山西省運城市2024屆高三上學(xué)期期末調(diào)研測試數(shù)學(xué)試題（教師版）

第一學(xué)期期末調(diào)研測試高三數(shù)學(xué)試題考試時間120分鐘．答案一律寫在答題卡上.注意事項：1.答題前，考生務(wù)必先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上，認(rèn)真核對條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號，并將條形碼粘貼在答題卡的指定位置上.2.答題時使用0.5毫米的黑色中性（簽字）筆或碳素筆書寫，字體工整、筆跡清楚.3.請按照題號在各題的答題區(qū)域（黑色線框）內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效.4.保持卡面清潔，不折疊，不破損.一、單項選擇題：本題共8小題，在每小題所給的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.復(fù)數(shù)，則等于（）A.1 B. C.2 D.【答案】D【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，然后直接利用復(fù)數(shù)模的公式求解即可.【詳解】結(jié)合題意可得：，所以.故選：D.2.設(shè)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】解分式不等式，求出解集，根據(jù)真子集關(guān)系得到答案.【詳解】，解得，由于是的真子集，故是的必要不充分條件.故選：B3.已知是奇函數(shù)，則（）A. B. C.2 D.1【答案】C【解析】【分析】根據(jù)得到方程，求出.【詳解】由題意得，即，所以，故，所以，解得.故選：C4.第33屆夏季奧運會預(yù)計2024年7月26日至8月11日在法國巴黎舉辦，這屆奧運會將新增2個競賽項目和3個表演項目．現(xiàn)有三個場地A，B，C分別承擔(dān)這5個新增項目的比賽，且每個場地至少承辦其中一個項目，則不同的安排方法有（）A.150種 B.300種 C.720種 D.1008種【答案】A【解析】【分析】分和兩種情況，結(jié)合排列組合知識進(jìn)行求解.【詳解】若三個場地分別承擔(dān)個項目，則有種安排，若三個場地分別承擔(dān)個項目，則有種安排，綜上，不同的安排方法有種.故選：A5.設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先將對數(shù)式和指數(shù)式與臨界值比較，再判斷大小關(guān)系.【詳解】，即，，即，因為，所以，即，且，則，所以.故選：D6.已知雙曲線的左、右焦點分別為，，A為C的右頂點，以為直徑的圓與C的一條漸近線交于P，Q兩點，且，則雙曲線C的離心率為（）A. B. C. D.3【答案】C【解析】【分析】聯(lián)立圓與漸近線方程，得到，進(jìn)而得到，利用直線斜率得到方程，求出，得到離心率.【詳解】由題意得，以為直徑的圓的方程為，，漸近線方程為，聯(lián)立，解得，不妨令，故，因為，所以，所以，解得，故離心率.故選：C7.已知等差數(shù)列中，，設(shè)函數(shù)，記，則數(shù)列的前17項和為（）A. B. C. D.0【答案】C【解析】【分析】根據(jù)三角恒等變換化簡的表達(dá)式，判斷其圖象關(guān)于點成中心對稱，結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)可得，從而得，由此即可求得答案.【詳解】由題意知，當(dāng)時，，即關(guān)于點成中心對稱，由于等差數(shù)列中，，故，故，，故數(shù)列的前17項和為，故選：C8.已知四棱錐的底面是邊長為4的正方形，，，則直線與平面夾角的正弦值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先求，再作出平面，根據(jù)垂直關(guān)系，以及等面積轉(zhuǎn)化，確定垂足點位置，以及，再求線面角的正弦值.【詳解】如圖，由題意可知，，中，根據(jù)余弦定理可知，則，過點作平面，，連結(jié)，，連結(jié)，因為平面，平面，所以，且平面所以平面，平面，所以，又因為，所以，同理，中，，則，根據(jù)等面積公式，，所以，，又，所以，則，直線與平面夾角的夾角為，.