第七章 萬(wàn)有引力

第七章萬(wàn)有引力§1萬(wàn)有引力定律

地球表面附近的自由落體和繞地球運(yùn)動(dòng)的月亮，它們運(yùn)動(dòng)的原因是同一個(gè)：萬(wàn)有引力m1m2F12r12如果物體不能視為質(zhì)點(diǎn)，則1.萬(wàn)有引力常數(shù)G的測(cè)定

G=6.673×10-11m3/kg2·s2

卡文迪許扭秤實(shí)驗(yàn)2、重力加速度g卡文迪許是第一個(gè)“稱地球重量”的人。3、萬(wàn)有引力定律的普適性§2有心力

如果運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)所受的力的作用線始終通過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，則質(zhì)點(diǎn)所受力稱有心力，此定點(diǎn)稱力心。如萬(wàn)有引力，庫(kù)侖力等。將原點(diǎn)取在力心，對(duì)原點(diǎn)的力矩對(duì)原點(diǎn)的角動(dòng)量守恒，J=常矢量位矢r將始終在同一個(gè)垂直于J的平面內(nèi)，所以有心力作用下的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)可視為二維運(yùn)動(dòng)。

一、極坐標(biāo)中的運(yùn)動(dòng)方程極點(diǎn)極軸徑向橫向rθ極坐標(biāo)在極坐標(biāo)中，隨著質(zhì)點(diǎn)位置的不同，該點(diǎn)所在處的徑向和橫向是不同的。

1、極坐標(biāo)中的位矢

2、極坐標(biāo)中的速度和速率

3、極坐標(biāo)中的加速度徑向加速度包括徑向速度隨時(shí)間的變化和“向心加速度”。橫向加速度包括r與角加速度的乘積和科里奧力加速度。

4、運(yùn)動(dòng)方程取極坐標(biāo)系，原點(diǎn)在力心，按徑向和橫向列出運(yùn)動(dòng)方程：

5、有心力作用下的基本方程把橫向方程寫成兩邊同乘dr并積分第一項(xiàng)是平動(dòng)動(dòng)能，第二項(xiàng)是轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能，第三項(xiàng)是勢(shì)能，合起來(lái)為質(zhì)點(diǎn)的機(jī)械能，此式表明機(jī)械能守恒。

于是得到兩個(gè)基本方程：

二、行星運(yùn)動(dòng)規(guī)律設(shè)太陽(yáng)質(zhì)量M，行星質(zhì)量m，極坐標(biāo)系中的橢圓方程正是有心力作用下的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡是橢圓。p

1、開(kāi)普勒運(yùn)動(dòng)中的隆格–楞次矢量BrθvB指向橢圓長(zhǎng)軸方向。2、運(yùn)動(dòng)軌跡BrθrθabF′FMm質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌道是圓錐曲線，0<ε<1，為橢圓軌道，ε=1，為拋物線軌道，ε>1，為雙曲線軌道，ε=0，為圓軌道。3、有效勢(shì)能和軌道特征用能量曲線直觀表示軌道特征。第一項(xiàng)是動(dòng)能，將第二、三項(xiàng)視為勢(shì)能：有效勢(shì)能中第一項(xiàng)大于零，為離心勢(shì)能，對(duì)應(yīng)一斥力作用。由圖可見(jiàn)，r很小時(shí)，第一項(xiàng)為主，r很大時(shí)，第二項(xiàng)為主?！?開(kāi)普勒定律

一、第一定律行星沿橢圓軌道繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)，太陽(yáng)位于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上。

二、第二定律（面積定律）對(duì)任一個(gè)行星，它的矢徑在相等的時(shí)間內(nèi)掃過(guò)相等的面積。

三、第三定律（周期定律）行星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)軌道半長(zhǎng)軸a的立方與周期T的平方成正比，例：估算太陽(yáng)的質(zhì)量。如果中心物體不視為固定或伴星與主星相比質(zhì)量不能忽略，

四、行星運(yùn)動(dòng)的能量

考慮圓軌道，總能量為常數(shù)。總能量為負(fù)數(shù)。此結(jié)果也適用橢圓軌道，只要用a代替r，橢圓軌道時(shí)的總能量只與半長(zhǎng)軸有關(guān)。例：從第一宇宙速度求第二宇宙速度?，F(xiàn)向系統(tǒng)提供能量，使其速度增加到v2，動(dòng)能為原來(lái)兩倍?？偰芰繛榱銜r(shí)方可逃逸。§4引力場(chǎng)一、球殼的引力場(chǎng)

這是所選的圓環(huán)dM對(duì)位于P點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn)m的作用力。二、球體的引力場(chǎng)