標函數(shù)為直線方程斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解；最后把最優(yōu)解的坐標代入目標函數(shù)即可得出答案.【詳解】由約束條件作出可行域如圖所示：化為.由圖可知，當(dāng)直線過點時，直線在軸上的截距最大，此時有最小值.故答案為：.15.在中，角，，的對邊分別為，，，已知，，且，則_________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)正弦定理將條件式邊化角，利用三角恒等變換求出角，再利用向量數(shù)量積轉(zhuǎn)化運算求得結(jié)果.【詳解】，由正弦定理得，即，又，，，，，，又，.又，.故答案為：.16.已知函數(shù)，若且，則的最大值為__________．【答案】【解析】【分析】先利用導(dǎo)數(shù)分析的圖象性質(zhì)，結(jié)合圖象可知，從而將轉(zhuǎn)化為，再利用導(dǎo)數(shù)即可得解.【詳解】因為，當(dāng)時，，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增；所以，且當(dāng)時，，而當(dāng)時，是一次函數(shù)，所以的大致圖象如下：因為，為使取得最大值，必然異號，不妨設(shè)，同時結(jié)合圖象可知，其中滿足，由于，所以，所以，即，所以，令，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞增減；當(dāng)時，，單調(diào)遞減；由于，所以，則的最大值為.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題解決的關(guān)鍵在于將問題轉(zhuǎn)化為的最值問題，利用導(dǎo)數(shù)即可得解.三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17-21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.隨著計算機時代的迅速發(fā)展，人工智能也滲透到生活的方方面面，如：線上繳費、指紋識別、動態(tài)導(dǎo)航等，給人們的生活帶來極大的方便，提升了生活質(zhì)量.為了了解市場需求，某品牌“掃地機器人”公司隨機調(diào)查了1000人，記錄其年齡與是否使用“掃地機器人”得到如下統(tǒng)計圖表：（分區(qū)間，，……統(tǒng)計）（1）根據(jù)所給的數(shù)據(jù)，完成下面的列聯(lián)表，并根據(jù)表中數(shù)據(jù)，判斷是否有99%的把握認為使用“掃地機器人”與年齡有關(guān)？是否使用掃地機器人

年齡是否

（2）從這1000個年齡在的人中按年齡段采取分層抽樣的方法抽取5人，現(xiàn)從這5人中隨機，抽取3人做深度采訪，求這3人中恰有2人年齡在年齡在的概率.附：，0.0500.0100.0013.8416.63510.828【答案】（1）列聯(lián)表見解析，有（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題中所給公式，結(jié)合頻率直方圖進行求解判斷即可；（2）根據(jù)古典概型計算公式，結(jié)合列舉法進行求解即可.【小問1詳解】由圖1可知：年齡在的人數(shù)為，其中使用掃地機器人的人數(shù)由圖2可知為，不使用的人數(shù)為.年齡在的人數(shù)為，其中使用掃地機器人的人數(shù)由圖2可知為，不使用的人數(shù)為，完成列聯(lián)表如下：是否使用掃地機器人年齡是否440110270180，故而有99%的把握認為使用“掃地機器人”與年齡有關(guān)；【小問2詳解】由條件可知抽取5人中，有3人在，記為1，2，3，2人在，記為4，5.從中抽取3人的結(jié)果有：（123），（124），（125），（134），（135），（145），（234），（235），（245），（345）共10種，恰有2人年齡在年齡在的占6種，故?18.已知四棱錐中，，，，，為的中點.（1）求證：平面；（2）若，，求四面體的體積.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）利用線面垂直的判定定理結(jié)合線面平行的判定定理即得；（2）先根據(jù)幾何關(guān)系以及線段長度找出四面體的高，再根據(jù)三棱錐的體積公式求解出結(jié)果.【小問1詳解】取的中點，連接，，取的中點，連接，，，，又，，，又，平面，平面，又平面，，又，，四邊形為矩形，且，分別為中點，，，四邊形為平行四邊形，，又平面，平面，平面；【小問2詳解】延長，過過交于，因為，，所以，所以，所以，所以，所以，因為平面，平面，所以，且，，平面，所以平面，所以到平面的距離為，又因為為中點，所以.19.已知數(shù)列，若，且.（1）求證：是等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項公式；（2）若，且數(shù)列的前項和為，求證：.【答案】（1）證明見解析，（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的定義結(jié)合遞推關(guān)系式證明即可得結(jié)論，從而根據(jù)等比數(shù)列的通項公式求得數(shù)列的通項公式；（2）根據(jù)裂項相消法求解數(shù)列的前項和為，再根據(jù)的單調(diào)性求最值即可得結(jié)論.【小問1詳解】證明：，又，是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，，；小問2詳解】證明：，且結(jié)合（1）得，，，，是遞增數(shù)列，又，，.20.在平面直角坐標系中，點分別在軸，軸上運動，且，動點滿足.（1）求動點的軌跡的方程；（2）設(shè)直線與曲線交于，兩點，且，求實數(shù)的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)相關(guān)點法求軌跡方程,求出結(jié)果即可；（2）將直線方程與橢圓聯(lián)立，結(jié)合韋達定理，表示出，求實數(shù)的值即可.【小問1詳解】設(shè)，，，，，，即，，，動點的軌跡的方程.【小問2詳解】設(shè)，聯(lián)立,可得：，由得，化簡得,又因為，，，所以，即，化簡得，滿足，所以.21.已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；（2）已知，求證：當(dāng)時，恒成立.【答案】（1）遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為（2）證明見解析【解析】【分析】（1）當(dāng)時，求得，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系可求得函數(shù)的增區(qū)間和減區(qū)間；（2）當(dāng)時，由，令，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在上的單調(diào)性，證得即可.【小問1詳解】解：當(dāng)時，，其中，則，所以，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減.即的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為；【小問2詳解】解：因為，，令，則，令，則，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，又因為，，即存在唯一，使，當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，因為函數(shù)在上為增函數(shù)，因為且，則，則，所以時，恒成立，即.【點睛】方法點睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題，方法如下：（1）直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式（或）轉(zhuǎn)化為證明（或），進而構(gòu)造輔助函數(shù)；（2）適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；（3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).（二）選考題：