故選：B【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是確定垂足的位置，以及垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化.二、多項選擇題：本題共4小題，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.9.關(guān)于下列命題中，說法正確的是（）A.若事件A、B相互獨立，則B.數(shù)據(jù)63，67，69，70，74，78，85，89，90，95的第45百分位數(shù)為78C已知，，則D.已知，若，則【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)獨立事件的乘法公式以及條件概率的概率公式可判斷A；根據(jù)百分位數(shù)的定義求出第45百分位數(shù)判斷B；根據(jù)對立事件的概率公式以及條件概率的概率公式可判斷C；根據(jù)正態(tài)分布的對稱性可判斷D.【詳解】對于A，若事件A、B相互獨立，則,而，A正確；對于B，數(shù)據(jù)63，67，69，70，74，78，85，89，90，95已為從小到大排列，共10個數(shù)，又，故第45百分位數(shù)為第5個數(shù)74，B錯誤；對于C，由于，，故，則，故，C正確；對于D，由于，，故，故，故，D錯誤，故選：AC10.已知函數(shù)，則（）A.的一個周期為2 B.的定義域是C.的圖象關(guān)于點對稱 D.在區(qū)間上單調(diào)遞增【答案】ACD【解析】【分析】利用正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)一一判定選項即可.【詳解】對于A，由可知其最小正周期，故A正確；對于B，由可知，故B錯誤；對于C，由可知，此時的圖象關(guān)于點對稱，故C正確；對于D，由可知，又在上遞增，顯然，故D正確.故選：ACD11.如圖，正方體的棱長為2，P是直線上的一個動點，則下列結(jié)論中正確的是（）A.的最小值為B.的最小值為C.三棱錐的體積為D.以點B為球心，為半徑的球面與面在正方體內(nèi)的交線長為【答案】ABD【解析】【分析】對于選項A，即求正三角形的高，判斷為正確；對于選項B，將空間問題平面化即可判定為正確；對于選項C，去一個特殊點，計算其體積，判斷為錯誤；對于選項D，先求出球與平面的交線，然后判斷有多少在正方體內(nèi)，求出其長度即可.【詳解】對于A，為邊長為的等邊三角形，的最小值即該等邊三角形的高，為，故A正確；對于B，如圖，將等邊繞旋轉(zhuǎn)到與平面共面，顯然，故B正確；對于C，當(dāng)P在D上時，，故C錯誤；對于D，設(shè)點B到平面的距離為d,，，，，以點B為球心，為半徑的球面與面在正方體內(nèi)的交線是以中心為圓心，以為半徑的圓，如圖，圓有一部分在正方體外，，由A得，，所以，，所以有圓周在正方體內(nèi)部，其長度為，故D對.故選：ABD.12.已知拋物線的焦點為，過點的直線與拋物線交于、兩點，與其準(zhǔn)線交于點，為的中點，且，點是拋物線上間不同于其頂點的任意一點，拋物線的準(zhǔn)線與軸交于點，拋物線在、兩點處的切線交于點，則下列說法正確的是（）A.拋物線焦點的坐標(biāo)為B.過點作拋物線的切線，則切點坐標(biāo)為C.在中，若，，則的最大值為D.【答案】CD【解析】【分析】設(shè)點，可得出點的坐標(biāo)，利用拋物線的定義可求得的值，可判斷A選項；設(shè)切線方程為，將切線方程與拋物線方程聯(lián)立，由判別式為零求出的值，可求得切點的坐標(biāo)，可判斷B選項；利用拋物線的定義結(jié)合B選項可判斷C選項；證明出，，結(jié)合直角三角形的幾何性質(zhì)可判斷D選項.