第七章 參數(shù)估計(jì)72,73

7.2點(diǎn)估計(jì)的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)一、問題的提出二、無偏性三、有效性四、小結(jié)一、問題的提出從前一節(jié)可以看到,對(duì)于同一個(gè)參數(shù),用不同的估計(jì)方法求出的點(diǎn)估計(jì)可能不相同.而且,很明顯,原則上任何統(tǒng)計(jì)量都可以作為未知參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)量.問題(1)對(duì)于同一個(gè)參數(shù)究竟采用哪一個(gè)估計(jì)量好?(2)評(píng)價(jià)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)是什么?下面介紹幾個(gè)常用標(biāo)準(zhǔn).7.2.1

無偏性

定義7-3

設(shè)是

的一個(gè)估計(jì)，

的參數(shù)空間為Θ，若對(duì)任意的

Θ，有

則稱是

的無偏估計(jì)，否則稱為有偏估計(jì)。證例1特別的:不論總體X服從什么分布,只要它的數(shù)學(xué)期望存在,證例2(這種方法稱為無偏化).對(duì)任一總體而言，樣本均值是總體均值的無偏估計(jì)。當(dāng)總體k階矩存在時(shí)，樣本k階原點(diǎn)矩ak是總體k階原點(diǎn)矩

k的無偏估計(jì)。但對(duì)中心矩則不一樣，譬如，由于，樣本方差不是總體方差

2的無偏估計(jì)，對(duì)此，有如下兩點(diǎn)說明：

(1)當(dāng)樣本量趨于無窮時(shí)，有，我們稱為

2的漸近無偏估計(jì)。

(2)若對(duì)作如下修正：則s2是總體方差的無偏估計(jì)。7.2.3

有效性

定義7.2.3

設(shè)是

的兩個(gè)無偏估計(jì)，如果對(duì)任意的

Θ,有且至少有一個(gè)

Θ使得上述不等號(hào)嚴(yán)格成立，則稱比有效。

例7-15

設(shè)x1,x2

,

…,xn

是取自某總體的樣本，記總體均值為

，總體方差為

2，則,都是

的無偏估計(jì)，但顯然，只要n>1，比有效。這表明用全部數(shù)據(jù)的平均估計(jì)總體均值要比只使用部分?jǐn)?shù)據(jù)更有效。

四、小結(jié)估計(jì)量的評(píng)選標(biāo)準(zhǔn)無偏性有效性第三節(jié)區(qū)間估計(jì)一、區(qū)間估計(jì)的基本概念二、單個(gè)正態(tài)總體參數(shù)的置信區(qū)間

一、區(qū)間估計(jì)的基本概念

例

設(shè)某種絕緣子抗扭強(qiáng)度X服從正態(tài)分布N(,2),其中

未知,

2已知(

=45公斤·米),試對(duì)總體均值作區(qū)間估計(jì).對(duì)于區(qū)間估計(jì),首先要選擇一個(gè)合適的統(tǒng)計(jì)量.

若在該總體取一個(gè)容量為n的樣本x1,x2,…,xn,樣本均值為

的點(diǎn)估計(jì)(矩估計(jì))為然后需要選擇一個(gè)合適的估計(jì)函數(shù)對(duì)于總體為正態(tài)分布的問題,估計(jì)函數(shù)可取(1)u中包含所要估計(jì)的未知參數(shù)

(2)u~N(0,1),且與未知參數(shù)

無關(guān)由于u~N(0,1),因此有上式說明未知參數(shù)

落在區(qū)間或又當(dāng)

=0.05時(shí),1-

=0.95,的概率為0.95當(dāng)

=0.01時(shí),1-

=0.99,則未知參數(shù)

落在區(qū)間的概率為0.99上式說明未知參數(shù)

落在區(qū)間的概率為1-

這里,不僅給出了未知參數(shù)

的區(qū)間估計(jì)還給出了這一區(qū)間估計(jì)的置信度(或置信概率)為1-

當(dāng)

變小,1-

=變大時(shí),區(qū)間的長度增大當(dāng)

變大,1-

=變小時(shí),區(qū)間的長度減小變小,區(qū)間估計(jì)的定義

定義7.5.1

設(shè)

是總體的一個(gè)參數(shù)，其參數(shù)空間為Θ，x1,x2

,

…,xn是來自該總體的樣本，對(duì)給定的一個(gè)

(0<

<1)，若有兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量

和若對(duì)任意的

Θ，有則稱隨機(jī)區(qū)間[]為

的置信度為1-

的置信區(qū)間，或簡稱[]是

的1-

置信區(qū)間.和分別稱為

的置信下限和置信上限.稱為置信區(qū)間的長度。

這里置信度1-

的含義是指該置信區(qū)間以100(1-

)%的概率含有

。

說明置信區(qū)間的長度可視為區(qū)間估計(jì)的精度,置信度和精度具有如下的關(guān)系:(1)當(dāng)置信度1-

增大,樣本容量n固定時(shí),置信區(qū)間的長度增大,此時(shí)區(qū)間估計(jì)的精度降低;當(dāng)置信度1-

減小,樣本容量n固定時(shí),置信區(qū)間的長度減小,此時(shí)區(qū)間估計(jì)的精度提高。(2)設(shè)置信度1-

固定,當(dāng)樣本容量n增大時(shí),置信區(qū)間的長度減小,此時(shí)區(qū)間估計(jì)的精度提高。二、單個(gè)正態(tài)總體參數(shù)的置信區(qū)間1、