【詳解】對于A選項，拋物線的焦點為，準(zhǔn)線方程為，設(shè)點，因為為線段的中點，則，由拋物線的定義可得，解得，則，A錯；對于B選項，由A選項可知，拋物線的方程為，點，若切線的斜率不存在，則該直線與拋物線相交，且只有一個交點，不合乎題意，所以，切線的斜率存在，設(shè)切線的方程為，聯(lián)立可得，則，解得，所以，切點橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為，故切點坐標(biāo)為，B錯；對于C選項，過點作與直線垂直，垂足點為點，由拋物線的定義可得，，由圖可知，當(dāng)直線與拋物線相切時，銳角取最大值，此時，取最大值，由B選項可知，銳角的最大值為，故的最大值為，C對；對于D選項，設(shè)點、，若直線的斜率不存在，則直線與拋物線只有一個交點，不合乎題意，所以，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立可得，，由韋達(dá)定理可得，，對函數(shù)求導(dǎo)得，所以，直線的方程為，即，同理可知，直線的方程為，因為，則，聯(lián)立可得，即點，則，而，所以，，則，所以，，由可得，所以，，D對故選：CD.【點睛】方法點睛：圓錐曲線中的最值問題解決方法一般分兩種：一是幾何法，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來求最值；二是代數(shù)法，常將圓錐曲線的最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問題，然后利用基本不等式、函數(shù)的單調(diào)性或三角函數(shù)的有界性等求最值．三、填空題：本題共4小題.13.已知向量，，若，則____________.【答案】【解析】【分析】運用平面向量垂直及減法、數(shù)乘、數(shù)量積坐標(biāo)運算即可.【詳解】因為，，所以，因為，所以，解得.故答案為：.14.的展開式中的系數(shù)為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)通項公式中的指數(shù)為3，列方程解得，從而可得展開式中的系數(shù).【詳解】展開式的通項為，令，得，所以展開式中的系數(shù)為.故答案為：【點睛】本題考查了根據(jù)通項公式求項的系數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.15.過原點的動直線l與圓交于不同的兩點A，B.記線段的中點為P，則當(dāng)直線l繞原點轉(zhuǎn)動時，動點P的軌跡長度為____________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)垂徑定理結(jié)合圓的定義及動直線過定點兩圓位置關(guān)系確定P的軌跡為圓弧計算即可.【詳解】由題意可知圓的圓心為，半徑為，根據(jù)圓的性質(zhì)可知，則為直角三角形，即P在以為直徑的圓上，設(shè)中點為E，該圓半徑為，易知，又線段的中點為P，則P在圓的內(nèi)部，如圖所示其軌跡即.因為，易得，則，所以的弧長為.故答案為：16.設(shè)是函數(shù)的兩個極值點，若，則的范圍為____________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)極值點定義可將問題轉(zhuǎn)化為與有兩個不同交點；利用導(dǎo)數(shù)可求得單調(diào)性，并由此得到的圖象；采用數(shù)形結(jié)合的方式可確定且；假設(shè)，由可確定，進(jìn)而得到的值，結(jié)合圖象可確定的取值范圍.【詳解】由，可得，因為是函數(shù)的兩個極值點，所以是的兩根，當(dāng)時，方程不成立，故是的兩根，即與的圖象有兩個交點，令則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增.則圖象如下圖所示，由圖象可知：且因為，所以，當(dāng)時，不妨令，則，即，化簡得，即，當(dāng)時，，若，則，即的取值范圍為.故答案為：.【點睛】方法點睛：本題考查根據(jù)極值點求解參數(shù)范圍問題，可將問題轉(zhuǎn)化為已知函數(shù)零點(方程根)的個數(shù)求參數(shù)值(取值范圍)的問題，解決此類問題的常用的方法有：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.四、解答題：本題共6小題，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且.（1）求角B的大??；（2）若，D為邊上的一點，，且______________，求的面積．①是的平分線；②D為線段的中點.