已知時(shí)

的置信區(qū)間2、

2未知時(shí)

的置信區(qū)間3、

2的置信區(qū)間1、

已知時(shí)

的置信區(qū)間

設(shè)總體X服從正態(tài)分布N(,2),，其中

已知，而

未知，求

的置信度為1－α的置信區(qū)間所以，

的置信度為1－α的置信區(qū)間為當(dāng)

=0.05時(shí),1-

=0.95,當(dāng)

=0.01時(shí),1-

=0.99,例

某車間生產(chǎn)滾珠，從長期實(shí)踐知道，滾珠直徑X服從正態(tài)分布。從某天產(chǎn)品里隨機(jī)抽取6個(gè)，測得直徑為（單位：毫米）：

14.6,15.1,14.9,14.8,15.2,15.1若總體方差

2=0.06。試求該總體均值的置信區(qū)間（

=0.05，

=0.01

）。當(dāng)

=0.05時(shí)，u0.025=1.96，解：n=6,

2=0.06

，該總體均值為0.95的置信區(qū)間為

例

某車間生產(chǎn)滾珠，從長期實(shí)踐知道，滾珠直徑X服從正態(tài)分布。從某天產(chǎn)品里隨機(jī)抽取6個(gè)，測得直徑為（單位：毫米）：

14.6,15.1,14.9,14.8,15.2,15.1若總體方差

2=0.06。試求該總體均值的置信區(qū)間（

=0.05，

=0.01

）。當(dāng)

=0.01時(shí)，u0.005=2.576，解：n=6,

2=0.06

，該總體均值的的0.99置信區(qū)間為

例

用天平秤某物體的重量9次，得平均值為（克），已知天平秤量結(jié)果為正態(tài)分布，其標(biāo)準(zhǔn)差為0.1克。試求該物體重量的0.95置信區(qū)間。由于1-

=0.95，因此

=0.05，u0.025=1.96解：因此于是該物體重量

的0.95置信區(qū)間為

[15.3347，15.4653]又n=9,

=0.1，

這時(shí)可用t統(tǒng)計(jì)量，因?yàn)?，完全類似于上一小?jié)，可得到

的1-

置信區(qū)間為

此處是

2的無偏估計(jì)。

2、

2未知時(shí)

的置信區(qū)間

例

假設(shè)輪胎的壽命服從正態(tài)分布。為估計(jì)某種輪胎的平均壽命，現(xiàn)隨機(jī)地抽12只輪胎試用，測得它們的壽命（單位：萬公里）如下：4.684.854.324.854.615.025.204.604.584.724.384.70試求平均壽命的0.95置信區(qū)間。解：經(jīng)計(jì)算有，s2=0.0615

由

=0.05，查表知t0.025(11)=2.2010于是平均壽命的0.95置信區(qū)間為（單位：萬公里）3、

2的置信區(qū)間

由，由于

2分布是偏態(tài)分布，尋找平均長度最短區(qū)間很難實(shí)現(xiàn)，一般都用等尾置信區(qū)間：采用

2的兩個(gè)分位數(shù)

2

/2(n-1)和

21-

/2(n-1)，在

2分布兩側(cè)各截面積為

/2的部分，使得

由此給出

2的1-

置信區(qū)間為上述區(qū)間兩端開方可得標(biāo)準(zhǔn)差的

的1-

置信區(qū)間例7-22

某廠生產(chǎn)的零件重量服從正態(tài)分布N(,

2)，現(xiàn)從該廠生產(chǎn)的零件中抽取9個(gè)，測得其重量為（單位：克）45.345.445.145.345.545.745.445.345.6

試求總體標(biāo)準(zhǔn)差

的0.95置信區(qū)間。解：由數(shù)據(jù)可算得s2=0.0325，(n-1)s2=8

0325=0.26查表知

20.025(8)=17.5345，

20.975(8)=2.1797可得

2的0.95置信區(qū)間為從而

的0.95置信區(qū)間為:[0.1218，0.3454]。所估參數(shù)條件估計(jì)函數(shù)置信區(qū)間

2已知

2未知

2未知三、小結(jié)：正態(tài)總體參數(shù)區(qū)間估計(jì)表二、兩個(gè)總體的情況討論兩個(gè)整體總體均值差和方差比的估計(jì)問題.推導(dǎo)過程如下:例7為比較?,??兩種型號(hào)步槍子彈的槍口速度,隨機(jī)地取?型子彈10發(fā),得到槍口速度的平均值為隨機(jī)地取??型子彈20發(fā),得槍口速度平均值為假設(shè)兩總體都可認(rèn)為近似地服從正態(tài)分布,且由生產(chǎn)過程可認(rèn)為它們的方差相等,求兩總體均值差信區(qū)間.解由題意,兩總體樣本獨(dú)立且方差相等(但未知),解由題意,兩總體樣本獨(dú)立且方差相等(但未知),例8為提高某一化學(xué)生產(chǎn)過程的得率,試圖采用一種新的催化劑,為慎重起見,在試驗(yàn)工廠先進(jìn)行體都可認(rèn)為近似地服從正態(tài)分布,且方差相等,求兩總體