（從①，②兩個條件中任選一個，補充在上面的橫線上并作答）.【答案】（1）（2）選①或選②均為【解析】【分析】（1）利用正弦定理將邊化成角，然后利用進(jìn)行代換，求出，即可得出答案；（2）若選①：由等面積法得到，由余弦定理得到，聯(lián)立求解即可得出答案；若選②：得，兩邊平法化簡得，由余弦定理得到，聯(lián)立求解即可得出答案.【小問1詳解】由正弦定理知，，，代入上式得，，，，，.【小問2詳解】若選①：由平分得：，，即.在中，由余弦定理得，，聯(lián)立，得，解得，若選②：得，，得，在中，由余弦定理得，，聯(lián)立，得，18.已知遞增的等比數(shù)列滿足，且，，成等差數(shù)列.（1）求的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前20項和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)等差中項的性質(zhì)得到，然后根據(jù)等比數(shù)列的通項公式列方程求解即可；（2）利用分組求和的方法計算即可.【小問1詳解】設(shè)公比為，因為，，成等差數(shù)列，所以，所以，解得或（舍去），所以.【小問2詳解】根據(jù)題意得.19.如圖，在圓柱體中，，，劣弧的長為，AB為圓O的直徑．（1）在弧上是否存在點C（C，在平面同側(cè)），使，若存在，確定其位置，若不存在，說明理由；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）存在，為圓柱的母線（2）【解析】【分析】（1）為圓柱的母線時，證明平面，從而得出；（2）以為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法即可求得二面角的余弦值.【小問1詳解】存在，當(dāng)為圓柱的母線時，．證明如下：連接BC，AC，，因為為圓柱的母線，所以平面ABC，又因為平面ABC，所以．因為AB為圓O的直徑，所以．又，平面，所以平面，因為平面，所以．【小問2詳解】以為原點，OA，分別為y，z軸，垂直于y，z軸的直線為x軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，，因為劣弧的長為，所以，，則，．設(shè)平面的法向量，則，令，解得，，所以．因為x軸垂直平面，所以平面的一個法向量．所以，又二面角的平面角為銳角，故二面角的余弦值為．20.某學(xué)校進(jìn)行趣味投籃比賽，設(shè)置了A，B兩種投籃方案.方案A：罰球線投籃，投中可以得2分，投不中得0分；方案B：三分線外投籃，投中可以得3分，投不中得0分.甲、乙兩位員工參加比賽，選擇方案A投中的概率都為，選擇方案B投中的概率都為，每人有且只有一次投籃機(jī)會，投中與否互不影響.（1）若甲選擇方案A投籃，乙選擇方案B投籃，記他們的得分之和為X，，求X的分布列；（2）若甲、乙兩位員工都選擇方案A或都選擇方案B投籃，問：他們都選擇哪種方案投籃，得分之和的均值較大？【答案】（1）分布列見解析（2）答案見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)得到方程，求出，求出X的所有可能值及對應(yīng)的概率，得到分布列；（2）設(shè)甲、乙都選擇方案A投籃，投中次數(shù)為，都選擇方案B投籃，投中次數(shù)為，則，，計算出兩種情況下的均值，由不等式，得到相應(yīng)的結(jié)論.【小問1詳解】依題意，甲投中的概率為，乙投中的概率為，于是得，解得，X的所有可能值為0，2，3，5，，，，，所以X的分布列為：0235【小問2詳解】設(shè)甲、乙都選擇方案A投籃，投中次數(shù)為，都選擇方案B投籃，投中次數(shù)為，則，，則兩人都選擇方案A投籃得分和的均值為，都選擇方案B投籃得分和的均值為，則，，若，即，解得；若，即，解得；若，即，解得.所以當(dāng)時，甲、乙兩位同學(xué)都選擇方案A投籃，得分之和的均值較大；當(dāng)時，甲、乙兩位同學(xué)都選擇方案A或都選擇方案B投籃，得分之和的均值相等；當(dāng)時，甲、乙兩位同學(xué)都選擇方案B投籃，得分之和的均值較大.21.已知橢圓的焦距為，左、右頂點分別為，上頂點為B，且．（1）求橢圓C的方程；（2）若過且斜率為k的直線l與橢圓C在第一象限相交于點Q，與直線相交于點P，與y軸相交于點M，且．